排列组合 古典概型—复习归纳(教师)
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1.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )
A .0.35
B .0.25
C .0.20
D .0.15
解析:∵20组随机数中恰有2个大于等于1且小于等于4的共有191、271、932、812、393五组,∴其概率为5
20
=0.25.
2.(2010·北京高考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为b ,则b >a 的概率是 ( )
A.45
B.3
5 C.25 D.15
解析:分别从两个集合中各取一个数,共有15种取法,其中满足b >a 的有3种取法,故所求事件的概率为P =315=1
5
.
3.先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具,在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6),骰子落地后朝上的点数分别为x ,y ,则log 2x y =1的概率为 ( )
A.16
B.536
C.112
D.12
解析:抛掷2枚骰子,共有6×6=36种情况,因为log 2x y =1,所以y =2x ,此时满足题意的数对(x ,y )共有(1,2)、(2,4)、(3,6)三种情况,所以概率P =
336=1
12
. 4.(2010·江苏高考)盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球.若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是________.
解析:设3只白球为A ,B ,C,1只黑球为d ,则从中随机摸出两只球的情形有:AB ,AC ,Ad ,BC ,Bd ,Cd 共6种,其中两只球颜色不同的有3种,故所求概率为1
2
.
5.学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为________.
解析:每人用餐有两种情况,故共有23=8种情况.他们在同一食堂用餐有2种情况,故他们在同一食堂用餐的概率为28=1
4
.
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是 的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和. 2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典模型. (1)试验中所有可能出现的基本事件 . (2)每个基本事件出现的可能性 . 3.古典概型的概率公式
一次试验中可能出现的结果有n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率为P(A)= .
考点一
简单古典概型的概率
有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两颗正
四面体玩具的试验:用(x ,y)表示结果,其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数,y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数. (1)写出试验的基本事件;
(2)求事件“出现点数之和大于3”的概率; (3)求事件“出现点数相等”的概率.
[自主解答] (1)这个试验的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个.
(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). 故P =1316
.
(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).故P =
416=14
.
某口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出2只球.
(1)共有多少个基本事件?
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少?
解:(1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件[摸到1,2号球用(1,2)表示]:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).
因此,共有10个基本事件.
(2)如图所示,上述10个基本事件的可能性相同,且只有3个基本事件是摸到2只白球(记
为事件A),即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A)=3 10.
(3)故共有10个基本事件,摸出2只球都是白球的概率为3 10.
考点二复杂的古典概型
(2011·苏北四市联考)如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道路网,其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达N,M处为止.
(1)求甲经过A2到达N处的方法有多少种;
(2)求甲、乙两人在A2处相遇的概率;
(3)求甲、乙两人相遇的概率.
[自主解答](1)甲经过A2,可分为两步:
第一步,甲从M到A2的方法有C13种;
第二步,甲从A2到N的方法有C13种.