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二次函数动点问题拔高题-教师版学生版(含答案)

二次函数专题—动点问题一、因动点而产生的面积问题例1：如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y 轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：(2) 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.解析考点：二次函数综合题．专题：压轴题；探究型．分析：（1）可任选三组坐标，用待定系数法即可求出抛物线P的解析式．然后根据抛物线P的解析式即可得出A、B、C三点的坐标；（2）求矩形的面积需知道矩形的长和宽，可先在直角三角形AOC中，根据AD，OA，DG，CD的比例关系式，用m表示出DG的长，同理可在直角三角形BCO中表示出OE的长，进而可根据ED=EO+OD得出ED的长，然后由矩形的面积公式即可得出S与m的函数关系式；（3）根据（2）的函数关系式即可得出S的最大值及对应的m的值．进而可得出D，E，F，G的坐标．如果设DF的延长线交抛物线于N点，那么可先求出FN与DF的比例关系．如果过N作x轴的垂线设垂足为H，那么我们可得出EF：DF=DF：DN，而EF，DF均为F，N点的纵坐标的绝对值，因此要先求出N点的纵坐标，可先根据D、F的坐标求出直线DF的解析式，然后联立直线DF的解析式与抛物线P的解析式求出N点的坐标，然后根据上述比例关系求出FN、DF 的比例关系，如果求出此时FN=k1DF，那么由于M不在抛物线上，因此k的取值范围就是k＞0，且k ≠k1．若选（2）可参照上面（2）的求解过程进行计算．解答：解：（1）解法一：设y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三组值代入，4a−2b+c＝−4 a+b+c＝−5 2 4a+2b+c＝0 ，解得a＝1 2 b＝1 c＝−4 ，∴解析式为y＝1 2 x2+x−4，令y=0，求出x1=-4，x2=2；令x=0，得y=-4，∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．（2）由题意，AD AO ＝DG OC ，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，又BE BO ＝EF OC ，EF=DG，得BE=4-2m，∴DE=3m，∴SDEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m2（0＜m＜2）．图10注：也可通过解Rt △BOC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解．（3）∵SDEFG=-6m2+12m=-6（m-1）2+6，（0＜m ＜2）， ∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D （1，0），G （1，-2），F （-2，-2），E （-2，0），设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k=2 3 ，b=-2 3 ， ∴y ＝2 3 x −2 3 ，又可求得抛物线P 的解析式为：y ＝1 2 x2+x −4，令2 3 x −2 3 =1 2 x2+x −4，可求出x=−1± 61 3 ．设射线DF 与抛物线P 相交于点N ，则N 的横坐标为−1− 61 3 ，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有FN DF ＝HE DE =−2−−1− 61 3 3 =−5+ 61 9 ，点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是 k ≠−5+ 61 9 且k ＞0．若选择另一问题：（2）∵AD AO ＝DG OC ，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，又∵FG AB ＝CP OC ，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3， ∴SDEFG=DG •FG=6．二、因动点而产生的等腰三角形问题例2：如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．分析：（1（2）令x=0，可求出C 点坐标，由BC∥x 轴可知B ，C 点坐标，根据AC=BC 可求出A 点坐标．（3）分三种情况讨论：①以AB 为腰且顶角为∠A，先求出AB 的值，的长，即可求出P 1的坐标；②以AB 为腰且顶角为角B ，根据MN 的长和MP 2的长，求出P 2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；③以AB为底，顶角为角P时，依据Rt△P3C K∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3坐标解答：解：（1）抛物线的对称轴x=-−5a 2a =5 2 ；（2分）（2）由抛物线y=ax2-5ax+4可知C（0，4），对称轴x=-−5a 2a =5 2 ，∴BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，∴A（-3，0）B（5，4）C（0，4）（5分）把点A坐标代入y=ax2-5ax+4中，解得a=-1 6 ，（6）∴y=−1 6 x2+5 6 x+4．（7分）（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．过点B作BQ⊥x轴于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=5 2 ．①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80（8分）在Rt△ANP1中，P1N= AP12−AN2 = AB2−AN2 = 80−(5.5)2 = 199 2 ，∴P1（5 2 ，- 199 2 ）．（9分）②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．在Rt△BMP2中MP2= BP 22 −BM2 = AB2−BM2= 80−25 4= 295 2 ，（10分）∴P2=（5 2 ，8−295 2 ）．（11分）③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，∵∠CP3K=∠ABQ，∠CKP3=∠AQB，∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ．∴P3K CK =BQ AQ =1 2 ．∵P3K=2.5∴CK=5于是OK=1，（13分）∴P3（2.5，-1）．（14分点评：此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性．三、因动点而产生的直角三角形问题例3：如图12，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P连结MQ．（1）点（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．分析：（1）（BC÷点N的运动速度）与（OA÷点M的运动速度）可知点M能到达终点．（2）经过t秒时可得NB=y，OM-2t．根据∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值．（3）本题分两种情况讨论（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高；若∠QMA=90°，QM与QP重合）求出t值．解答：解：（1）点M．（1分）（2）经过t秒时，NB=t，OM=2t，则CN=3-t，AM=4-2t，∵A（4，0），C（0，4），∴AO=CO=4，∵∠AOC=90°，∴∠BCA=∠MAQ=45°，∴QN=CN=3-t∴PQ=1+t，（2分）∴S△AMQ=1 2 AM•PQ=1 2 （4-2t）（1+t）=-t2+t+2．（3分）∴S=-t2+t+2=-t2+t-1 4 +1 4 +2=-（t-1 2 ）2+9 4 ，（5分）∵0≤t≤2∴当t＝1 2 时，S的值最大．（6分）（3）存在．（7分）设经过t秒时，NB=t，OM=2t则CN=3-t，AM=4-2t∴∠BCA=∠MAQ=45°（8分）①若∠AQM=90°，则PQ 是等腰Rt △MQA 底边MA 上的高 ∴PQ 是底边MA 的中线 ∴PQ=AP=1 2 MA ∴1+t=1 2 （4-2t ） ∴t=1 2∴点M 的坐标为（1，0）（10分） ②若∠QMA=90°，此时QM 与QP 重合 ∴QM=QP=MA ∴1+t=4-2t ∴t=1∴点M 的坐标为（2，0）．（12分）点评：本题考查的是二次函数的有关知识，考生还需注意的是要学会全面分析问题的可行性继而解答．四、因动点而产生的相似形问题例4：设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．分析：（1）根据抛物线的解析式可知C 点坐标为（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根据射影定理OC 2=OA•OB，可求出OB 的长，进而可求出B 点的坐标，也就求出了m 的值，然后将A 、B 的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．（2）可先根据抛物线的解析式和直线AE 的解析式求出E 点和D 点的坐标，经过求解不难得出∠FAB=∠DBO=45°，因此本题要分两种情况进行讨论： ①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根据对应的相似三角形得出的成比例线段求出OP 的长，进而可求出P 点的坐标．解答：解：（1）令x=0，得y=-2， ∴C （0，-2），∵∠ACB=90°，CO ⊥AB ， ∴△AOC ∽△COB ， ∴OA •OB=OC2，∴OB=OC2 OA ＝22 1 ＝4， ∴m=4，将A （-1，0），B （4，0）代入y=ax2+bx-2，得 a ＝1 2 b ＝−3 2 ，∴抛物线的解析式为y=1 2 x2-3 2 x-2．（2）D （1，n ）代入y=1 2 x2-3 2 x-2，得n=-3，∴D （1，-3）．解方程组 y ＝1 2 x2−3 2 x −2 y ＝x+1 ，得 x1＝−1 y1＝0 x2＝6 y2＝7 ． ∴E （6，7）．过E 作EH ⊥x 轴于H ，则H （6，0）． ∴AH=EH=7， ∴∠EAH=45°．过D 作DF ⊥x 轴于F ，则F （1，0）． ∴BF=DF=3， ∴∠DBF=45°，∴∠EAH=∠DBF=45°， ∴∠DBH=135°，∵90°＜∠EBA ＜135°，则点P 只能在点B 的左侧，有以下两种情况： ①若△DBP1∽△EAB ，则 BP1 AB ＝BD AE ， ∴BP1=AB •BD AE =5×3 2 7 2 =15 7 ， ∴OP1=4-15 7 =13 7 ， ∴P1（ 13 7 ，0）．②若△DBP2∽△BAE ，则 BP2 AE ＝BD AB ， ∴BP2=AE •BD AB =7 2 ×3 2 5 =42 5 ， ∴OP2=42 5 -4=22 5 ， ∴P2（-22 5 ，0）．综合①、②，得点P 的坐标为：P1（ 13 7 ，0）或P2（-22 5 ，0）．点评：本题考查二次函数解析式的确定、函数图象交点、三角形相似以及综合应用知识、解决问题的能力．本题是一道应用能力较强的题，比较好．五、因动点而产生的平行四边问题例5：如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．分析：（1）可先求出A 、B 、E 关于原点对称的对称点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）根据中心对称图形的性质不难得出OA=OD ，OM=ON ，因此四边形AMDN 是平行四边形，那么其面积就是三角形ADN 面积的2倍，可据此来求S ，t 的函数关系式．（3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可得出S 的最大值及对应的t 的值．（4）根据矩形的性质可知：当AD=MN 时，平行四边形AMDN 是矩形，那么OD=ON ，据此可求出t 的值解答：解：（1）点A （-4，0），点B （-2，0），点E （0，8）关于原点的对称点分别为D （4，0），C （2，0），F （0，-8）．设抛物线C2的解析式是y=ax2+bx+c （a ≠0），则 16a+4b+c ＝0 4a+2b+c ＝0 c ＝−8 ，解得 a ＝−1 b ＝6 c ＝−8 ，所以所求抛物线的解析式是y=-x2+6x-8．（2）由（1）可计算得点M （-3，-1），N （3，1）．过点N 作NH ⊥AD ，垂足为H ．当运动到时刻t 时，AD=2OD=8-2t ，NH=1+2t ．根据中心对称的性质OA=OD ，OM=ON ，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以S=2S △ADN ．所以，四边形MDNA 的面积S=（8-2t ）（1+2t ）=-4t2+14t+8．因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知0≤t ＜4．所以所求关系式是S=-4t2+14t+8，t 的取值范围是0≤t ＜4．（3）S=-4（t-7 4 ）2+81 4 ，（0≤t ＜4）．所以t ＝7 4 时，S 有最大值81 4 ．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD ，MN ，所以当AD=MN 时四边形MDNA 是矩形，所以OD=ON ．所以OD2=ON2=OH2+NH2，所以t2+4t-2=0．解之得t1= 6 -2，t2=- 6 -2（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时t= 6 -2．点评：本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高．六、因动点而产生的梯形问题例6：已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。

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（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论：11、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，这样的 C 点你能找到个2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1.（1）求P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线C2与抛物线C1关于x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q 旋转180 后得到抛物线C,4，抛物线 C,4的顶点为N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标。

（2013 汇编 P56+P147）3、如图，矩形A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的．O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)．(1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边C’O’所在直线的解析式．练习（ 09 成都 28）已知抛物线与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点C，其顶点为 M ，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3 ，与 x 轴的交点为N，且cos∠BCO ＝(3 √ (10) /10)．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N 、 P、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度5 ?4A 二、4321N2 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18123P4M56等腰三角形分类讨论1、如图，已知 Rt Rt ABC , ACB 90 , BAC 30 , 在直线BC或直线AC上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个2 A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数 y x2、①，在平面直角坐标系中，点的图象记为抛物线l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2 的函数表达式．（3）设抛物线l2 △△，求点 K 的坐标．的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若S ABK SABC（ 4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．yyyl 2l 1l 2AAA1B1CBx1BO xOO 111图①图②图③解：（ 1 ）有多种答案，符合条件即可．例如yx 2 1， y x 2 x ， y( x 1)22 或y x 2 2x 3 ， y (x2 1)2 ， y (x 12) 2 ．（2）设抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2bxc ，yl 2Q 点 A(12)，， B(31)，在抛物线 l 2 上，KGA1 b c ，b9 ，2 29 3b c 解得111c.抛物线 l 2 的函数表达式为y x 2 9 x 11 ．2 29 x 119 27 ，9，7（3） yx 2 xC 点的坐标为．2 2 4 164 16 过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ，F ，则 AD 2 ， CF7 ， BE1， DE5 ， FE316 2 ， DF．44 S △ ABCS 梯形ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB1(2 1) 2 1 2 75 1 1 73 15 ．2 2 164 2 164 16延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，2 m ，m1 ，Q 点 A(12)，， B(31)，在直线 AB 上， n21 3m 解得5n.n.2直线 AB 的函数表达式为 y1x 5 G 点的坐标为52 ．0，．22BCO D F E图②设 K 点坐标为(0，h)，分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则KG h 5 ．连结AK ，BK ．2S△ABK S△BKG S△AKG 1 3 h 5 1 1 h 5 h 5 ．2 2 2 2 2Q S△ABK15 5 15，解得 h55K 点的坐标为55 S△ABC ，h16 16．0，．16 2 16若 K 点位于 G 点的下方，则KG 5h ．同理可得， h25．2 16 yK 点的坐标为25．l 2 0，16 A（4）作图痕迹如图③所示． B由图③可知，点P 共有3个可能的位置．O图③2、如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，y点 A 、 C 的坐标分别为A(10 ， 0)、 C（ 0,4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在PCBC 边上运动，当是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为O D 3、在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点 O，以 O 为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，且AC=12 ，BD=16 ，E 为 AD 的中点，点 P 在线段 BD 上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P 的坐标为三、最值问题 B类型一：两点之间线段最短 C 1、请写出2m 3 2 1 8 2m 2 4 的最小值为 A2、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，对角线BD 上60 ，得到BN，连EN任一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转EN、 AM 、CM ，求证：（ 1）AMB ENB ，(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN 最小值为3 1 时，求正方形的边长（2012 汇编P52+P137） B xBxAyAExDDMC3、（ 2010 年天津 25）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3 ，OB=4 ，D 为边 OB 的中点。

初三数学二次函数拔高题及答案

二次函数试题一;选择题：1、 y =（m-2）x m2-m 是关于x 的二次函数，贝U m=（）A-1B2C-1或2 Dm 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）模型的是（） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系我国人中自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系圆的周长与半径之间的关系的解析式是（B y=—(x+2) 2+2C y=—x+2) 2+25、抛物线y=1X 2-6X +242 B (— 6, 6) A (— 6,— 6) 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示, ① abc 〈0 ② a + c 〈bA 1B 27、函数 y=ax 2-bx+c b a c C (a ^ 0) cA -1 C (6, 6) ③ a+b+c > 0 ④ 3 D 4 的图象过点（-1 , 0），则 a b 1 C - 2y= ax+c 与二次函数的值是（ 12y=ax_+bx+c (a * 0), 8、已知一次函数它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=- x 2,则抛物线 A y=—(x-2) 2+22 217、抛物线y= ( k+1) x +k -9开口向下，且经过原点，则k = ----------解答题：(二次函数与三角形)391、已知：二次函数y=_x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点(2,-—)•44AMC (1)求此二次函数的解析式.(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧)，请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点己，使厶EBC的面积最大, 并求出最大面积.2、如图，在平面直角坐标系中, 抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与轴交于点C (0, 4),顶点为( 1, ! )•(1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标.(3)若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，分别连接AC、BC,过点作EF // AC交线段BC于点F，连接CE,记厶CEF的面积为S, S是否存在最大值?若存在，求岀S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.4 23、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= 3X + bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积；(3) 作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N •问在x轴上是否存在点P,使得厶PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由.1 27(二次函数与四边形) 4、已知抛物线y =-x2_mx • 2m __ .2 2(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；⑵如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C,直线y=x- 1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D .①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.5、如图，抛物线y= mx2- 11mx + 24m (m v 0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线另有一点A在第一象限内，且 / BAC=90°.(1)填空：OB = _ ▲，OC = _ ▲;(2)连接OA,将厶OAC沿x轴翻折后得△ ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；(3)如图2,设垂直于x轴的直线I: x= n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线I沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形N的面积取得最大值，并求出这个最大值.l: x= n学习资料收集于网络，仅供参考6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC // AD，/ BAD=90 ° , BC与y轴相交于点M，且M是BC 的中点，A、B、D三点的坐标分别是A ( _1，0 )，B ( _1，2 )，D (3, 0).连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线y =ax2亠bx亠C经过点D、M、N .(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值.27、已知抛物线y二ax -2ax -3a (a ::: 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点c,点D为抛物线的顶点.(1)求A、B的坐标；(2)过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；(3)在第(2)小题的条件下，直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F,则直线NF 上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求岀点M的坐标；若不存在，请说明理由.(二次函数与圆)8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c (a^0的图象经过M (1, 0)和N (3, 0)两点，且与y轴交于D (0, 3),学习资料学习资料收集于网络，仅供参考直线I是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.2) 若过点A (- 1 , 0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式.3) 点P在抛物线的对称轴上，。

二次函数综合试题及答案

二次函数综合试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = 3x^2 + 5C. y = 2x + 1D. y = -x^2 + 3答案：C2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为：A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)D. (b, -c)答案：C二、填空题1. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, -4)，则a的值为______。

答案：a > 02. 二次函数y = x^2 - 2x + 3的最小值为______。

答案：2三、解答题1. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求该函数与x轴的交点。

解：令y = 0，得到方程2x^2 - 4x + 3 = 0。

使用求根公式，得到x1 = (2 + √10) / 2，x2 = (2 - √10) / 2。

因此，与x轴的交点坐标为((2 + √10) / 2, 0)和((2 - √10) / 2, 0)。

2. 某抛物线经过点(1, 1)和(2, 4)，且对称轴为直线x = 2。

求该抛物线的解析式。

解：设抛物线解析式为y = a(x - 2)^2 + k。

将点(1, 1)代入，得到a(1 - 2)^2 + k = 1，即a + k = 1。

将点(2, 4)代入，得到a(2 - 2)^2 + k = 4，即k = 4。

解得a = -3，k = 4。

因此，抛物线的解析式为y = -3(x - 2)^2 + 4。

四、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000，其中x为生产数量。

求该工厂生产多少件产品时，成本最低。

解：成本函数C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000是一个开口向上的二次函数，其顶点即为成本最低点。

二次函数综合题经典40题(含知识点与答案解析)(可编辑修改word版)

2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷评卷人得分一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．6．如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．9．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN 的面积的2倍，求的值．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且过点（2，﹣3a）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，过点P作PM⊥BD，垂足为点M，PM＝2DM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，求△PMD的面积．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC 的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y＝ax2﹣6ax﹣10交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，抛物线l2与l1交于点A与C（4，m）．（1）求抛物线l1，l2的函数表达式；（2）当x的取值范围是时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线PQ∥y轴，分别交x轴，l1，l2于点D（n，0），P，Q，当≤n≤5时，求线段PQ的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．17．已知直线y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣4经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．19．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝4，直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上有一点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，请求出点Q到直线PN的距离．20．如图抛物线y＝ax2+2交x轴于点A（﹣2，0）、B，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿y轴正方向向上运动，运动的时间为t秒，当点P到达点B时，点Q也停止运动，设△PQC的面积为S，求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，设PQ交直线AC于点G，过P作PE⊥AC于点E，求EG的长．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．（1）求b、c的值．（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．23．已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于A（﹣4，0）、C（2，0）两点．与y轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点B的坐标和抛物线顶点坐标；（3）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．28．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；（3）点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，1），点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，求此时S的值及点E的坐标．30．如图1，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧）．与y轴交点C，与直线l：y＝x+1交于D、E两点，（1）当m＝1时，连接BC，求∠OBC的度数；（2）在（1）的条件下，连接DB、EB，是否存在抛物线在第四象限上一点P，使得S△DBE＝S△DPE？若存在，求出此时P点坐标及PB的长度；若不存在，请说明理由；（3）若以DE为直径的圆恰好与x轴相切，求此时m的值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＜0）交于A（﹣1，﹣1）、B两点，与y轴交于C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若y轴平分∠ACB，求k的值；（3）若在x轴上有且只有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．32．如图，已知点E在x轴上，⊙E交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，OB＝3OA＝3，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过A、B、C三点，顶点为M．（1）写出A、B两点的坐标A ，B ；（2）求二次函数的关系式；（3）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数关系式，和四边形ACPQ的面积的最大值．33．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．34．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上第一象限上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．35．如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．（1）求k，b的值；（2）点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；（3）在（2）中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，过点G1作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．38．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连结NF，求证：NF∥y轴．39．如图1，正方形ABCD的一边AB在x轴的正半轴上，⊙M是正方形ABCD的外接圆，连接OD，与⊙M相交于E点，连接BE与AD交于点F，已知AB＝4，（1）求证：△ODA≌△FBA；（2）如图2，当E是OD中点时，点G是过E、A、B的抛物线的顶点，连接AG，①求点E的坐标；②求证：AG是⊙M的切线．（3）如图3，连接CE，若ED+EA＝3，直接写出EC+EB的值．40．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C（1，2），且与直线y＝x交于点B（，）；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P 作PQ∥y轴交线段OB于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；（3）点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB 上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点（1，2），（2，5）坐标和对称轴为y轴三个条件，代入二次函数的表达式即可求解；（2）①将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，利用x2﹣x1＝＝＝3，即可求解；②分别求出S1、S2、S3，用韦达定理化简，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故：二次函数的表达式为：y＝x2+1；（2）①设过点E的一次函数表达式为：y＝kx+2，将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），则：x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，x2﹣x1＝＝＝3，解得：k＝，∴该一次函数表达式为：y＝x+2或y＝﹣x+2；②S1＝AC•OC＝﹣x1y1，S2＝CD•OE＝（x2﹣x1）＝k2+4，S3＝BD•OD＝x2y2，x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，则：S1•S2＝﹣x1x2[k2x1x2+2k（x1+x2）+4]＝（k2+4）＝4S2，∴t＝4．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查利用韦达定理处理复杂的数据，难度不大．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解；（2）利用△AMD∽△DMB，＝，即可求解；（3）分△ABC∽△APB、△ABC∽△PAB两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣k＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，则x＝﹣2或4，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），把点B坐标代入直线y＝﹣x+b得：﹣×4+b＝0，解得：b＝，∴直线BD的表达式为：y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），把点D的坐标代入抛物线表达式得：（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，k＝，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），则：DM＝﹣x+，BM＝4﹣x，AM＝﹣2﹣x，∵∠MDA＝∠ABD，∠AMD＝∠DMB，∴△AMD∽△DMB，∴＝，即：（﹣x+）2＝（4﹣x）（﹣2﹣x），解得：x＝﹣5或4（舍去x＝4），∴点D的坐标为（﹣5，3）；（3）由抛物线的表达式，令x＝0，则y＝﹣k，∴点C的坐标为（0，﹣k），OC＝k，①当△ABC∽△APB时，则∠BAC＝∠PAB，设点P的坐标为（x，y），过点P作PN⊥x轴交于点N，则ON＝x，PN＝y，tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝kx+k，把点P（x，）代入抛物线表达式并解得：x＝8或﹣2（舍去﹣2），故点P的坐标为（8，5k），∵△ABC∽△APB，∴AB2＝AC•AP，即：62＝，解得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝；②△ABC∽△PAB时，同理可得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝3，故：△ABC的面积为＝或3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等，（2）（3）的关键是通过相似确定线段间的比例关系．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；（3）设点P的坐标为（﹣1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况考虑，①当∠BCP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC＝90°时，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），∴点A的坐标为（1，0）．将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，∴AM＝BM．∵点B，C，M三点共线，∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．（3）设点P的坐标为（﹣1，m），∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．分三种情况考虑（如图2）：①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，解得：m＝4，∴点P的坐标为（﹣1，4）；②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，解得：m＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，整理得：m2﹣3m﹣2＝0，解得：m1＝，m2＝，∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数的对称性及三角形的三边关系，找出点M所在的位置；（3）分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况，找出关于m的方程．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据关联直线的定义可求；（2）由题意可得a＝2，c＝3，设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），可求AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．【解答】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，∴a＝2，c＝3，可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，∴解得∴抛物线y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1，（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，显然AB2＜BC2且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得，∵抛物线的顶点在第一象限∴a＞0，即【点评】本题是二次函数综合题，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①先解方程﹣x2+2x+3＝0得A点和B点坐标；然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标；②OD交y轴于E，如图2，通过证明Rt△OBE∽Rt△OCA，利用相似比得到OE＝OA＝1，则E（0，1），再利用待定系数法求出直线BE的解析式为y＝﹣x+1，然后解方程得D点坐标；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），所以PF＝﹣x2+3x，再证明∠BFK＝∠PFQ＝45°，所以PQ＝PF＝﹣x2+x，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）先解方程﹣x2+mt+m+1＝0得A（﹣1，0），B（m+1，0），延长BH交AM于G，如图3，证明Rt△BNH∽△MNA，则＝，设M（t，﹣t2+mt+m+1），则N（t，0），所以＝，然后根据分式的运算可得到HN＝1．【解答】解：（1）①当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），当y＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）；②OD交y轴于E，如图2，∵∠OBE＝∠ACO，∴Rt△OBE∽Rt△OCA，∴＝＝，∴OE＝OA＝1，∴E（0，1），设直线BE的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），E（0，1）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+1，解方程组得或﹣，∴D点坐标为（﹣，）；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），∴PF＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∵OB＝OC＝3，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠KBF＝45°，∴∠BFK＝∠PFQ＝45°，∴PQ＝PF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）HN的长度不变，它的长度为1．。

二次函数拔高题专项训练(含答案)

2020中考数学二次函数拔高题专项训练（含答案）例题1.（1）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分，图象过点(3,0)A -，对称轴为直线1x =-．给出四个结论：①0c >；②24b ac >；③2b a =-；④0a b c ++=，其中正确结论的序号是________________．（2）抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)-、1(,0)x ，112x <<，与y 轴正半轴交于(0,2)下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．正确的结论有__________（只填序号）．（3）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示．对称轴为1x =，图象过点A ，且930a b c ++=．以下结论：①0abc <；②420a b c -+<；③关于x 不等式220ax ax c -+->的解集：13x -<<；④3c a >-；⑤2(1)(1)0m a m b -+-≥（m 为任意实数）；⑥若点1(,)B m y ，2(2,)C m y -在此函数图象上，则12y y =．其中错误．．的结论是__________．【解析】（1）①②④；（2）①②③④；（3）③④⑤．例题2.（1）如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(2,0)，若抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是______________．（2）函数y ax b =+（其中a ，b 是整数）的图象与三条抛物线23y x =+，267y x x =++，245y x x =++分别有2、l 、0个交点，则(,)a b =_____________．【解析】（1）122k -＜＜；（2）(2,3)．例题3. 已知如图3-1，二次函数2344y ax ax =++的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左侧），过A 点的直线134y kx k k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭交该二次函数的图象于另一点11)(C x y ,，交y 轴于M ．（1）直接写出A 点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）设(1,2)P --，图3-2中连CP 交二次函数的图象于另一点22(,)E x y ，连AE 交y 轴于N ，请你探究OM ON ⋅的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．图3-1 图3-2【解析】（1）∵直线134y kx k k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭过点A ，∴0y =时，03kx k =+，解得：3x =-， ∴(3,0)A -，把点A 的坐标代入2344y ax ax =++，得391204a a -+=，解得：14a =，抛物线的解析式为21344y x x =++；（2）直线PC 解析式为2y ax a =+-，与抛物线21344y x x =++，联立消去y 得：24(1)1140x a x a --+-=，∴1244x x a +=-，12114x x a =-，法一：（表示出直线斜率） ∵1212A AOM ON y y OA OA x x x x ⋅=⋅-- 11221211(3)(+3)(1)(3)44(3)(3)x x x x x x +⨯++=++121(1)(1)16x x =++ 11(114441)162a a =-+-+=， ∴21922OM ON OA ⋅==．法二：（韦达定理表示，此法更容易想到，推荐学生掌握！）直线PC 解析式为2y ax a =+-，与抛物线21344y x x =++，联立消去y 得：24(1)1140x a x a --+-=， ∴1244x x a +=-，12114x x a =-，∵直线11(3)3:A x C yy x =++，∴点M 为1133y x +，即：1133y OM x =+，∵直线22:(3)3yAE y x x =++，∴点N 为2233y x +，即：2233y OM x =+，∴12123333y y OM ON x x ⋅=⋅++， ∴将1244x x a +=-，12114x x a =-代入，求得92OM ON ⋅=．例题4.（1）若实数x ，y 满足条件22260x x y -+=，则222x y x ++的最大值是__________．（2）二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值4-，则a 的值为__________．【解析】（1）15，；（2）5．例题5.（1）关于x的方程()())x m n x m n --=<的两根为1x 、212()x x x <，则关于实数1x 、2x 、m 、n 的大小关系的判断中，正确的是（） A ．12x m n x <<< B ．12x m x n <<< C ．12m x x n <<<D ．12m x n x <<<（2）函数2|23|y x x =+-图象的草图如图所示，则关于x 的方程2|23|x x a +-=（a 为常数）的根的情况，描述错误．．的是（） A ．方程可能没有实数根B ．方程可能有三个互不相等的实数根C ．若方程只有两个实数根，则a 的取值范围为：0a =D ．若方程有四个实数根，记为1x 、2x 、3x 、4x ，则12344x x x x +++=-（3）关于x 的方程2(2)90ax a x a +++=，有两个不相等的实数根1x 、2x ，且121x x <<，那么实数a 的取值范围是（）A ．211a <-B ．2275a -<<C ．25a >D ．2011a -<<【解析】（1）A ；（2）C ；（3）D ，区间根问题，令2()(2)9f x ax a x a =+++，由题意可知>0∆，2275a -<<，①当0a >时开口向上，(1)0f <，解得无解；②当0a <时开口向下，(1)0f >，2011a -<<．例题6. 如图，抛物线的顶点A 的坐标(0,2)，对称轴为y 轴，且经过点(4,4)-．（1）求抛物线的表达式．（2）若点B 的坐标为(0,4)，P 为抛物线上一点（如图），过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连接PB ．求证：PQ PB =．（3）若点(2,4)C -，利用（2）的结论.判断抛物线上是否存在一点K ，使K B C △的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设抛物线表达式为：22y ax =+，又抛物线经过点(4,4)-，∴24(4)2a =⋅-+，∴18a =， ∴抛物线表达式为：2128y x =+．（2）证明：过点B 作BD PQ ⊥于点D ，∵点P 在2128y x =+，故设点P 的坐标为21,28m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(0)m <∴2128PQ m =+， ∴点D 的坐标为(,4)m ∴||DB m m ==∴，∴在中，，又，∴．（3）过点C 作轴点E ，交抛物线于点K ，连结KB ，PC ，CQ ，则的周长，又∵，(2,4)C -， ∴，点的坐标为，对于抛物线上不同于点的点，总有的周，又，∴，221124288PD m m =+-=-Rt PDB△2128PB m =+2128PQ m =+PQ PB =CE x ⊥KBC △l KC CB KB =++KB KE =426l CE CB =+=+=K 522⎛⎫- ⎪⎝⎭，K P PCB △l PC PB CB =++′PB PQ =61l PC PQ CB CQ BC CE BC =++>+>+==′∴抛物线上存在点52,2K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使的周长最小，最小值为6．例题7. 如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？（2）(F -；如图，动点M 运动的路径为折线AF FG +，运动时间为12t AF DF AF FG =+=+，所以由垂线段最短可知，AF FG +的长度最小为DK 与x轴之间的垂线段，即AH ，而AH 与抛物线的交点即为所求的F 点，所以(2,F -．KBC △（1）对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220162016A B A B A B +++…的值是______________．（2）已知实数x 、y 满足2245x x y -+=，则2x y +的最大值为_________．【解析】（1）20162017；（2）92．例题9.（1）若m ，n ()m n <是关于x 的方程2()()0x a x b ---=的两个根，且a b <，则a ，b ，m ，n 的大小关系是（）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b <<<（2）若方程2|43|x x m -+=有两个相异的实数解，则m 的取值范围是_____________．（3）已知关于x 的方程2230x x m -+=的一根大于2-且小于1-，另一根大于2且小于3，求m 的取值范围为______________．【解析】（1）A ；（2）0m =或1m >；（3）95m -<<-，由题意得到开口向上，令2()23f x x x m =-+， (2)0f ->，(1)0f -<，(2)0f <，(3)0f >，解得95m -<<-．（1）二次函数223y x =的图像如图所示，点0A 位于坐标原点，1A ，2A ，3A ，…，2012A 在y 轴的正半轴上，1B ，2B ，3B ，…，2012B 在函数223y x =第一象限的图像上，若011A B A △，122A B A △，233A B A △，…，201120122012A B A △都为等边三角形，则201120122012A B A △的边长为____________．（2）已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<；（2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①0a <；②0a b c -+<；③0c >；④20a b ->；⑤124b a -<．【解析】（1）2012；（2）①②③⑤．例题11.已知抛物线2111:12C y x x =-+，点(1,1)F ，（1）若抛物线1C 与y 轴的交点为A ．连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF+=；（2）抛物线1C 上任意一点()P P P x y ,(01)P x <<，连接PF ，并延长交抛物线1C 于点()Q Q Q x y ,，试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由．【解析】（1）根据题意，可得点(0,1)A ，∵(1,1)F ，∴AB//x ，B 轴．得1AF BF ==，112AF BF+=；（2）112PF QF +=成立．设过点F 的直线:l y kx b =+，则有11k b =⋅+，即1b k =-，于是:1l y kx k =+-，由21112y kx k y x x =+-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得2222(1)10y k y k -+++=，此时方程有两个根p y 、q y ，由根系关系定理，112p q p q p qy y y y y y ++==⋅．例题12. 已知抛物线21y ax bx =++经过点(1,3)A 和点(2,1)B ．（1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；（3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE试确定点F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）【解析】（1）由题意：311421a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得24a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2241y x x =-++．（2）点(1,3)A 关于y 轴的对称点A '的坐标是(1,3)-，点(2,1)B 关于x 轴的对称点B '的坐标是(2,1)-．由对称性可知AB BC CD DA AB B C CD DA AB A B ''''+++=+++≥+，由勾股定理可求AB ，5A B ''=．所以，四边形ABCD周长的最小值是5AB A B ''+= （3）确定F 点位置的方法：如图，过点E 作直线EG 使对称轴与直线EG 成45︒角，则EG 与对称轴的交点为所求的F 点．设对称轴与x 轴交于点H ，在Rt HEF △中，由1HE =，90FHE ∠=︒，45EFH ∠=︒，得1HF =．所以点F 的坐标是(1,1)．。

二次函数拔高测试题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】二次函数一．选择题（共10小题）1．二次函数y=（x+2）2﹣1的图象大致为（）A．B．C．D．10．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+1）2+4 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2+4 D．y=（x﹣1）2+2 2．已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3B．y≤3C．y＞3 D．y＜33．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．44．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．5．已知二次函数y=﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A ．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥1D．b≤16．（2014•德阳）已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5 B．2C．﹣2.5 D．﹣67．（2014•黔东南州）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A ．2012 B．2013 C．2014 D．20158．（2014•东营）若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2 9．（2014•河北）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为（）A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米二．填空题（共6小题）11．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c= ．13．二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）．14．）已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是．15．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．16．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是m．12．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．三．解答题（共4小题）19．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．20．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？23．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．附加题24．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+c经过点C（0，3），且与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．（1）求抛物线的解析式；（2）①试猜想PN与PM的数量关系，并说明理由；②在①的前提下，连结MN，设OM=m．△MPN的面积为S，求S的最大值．。

二次函数最经典综合提高题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题一、顶点、平移1、抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（）．(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3）2、若,,,,,123351A y B y C y 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y <<D.132y y y <<3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（）A ． B ．2C ．D ．4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )A ．y = (x − 2)2 + 1B ．y = (x + 2)2 + 1C ．y = (x − 2)2 − 3D ．y = (x + 2)2 − 35、将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x+8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ≤2D ．k ≤2且k ≠07、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3-=xC ．其最小值为1D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大 .二、a 、b 、c 与图象的关系 1、如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是 ( )A ．a ＋b =－ B ． a －b =－1 C ． b <2a D ． ac <02、已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A.图象关于直线x =1对称B.函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的最小值是－4C.－1和3是方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个根D.当x ＜1时，y 随x 的增大而增大3、如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。

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1、二次函数和等腰三角形：(2008 重庆 )已知：如图，抛物线y ax 22ax c( a0) 与y 轴交于点C（ 0，4），与x 轴交于点 A 、 B，点 A 的坐标为（ 4， 0）。

（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE∥ AC ，交 BC 于点 E，连接 CQ。

当△ CQE的面积最大时，求点Q 的坐标；（ 3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与直线AC 交于点 F，点 D 的坐标为（ 2， 0）。

问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

YCB O Q D A X28 题图2. 二次函数和矩形、等腰三角形：如图 19-1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在x轴的正半轴上，点 C 在y 轴的正半轴上，OA 5 ， OC 4 ．（ 1）在OC 边上取一点 D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点 E 处，求D， E 两点的坐标；（2）如图 19-2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒 1 个单位长度，设运动的时间为t秒（0 t 5），过P点作ED 的平行线交 AD 于点 M ，过点 M 作 AE 的平行线交 DE 于点 N ．求四边形 PMNE 的面积 S 与时间 t 之间的函数关系式；当 t 取何值时， S 有最大值？最大值是多少？（3）在（ 2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点 M 的坐标．y yC E C EBB ND D POxOMxA A图 5- 1图 5- 23、二次函数和梯形：（ 2009 临沂）如图，已知抛物线与 x 轴交于 A （－ 1， 0）、 B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于点C （ 0， 3）。

⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为 D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△ PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标 ; 若不存在，请说明理由;⑶若点 M 是抛物线上一点，以B、 C、 D、 M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

yDC MPA O Bx第 26 题图4、动态、二次函数、相似（2009年济南）如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC， AD3， DC5， AB42，∠ B45 ．动点M从 B 点出发沿线段BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从 C 点出发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC的长．（2）当MN∥AB时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．DNCBM5、二次函数和平行四边形：如图，在平面直角坐标系xOy 中， O 为原点，点 A、 C 的坐标分别为（2， 0）、（ 1，33 ）.将△ AOC 绕 AC 的中点旋转 180°，点 O 落到点 B 的位置，抛物线y ax 223x 经过点 A，点 D 是该抛物线的顶点.（1）求证：四边形 ABCO 是平行四边形；（2）求 a 的值并说明点 B 在抛物线上；（ 3）若点 P 是线段 OA 上一点，且∠APD= ∠OAB，B求点 P 的坐标；(4)若点 P 是 x 轴上一点，以 P、A、 D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标 .6、二次函数中的线段长最短问题：如图，抛物线y x22x 3 与x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点B 的左侧），与y轴相交于点 C ，顶点为D.（ 1）直接写出 A 、B、 C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（ 2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段BC上的一个动点，过点P作PF ∥ DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为m；①用含 m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF 的面积为 S ，求 S 与m的函数关系式.补充：四边形 PEDF 可能是等腰形吗？如果可能求m的值；如果不可能，请说明理由？1. 如图，已知抛物线y x2 1 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标 ;（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积 ;（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M作 MG x轴于点 G，使以 A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．2.如图 , 在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形 , ∠ACB=90, AC=BC, OA=1，OC=4，抛物线 y x2bx c 经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b, c的值；（2）点 E是直角三角形ABC斜边AB上一动点 ( 点A、B除外 ) ，过点E作x轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点 P，使△ EFP是以 EF为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由 .3. 如图 , 已知二次函数y x2bx c 的图象与x 轴交于、两点，与y 轴交于点，顶点A BP为 C （ 1，－ 2）.（ 1）求此函数的关系式；（ 2）作点 C 关于 x 轴的对称点 D ，顺次连接 A 、 C 、B 、D.若在抛物线上存在点 E ，使直线将四边形分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；PEABCD（ 3）在（ 2）的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得△ PEF 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点 F 的坐标及△ 的面积；若不存在，请说明理由 .PEF4 如图，已知抛物线y ax 2 bx c(a0) 的顶点坐标为Q 2, 1 ，且与 y 轴交于点C 0,3 ，与 x 轴交于、 B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点CA沿抛物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合），过点 P 作 PD ∥ y 轴，交 AC 于点 D ．(1) 求该抛物线的函数关系式； (2) 当△ ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标；(3) 在问题 (2) 的结论下，若点E 在 x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、 P 、 E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数和圆【例题 1 】(芜湖市)已知圆P的圆心在反比例函数y k (k 1) 图象上，并与x轴相x交于 A、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C(0， 1)．(1)求经过 A、B、C 三点的二次函数图象的解析式 ;(2)若二次函数图象的顶点为D，问当 k 为何值时，四边形 ADBP 为菱形．【例题 2 】湖南省韶关市 ) 25. 如图 6，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是矩形， OA=4，(AB=2，直线y 3D、 E。

设 M是 AB 的中点， P 是线段 DE上的动点 . x与坐标轴交于2（1）求 M、 D 两点的坐标；（2）当 P在什么位置时， PA=PB？求出此时 P 点的坐标；（3）过 P 作 PH⊥ BC，垂足为 H，当以 PM为直径的⊙ F 与 BC相切于点 N 时，求梯形 PMBH的面积 .yCH N BEFMPO D Ax图 6【例题 3 】(甘肃省白银等7 市新课程)28.在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A 的坐标为（ 2，0），⊙ A 与 x 轴交于 E、F 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，过点 C 作⊙ A 的切线 BC，交 x 轴于点 B．（1）求直线 CB 的解析式；（2）若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在直线 BC 上，与 x 轴的交点恰为点 E、 F ，求该抛物线的解析式；（3）试判断点 C 是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC 相似？直接写出两组这样的点．【例题 4 】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2+ bx－3 与 x 轴交于 A、B两点，与y轴交于C点，经过A B C三点的圆的圆心Mm、、（1，）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙ M的半径为 5 ．设⊙ M与 y 轴交于 D，抛物线的顶点为 E．（ 1）求 m的值及抛物线的解析式；（ 2）设∠ DBC=，∠ CBE=，求 sin （－）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△ BCE 相似？若存在，请指出点 P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例题 5 】（南充市） 25. 如图，点 M （4，0），以点 M 为圆心、 2 为半径的圆与 x 轴交于点 A 、B ．已知抛物线1 2轴交于点y x bx c 过点A和，与．6ByC（）求点 C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．1（）点 Q （，m ）在抛物线y 1 x 2 bxc 上，点 P 为此抛物线对称轴上一个动2 86点，求 PQ ＋PB 的最小值．（ 3） CE 是过点 C 的⊙ M 的切线，点 E 是切点，求 OE 所在直线的解析式．yAMxODBE【例题 6 】(山西省临汾市)26. 如图所示，在平面直角坐标系中， e M 经过原点 O ，且与 x 轴、 y 轴分别相交于A( 6，0)， B(0， 8) 两点．（1）请求出直线 AB 的函数表达式；（ 2）若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M ，顶点 C 在 e M 上，开口向下，且经过点 B ，求此抛物线的函数表达式；（ 3 ）设（ 2 ）中的抛物线交 x 轴于 D ， E 两点，在抛物线上是否存在点 P ，使得S △ PDE1S △ ABC ？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．15yCxA OEDMB。