运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解 第(11-12)章【圣才出品】

（2）T 无圈，且 m=n-1。 （3）T 连通，且 m=n-1。 （4）T 无圈，但每加一条新边即得惟一一个圈。 （5）T 连通，但任舍去一条边就不连通。 （6）T 中任意两个顶点之间有惟一链相连。
3．图的最小支撑树
图的支撑树：设图 T=[V， E' ]是图 G=（V，E）的支撑子图，如果 T 是一个树，则称 T
为悬挂点，悬挂点的关联边称为悬挂边，次为零的点称为孤立点。
定理 1：图 G=（V，E）中，所有点的次之和为边数的两倍，即 d (vi ) 2 e j 2q 。
i
j
奇点与偶点：次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
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2．树及其性质 无圈的连通图称为树，树一般用 T 表示。
定理 3：任给一个树 T=（V，E），若 p T ≥2，则 T 中至少有两个悬挂点。
定理 4：图 T=（V，E），p=n，q=m，则下列关于树的说法是等价的。 （1）T 是一个树。
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初始（ i 0 ）令 S0 vs ，P vs 0 ， vs 0 ，对每一个 v vs ，令 T v ， v M ，令
k s。
①如果 Si V ，算法终止，这时，对每个 v Si ， d vs , v P v ；否则转入②。
②考查每个使 vk , v j A 且 v j Si 的点 v j 。 如果T v j P vk kj ，则把T v j 修改为 P vk kj ，把 v j 修改为 k ；否
连通图：图中任意两点间至少有一条链相连。
子图：给定图 G=（ V ， E ），若图 G' =（ V' ， E' ），其中 V' V ， E' E ，则称 G' 是 G 的子图。
支撑子图：给定图 G=（V，E），若图 G' =（V， E' ），其中 E' E ，则称 G' 是 G 的
一个支撑子图。
中的点数记为 p G ，边数记为 q G 。
无向图：由点及边（边端点无序）构成，记为 G (V , E) ；边 e vi , v j 或 v j ,vi 。
有向图：由点及弧（带有方向的边）构成，记为 D (V , A) ；弧 vi , v j 表示从顶点 vi
指向顶点 v j ，顶点互换，则方向相反。
4．最短路算法 （1）Dijkstra 算法
当所有的路权都大于等于 0 时，Dijkstra 算法是用来求给定点 vs 到任一个点 v j 最短路
的公认较好的一种方法。
Dijkstra 算法步骤：给定赋权有向图 D V , A 。
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网络：若对图 G=（V，E）中每条边 vi , v j 赋予一个数 ij ，则称 ij 为边 vi , v j 的
权，并称图 G 为网络（或赋权图）。
图的同构：设图 G=（V，E）与 G' =（ V' ， E' ），若它们的点之间一一对应，并且保 持同样的相邻关系，则称 G 与 G' 同构，记为 G ≌ G' 。
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第 11 章 图与网络优化
11.1 复习笔记
1．图的基本概念
一个图是由点集 V（G）={ vi }和 V（G）中元素的无序对的一个集合 E（G）={ ek }所 构成的二元组，记为（V（G），E（G））。其中 V={ vi }称为点集， vi 为顶点；E={ ek } 称为边集， ek 为边（或弧）。当 V，E 为有限集时，G 称为有限图，否则称为无限图。图 G

链 ： 给 定 一 个 无 向 图 G= （ V ， E ） ， G 中 的 一 个 点 、 边 交 错 序 列
(vi1,ei1,vi2 ,ei2 ,.vik1,eik1,vik ) ，如果满足 eit =[ vit ，
vit1 ] E （t=1，2，…，k-1），则称为 G 中一条联接 vi1 和 vik 的链，记为=（ vi1 ，vi2 ，…， vik ）。
相邻与关联：若边 e=[u，v]∈E，称 u，v 是 e 的端点，也称 u，v 是相邻的。称 e 是
点 u（及点 v）的关联边。若两条边有一个公共的端点，则称这两条边相邻。
环：某条边的两个端点相同，称这条边为环。
多重边：若两点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。
次：图 G 中以点 v 为端点的边的数目，称为 v 在 G 中的次，记为 d (v) 。次为 1 的点
圈：链（ vi1 ，vi2 ，…，vik ）中，若 vi1 = vik ，则称之为一个圈，记为 C= (vi1 , vi2 ,, vik1 , vi1 ) 。 初等链：链中点都不同；简单链：链中边都不同；初等圈：若圈 (vi1 , vi2 ,, vik1 , vi1 ) 中， vi1 , vi2 ,, vik1 均不同；简单圈：圈中边均不相同。
是 G 的一个支撑树。 定理 5：图 G 有支撑树的充分必要条件是图 G 是连通的。
如果 T* 的权是图 G 的所有支撑树的权中最小者，则图 T* 是图 G 的最小支撑树。
图的最小支撑树算法： （1）破圈法：任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边，重复这个步骤，直到图中不 含圈。 （2）避圈法：开始选一条最小权的边，以后每一步中，从未被选取的边中任选一条权 最小的边，且不构成圈，直到找不出为止。
则转入③。
③令T
v ji
min T v j Si
vj
如 果 T v ji ， 则 把 v ji 的 T 标 号 变 为 P 标 号 P v ji T v ji ， 令
Si1 Si v ji ， k ji ，把 i 换成
i 1 ，转入①；否则终止，这时对每一个 v Si ， d vs , v P v ，而对每一个 v Si ，