绝对值、相反数、倒数的性质及应用

绝对值、相反数、倒数的性质及应用
一、【知识大串联】
1．相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义，规定零的相反数是零；
2．互为相反数指的是一对数，甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数，乙也是甲的相反数；
3．相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。

4．多重符号化简的依据就是相反数的意义，化简的结果是由“－”号的个数来决定的，简称：奇负偶正。

5．什么是一个数的绝对值呢？从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。

注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。

6．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

7．两个负数，绝对值大的反而小。

8．绝对值的性质：
（1）若a为有理数，则︱a︱≥0.
（2）绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等。

（3）若︱a︱=a，则a≥0.
（4）若︱a︱+︱b︱+︱c︱+︱d︱+…+︱m︱=0，则︱a︱=0︱b︱=0,︱c︱=0,︱d︱
=0,…,︱m︱=0, 即a=0,b=0,c=0,d=0,…,m=0.
（5）最小的绝对值为0，但无最大的绝对值。

9．相反数的性质：若a、b互为相反数，则a+b=0.
10．倒数的性质：若a、b互为倒数，则ab=1.
【精练】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd+1= .
解：因为a、b互为相反数，c、d互为倒数
所以a+b=0，cd=1 所以a+b+cd+1=0+1+1=2
二、【典例分析】
1．利用概念
例1.5的相反数是（) A. －5 B. 5 C. D.
解析:根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，易知本题选A
例2.绝对值为4的实数是 A. ±4 B. 4 C. －4 D. 2
解析:求绝对值等于4的数用绝对值几何定义比较直观，绝对值等于4的整数即在数轴上到原点距离等于4的整数点表示的数，故本题选A
2．用性质特征
3．例3.－2的绝对值是（）A．2 B．－2 C．±2 D．
解析:由绝对值的特征：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 所以－2的绝对值是2
例4.若a与2 互为相反数，则|a+2|等于（) A. 0 B. －2 C.2 D. 4 解析:由相反数的特征若a、b两数互为相反数，则a＋b＝0，反之也成立.可知a+2=0，再由绝对值的特征可得本题选A
例5若a、b、c都是负数，且︱x-a︱+︱y-b︱+︱z-c︱=0，则xyz是（）
A 负数
B 非负数
C 正数D非正数
解：由绝对值性质，得：x-a=0,y-b=0,z-c=0 所以x=a,y=b,z=c 因为a＜0,b＜0,c＜0 所以xyz=abc＜0 即xyz为负数，故选A。

例6已知a的绝对值是它自身；b的相反数是它自身；c的倒数是它自身，则结果不唯一的是（）。

A ab B ac C bc D abc
解：已知a的绝对值是它自身，则a为非负数；b的相反数是它自身，则b=0；c的倒数是它自身，则c= ±1，ab=0,bc=0,abc=0, 都是唯一的，故选B。

例7若︱a-3︱-3+a=0，则a的取值范围是（）A a ≤3 B a ＞3 C a≥3 D a＞3 解：因为︱a-3︱-3+a=0 所以︱a-3︱=3-a
因为a-3与3-a互为相反数所以a-3≤0,即a≤3,故选A.
3．解决实际问题
例8 质检员抽查某种零件的长度，超过规定长度的记为正数，不足规定长度的记为负数.检查结果如下：第一个为0.13毫米，第二个为－0.2毫米，第三个为－0.1毫米，第四个为0.15毫米，则长度最小的零件是第几个？哪一个零件与规定长度的误差最小？
解析: ∵|－0.2|＞|0.15|＞|0.13|＞|－0.1|
∴长度最小的是第二个，与规定长度的误差最小的是第三个.
三、【考题警示】
1．整体代换
例9. 若|a－2|＝2－a，求a的取值范围。

解析:根据已知条件等式的结构特征，我们把a－2看作一个整体，那么原式变形为|a－2|＝－（a－2)，又由绝对值概念知a－2≤0，故a的取值范围是a≤2。

2．数形结合
※例10.（全国初中数竞学赛试题)设x是实数，y＝|x－1|+|x+1|。

下列四个结论：
A 、y没有最小值；B、只有一个x使y取到最小值；
C、有有限多个x（不只一个)使y取到最小值；
D 、有无穷多个x使y取到最小值。

其中正确的是[ ]。

解析:我们知道，|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离。

类似地可知，|x－a|的几何意义是表示数轴上点x到点a的距离。

一些有关绝对值的竞赛题，利用上述绝对值的几何意义，借助数形结合，常常会得到妙解。

原问题可转化为求x取那些值时，数轴上点x 到点1与点－1的距离之和为最小。

从数轴上可知，区间[－1，1]上的任一点x到点1与点－1的距离之和均为2；区间[－1，1] 之外的点x 到点1与点－1的距离之和均大于2。

所以函数y＝|x－1|+|x+1|当－1≤x≤1时，取得最小值2。

故选（D)。

3．分类
例11.已知|x|＝3，|y|＝2，且xy＜0，则x＋y的值等于（）
A．5或－5 B．1或－1 C．5或1 D．－5或－1
解析:|x|＝3，|y|＝2，所以x＝±3，y＝±2，又因为xy＜0，x、y异号。

所以有两种情况：（1）当x＝3，y＝－2时，x＋y＝1。

（2）当x＝－3，y＝2时x＋y＝－1。

故选B。