【解析版】广东省汕尾市2013年高考数学二模试卷(理科)

2013年广东省汕尾市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2．（5分）（2013•汕尾二模）设全集U=R，A={x|x2+3x＞0}，B={x|lgx＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（）

3．（5分）（2013•汕尾二模）设向量，，则“x=2”是“∥”的（）

向量，若，所以∥．若∥，则

∥”

解：∵向量，，

∥．

∥，

，

∥”

4．（5分）（2013•汕尾二模）函数的定义域为（）

解：由题意知，即

5．（5分）（2013•汕尾二模）如图所示程序框图，输出结果是（）

6．（5分）（2013•汕尾二模）已知，函数y=a x﹣b x（a≠b）是奇函数，则函数y=log b x

解：因为=）

b=

x=

7．（5分）（2013•汕尾二模）一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧视图（左）视图为（）

B．

所以侧视图为：

8．（5分）（2013•汕尾二模）对于复数a、b、c、d，若集合S={a，b，c，d}具有性质：“对任意x，y∈S，都有xy∈S”，则当时，（cd）b的值是（）

本题利用直接求解法，先根据集合的性质结合题目中的条件：

解：由题意

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．必做题（9～13题）

9．（5分）（2013•汕尾二模）设，则g（g（0））=0．

10．（5分）（2013•汕尾二模）已知圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=25，则过M（0，1）的圆C的对称轴所在的直线方程为x+2y﹣2=0．

由直线方程的两点式得：

11．（5分）（2013•汕尾二模）已知某随机变量ζ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，则随机变量ζ的数

12．（5分）（2013•汕尾二模）不等式2|x|+|x﹣1|＜4的解集为．

，解得

综上不等式的解集为：

故答案为：

13．（5分）（2013•汕尾二模）如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

（1）每次只能移动一个金属片；

（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；

①f（3）=7；

②f（n）=2n﹣1．

14．（5分）（2013•汕尾二模）（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）距离的最小值为

．

的方程是：y+

d=

故答案为：

15．（2013•汕尾二模）已在点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，则∠ADF=45°．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（13分）（2013•汕尾二模）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点

．

（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；

（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．

﹣

终边经过点，所以，，

此时

17．（13分）（2013•汕尾二模）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛成绩记录如下：

甲：78 76 74 90 82

乙：90 70 75 85 80

（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；

（Ⅱ）从甲乙两人成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；

（Ⅲ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．

．

．

（Ⅲ）

=32

=50因为

18．（13分）（2013•汕尾二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．

（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

所成角的正弦值为．

=

BH=AH+AB=

CH=

PC=

所成角的正弦值为

19．（14分）（2013•汕尾二模）已知为平面内的两个定点，动点P满

足|PF1|+|PF2|=4，记点P的轨迹为曲线Γ．

（Ⅰ）求曲线Γ的方程；

（Ⅱ）判断原点O关于直线x+y﹣1=0的对称点R是否在曲线Γ包围的范围内？说明理由．

（注：点在曲线Γ包围的范围内是指点在曲线Γ上或点在曲线Γ包围的封闭图形的内部）

（Ⅲ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且．试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论．

质得

，解得

，代入

，在椭圆上，所以有：，

到两定点的距离之和为定值的轨迹是以

，所以

故所求方程为．

得：，解得

此时

由点关于直线的对称点的性质得：，解得即

交椭圆于

得：或即．

，代入并整理得：

+2n=

的坐标为．

因为

，在椭圆上，所以有：