排列组合 古典概型—复习归纳(教师)

1．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )

A ．0.35

B ．0.25

C ．0.20

D ．0.15

解析：∵20组随机数中恰有2个大于等于1且小于等于4的共有191、271、932、812、393五组，∴其概率为5

20

＝0.25.

2．(2010·北京高考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是 ( )

A.45

B.3

5 C.25 D.15

解析：分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b ＞a 的有3种取法，故所求事件的概率为P ＝315＝1

5

.

3．先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为 ( )

A.16

B.536

C.112

D.12

解析：抛掷2枚骰子，共有6×6＝36种情况，因为log 2x y ＝1，所以y ＝2x ，此时满足题意的数对(x ，y )共有(1,2)、(2,4)、(3,6)三种情况，所以概率P ＝

336＝1

12

. 4．(2010·江苏高考)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．

解析：设3只白球为A ，B ，C,1只黑球为d ，则从中随机摸出两只球的情形有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd 共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为1

2

.

5.学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．

解析：每人用餐有两种情况，故共有23＝8种情况．他们在同一食堂用餐有2种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为28＝1

4

.

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是 的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和． 2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型． (1)试验中所有可能出现的基本事件 ． (2)每个基本事件出现的可能性 ． 3．古典概型的概率公式

一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P(A)＝ .

考点一

简单古典概型的概率

有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正

四面体玩具的试验：用(x ，y)表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数． (1)写出试验的基本事件；

(2)求事件“出现点数之和大于3”的概率； (3)求事件“出现点数相等”的概率．

[自主解答] (1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．

(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． 故P ＝1316

.

(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．故P ＝

416＝14

.

某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．

(1)共有多少个基本事件？

(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？

解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件[摸到1,2号球用(1,2)表示]：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．

因此，共有10个基本事件．

(2)如图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记

为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝3 10.

(3)故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为3 10.

考点二复杂的古典概型

(2011·苏北四市联考)如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止．

(1)求甲经过A2到达N处的方法有多少种；

(2)求甲、乙两人在A2处相遇的概率；

(3)求甲、乙两人相遇的概率．

[自主解答](1)甲经过A2，可分为两步：

第一步，甲从M到A2的方法有C13种；

第二步，甲从A2到N的方法有C13种．