2-2基本初等函数

专题2 第2讲 基本初等函数
一、选择题
1．(2011·北京文，3)如果log 12x <log 1
2<0，那么( )
A ．y <x <1
B ．x <y <1
C ．1<x <y
D ．1<y <x
[答案] D
[解析] log 12x <log 12y <0＝log 121，因为函数y ＝log 1
2x 是单调减函数，所以1<y <x .
2．(2011·山东理，3)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图像上，则tan a π
6的值为( )
A ．0 B.
33
C. 1
D. 3
[答案] D
[解析] 依题意：9＝3a ，∴a ＝2，∴tan a π6＝tan π
3
＝3，故选D.
3．(文)(2011·全国新课标理，2)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝|x |＋1
C ．y ＝－x 2＋1
D ．y ＝2－|x |
[答案] B
[解析] 对于A ，y ＝x 3不是偶函数，A 错误；B 正确，既是偶函数又在(0，＋∞)上单增；对于C ，在(0，＋∞)上单调递减，错误；对于D ，在(0，＋∞)上单调递减，错误，故选B.
(理)(2011·安徽文，5)若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( ) A ．(1
a ，
b )
B ．(10a,1－b )
C ．(
10
a
，b ＋1) D ．(a 2,
2b )
[答案] D
[解析] 由题意知b ＝lg a ，
对于A 选项，lg 1
a ＝－lg a ＝－
b ≠b ，
对B 选项lg(10a )＝1＋lg a ＝1＋b ≠1－b . 对C 选项lg
10
a
＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，
对D ，lg a 2＝2lg a ＝2b ，故(a 2,2b )在图像上．
4．(2010·湖北文，3)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 3x x >02x x ≤0
，则f (f (1
9))＝( )
A ．4 B.1
4 C ．－4 D ．－14
[答案] B
[解析] ∵f (19)＝log 31
9＝－2<0
∴f (f (19＝f (－2)＝2－2
＝14
.
5．(2011·成都一诊)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a
[答案] C
[解析] 由x ∈(e －1,
1)得－1<ln x <0，a －b ＝－ln x >0，a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2
x )<0，a <c ，因此有b <a <c ，选C.
6．(2011·湘潭五模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
(a －2)x －1，x ≤1log a x ，x >1
，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递
增，则实数a 的取值范围为( )
A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(2,3]
D ．(2，＋∞)
[答案] C
[解析] 由题可知，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，所以⎩⎨⎧
a >2
log a 1≥a －3
，解得
2<a ≤3，故选C.
7．(2011·南昌一模)已知实数a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] B
[解析] 设x ＝2a
，则有x ∈(1,2)．依题意得M ＝2a
＋2
1－a
＝2a
＋22a ＝x ＋2x
.易知函数y ＝x
＋2
x 在(1，2)上是减函数，在(2，2)上是增函数．因此有22≤M <3，M 的整数部分是2，选B.
8．(文)(2011·天津文，5)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b
[答案] B
[解析] ∵a ＝log 23.6>1，c ＝log 43.6<1.∴a >c . 又∵c ＝log 43.6>log 43.2＝b .∴a >c >b .
(理)(2011·天津理，7)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 20.3，则( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．a >c >b
D ．c >a >b [答案] C
[解析] a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6＝5log 2 3.6，c ＝(15)log 20.3＝5log 210
3，显然有
log 23.4>log 2
10
3
>log 2 3.6，由对数函数、指数函数单调性，有a >c >b ，故选C. 二、填空题
9．(2011·四川理，13)计算(lg 14－lg25)÷100－1
2＝________.
[答案] －20
[解析] 原式＝lg0.01÷100－12＝lg0.01÷1
1001
2
＝－2×10＝－20.
10．函数y ＝(1
2)2x －x 2的值域为__________．
[答案] [1
2
，＋∞)
[解析] 令t ＝2x －x 2，得t ∈(－∞，1]， ∴y ＝(12t 的值域为[1
2
，＋∞)．
11．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a ≤
b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，
则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是__________．
[答案] 1
[解析] 结合f (x )与g (x )的图像，h (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 2x (0<x ≤2)－x ＋3 (x >2)，
易知h (x )的最大值为h (2)
＝1.
12．已知集合P ＝{x |1
2x ≤3}，函数f (x )＝log 2(ax 2－2x ＋2)的定义域为Q .
(1)若P ∩Q ＝[12，2
3)，P ∪Q ＝(－2,3]，则实数a 的值为__________；
(2)若P ∩Q ＝∅，则实数a 的取值范围为__________． [答案] (1)a ＝－3
2
(2)a ≤－4
[解析] (1)f (x )＝log 2(ax 2－2x ＋2)的定义域为ax 2
－2x ＋2>0的解集，而P ∩Q ＝[12，23)，
P ∪Q ＝(－2，3]，可知－2为ax 2
－2x ＋2＝0的一个根，将x ＝－2代入ax 2
－2x ＋2＝0得a ＝－32
.
(2)由P ∩Q ＝∅，可知⎩⎪⎨⎪⎧
a (12)2－2×12＋2≤0，
a ·32－2×3＋2≤0
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
a ≤－4，a ≤4
9⇒a ≤－4. 三、解答题
13．(2011·江苏镇江)定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.
(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式；
(2)判断f (x )在(0,1)上的单调性，并给予证明． [解析] (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )为奇函数，
∴f (x )＝－f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝－2x
4x ＋1.
又f (0)＝－f (－0)＝－f (0)⇒f (0)＝0， f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)，f (－1)＝－f (1)． ∴f (1)＝－f (－1)＝f (－1)＝0.
∴f (x )＝⎩⎨⎧
－2x
4x ＋1
x ∈(－1，0)0 x ＝0或x ＝±
12
x 4x
＋1 x ∈(0，1)
.
(2)f (x )在(0,1)上是减函数． 证明如下： 设0<x 1<x 2<1，
则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋12x 2
4x 2＋1
＝2x 1(4x 2＋1)－2x 2(4x 1＋1)
(4x 1＋1)(4x 2＋1)
＝
(2x 2－2x 1)(2x 1×2x 2－1)
(4x 1＋1)(4x 2＋1)
，
∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，∴2x 2－2x 1>0. 又当0<x 1，x 2<1时，2x 1×2x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(0,1)上单调递减．
14．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值．
[解析] (1)当对称轴x ＝a <0时，如图①所示．当x ＝0时，y 有最大值，y max ＝f (0)＝1－a ，
所以1－a ＝2，即a ＝－1，且满足a <0，∴a ＝－1；
(1)当对称轴0≤a ≤1时，如图②所示． 当x ＝a 时，y 有最大值，
y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1. ∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±5
2.
∵0≤a ≤1，∴a ＝
1±5
2
(舍去)； (3)对称轴x ＝a ，当a >1时，如图③所示． 当x ＝1时，y 有最大值，y max ＝f (1)＝2a －a ＝2，
∴a ＝2，且满足a >1，∴a ＝2. 综上可知，a 的值为－1或2.
15．(2011·上海理，20)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；
(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．
[解析] (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1
－3x 2)
∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0,3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，
当a <0，b >0时，(32)x >－a 2b ，则x >log 1.5(－a 2b )；
当a >0，b <0时，(32)x <－a 2b ，则x <log 1.5(－a
2b )．。