2014届中考第一轮基础课件(第21讲_直角三角形与勾股定理)

第21讲┃ 考点聚焦 考点2 勾股 定理 勾股 定理 的逆 定理 勾股数 勾股定理及逆定理 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c 的平方．即：________2 a2＋b2＝c 如果三角形的三边长a、b、c有关系： 逆定 2 a________ ，那么这个三角形是直角三角 ＋b2＝c2 理 形 (1)判断某三角形是否为直角三角形；(2) 用途 证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问 题 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称 为勾股数
变式题[2011·德州]下列命题中，其逆命题是真命题的是 ①④ ________．(只填写序号) ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个 三角形是直角三角形． [解析] ①的逆命题：两直线平行，同旁内角互补，正确；②的 逆命题：相等的两个角是直角，错误；③的逆命题：如果两个数 的平方相等，那么这两个数也相等，错误，如：22＝(－2)2，但2≠ －2；④的逆命题：如果一个三角形是直角三角形，则它的三边长 a、b、c满足a2＋b2＝c2，正确．
如图21－3，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面 积之间有什么关系？请说明理由．
图21－3
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解：记直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、 S3，则S1、S2、S3的关系是S1＋S2＝S3.理由如下： 1 BC2 1 1 AC2 1 2 S1＝ π ＝ πBC ；S2＝ π ＝ πAC2； 2 2 8 2 2 8 1 AB2 1 S3＝ π ＝ πAB2. 2 2 8 而由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2， 于是可得S1＋S2＝S3.
第21讲┃ 归类示例
只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正 确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的 真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、 性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则 需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．
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回归教材
巧用勾股定理探求面积关系 教材母题 江苏科技版八上P68T6
第21讲┃ 归类示例
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三 边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用 于证明平方关系的问题．
第21讲┃ 归类示例 ► 类型之二 实际问题中勾股定理的应用
命题角度： 1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．
例2 如图21－2，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表 面爬到柜角C1处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当AB＝4，BC＝4，CC1 ＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径 的长； (3)求点B1到最短路径的距离．
第21讲┃
直角三角形与勾股定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 定义 直角三角形的概念、性质与判定 直角 有一个角是________的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角互余 (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 斜边的一半 那么它所对的直角边等于______________ (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半 ________________
第21讲┃ 考点聚焦
考点3
互逆命题 如果两个命题的题设和结论正好相反，我们 把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们 把其中一个叫做______，那么另一个叫做它 原命题 的______ 逆命题 若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是 逆定理 这个定理的________，称这两个定理为互逆 定理
互逆 命题
例1 [2013·黄石] 将一个有45度角的三角板的直角顶点 放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另 一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为( ) D
图21－1
第21讲┃ 归类示例
[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝ 2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝ 2 AB＝6 2(cm)．
图21－4
第21讲┃ 回归教材
1 [解析] 第1个三角形的面积为 ，第2个三角形的面 2 1 1 2 2 积为 ×( 2 ) ＝1，第3个三角形的面积为 ×2 ＝2，第4 2 2 1 1 2 个三角形的面积为 ×( 8) ＝4，第5个三角形的面积为 2 2 ×4 ＝8，故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积 1 31 为 ＋1＋2＋4＋8＝ . 2 2
C．①③ D．②③
第21讲┃ 归类示例
[解析] 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于 第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的 数的平方和是否等于最大数的平方即可判断． ①∵22＋32＝13≠42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不 符合题意； ②∵32＋42＝52 ， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合 题意； ③∵12＋(√3)2＝22， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合 题意． 故构成直角三角形的有②③. 故选D.
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中考变式
[2011·贵阳] 如图21－4，已知等腰Rt△ABC的直角 边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个 等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画 第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰 Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形 31 的面积为________． 2
2 2
第21讲┃ 归类示例
利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终 点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最 短长度．
第21讲┃ 归类示例 ► 类型之三 勾股定理逆定理的应用 命题角度： 勾股定理逆定理． 例3 [2013·广西]已知三组数据：①2，3，4；②3，4， 5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边 长，构成直角三角形的有( D ) A．② B．①②
性质
第21讲┃ 考点聚焦
判定
(1)两个内角互余的三角形是直角三角形 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角 形是直角三角形 1 1 (1)SRt△ABC＝ ch＝ ab，其中a、b为两直角 2 2 边，c为斜边，h为斜边上的高；(2)Rt△
拓展
a＋b－c ABC内切圆半径r＝ ，外接圆半径R 2 c ＝ ，即等于斜边的一半 2
2
互逆 定理
第21讲┃ 考点聚焦 考点4 命题、定义、定理、公理
定义 在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语 的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定 义 定义
命 题
分类
判断一件事情的句子叫做命题 真命题 正确的命题称为________ 假命题 错误的命题称为________ 条件 结论 每个命题都由______和______两个部分组成 公理 公认的真命题称为________
第21讲┃ 归类示例
[解析] 选项A和B中的命题分别为三角形的内角和 定理与三角形三边关系定理，均为真命题；对于选项C， 只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， 而其他三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题； 选项D中的命题是三角形的面积计算公式，也是真命题， 故应选C.
第21讲┃ 归类示例
Байду номын сангаас
第21讲┃ 归类示例
变式题[2012·广州] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9 ，BC＝12，则点C到AB的距离是( A )
A. C. 36 5 9 4 12 B. 25 3 3 D. 4
第21讲┃ 归类示例 [解析] 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12， 根据勾股定理得：AB＝ CD⊥AB，交AB于点D， 1 1 又S△ ABC＝ AC·BC＝ AB·CD， 2 2 AC· BC 9×12 36 ∴CD＝ ＝ ＝ ， AB 15 5 36 则点C到AB的距离是 . 5 故选A. AC2＋BC2 ＝15，过C作
第21讲┃ 归类示例
判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是： 判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可 判断．
第21讲┃ 归类示例 ► 类型之四 定义、命题、定理、反证法 命题角度： 1．定义、命题、定理的含义； 2．区分命题的条件(题设)和结论； 3．逆命题的概念，识别两个互逆命题，并知道原命题 成立其逆命题不一定成立． 例4 [2013·淄博]下列命题为假命题的是( C ) A．三角形三个内角的和等于180° B．三角形两边之和大于第三边 C．三角形两边的平方和等于第三边的平方 D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一 半
组成 公理
定理 除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证 证明 实，推理的过程称为________．经过证明的真命题称为 定理 ________
第21讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 利用勾股定理求线段的长度 命题角度： 1. 利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题．
第21讲┃ 归类示例
图21－2
第21讲┃ 归类示例
解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和． 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1. (2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1 到C′1，爬过的路径的 长是l1 ＝ 42＋（4＋5）2＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2 ＝ （4＋4） ＋5 ＝ 89. l1>l 2，最短路径的长是l2＝ 89. B1C1 4 20 (3)作B1E⊥AC1 于E，则B1E＝ ·AA1＝ ·5＝ 89. AC1 89 89