最短路问题实验

i
pk
p3 p2 p1
q1
q2
qm
j
算法步骤
Floyd 算法：求任意两点间的最短路．
D(i,j)：i 到 j 的距离． R(i,j)：i 到 j 之间的插入点． 输入: 带权邻接矩阵 w(i,j)
（１）赋初值：
对所有 i,j, d(i,j) w(i,j), r(i,j) j, k 1
(2) 更新 d(i,j), r(i,j)
9 12
12
最l(v后) 标记: z (v)
02
u1 u1
1
u1
u
7
6
u2 3 u5 6 u49 u152
l(ui )
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8
最后标记:
l(v)
z (v)
02
u1 u1
17
u1 u6
3 u2
6 9 12
u5
u4
u5
u2
u5
u1
u4
u6
是从
vi 到
vj 的只允许以
v1
、
v2 作为中间点的路径中最短路的长度．
…
（
）D(
)=
(d
( ij
)
)
，其中 di(j )
min{d
( ij
1)
,
di(
1)
d(j 1)}
d
( ij
)
是从
vi
到
vj
的只允许以
v1、v2、…、
v
作为中间点的路径中最短路
的长度．即是从 vi 到 vj 中间可插入任何顶点的路径中最短路的长，因此
（2）更新 l(v) 、 z(v) ： v S V \ S ,若 l(v) > l(u) W(u,v) 则令 l(v) = l(u) W(u,v) , z(v) = u
（3） 设 v * 是使 l(v) 取最小值的 S 中的顶点，则令 S=S∪{ v * }， u v*
（4） 若 S φ，转 2，否则，停止.
（１）D(1)=
(di(jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) )
，其中
d (1) ij
min{di(j0)
,
d (0) i1
d (0) 1j
}
d
(1) ij
是从
vi
到
vj
的只允许以
v1
作为中间点的路径中最短路的长度．
（2）D(2)=
(di(j2) )
，其中
d (2) ij
min{di(j1)
,
d (1) i2
d
(1) 2j
}
d
(2) ij
D( )即是距离矩阵．
算法原理—— 求路径矩阵的方法
在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R．
R= (rij ) , rij 的含义是从 vi 到 vj 的最短路要经过点号为 rij 的点．
R(0) (rij(0) ) ,
r (0) ij
j
每求得一个 D(k)时，按下列方式产生相应的新的 R(k)
r (k) ij
算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终 l(v) 为从顶点
u0 到 v 的最短路的权． S：具有永久标号的顶点集
输入: G 的带权邻接矩阵 w(u, v)
算法步骤：
（１）赋初值：令 S＝{ u0 }, l(u0 ) =0 v S V \ S ,令 l(v) =W(u0 ,v) , z(v) = u0 u u0
u8
u3
u7
• w=[ ];
• function [l,z]=Dijkstra(W) n = size (W,1); for i = 1 :n l(i)=W(1,i); z(i)=1; end i=1; while i<=n for j =1 :n
• if l(i)>l(j)+W(j,i) l(i)=l(j)+W(j,i); z(i)=j; if j<i i=j-1; end
实验目的 实验内容
1、了解最短路的算法及其应用 2、会用Matlab软件求最短路
1、图 论 的 基 本 概 念
2、最 短 路 问 题 及 其 算 法
3、最 短 路 的 应 用 4、实验作业
固定起点的最短路
最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路． 假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其 余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．
然后用同样的方法再分头查找．若：
（１）向点
i
追朔得：
r ( ip1
)
p2
,
r ( ip2
)
p3
,…,
r ( ipk
)
pk
（２）向点
j
追朔得：
r ( ) p1 j
q1
,
r ( ) q1 j
q2
,…,
r ( qm
) j
j
则由点i到j的最短路的路径为： i, pk , , p2, p1,q1, q2, , qm , j
end end i=i+1; end
floyd算法的基本思想
直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法
依次构造出 个矩阵 D(1)、 D(2)、… 、D( )，使最 后得到的矩阵 D( )成为图的距离矩阵，同时也求出
插入点矩阵以便得到两点间的最短路径．
算法原理—— 求距离矩阵的方法
把带权邻接矩阵 W 作为距离矩阵的初值，即 D(0)= (di(j0) ) =W
用上述算法求出的 l(v) 就是 u0 到 v 的最短路的权，从 v 的父亲标记 z(v) 追溯到 u0 , 就得到 u0 到 v 的最短路的路线.
例 求下图从顶点 u1 到其余顶点的最短路．
先写出带权邻接矩阵：
0
2 0
1
8 6
1
0
7
9
W
0 5 1 2 0 3 9
0 4 6
对所有 i,j，若 d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)，则 d(i,j) d(i,k)+d(k,j), r(i,j) k
0
3 0
因 G 是无向图，故 W 是对称阵．
迭代 次数
１ 2 3 4 5 6 7 8
l(ui )
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8
０
0 ２ １ ８
2
8
10
8
3
10
8
6 10 12
7 10 12
k rij(k 1)
若d
(k ij
1)
d (k 1) ik
d
(k kj
1)
否则
即当vk被插入任何两点间的最短 路径时，被记录在R(k)中，依次 求D( )时求得R( ) ，可由R( )来查找 任何点对之间最短路的路径．
算法原理—— 查找最短路路径的方法
若 rij( ) p1，则点 p1 是点 i 到点 j 的最短路的中间点.
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
Dijkstra 算法：求 G 中从顶点 u0 到其余顶点的最短路 设 G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负．
对每个顶点，定义两个标记（ l(v) ， z(v) ），其中: l(v) ：表从顶点 u0 到 v 的一条路的权． z(v) ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线