勾股定理及弦图题库

勾股定理及弦图题库

三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。

我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。【例】.2002年在北京召开了国际数

学家大会，大会会标如下图所示，它

由四个相同的直角三角形拼成的（直

角边的长度分别为2和3），问大正方

形的面积是多少？

【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方形，P、Q、M、

【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方

形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则

矩形ABCD的面积为

【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、

B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点，

；

试用S表示四边形EFGH的面积S

1

【例】（2009•安顺）下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是

由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是——

【例】（ 2010年广西河池）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（ x>y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.A.①② B.①②③ C.①②④ D.

①②③④

【例】（ 2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创

制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” ．图7由“弦图” 变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=10，则S2的值是______

【例】小明遇到这样一个问题：如图13，在边长为a （ a＞2）的正方形

ABCD 各边上分别截取 AE =BF =CG =DH =1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形．

请回答：

（ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），求这个新的正方形的边长；

（ 2）求正方形MNPQ的面积．

（ 3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图15，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边

△RPQ，若S△RPQ=3，则AD的长为______

【例】如图，是由四个全等的直角三角形与

中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果

正方形的面积是13，小正方形的面积是1，

直角三角形的两条边是分别是a，b，则a+b

和的平方的值（）

A．13 B．19 C．25 D．169

【例】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形

与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，

每一个直角三角形的两条直角边的长分别是

3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差

是（）

【例】如图，所有的四边形都是正方形，所

有的三角形都是直角三角形，其中最大的正

方形的边长为10cm，正方形A2的边长为

6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是

cm2．

【例】如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为

cm．

【例】2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一

个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则两条直角三角形的两条边的立方和等于