人教A版高中数学必修3第一章算法案例教学

关于辗转相除法的算理问题
m nq r (0 r n) 若r 0,则(m,n) n 若r 0,则(m,n) (n,r)
以上满足：m,n,qN,rN
例题讲解
例1：用辗转相除法求8251与6105的 最大公约数．
8251 6105 1 2146 (8251, 6105) (6105, 2146)
结束
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
INPUT m，n DO
r =m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r =0 PRINT m
END
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开始 输入m，n
n≠0？ 否
输出m
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结束
n=r m=n 求m除以n的余数r 是
而算法也是中国古代数学的一大特色，《周髀算经》，《 九章算术》，《算法启蒙》，《四元玉鉴》都表明我国对 算法的研究及应用有着悠久的历史。
新知探究
问题：（1）你能说出30与18的公约数吗？ （2）如何求8251与6105的最大公约数？
当两个数公有的质因数较大时，用原来的短 除法显然困难，须改进算法，用什么方法好？
1.3.1算法案例
辗转相除法与更相减损术
算法的历史背景
人类最早关于算法的记录是在两河流域发现的公元前两三 千年的黏土板，其中一个典型的例子就是计算利息何时能 够等于本金。在公元前2100年左右，美索不达米亚人已有 了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。
算法早期发展中值得一提的是公元前300年古希腊数学家 欧几里得提出的欧几里得算法（辗转相除法），用来求两 个正整数的最大公约数。
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2. 设计算法之 构造循环结构 （1）确立循环体:求m除以n的余数 r, m=n, n=r （2）初始化变量：输入m, n （3）设定循环控制条件：r=0？
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开始 输入m，n
求m除以n的余数r
m=n
n=r r=0？ 否
是 输出m
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INPUT m，n
WHILE n<>0
r =m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END
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问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公 约数之外还有没有别的算法？
点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是 我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记 载的．更相减损术求最大公约数的步骤如 下：可半者半之，不可半者，副置分母分 子之数，以少减 多，更相减损，求其等也.， 以等数约之．
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
n探究1：用辗转相除法求225 和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
1813=333×5+148 333=148×2+37
n90=45×2
n显然45是90和45的最大公约数 ，也就是225和135的最大公约数
6105 2146 2 1813 (6105, 2146) (2146,1813)
2146 18131 333
( 2 1 4 6 ,1 8 1 3 ) (1 8 1 3 , 3 3 3 )
1813 333 5 148
(1 8 1 3 , 3 3 3 ) (3 3 3 ,1 4 8 )
区别 联系
（1）以除法为主.
（1）以减法为主.
（2）两个整数差值较 大时运算次数较少.
（3）相除余数为零时 得结果.
（2）两个整数差值较大时
运算次数较多.
（3）相减，两数相等得结果， 相减前要做是否都是偶数的判 断.
（1）都是求最大公约数的方法.
（2）二者的实质都是递推的过程.
（3）二者都要用循环结构来实现.
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n 翻译出来为： n 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶 数．若是，用2约简；若不是，执行第二步． n 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的 数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作 ，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所 求的最大公约数．
n解法2（辗转相除法）
n 91＝49×1＋42
49＝42×1＋7
n 42＝7×6
n∴ 91与49的最大公约数是7。
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小结 辗转相除法与更相减损术的比较:
名称
辗转相除法
更相减损术
148=37×4+0
n显然37是148和37的最 大公约数，也就是8251 和6105的最大公约数
n探究2：用辗转相除法求98和 196的最大公约数
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如何设计辗转相除法？
1. 设计算法之算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n . 第二步，计算m除以n所得的余数r . 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m； 否则，返回第二步.
333 148 2 37
(3 3 3 ,1 4 8 ) (1 4 8 , 3 7 )
148 37 4
(1 4 8 , 3 7 ) 3 7
( 8 2 5 1 ,6 1 0 5 ) ( 1 4 8 ,3 7 ) 3 7
所以
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n完整的过程 8251=6105×1+2146
n例2：用更相减损术求91与49的最大公约数 ，并用辗转相除法检验结果．
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n解法1：（更相减损术）由于49不是偶数，把91和49 以大数减小数，并辗转相减，
•即：91－49＝42 49－42＝7 42－7＝35 35－7＝28 • 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 •∴91与49的最大公约数是7。
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作业：（1）必做题：用辗转相除法求下列两 数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结 果：①228，48；② 185，98 （2）拓展延伸：请查阅相关书籍资料画出更 相减损术这种算法的程序框图，并用语句来描 述这个算法。