人教A版高中数学必修3第一章算法案例教学
人教A版高中数学必修3第一章算法案例课件_5
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例课件_ 5
总结辗转相除法方法
• 用大数除以小数得到商和余数，接着用除 数除以余数得到商和余数，依次计算下去， 直到余数为零，最后式子的除数是所求的 最大公约数。
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例课件_ 5
2.更相减损术: 我国早期也有解决求最大公约数问题的算
第一章 算法初步 1.3 算法案例
〖创设情景，揭示课题〗
案例1 辗转相除法与更相减损术
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数 的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？
2 18 30 3 9 15 35
∴18和30的最大公约数是2×3=6.
先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所 得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起 来.
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数
减小数，并辗转相减，
即：98－63＝35; 63－35＝28; 35－28＝7; 28－7＝21; 21－7＝14; 14－7＝7.
所以，98与63的最大公约数是7。
练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大
公约数。 (12)
法，就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可
半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以 少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为：第一步：任意给出两个正数； 判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是， 执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把 较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继 续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数 （等数）就是所求的最大公约数。
2020年最新人教A版高中数学必修3第一章算法初步1.3算法案例教案(1)
《算法案例》教案——辗转相除法与更相减损术教材：课标版高中《数学》必修第章第节设计思路与指导思想：与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容。
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
现代社会，信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想成为现代人应具备的一种基本数学素养。
本节课是使学生在已经学习算法的初步知识基础上，探究典型的算法案例，理解其中所包含的算法思想，巩固算法三种表示方法。
通过让学生经历分析算法步骤、画出程序框图、编制程序的基本过程，给学生提供探索与交流的活动时间和思维空间，真正使学生经历问题的提出过程、感受知识的形成与发展过程、暴露问题解决的思维过程、体验成功的喜悦过程，培养学生发现问题、解决问题的能力、养成良好的学习习惯、掌握必备的数学知识，从而达到知识与技能、过程与方法、情感与态度三位一体的统一。
教学方法：通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。
学法指导：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
教学目标（）知识与技能.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（）过程与方法.由具体到抽象、观察探究，理解辗转相除法，体会使用算法解决问题的基本过程，体会算法思想，发展有条理思考和表达的能力，培养逻辑思维能力。
.在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
人教版高中数学 A版 必修三 第一章 《1.3算法案例》教学课件
D.8
解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，
∴加法6次，乘法6次，
∴6＋6＝12次，故选C.
解析答案
规律与方法
1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数， 若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除 法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最 大公约数. 2.更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数， 然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较 小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.
1 2345
答案
4.把89化成五进制的末尾数是( D )
A.1
B.2
C.3
1 2345
D.4
答案
5.下列各数中最小的数是 ( D )
A.85(9) C.1 000(4)
B.210(6) D.111 111(2)
1 2345
答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 规律与方法
1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的 幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和. 2.十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：
答案
2.更相减损术的运算步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数 .若是，用 2 约简； 若不是，执行 第二步 . 第二步，以较大 的数减去 较小的数，接着把所得的差与 较小 的数比较， 并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 相等 为止，则这个数(等 数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
解析答案
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达标检测
1.7不可能是( A ) A.七进制数 C.十进制数
人教版高中必修3第一章算法初步教学设计 (2)
人教版高中必修3第一章算法初步教学设计一、教学目标1.1 知识目标•掌握算法的基本概念和算法设计的流程；•能够正确理解和应用算法中的常用术语和符号；•学习并实现常见的算法，如冒泡排序、选择排序等。
1.2 能力目标•培养学生分析问题、解决问题的能力；•培养学生运用算法设计解决实际问题的能力；•培养学生的团队合作精神，提高学生的学习兴趣和学习效果。
二、教学内容2.1 什么是算法？•算法的定义；•算法与计算的关系；•算法的特点。
2.2 算法设计的流程•算法设计的步骤；•算法设计时需要考虑的问题。
2.3 常见算法•冒泡排序；•选择排序；•插入排序；•快速排序。
三、教学过程3.1 任务型学习1.让学生自己搜索和学习算法的定义，掌握算法的基本概念；2.将学生分为小组，分别针对冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序这四个常见算法进行深入学习；3.鼓励学生在小组内交流讨论，互相帮助，通过任务型学习的方式掌握每一种算法的实现过程和应用场景。
3.2 理论讲解1.讲解算法设计的流程，强调算法设计的基本思想；2.结合具体算法进行详细介绍；3.帮助学生掌握常用术语和符号的意义和用法。
3.3 多媒体展示1.利用计算机多媒体技术对算法的基本概念、算法设计的流程和常见算法进行展示；2.通过多媒体展示帮助学生理解算法中的关键点和难点。
3.4 实践操作1.让学生利用所学知识，对一些简单的排序问题进行解决；2.鼓励学生在实践中发现问题和总结经验；3.引导学生在实践中培养合作精神，培养团队意识。
四、教学评价4.1 测试评价1.设计一份测试题，测评学生对算法设计的基本概念、设计思想、常见算法等方面的掌握情况；2.给出具体的分值和评分标准。
4.2 成果展示1.让学生利用所学知识，针对一些复杂实际问题进行算法设计和实现；2.要求学生用合适的方式进行成果展示和说明；3.通过成果展示，评价学生团队合作精神和算法设计能力。
五、教学反思通过本次教学，学生基本掌握了算法的定义、算法设计的基本流程和常见算法的实现方法。
人教a版必修3数学教学课件第1章算法初步第3节算法案例
故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不
存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项看成0·xn.
目标导航
题型一
题型二
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型三
【变式训练3】 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
当x=2时的值.
v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
错因分析:所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算
法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有x的一次项.
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【做一做2】 用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程
中,v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
减小数.
解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数.
1 785=840×2+105,
840=105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
WHILE i>=0 INPUT“ai=”;a
v=v*x+a
i=i-1
WEND
PRINT v
END
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
• 程序计算
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的流程图及程序
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方 法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时 的值呢？ 算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它 们加起来。 算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2·x、 （ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x的值。
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
开始 输入n,an,x的值
v=an i=n-1
程序语言
i=i-1
v=vx+ai
i≥0？ Y
N
输出v
输入ai
结束
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a
作业：
1.书本45页 课后练习2 2.( 思考题） f(x)=2x6-5x5+ax3+3x2-6x
当x = 5时v4=608,求a的值
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
谢 谢 指 导!
最新人教版高中数学A版必修三优秀教案第一章+算法初步名师优秀教案
3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。
（4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）
如果圆的半径为Leabharlann ，点到圆心的距离为d，则（5）二次函数的图象与y＝ax2的图象的关系：
B、当a＜0时
人教版高中数学A版必修三优秀教案(第一章算法初步)
(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。
5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。
人教版高中数学必修三第一章第3节 算法案例 课件(共18张PPT)
输入a,k,n
s1，输入a，b，n的值。
b=0
s2，赋值b=0，i=1。
i=1
s3，b=b+ai·ki-1，i=i+1。
s4，判断i>n是否成立。若 是，则执行s5；否则， 返回s3。
s5，输出b的值。
把a的右数第i位数字赋给t
b=b+t·ki-1
i=i+1 N
i>n? Y 输出b
结束
设计一个算法，把k进制数a（共有n 位数）转化成十进制数b。
例2:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的运算式为:
89 = 5 17 + 4 = 5 (5 3 + 2) + 4 = 3 52 + 2 5 + 4 = 324(5)
5 89 5 17 53
0
余数
4 2 3
∴ 89=324(5).
例3:把89化为二进制的数.
分析:把89化为二进制的数,需想办法将 89先写成如下形式
k进制数转化为十进制数的方法
先把k进制的数表示成不同位上数字 与基数k的幂的乘积之和的形式,即
anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . 再按照十进制数有n位数）转
化成十进制数b。
开始
算法步骤：
第3节 算法案例
进位制
学习目标：
• 1. 了解进位制的概念，学会表示进位制数
• 2. 理解并掌握各种进位制与十进制之间转换的规 律,会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各 种进位制之间的转换.
• 3. 了解各种进位制与十进制之间互相转换的算法， 程序框图和程序
高中数学 第一章 算法初步教案 (教师用) 新人教A版必修3
新人教A版数学必修3全套教案第一章算法初步一、课标要求：1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。
点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色：算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
人教A版高中数学必修3第一章算法初步1.3算法案例教案(6)
A ．16 和 12 的最大公约数是 4 C．85 和 357 的最大公约数是 34
B．78 和 36 的最大公约数是 6 D．105 和 315 的最大公约数是 105
精品文档
【解析】： C 用更相减损术求它们的最大公约数 .
(85， 357) → (85， 272) → (85，187) → (85，102) → (85，17) → (68，17) → (51，17) → (34，17) → (17，
∴51 是 459 与 357 的最大公约数 .
（三）课后作业
基础型自主突破 1．用更相减损术求 36 与 134 的最大公约数，第一步为 ( )
A ．134－36＝98
B．134＝ 3×36＋ 26
C．先除以 2，得到 18 与 67
D．134÷36＝3(余 26)
【解析】： C 更相减损术的算法第一步要求若两数均为偶数则要用 2 约简，故选 C
解：错因：本题结果虽正确，但解题过程是错误的．错误的根源在于没有完全掌握更相减损术的
规则．更相减损术要求若两数均为偶数则要用 2 约简．本题出错正是忽略这一过程所致．
正确解法：∵ 36 和 20 都是偶数，
∴两次用 2 约简得 9 和 5.
用更相减损的步骤如下：
9－ 5＝ 4，
5－ 4＝ 1，
4－ 1＝ 3，
INPUT m， n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
A ．84
B．12
C．168
D．252
【解析】： A ∵1764＝840×2＋ 84，840＝ 84×10，∴ 1764 与 840 的最大公约数为 84.
高中数学人教A版必修三1.3【教学课件】《算法案例》人教版
第一章 · 算法初步
第一课时
《 1.3 秦九韶算法与进位制》
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新课导入
设计求多项式 f ������ = 2������ 5 − 5������ 4 − 4������ 3 + 3������ 2 − 6������ + 7 当 x=5 时的值的算法程序。 x=5
人民教育出版社 | 必修三
思考1：怎么用秦九韶算法求多项式的值。
通过
������0 = ������������ ������������ = ������������−1 ������ + ������������ −������
(k=1,2,……n)这是一个在秦九韶算
法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
一般地,对于一个n次多项式 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
������2 = ������1 ������ + ������������−2 , ������3 = ������2 ������ + ������������−3 ,…������������ = ������������−1 ������ + ������0
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思考4：十进制数怎么转化成k进制数？ 其方法是除k取余法，用十进制数除以k进制 数，将各步所得的余数从下到上排列，就会 得到相应的k进制数。
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例题讲解
例1： 求多项式 ������ ������ = ������ 5 − ������ 3 + 2������ 2 − 3 在 ������ = 5 时的函数值。 解：原多项式先化为:
y=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7
高中数学人教A版必修3第一章算法案例PPT全文课件
〖研探新知〗 高中数学【人教A版必修】3第一章算法案例PPT全文课件【完美课件】
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
分析：8251与6105两数都比较大，而且没 有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根 据已有的知识即可求出最大公约数. 解：8251＝6105×1＋2146
(3)、程序：
INPUT “m,n=“;m,n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
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4. 辗转相除法的程序框图及程序: 高中数学【人教A版必修】3第一章算法案例PPT全文课件【完美课件】
显然8251与6105的最大公约数也必是2146 的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251 的约数，所以8251与6105的最大公约数也是 6105与2146的最大公约数。
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〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解：8251＝6105×1＋2146;
1.3算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
一、三维目标 （a）知识与技能
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原 理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完 整的程序框图并写出算法程序。 （b）过程与方法
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习 过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它 们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严 谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握 把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
人教版高中数学必修三第一章第3节算法案例课件(共16张PPT)
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可 以用什么逻辑结构来构造算法？其算法 步骤如何设计？
第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值.
第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，判断i≥0是否成立.若是，执行第
作业： P48习题1.3A组：2. 课时作业
思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算 一次多项式的值，其算法步骤如何？
第一步，计算v1=anx+an-1.
第二步，计算v2=v1x+an-2.
第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0.
理论迁移
四步；否则，输出多项式的值v.
第四步，输入i次项的系数ai. 第五步， v=vx+ai，i=i-1.
思考2:该算法的程序框图如何表示？
开始
输入n，an，x的值
v=an i=n-1
i=i-1
v=vx+ai
i≥0？
否 输出v
输入ai 是
结束
思考3:该程序框图对应的程序如何表述？
开始 输入n，an，x的值
所以f(5)=14130.2.
思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的 值，一共需要多少次乘法运算，多少次 加法运算？
最多n次乘法运算，最多n次加法运算
思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么 第k步的算式是什么？
高中数学人教A版必修3第一章1.3算法案例课件
去
9－ 3= 6
6 － 3 = 3 减数与差相等
3×2=6
78与36的最大公约数为6.
更相减损术
问题6.根据更相减损术的过程，设计求两个正整数m，n最 大公约数的算法，需要用到什么逻辑结构？为什么？
第一步：任意给定两个正整 算法分析：
数，判断它们是否都是偶数。第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
更相减损术
例2. 用更相减损术求78与36的最大公约数.
解： 78与36都是偶数
“可半”
78 ÷ 2 = 39 36 ÷ 2 = 18
“可半者半之”
除 完
39 － 18 = 21 大减小 21 － 18 = 3
再
18 － 3 = 15
乘
15 － 3 = 12
“更相减损”（辗转相减）
回
12 － 3 = 9
2 18 30 3 9 15 35
18与30的最大公约数为2 3 6 .
问题1. 求8251与6105的最大公约数. 可以使用短除法吗？
困难：两数比较大、公约数不易视察。 （辗转相除法、更相减损术）
知问
思考1：辗转相除法与更相减损术可以用来解 决什么问题？ 可以解决求两个正整数最大公约数的任何问题。
《九章算术》——更相减损术
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
《九章算术》
刘徽
《九章算术》其作者已不可 考，现今流传的大多是在三 国时期刘徽为《九章》所作 的注本。它是中国古代第一 部数学专著，系统总结了战 国、秦、汉时期的数学成绩， 收录了246个数学问题及其 解法，是当时世界上最简练 有效的应用数学，它的出现 标志中国古代数学形成了完 整的体系。
高中数学 第一章 算法初步 教案新 新人教A版必修3
算法教学内容：一、基本要求内容与要求1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（2）基本算法语句③经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
（3）④通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
何谓经历？了解——经历——理解——掌握——运用——灵活运用说明与建议1．算法是高中数学课程中新内容，其思想是非常重要的，但并不神秘。
例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就是算法。
本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表示算法，在条件允许的学校，使其能在计算机上实现。
为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序框图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或程序框图翻译成计算机语言。
本模块的主要目的是使学生体会算法的思想，提高逻辑思维能力。
不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计。
2．算法教学必须通过实例进行，使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句。
有条件的学校，应鼓励学生尽可能上机尝试。
3．算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。
不同的程序语言有不同的语言形式。
教材A版中使用的是类语言。
B版使用的是scilab 语言。
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
最新人教版普通高中课程标准实验教科书必修3《算法案例——辗转相除法和更相减损术》说课稿
课题：算法案例——辗转相除法和更相减损术教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3节1、教材分析与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。
算法思想即体现了时代的特点，也是中国古代数学灿烂的历史和巨大的贡献在新层次上的复兴。
本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法和更相减损术，经历设计算法解决问题的全过程，体会算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考和数学表达能力，巩固算法三种描述性语言（自然语言、图形语言和程序语言），提高学生分析和解决问题的能力。
2、教学目标分析：（1）知识目标：①理解辗转相除法和更相减损术求两个正数的最大公约数的原理；②能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法；说明：在这里，理解案例中的新的知识是理解算法的必要的前提，但重要的是理解案例中的算法核心思想，而不是强调对案例中新知识的记忆和灵活运用。
（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；②培养学生自主探索和合作学习的能力。
（3）情感目标：①使学生进一步了解从具体到一般思想方法。
②体会中国古代数学对世界数学的巨大贡献，培养爱国思想和学习数学的积极性。
3、教学重点与难点分析：（1）教学重点：能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法及更相减损术。
（体会算法解决问题的全过程）（2）教学难点：用不同逻辑结构的程序框图表达算法；4、教学方法与手段（1）、教法：阅读指导，以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，有利于学生活动的充分展开。
（2）、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。
5、教学过程设计分析：辅助工具：ppt课件知识准备：带余除法6、评价分析：（1）、指导思想：①新知识与旧知识相结合的原则；②掌握知识与发展智力、能力相统一的原则；③教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。
高中数学人教A版必修三教案：第1章1-4算法案例
高中数学人教A版必修三教案第1章算法初步教学目标：1．理解不定方程的算法中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行2．理解不定方程的算法的方法与步骤．3．能根据算法语句与伪代码语句的知识设计完整的流程图并写出伪代码语句算法程序．4．使学生初步掌握不定方程的算法设计和列举法的基本思想．教学方法：1．通过讲解中国古代的一个有趣的故事的方法引入新知识，可以使学生容易接受，易于激发学生的求知欲．2．教学中利用探索性教学法，可以加深学生对不定方程的算法的理解，有利于培养学生的理性思维和实践能力．3．通过本节课的学习，使学生进一步体会观察、比较、归纳、分析等一般科学方法的运用．教学过程：一、问题情境情境：韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数．韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行．二、学生活动1．同学们想一想，韩信是如何得出正确的人数的？2．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”3．孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理．中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；4．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”．在中国还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知．它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止．所得结果就是某数的最小正整数值．用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：2×70＋3×21＋2×15＝233，233－105×2＝23，即所求物品最少是23件．三、建构教学“孙子问题”相当于求关于,,x y z 的不定方程组的325372m x m y mz =+=+ =+ 的正整数解；设所求的数为m ，根据题意m 应该同时满足下列三个条件：①m 被3除后余2，即mod(,3)2m =； ②m 被5除后余3，即mod(,5)3m =； ③m 被7除后余2，即mod(,7)2m =； 用自然语言可以将算法写为：1S 1m ← 2S 1m m ←+3S 如果mod(,3)2m =且mod(,5)3m =且mod(,7)2m =则执行4S ,否则执行2S ;4S 输出m伪代码：1m ← DO1m m ←+Loop Until mod(,3)2m =且mod(,5)3m =且mod(,7)2m = Print m流程图为：四、数学运用例题有3个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，求满足要求的一组三个连续的自然数．伪代码：思考：以下伪代码是否可行？k←1a←15kWhile Mod(a＋1,17)≠0 orMod(a＋2,19)≠0k←k＋1a←15kEnd WhilePrint a，a＋1，a＋2五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．中国数学在世界数学史上的巨大贡献；2．实际问题的分析和解决问题过程；3．算法的表示及语句的运用．教学目标：1．理解欧几里得辗转相除法的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析．2．理解用欧几里得辗转相除法求两个数的最大公约数的方法与步骤．3．能根据算法语句与流程图的知识设计完整的流程图并写出其伪代码．教学重点：1．理解欧几里得辗转相除法求两个数的最大公约数的方法与步骤．2．能写出欧几里得辗转相除法的流程图和伪代码．教学难点：1．利用计算机编程来实现求两个数的最大公约数．2．欧几里得辗转相除法的流程图和伪代码程序．教学方法：1．通过复习小学学过的求两个数的最大公约数的方法引入新知识，可以使学生容易接受，易于理解．2．教学中利用类比教学法，可以加深学生对欧几里得辗转相除法的理解，有利于培养学生的理性思维和实践能力．3．通过数学与计算机编程的结合，有利于学生理解构造性数学，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤，培养学生综合应用知识解决有关问题的能力．教学过程：一、问题情境在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？ 我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容．二、学生活动解：8251＝6105×1＋2146显然8251和的2146最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数．6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333 1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37 148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数． 三、建构教学以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法．也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的．利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0q 和一个余数0r ； 第二步：若00r =，则n 为,m n 的最大公约数；若00r ≠，则用除数n 除以余数0r 得到一个商1q 和一个余数1r ；第三步：若10r =，则1r 为,m n 的最大公约数；若10r ≠，则用除数0r 除以余数1r 得到一个商2q 和一个余数2r ；……依次计算直至0n r =，此时所得到的1n r −即为所求的最大公约数． 四、数学运用利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，图以及BSAIC 大公约数，性，并在计算机上验证自己的结果．（1）辗转相除法的程序框图及程序 程序框图： 伪代码:用较大的数除以较小的数，得到除式r nq m +=)0(n r <≤，直到0=r ．五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：1．辗转相除法中蕴含的数学原理及算法语言的表示； 2．函数Mod(,)a b 的含义．教学目标：1．了解这种方法是求方程近似解的一般方法，能利用计算器求精确到0．01的实数解．2．理解二分法求方程近似解的算法，进一步理解函数与方程的关系． 3． 能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的二分法求方程近似解的流程图并写出其伪代码．4．培养学生利用计算工具的能力．教学重点：1．利用二分法求给定精确度的方法近似解．2．能写出二分法求方程近似解的流程图和伪代码．教学难点：1．利用二分法求方程的近似解．2．二分法求方程近似解的流程图和伪代码．教学方法：教学过程：一、问题情境在前面一节课中，我们已经学习了一些简单的算法，如不定方程的解、欧几里得辗转相除法求两个正整数的最大公约数等问题，对算法已经有了较为深刻的了解，下面，我们还将通过一个具体的算法案例，继续体会算法的思想．这就是我们本节课所要研究的问题—二分法求方程近似解．二、学生活动x x−−=在区间[1,1.5]内的一个近似解（误差不写出用区间二分法求解方程310超过0．001）的一个算法．（1）算法设计思想：如图，如果估计出方程()0f x=在某区间[,]a b内有一个根*x，就能用二分法搜索求得符合误差限制c的近似解．（2）算法步骤可以表示为： 1S 取[,]a b 的中点20ba x +=，将区间一分为二； 2S 若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判断根*x 在0x 的左侧还是右侧；若0()()0f a f x >，则*0(,)x x b ∈，以0x 代替a ； 若0()()0f a f x <，则*0(,)x a x ∈，以0x 代替b ；3S 若||a b c −<，计算终止，此时*0x x ≈，否则转1S ． 三、建构教学 伪代码1：R ea d a ，b ，c02a bx +←While ||a b c −≥ And 30010x x −−≠ If 3(1)a a −−×300(1)x x −−<0 Then 0b x ← Else 0a x ← End If 02a bx +←End While Print 0x伪代码2：Read ,,a b c0()2a b x +←3()1f a a a ←−−3000()1f x x x ←−−If 0()0f x = Then GoTo 120If 0()()0f a f x < Then 0b x ← Else 0a x ← End IfIf ||a b c −≥ Then GoTo 20 Print 0x二分搜索的过程是一个多次重复的过程，故可以用循环结构来处理（代码1），课本解法是采用GoT o 语句实现的（代码2）．四、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：1．二分法的算法和用伪代码表示该算法； 2．GoT o 语句的使用；3．解决实际问题的过程：分析－画流程图－写伪代码．。
人教A版高中数学必修3第一章 算法初步1.3 算法案例教案(7)
秦九韶算法学习目标1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
学习重难点重点：1.秦九韶算法的特点2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计难点：1.秦九韶算法的先进性理解2.排序法的计算机程序设计学法与学习用具学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。
2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。
学习用具：电脑，计算器，图形计算器学习设想（一）创设情景，揭示课题我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。
我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。
显然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
（二）研探新知1.秦九韶计算多项式的方法01210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------例1 已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值。
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件
问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公 约数之外还有没有别的算法？
点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是 我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记 载的．更相减损术求最大公约数的步骤如 下：可半者半之，不可半者，副置分母分 子之数，以少减 多，更相减损，求其等也.， 以等数约之．
148 37 4
(148,37) 37
(8251,6105) (148,37) 37
所以
完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
探究1：用辗转相除法求225 和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
关于辗转相除法的算理问题
m n q r (0 r n) 若r 0,则(m, n) n 若r 0,则(m, n) (n, r)
以上满足：m, n, q N, r N
例题讲解
例1：用辗转相除法求8251与6105的 最大公约数．
8251 61051 2146 (8251, 6105) (6105, 2146)
1.3.1算法案例
辗转相除法与更相减损术
算法的历史背景
人类最早关于算法的记录是在两河流域发现的公元前两三 千年的黏土板，其中一个典型的例子就是计算利息何时能 够等于本金。在公元前2100年左右，美索不达米亚人已有 了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。
算法早期发展中值得一提的是公元前300年古希腊数学家 欧几里得提出的欧几里得算法（辗转相除法），用来求两 个正整数的最大公约数。
（2）二者的实质都是递推的过程.
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INPUT m，n
WHILE n<>0
r =m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例教学 （公开 课课件 ）
问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公 约数之外还有没有别的算法？
点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是 我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记 载的．更相减损术求最大公约数的步骤如 下：可半者半之，不可半者，副置分母分 子之数，以少减 多，更相减损，求其等也.， 以等数约之．
2. 设计算法之 构造循环结构 （1）确立循环体:求m除以n的余数 r, m=n, n=r （2）初始化变量：输入m, n （3）设定循环控制条件：r=0？
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例教学 （公开 课课件 ）
开始 输入m，n
求m除以n的余数r
m=n
n=r r=0？ 否
是 输出m
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例教学 （公开 课课件 ）
n例2：用更相减损术求91与49的最大公约数 ，并用辗转相除法检验结果．
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例教学 （公开 课课件 ）
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n解法1：（更相减损术）由于49不是偶数，把91和49 以大数减小数，并辗转相减，
•即：91－49＝42 49－42＝7 42－7＝35 35－7＝28 • 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 •∴91与49的最大公约数是7。
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例教学 （公开 课课件 ）
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n 翻译出来为： n 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶 数．若是，用2约简；若不是，执行第二步． n 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的 数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作 ，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所 求的最大公约数．
148=37×4+0
n显然37是148和37的最 大公约数，也就是8251 和6105的最大公约数
n探究2：用辗转相除法求98和 196的最大公约数
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例教学 （公开 课课件 ）
如何设计辗转相除法？
1. 设计算法之算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n . 第二步，计算m除以n所得的余数r . 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m； 否则，返回第二步.
区别 联系
（1）以除法为主.
（1）以减法为主.
（2）两个整数差值较 大时运算次数较少.
（3）相除余数为零时 得结果.
（2）两个整数差值较大时
运算次数较多.
（3）相减，两数相等得结果， 相减前要做是否都是偶数的判 断.
（1）都是求最大公约数的方法.
（2）二者的实质都是递推的过程.
（3）二者都要用循环结构来实现.
而算法也是中国古代数学的一大特色，《周髀算经》，《 九章算术》，《算法启蒙》，《四元玉鉴》都表明我国对 算法的研究及应用有着悠久的历史。
新知探究
问题：（1）你能说出30与18的公约数吗？ （2）如何求8251与6105的最大公约数？
当两个数公有的质因数较大时，用原来的短 除法显然困难，须改进算法，用什么方法好？
关于辗转相除法的算理问题
m nq r (0 r n) 若r 0,则(m,n) n 若r 0,则(m,n) (n,r)
以上满足：m,n,qN,rN
例题讲解
例1：用辗转相除法求8251与6105的 最大公约数．
8251 6105 1 2146 (8251, 6105) (6105, 2146)
n解法49＝42×1＋7
n 42＝7×6
n∴ 91与49的最大公约数是7。
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例教学 （公开 课课件 ）
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小结 辗转相除法与更相减损术的比较:
名称
辗转相除法
更相减损术
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例教学 （公开 课课件 ）
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作业：（1）必做题：用辗转相除法求下列两 数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结 果：①228，48；② 185，98 （2）拓展延伸：请查阅相关书籍资料画出更 相减损术这种算法的程序框图，并用语句来描 述这个算法。
结束
INPUT m，n DO
r =m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r =0 PRINT m
END
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开始 输入m，n
n≠0？ 否
输出m
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例教学 （公开 课课件 ）
结束
n=r m=n 求m除以n的余数r 是
1.3.1算法案例
辗转相除法与更相减损术
算法的历史背景
人类最早关于算法的记录是在两河流域发现的公元前两三 千年的黏土板，其中一个典型的例子就是计算利息何时能 够等于本金。在公元前2100年左右，美索不达米亚人已有 了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。
算法早期发展中值得一提的是公元前300年古希腊数学家 欧几里得提出的欧几里得算法（辗转相除法），用来求两 个正整数的最大公约数。
333 148 2 37
(3 3 3 ,1 4 8 ) (1 4 8 , 3 7 )
148 37 4
(1 4 8 , 3 7 ) 3 7
( 8 2 5 1 ,6 1 0 5 ) ( 1 4 8 ,3 7 ) 3 7
所以
人教A版高中数学必修3第一章算法案 例教学 （公开 课课件 ）
n完整的过程 8251=6105×1+2146
6105 2146 2 1813 (6105, 2146) (2146,1813)
2146 18131 333
( 2 1 4 6 ,1 8 1 3 ) (1 8 1 3 , 3 3 3 )
1813 333 5 148
(1 8 1 3 , 3 3 3 ) (3 3 3 ,1 4 8 )
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
n探究1：用辗转相除法求225 和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
1813=333×5+148 333=148×2+37
n90=45×2
n显然45是90和45的最大公约数 ，也就是225和135的最大公约数