勾股定理单元自检题检测
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一、选择题
1.如图,在RtΔABC 中,∠ACB =90°,AC =9,BC =12,AD 是∠BAC 的平分线,若点P ,Q 分别是AD 和AC 上的动点,则PC +PQ 的最小值是( )
A .245
B .365
C .12
D .15 2.△ABC 的三边分别为,,a b c ,下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有( ) ①222a c b -=;②2()()0a b a b c -++=;③ ∠A =∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3 ;⑤111,,345a b c =
==;⑥10,a = 24,b = 26c = A .2个 B .3个 C .4个
D .5个 3.如图,在ABC ∆中,,90︒=∠=AB AC BAC ,ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于
点D ,DE BC ⊥,垂足为E ,若CDE ∆的周长为6,则ABC ∆的面积为( ).
A .36
B .18
C .12
D .9
4.一艘渔船从港口A 沿北偏东60°方向航行至C 处时突然发生故障,在C 处等待救援.有一救援艇位于港口A 正东方向20(3﹣1)海里的B 处,接到求救信号后,立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C 处救援.则救援艇到达C 处所用的时间为( )
A 3
B .23小时
C 22 小时
D 232+ 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BD 是∠ABC 的平分线,交AC 于点D ,若CD=1,则AB 的长是( )
A .2
B . 23
C . 43
D .4
6.已知一个直角三角形的两边长分别为1和2,则第三边长是( )
A .3
B .3
C .5
D .3或5 7.以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是( ) A .a =3,b=4,c=6
B .a =1,b=2,c=3
C .a =5,b=6,c=8
D .a =3,b=2,c=5
8.如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,90D ︒∠=,4=AD ,3BC =.分别以点A ,
C 为圆心,大于
12
AC 长为半径作弧,两弧交于点E ,作射线BE 交AD 于点F ,交AC 于点O .若点O 是AC 的中点,则CD 的长为( )
A .22
B .4
C .3
D .10 9.下列各组数据,是三角形的三边长能构成直角三角形的是( )
A .2,3,4
B .4,5,6
C .2223,4,5
D .6,8,10 10.已知一个直角三角形的两边长分别为3和5,则第三边长是( )
A .5
B .4
C .34
D .4或34
二、填空题
11.如图,现有一长方体的实心木块,有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C '处,若长方体的长4cm AB =,宽2cm BC =,高1cm BB '=,则蚂蚁爬行的最短路径长是___________.
12.在△ABC 中,AB=15,AC=13,高AD=12,则ABC ∆的周长为_______________.
13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =7.5cm ,AC =4.5cm ,动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动,设运动的时间为t 秒,当△ABP 为等腰三角形时,t 的取值为_____.
14.如图,在Rt ABC ∆中,90ABC ∠=,DE 垂直平分AC ,垂足为F ,//AD BC ,且3AB =,4BC =,则AD 的长为______.
15.如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
16.如图,小正方形的边长为1,连接小正方形的三个格点可得△ABC ,则AC 边上的高的长度是_____________.
17.如图,Rt△ABC 中,∠BCA =90°,AB =5,AC =2,D 为斜边AB 上一动点(不与点A ,B 重合),DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,连接EF ,则EF 的最小值是_____.
18.如图,在△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,BD 是高,则点BD 的长为_____.
19.如图,在ABC 中,AB AC =,点D 在ABC 内,AD 平分BAC ∠,连结CD ,把ADC 沿CD 折叠,AC 落在CE 处,交AB 于F ,恰有CE AB ⊥.若10BC =,7AD =,则EF =__________.
20.已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______
三、解答题
21.定义:如图1,平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ,对于平面内任意一点M ,点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ,则称有序实数对(p ,q )是点M 的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”为(0,0)的点有1个,即点O .
(1)“距离坐标”为(1,0)的点有 个;
(2)如图2,若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时,点M 的“距离坐标”为(p ,q ),且∠BOD = 150︒,请写出p 、q 的关系式并证明;
(3)如图3,点M 的“距离坐标”为(1,3),且∠DOB = 30︒,求OM 的长.
22.如图1,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,D 为AC 边上一动点,且不与点A 点C 重合,连接BD 并延长,在BD 延长线上取一点E ,使AE =AB ,连接CE .
(1)若∠AED =20°,则∠DEC = 度;
(2)若∠AED =a ,试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系?并证明你的猜想; (3)如图2,过点A 作AF ⊥BE 于点F ,AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ,求证:EH 2+CH 2=2AE 2.
23.已知ABC ∆中,如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线.例如:如图1,Rt ABC ∆中,90A ︒∠=,20C ︒∠=,若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ,若20DBC ︒∠=,显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线.