简单的排列组合问题
排列与组合典型问题及方法（含答案）
排列与组合典型问题及方法（含答案）排列与组合——四类典型问题一、摸球问题1、袋中装有6只黑球，4只白球，现从中任取4只球（1）正好2只黑球，2只白球的不同取法共多少种？90（2）至少有3只黑球的不同取法共有多少种？95（3）至多有1只黑球的不同取法共有多少种？252、从0，1，2，…，9这十个数字中任取五个不同数字（1）正好两个奇数，三个偶数的不同取法有多少种？100（2）至多有两个奇数的取法有多少种？126（3）取出的数中含5但不含3的取法有多少种？70二、排队问题1、某排共有七个座位，安排甲乙丙三人就坐（1）共有多少种不同就坐方法？210（2）三人相邻（即三个座位相连）的就坐方法有多少种？30（3）三人不相邻（任意两人中间都有空位）的就坐方法共多少种？602、袋中装有5只白球，6只黑球，依次取4只（1）每次取1只（取后不放回）则共有多少种不同取法？7920（2）每次取1只（取后放回）则共有多少种不同取法？14641（3）每次取1只（取后不放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？3600（4）每次取1只（取后放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？66553、由0,1,2,3,4,5,（1）可组成多少个无重复数字的不同三位偶数？52（2）可组成多少个不同的三位偶数（允许有重复数字）？90（3）可组成多少个能被5整除的三位数（允许有重复数字）？60三、分房问题（n个人生日问题、投信问题）1、10个人进入8个房间，共有多少种不同的进入方法？8102、从4名候选人中，评选出1名三好学生，1名优秀干部，1名先进团员，若允许1人同时得几个称号，则不同的评选方案共有多少种？43四、分组问题1、分配9个人去完成甲、乙、丙三项任务（1）甲任务需2人，乙任务需3人，丙任务需4人，则不同的选派方法共有多少种？C C C （2）甲任务需2人，乙任务需2人，丙任务需5人，则不同的选派方法共有多少种？225975（3）甲、乙、丙三项任务各需3人，则不同的选派方法共有多少种？2、将9个人以下列三种方式分为三个小组，则不同的分组方法各为多少种？（1）将9个人以2，3，4分为三组.（2）将9个人以2，2，5分为三组. 2259752!C C C （3）将9个人以3，3，3分为三组.3、将将9个人以下列三种方式分为三个小组，去完成三项不同的任务，则不同的分组方法各为多少种？（1）将9个人以2，3，4分为三组.（2）将9个人以2，2，5分为三组. 2259753!2!C C C ? （3）将9个人以3，3，3分为三组.解题方法一、正难则反，等价转化在解决某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂、分类较多时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理，即先求总的排列组合数，再减去不符合要求的排列组合数，从而使问题获得解决办法。
排列与组合
P77
种方法
P77 − 2 P66 + P55 = 3720
(3)二分法
个数字中任取3个 从1,3,5,7这4个数字中任取 个，从0，2,4 这 个数字中任取 ， 个数字中任取2个 这3个数字中任取 个，可以组成多少个无重复数 个数字中任取 字的五位数？ 字的五位数？
第一类：取0，有
3 1 C4 C2
名同学中选出2名去参加一项 （2）从甲、乙、丙3名同学中选出 名去参加一项 ）从甲、 名同学中选出 活动，有多少种不同的选法？ 活动，有多少种不同的选法？
一、组合的概念
一般地， 个不同的元素中取出m(m≤n) m(m≤n)个元 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合。 一个组合。 排列与组合的联系与区别： 排列与组合的联系与区别： 都是从n个不同的元素中取出m个元素， 1、都是从n个不同的元素中取出m个元素，且m≤n 2、有序问题是排列，无序问题是组合。 有序问题是排列，无序问题是组合。 同一组合只要元素完全相同。 3、同一组合只要元素完全相同。
2 5辆汽车从停车场分五班开出，其中甲车 辆汽车从停车场分五班开出， 辆汽车从停车场分五班开出 必须在乙车之前开出， 必须在乙车之前开出，则发车方案种数为 （c ） A.24
题目分析： 题目分析： 以甲车必须在乙车之前开出为解题关键， 以甲车必须在乙车之前开出为解题关键，考虑甲车和乙车的 开出顺序。 开出顺序。
种取法，每一种（如1,3,5,2,4）可组成
P41 P44 个五位数。
3 1 ∴ N1 = C4 C2 P41 P44
第二类：不取0，有 C4 C2 种取法，每一种（如1,3,5,2,4）可组成
小学数学解决简单的排列组合问题
小学数学解决简单的排列组合问题排列组合是小学数学中一个重要的概念，它涉及到对一组元素进行有序或无序排列的问题。
在解决简单的排列组合问题时，我们可以通过确定问题的条件和采用适当的计算方法来求解。
本文将介绍如何解决简单的排列组合问题，包括计算排列数和组合数的方法，以及一些常见的应用。
一、排列的计算方法排列是指从一组元素中选取若干个进行有序排列的方式。
当元素的顺序不同时，它们所组成的排列是不同的。
我们可以通过数学的方法来计算排列数。
1.1 从n个元素中选取m个进行排列当我们需要从n个不同元素中选取m个进行排列时，可以使用以下公式计算排列数：Anm = n! / (n-m)!式中，Anm表示从n个元素中选取m个进行排列的结果，n!表示n 的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
例如，从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果为：A53 = 5! / (5-3)!= 5! / 2!= 5*4*3*2*1 / 2*1= 60因此，从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果有60种。
1.2 从n个元素中选取所有进行排列当我们需要从n个不同元素中选取所有进行排列时，也可以使用阶乘的方法来计算排列数：An = n!例如，从5个不同的数字中选取所有进行排列的结果为：A5 = 5!= 5*4*3*2*1= 120因此，从5个不同的数字中选取所有进行排列的结果有120种。
二、组合的计算方法组合是指从一组元素中选取若干个进行无序排列的方式。
当元素的顺序不重要时，它们所组成的组合是相同的。
我们可以使用组合数来表示从一组元素中选取若干个进行组合的结果。
2.1 从n个元素中选取m个进行组合当我们需要从n个不同元素中选取m个进行组合时，可以使用以下公式计算组合数：Cnm = n! / ((n-m)! * m!)式中，Cnm表示从n个元素中选取m个进行组合的结果。
例如，从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果为：C53 = 5! / ((5-3)! * 3)!= 5! / (2! * 3)!= 5*4*3*2*1 / (2*1 * 3*2*1)= 10因此，从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果有10种。
简单的排列组合练习题及答案
简单的排列组合练习题及答案一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站，则客运车票增加了58种，那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个数字不重复的三位数？可以组成多少个数字允许重复的三位数？可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？二、注意附加条件1.6人排成一列甲乙必须站两端，有多少种不同排法？甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是A.3761B.4175C.5132D.61574. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1，2，?，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是。
如何解决简单的组合与排列问题
如何解决简单的组合与排列问题组合与排列问题是数学中的一个重要分支，也是我们日常生活中经常遇到的一类问题。
它们涉及到将一组元素按照一定规则进行排列组合，从而得到不同的结果。
在解决这类问题时，我们可以运用一些基本的方法和技巧，以便更加高效地求解。
首先，我们来了解一下组合与排列的概念。
组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序，而排列则是考虑元素的顺序。
例如，有3个元素A、B、C，从中选取2个元素进行排列，可能的结果有AB、AC、BA、BC、CA、CB；而进行组合时，可能的结果有AB、AC、BC。
可以看出，排列的结果要比组合多，因为排列考虑了元素的顺序。
在解决组合与排列问题时，我们可以运用一些基本的原则和方法。
首先，要明确问题的具体要求，确定需要进行排列还是组合。
其次，要明确元素的个数和选取的个数，这有助于我们确定问题的规模。
接下来，可以运用一些常用的公式和技巧进行求解。
在求解组合问题时，我们可以使用组合公式。
组合公式表示从n个元素中选取r个元素的组合数，可以用C(n, r)来表示。
组合公式的计算公式为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n!表示n的阶乘。
例如，如果有5个元素，需要选取3个元素进行组合，可以计算C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。
这意味着从5个元素中选取3个元素进行组合，共有10种可能的结果。
而在求解排列问题时，我们可以使用排列公式。
排列公式表示从n个元素中选取r个元素进行排列，可以用P(n, r)来表示。
排列公式的计算公式为P(n, r) = n! /(n-r)!。
例如，如果有5个元素，需要选取3个元素进行排列，可以计算P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60。
这意味着从5个元素中选取3个元素进行排列，共有60种可能的结果。
除了使用公式进行计算外，我们还可以运用一些技巧来解决组合与排列问题。
例如，可以使用递归的方法进行求解。
简单的计数问题排列组合中的涂色问题
D1 A1
C1 B1
D A
C B
五、检测练习
5.现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要
求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方
法共有
A.24种
√ B.30种 C.36种 D.48种
解析 将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1 与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.故不同的 着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.
新课引入
用红、黄、蓝、黑四种颜色涂下面三个图形，求下列 各种涂色方法数：
(1)若每种图形涂一种颜色，共有多少种涂法？ （2）若每种图形涂一种颜色,颜色不能重复，共 有多少种涂法？ （3）若每种图形涂一种颜色,相邻图形不同色， 共有多少种涂法？
一、按区域分步涂色计数法
例1：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
变式思考：
若将3种颜色变为4种颜色， 按上述要求涂色,结果又怎 样呢？
答:它们的涂色方案种数是 4×3×2×2 = 48种。
跟踪练习 1：如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜
色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不
同颜色,则不同涂色方法种数为( A )
A. 180
B. 160
四、空间区域涂色问题
例4：将一个四棱锥的每个面染上一种颜色，并且使相邻 两个面异色，若只有四种颜色可供选用，则不同的染色 方案有多少种？
S
D A
CHale Waihona Puke B解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域 1、2、3、4 相当于四个侧面，区域 5 相当于 底面；根据共用颜色多少分类：
排列组合问题的八种求法(免费)
云南昭通鲁甸一中 李明健 云南昭通站 张中华推荐 排列组合是高中数学的重点、难点内容之一，同时也是解决概 率问题的重要 “工具 ”，下面举例说明排列组合问题的八种求法： 一、特殊位置或特殊元素：优先法 例 1：由 0、 1、 2、 3、 4、 5 六个数字可组成多少个没有重复数 字且不能被 10 整除的六位数？ 解法一：先安排首末两个特殊位置，从 1、2、3、4、5 中任取 两个排在首位和末位，然后把 0 和剩余的三个数字排在中间四个位 置上，符合条件的六位数共有 A A 个。
种分法
（ 5）不属平均分堆，故有：
C C C
6 5 1 2 3 3
60
种不同的分法
求解完毕，仅以以上几例抛砖引玉，解题时注意积累经验，总 结规律，掌握技巧，定会柳暗花明。
- 4-Biblioteka 6 5 1 2 3 3 60
2 4
种分法
2 2
（ 2）有： C C C A
6 3 3
2
15
种分法
2 2 4 2 2 6
（ 3）先均分，再不指明分配，故有： C C C A
3 3
A
3 3
90
种
（ 4）不是平均分堆，故有：
C C C A
6 5 3 1 2 3 3 3
360
5 5
男？男？男？男？男？） ，共有 6 个空档可插，选其中的 3 个空档， 共有 A 种排法，由乘法原理可得：
3 6
- 2-
A A
5
5
3 6
14400
即共有 14400 种不同的排法。 六、至多、至少问题可用：间接法（或排除法） 例 6、四面体的 4 个顶点和 6 个各棱中点，从中取出 4 个不共 面的点，不同的取法有多少种？ 解：将四点共面的情形分为三类： ① 4 点位于同一表面，有 4 C 种；
常见的一些排列、组合模式和解法
66P 55P 55P !666616⋅=⋅P P !6!76677-=-P P )(28807204!646614种=⨯=⋅=⋅P P 常见的一些排列、组合模式和解法（一）优待排列：参加排列的某个特殊元素需优先照顾，排列在某些特殊位置上，例如该元素一定要排列在队首、队尾或中间等；或者要求该元素不能排在某些特殊位置上。
这种排列称为优待排列。
[例] 7个人并坐照相，⑴如果某一人必须坐在中间，有几种坐法？⑵如果某两人必须坐在两端（左右不限）有几种坐法？⑶如果某一人不能坐在中间，也不能坐两端，有多少种坐法？解：⑴某人必须坐在中间，他就固定不变了，剩下的实际是6个人的全排列： 即：= 6! = 720（种）⑵设甲坐在左端、乙坐在右端，这样甲、乙就固定不变了，这时是剩余5个人的全排列，即 种坐法，又因甲、乙两人可互换位置，因此：2 = 240（种）⑶若某一人不能坐在中间的情况：解法一： 解法二：若某一人即不能坐中间，也不能坐两端：解优待排列问题的关键是抓住某个特殊元素（往往有些特殊要求）优先加以安排处理，然后再考虑其它一般元素的处理，从而解决问题。
[思考] 分配5个人分别担任5种不同的工作，如果甲不能担任第一种工作，同时乙66P 22P 55P 不能担任第5种工作，问有多少种分法？33*41*41P P P（二）集团排列：参加排列的几个元素要求排在一起，称之为集团排列问题。
[例] 7个人并坐照相，如果某两人必须坐在一起，有多少种坐法？解：因某两人必须坐在一起，不妨把这两人看作是一个人，这样原问题转化为6个人的全排列，有 种坐法，再考虑这两人的排列有种坐法。
解集团排列问题的关键是将要求排列在一起的元素看作一个元素（整体或集团），参加其它元素的排列，然后，再考虑这个整体内部的排列数。
（三）间隔排列：若参加排列的元素要求相互间隔，即一个隔一个地排列，则称之为间隔排列。
[例] 某校绿化组买来各不相同的5棵梧桐树和3棵白玉兰种成一行，以美化校园，要求3棵白玉兰不能相邻，问有多少种不同的种法？解：若用“□”表示梧桐树，用“※”表示白玉兰可插入位置，则有※ □ ※ □ ※ □ ※ □ ※ □ ※梧桐树的种植没有限制，有种种法；而白玉兰不能相邻种植，只能在“※”位置种埴：间隔排列的解法一般是先把无限制条件的元素作全排列，然后再在它们之间、之前、之后的空档处，插入不能相邻的元素，这样就把问题转化为排列、组合的基本问题。
解排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
排列组合问题常用的解题方法含答案
排列组合问题常用的解题方法含答案高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻).那么不同的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。
五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。
例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。
例6：由数字 .组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。
例7：从…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法(不计顺序)共有多少种例8：从.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式=+-?。
n A B n A n B n A B()()()()例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法八、定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置.可先排这个(几个)元素.再排其他元素。
人教版数学二年级上册 简单的排列问题
用1、2和3能组成6个两位数，分 别是12、13、21、23、31、32。
排列与事物的 顺序 有关。
不论哪种方法，都是按一定的顺序进行思考， 这些都是有序思考的方法。
巧识妙记
数字排列很简单，两个数字排列时。 交换位置就可以；三个数字排列时， 每个数字作十位，其余数字依次组， 十位数字0除外，要牢记在心里边。
能组成 个两位数。
探究方法
调换位置法：
123
12 13 23
12 21 13 可以组成
6个不同
31 的两位数。 13 31
探究方法
固定十位法： 十 位
1
2 3
也可以固定个位，再分别 与十位的两个数组合。
个
组成的
位
两位数
2或3
12或13
1或3
21或23
1或2
31或32 能组成 6 个两位数。
解决问题
三个不同的数字组成没有重复数字的两位数时： （2）固定十位法
让每个数字（0除外）先作十位数，然后其余 两个数字依次和它组合。
1、2、3
12 13；21 23；31 32
1 从 、 和 3种颜色中选出2种颜 色，给地图上的2个城区涂上不同的 颜色，一共有多少种涂色方法？
北城 南城
答：一共有6种涂色方法。
2 2名同学坐成一排合影，有多少种坐法？ 3名呢？
①②
两名同学
②①
三名同学
答：2名③ ②③① ③①② ③②①
林林家的保险箱密码可能是：
4、6、8 4、8、6
6、4、8 6、8、4
8、6、4 8、4、6
这节课有什么收获呢？
解决问题——简单的排列组合
八、张大姨从广州回安仁，途经郴州，她回家的方式如下图。 那么，她回家有多少种方法呢？
安仁
广州 郴州
六、有三个女同学和两个男同学，老师要派出一男一女两个同学去 主持班会，有多少种组合方法呢？ 解：如果选第一个男同学去配女同学，有2种配法； 同样选第二个 男同学去女同学，也有2种配法，选第三个男同学去配女同学，也有 2种配法，一共有：2×3=6（种）配法。 七、从安仁到安平要经过枫树、荷树、双牌山、灵官庙、朴塘五个中 点站。那么，售票员要准备多少种票呢？ 解：如果我们一个站一个站地列举，显然很容易遗漏。那么怎么办呢？ 我们不妨从起点站开始，分点设票，然后再来计算。 如果从安仁起点，那么，到枫树、荷树、双牌山、灵官庙、朴塘、安平 各点都要用不同的票，一共要准备6种不同的票。 如果从枫树起点，那么，到荷树、双牌山、灵官庙、朴塘、安平各点， 要准备5种不同的票。 如果从荷树起点，那么，到双牌山、灵官庙、朴塘、安平各点， 要准备4种不同的票。 如果从双牌山起点，那么到灵官庙、朴塘、安平各点要准备3种不同的票， 如果从灵官庙起点，那么到朴塘、安平要准备2种不同的票，而从朴塘起 点，只要准备1种票就可以了。那么，准备票的种数有： 6+5+4+3+2+1=21（种）
·
C B A
从第六、七题，我发现：在解决这类问题 时，我们一方面要做到按顺序排列，另一 要分类把各种情况下的排列方法算出来，然 后将这些方法合起来，就是总的方法。
从第六、七下周，我还发现像1+2+3+4+5+6+……这样 计算可以简便计算。采取“（首数+尾数）×个数÷2” 进行计算。
有关排队问题的排列组合题解法举例
有关排队问题的排列组合题解法举例例1：三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有对种不同的排法，因此共有种不同的排法．（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法．（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有种不同的排法．解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有种不同的排法．解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有种不同的排法，（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，这时末位就只能排男生，有种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有种不同的排法，这样可有种不同排法．因此共有种不同的排法．解法2：3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中扣去两端都是女生排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有种不同的排法．说明：解决排列、组合应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快．捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．例27名同学排队照相．(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？3名女生，(4)若排成一排照，7人中有4名男生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？3分析：(1)可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有A7种排法；第二步，347剩下的4人排在后排，有A4种排法，故一共有A7种排法．事实上排两排与排成 A4 A77一排一样，只不过把第4~7个位子看成第二排而已，排法总数都是A7，相当于7个人的4全排列．(2)优先安排甲、乙．(3)用“捆绑法”．(4)用“插空法”．解：(1)A7 A4 A75040种．1(2)第一步安排甲，有A3种排法；第二步安排乙，有A4种排法；第三步余下的5人排在5剩下的5个位置上，有A5种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有115A3 A4 A51440种．1347(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的53全排列问题，有A5种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有A3种排法．由分步计53数原理得，共有A5 A3720种排法．4(4)第一步，4名男生全排列，有A4种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名3男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有A5种插入方法．由分步计数原理得，43符合条件的排法共有：A4 A51440种．说明：(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列．(2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．例3八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：215215A4 A2 A5 A4 A4 A58640(种)．解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法．把“甲坐在第一排的八17人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是A4．在这种前提下，不合题意的方法是“甲 A711115坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法．”这个数目是A4．其中第一个因数 C2 A3 A4 A5111表示甲坐在第一排的方法数，C2表示从乙、丙中任选出一人的办法数，A3表示把选出A4的这个人安排在第一排的方法数，下一个A4则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排5的方法数，A5就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为1711115A4 A7 A4 C2 A3 A4 A58640(种)．1例4一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，设空座梯形依次编号为1、2、3、4、5、6、7．先选定两个空位，可以在1、2号位，也可以在2、3号位…共有六种2号，则另一空位可以在4、可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在1、5、6、7号7号位，亦如此．如果相邻空位在2、3号位，另一空位可位，有4种可能，相邻空位在6、4号，4、5号，5、6号亦如此，所以必以在5、6、7号位，只有3种可能，相邻空位在3、须就两相邻空位的位置进行分类．本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻．解答一：就两相邻空位的位置分类：42或6、7，共有24 A4若两相邻空位在1、192(种)坐法．43，3、4，4、5或5、6，共有43 A4若两相邻空位在2、288(种)不同坐法，所以所有坐法总数为192288480(种)．解答二：先排好4个人，然后把两空位与另一空位插入坐好的4人之间，共有42A4 A5480(种)不同坐法．解答三：本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相4邻的情况，4个人任意坐到7个座位上，共有A7种坐法，三个空位全相邻可以用合并法，5直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列，共有A5种不同方法．三个空位全不相邻仍用插空法，但三个空位不须排列，直接插入4个人的5个间隔中，有A410种不同方454法，所以，所有满足条件的不同坐法种数为A7 A510A4480(种)．4。
小学数学简单的排列组合问题
小学数学简单的排列组合问题1.用5和2可以组成10、25、52、27、75这五个不同的两位数，选项B正确。
2.一共有6种坐法，因为有3个人，第一个人有3种选择，第二个人有2种选择，第三个人只有1种选择，所以总共是3×2×1=6种，选项C正确。
3.___和她的3个好朋友握手的次数为3+2+1=6次，选项C正确。
4.可以选出6个不同的和数，分别为4、8、10、12、14、16，选项没有给出正确答案。
1.有4种早餐搭配方法，选项A正确。
2.有5种不同的付钱方法，分别是1元+4个1角、1元+3个1角+1个5角、1元+2个1角+2个5角、1元+1个1角+3个5角、1元+5个5角，选项A正确。
3.___的妈妈有6种买法，可以搭配苹果和梨、苹果和香蕉、苹果和桃子、梨和香蕉、梨和桃子、香蕉和桃子，具体搭配方式取决于促销价格和个人口味，选项没有给出正确答案。
1.用4、6和7可以组成12个不同的两位数，分别是46、47、64、67、74、76、57、75、54、45、57、56，选项没有给出正确答案。
2.用4和7可以组成6个不同的三位数，最大的数是744，最小的数是444，选项B正确。
3.3位小朋友每两个人通一次电话，一共要通3次话，选项A正确。
4.一辆客车往返于合肥、南京、上海三地载客，要准备6种不同的车票，因为每个城市之间的往返都有一种不同的组合方式，选项B正确。
5.这些数是用3、4和5这三个数字组成的，选项没有给出正确答案。
二。
无法确定谁是第一、第二，因为没有给出比赛规则和结果。
三。
缺少电话号码的信息，无法猜测。
排列组合例题整理
排列组合基础知识讲座首先看一道简单的例题例1：用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数，可以有多少种组法？解答：题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字，然后组成一个2位数，问一共可以组成多少个这样的2位数。
假设我们随意选取1,2,可以组成12和21，虽然都是由1，2组成，但由于位置不同，仍然是两个不同的数字。
由于和位置有关，所以这是排列问题。
（注意：虽然题目问的是有多少种组法，但仍然属于排列问题）排列公式的定义如下!()!r nn P n r =-r n P 也可写成P （n,r ）其中n 表示总共的元素个数，r 表示进行排列的元素个数，！表示阶乘，例如6！=654321⨯⨯⨯⨯⨯，5!= 54321⨯⨯⨯⨯，但要特别注意1！=0！=1。
假设n=5，r=3，则P （5,3）=5!5432160(53)!21⨯⨯⨯⨯==-⨯在这个题目里，总共的元素个数是4 ，所以n=4，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。
根据公式P （4,2）=4!432112(42)!21⨯⨯⨯==-⨯因此共有12种组法。
下面我们一起来看考试当中出现的一个题目：例2. 黄、白、蓝三个球，从左到右顺次排序，有几种排法? 解答：假设我们已经找出了两种排列方法（黄、白 、蓝） 和 （蓝、白、黄），可以发现虽然都是用的一样的球，但因为和位置有关，所以还是两种不同的排法。
很明显这属于排列问题。
在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中取出3个进行排列，所以r=3。
根据公式P （3,3）=3!3216(33)!1⨯⨯==- （ 计算的时候注意0！=1）因此共有6种排法。
如果我们把这个题目改一改，变成例3 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，对这两个球从左到右顺次排序，有几种排法?解答这仍然属于排列问题，只不过r 变成了2。
在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。
根据公式P （3,2）=3!3216(32)!1⨯⨯==- （ 计算的时候注意1！=1）因此还是有6种排法。
排列组合问题经典题型
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种例3.已知集合{1,2,3,,19,20}A = ，集合1234{,,,}B a a a a =，且B A ⊂，若||1(,1,2,3,4)i j a a i j -≠=，则满足条件的集合B 有多少个？3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例4.（1）A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例5.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例6.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种6.全员分配问题分组法:例7.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种7.名额分配问题隔板法:例8：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？例9.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？8.限制条件的分配问题分类法:例10.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A．152 B.126 C.90 D.549.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
排列组合问题的解题方法总结很非常好的方法(高三复习很合适)全
排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题 “捆绑法”：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解： 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法. 练1-1：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再 与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A55种，甲、乙二人的排列有A22种，共有A22·A55=240种.二、不相邻问题 “插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可。
例2： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A =种.三、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑。
小学五年级数学下册学会解决简单的排列组合问题
小学五年级数学下册学会解决简单的排列组合问题在小学五年级的数学下册中，学生们将开始接触到简单的排列组合问题。
解决这类问题需要学生掌握一定的基本概念和技巧，并能运用所学知识进行分析和推理。
本文将介绍解决简单排列组合问题的方法，以帮助小学五年级的学生们更好地理解和掌握这一知识点。
首先，让我们来了解一下排列和组合的概念。
排列是指从给定元素中选取若干个进行排列，且考虑元素的先后顺序。
排列的数量可以通过阶乘的方式计算，即将给定元素的个数依次相乘。
组合是指从给定元素中选取若干个进行组合，而不考虑元素的先后顺序。
组合的数量可以通过阶乘和除法的方式计算，即将给定元素的个数依次相乘后再除以重复元素的阶乘。
接下来，我们将通过一些例子来具体讲解如何解决简单的排列组合问题。
例子1：某班有5名男生和4名女生，要从中选取3名代表参加学校的比赛。
问有多少种不同的选取方式？解析：这是一个组合问题，因为不考虑男生和女生的先后顺序。
根据组合的计算公式，我们可以得到答案。
解答：C(5+4, 3) = C(9, 3) = 84所以，有84种不同的选取方式。
例子2：一把有4个不同的钥匙，一把有3个不同的锁，每个钥匙恰好能打开一把锁。
那么，有多少种不同的打开方式？解析：这是一个排列问题，因为考虑了钥匙的先后顺序。
根据排列的计算公式，我们可以得到答案。
解答：A(4, 4) = 4!所以，有24种不同的打开方式。
通过这两个例子，我们可以看到，排列和组合问题的计算方法是不同的。
对于排列问题，我们要使用排列公式进行计算；而对于组合问题，则要使用组合公式进行计算。
在解决具体的排列组合问题时，我们还需要注意以下几点：1. 确定问题中给定元素的个数和需要选取的元素个数；2. 根据问题的要求，判断问题是排列问题还是组合问题；3. 根据排列和组合的计算公式，进行相应的计算。
总结起来，解决简单的排列组合问题需要学生掌握排列和组合的基本概念，了解计算公式，并能够灵活运用这些知识解决具体问题。
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人教版三年级数学下册导学案
第八单元数学广角搭配
舜师路小学张兰杰赵龙海孙中锋
班级姓名
一、独立自主复习旧知
1、每2个人握一次手，3个人一共要握（）次手
二、亲子共读
（一）、学习103页例3。
1、出示题目
2011年亚洲杯足球赛A组球队如下。
每2个球队踢一场，一共要踢多少场？
卡塔尔科威特
中国乌兹别克斯坦
2、想一想
“每2个球队都要踢一场比赛”是什么意思？如“甲与乙踢”也表示“乙与甲踢”，与二者的顺序无关。
我们可以用连线的方法表示2个球队已踢了一场，把2个队用一
条线段连接起来，就可以表示这2个队已踢了一场。
3连一连
方法一：摆成正方形连一连
把4个球队摆成正方形，
可以把任意2个球队直接
连上线。
两个球队只连一
条线
方法二：
每场比赛只与哪两个队有关，与两个队的顺序无关
4、看一看，比一比
比较方法一和方法二，都是两个小图标连一条线就代表着两个队要踢一场，每个队都要和其他的三个队踢一场，也就是每个小图标都要和其他的三个相连
三、亲子小结
今天的收获是：。
达标测评
一、填空
1、英才杯的四强比赛，每2个都要下一盘棋，一共要下（）盘棋。
2、开家长会时，4名家长在学校门口相遇了，他们4人每两人互相握一次手，他们一共要握（）次手。
二、解决问题
1、有4种花：玫瑰花、百合花、康乃馨和满天星。
每束花里必须有2种花，一共有多少种不同的搭配方法？
2、从学校经过少年宫去公园，共有几种不同的走法？
3、三年级5个班要进行拔河比赛，每两个班要比赛一场，一共要比赛多少场？。