计算方法模拟试题及答案

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计算方法模拟试题

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0⨯的误差限为（）。

A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3

1

)1(34)0(31)(2

0f f f dx x f ++≈

⎰的代数精确度为（）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 若实方阵A 满足（）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。

A. 0det ≠A

B. 某个0

det ≠k A

C. )1,1(0det -=≠n k A k Λ

D. ),,1(0det n k A k Λ=≠

4.已知⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=531221112A ，则=∞A （）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（）。

A. 1+k x

B. k k x x 11λ++

C. k x

D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分）

1. Λ14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为。

2. 已知近似值21,x x ，则=-∆)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵的一种变换方法。 5．改进欧拉法的公式为。

三、计算题（每小题12分，共60分） 1. 求矛盾方程组；

⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+=+2

42321

2121x x x x x x 的最小二乘解。 2．用列主元法解方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++4

26453426352321

321321x x x x x x x x x

3．已知方程组

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----131********x x x a a a a （1）写出雅可比法迭代公式；（2）证明2

（3）取1=a ，初始值T X )1,1,1()0(=，求出)1(X 。

4．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰

21

1

dx x

，并估计误差。 5．用切线法求方程 0134=+-x x 的最小正根。

（1）确定含根区间，检验切线法收敛条件（2）写出切线法迭代公式；（3）选初始值0x ，计算出1x 。

四、证明题（本题10分，每小题5分）

1．设1)(max ),(<'==**x x x φρφ

证明由Λ,1,0)(1==+n x x n n φ ，得到的序列{}n x 收敛于*x 。

1．B ． 2. C. 3. C. 4. D. 5. B 二、填空题（每小题3分，共15分）

⎨⎧-==++=+=+++++1,,1,0,...1,0),(),(2),(11101

1N n m y x f y x f h y y y x hf y y m n n n n n m n n n n n Λ. 三、计算题(每题12分，共60分)

1．解

22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ 6分由

x x 9分故该矛盾方程组的最小二乘解为14

⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110042204264422032104264426453426352 故得方程组的解为 ,1,1,1321==-=x x x 12分 3.

（1）雅可比法迭代公式为：

Λ,1,0)1(41)3(41)1(41)(2)1(3)

⎪⎨⎧+=++=+=+++m ax x ax ax x ax x m m m m m m m

5分（2）因为2

8分

（3）取1=a ，T X )1,1,1()0(=，计算得T X )4

≈++++≈⎰dx x 8分用2)(max ,2

)(,1)(,1)(232=''==''-='=

x f M x

x f x x f x x f 所以，96

1

412)(224=⨯≤

M f R 12分

5．（1）由于04375.0)5.0(,01)0(<-=>=f f 所以]5.0,0[*∈x 在区间]5.0,0[上,012)(,034)(,3≥=''<-='x x f x x f

则由条件,0)()(0≥''x f x f 取5.00=x ，切线法收敛。 4分（2）切线法迭代公式为： Λ,1,0,3

4133

4

1

=-+--=+n x x x x x n n n n n 8分（3）由,0)()(0≥''x f x f 取00=x ，用上迭代公式计算得3

1

1=x 12分证明题（每小题5分，共10分）

1.证明由Λ,1,0)(1==+n x x n n φ ，)(**=x x φ 两式相减，应用中值定理得

***1*1*)()()(x x x x x x x x x x n n n n n n n -≤≤-≤-'=-=---ρρξϕϕϕΛ