23直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个角度为90度的直角。
勾股定理是直角三角形中一条重要的几何定理，它描述了直角三角形三条边之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨直角三角形和勾股定理的相关内容。
一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中包含一个角度为90度的角。
这个角被称为直角。
直角三角形的其他两个角度则被称为锐角和钝角。
直角三角形的特点是，它的两条边相互垂直。
二、勾股定理的定义勾股定理是直角三角形中的一条定理，表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：a² + b² = c²，其中a和b 表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。
勾股定理可以用来计算直角三角形中任意一条边的长度，只要已知其他两条边的长度即可。
三、勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。
下面举几个例子来说明：1. 测量距离：假设你想要测量两个不相邻点之间的距离，但是这两个点之间有一片湖泊无法直接测量。
你可以选择一个合适的位置作为测量起点，然后以直角三角形的形式测量出湖泊的宽度和起点到目标点的距离，再利用勾股定理计算出两个目标点之间的距离。
2. 建筑斜坡：在建筑设计中，经常会遇到需要设计斜坡的情况。
假设你需要设计一个台阶高度为a，长度为b的斜坡，你可以应用勾股定理计算出斜坡的斜边长度，以确定所需材料的长度和角度。
3. 导航和航空：导航和航空领域利用勾股定理来计算飞机或船只的航行距离和角度，以便安全导航和飞行。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
毕达哥拉斯定理是勾股定理的一个特例，即当直角三角形的两条直角边长度分别为3和4时，斜边的长度为5。
根据毕达哥拉斯定理，我们可以推导出勾股定理的一般表达式。
证明过程略。
五、总结直角三角形和勾股定理是几何学中的重要概念和定理。
直角三角形的定义是包含一个90度角的三角形，而勾股定理则描述了直角三角形的三边之间的关系。
第23课时 直角三角形
第23课时直角三角形一、【教学目标】1．了解直角三角形的概念；2．掌握直角三角形的性质及判定；3．掌握勾股定理及其逆定理的运用；二、【重点难点】重点：1．直角三角形的性质及判定；2．勾股定理及其逆定理的运用.难点：勾股定理的逆定理的运用.三、【主要考点】（一）、直角三角形的定义及符号表示1．定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.2．符号表示：直角三角形ABC 用符号表示为Rt △ABC .（二）、直角三角形的性质和判定1．性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，30︒的角所对的直角边等于斜边的一半.（4）在直角三角形中，如果有一条直边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30︒.（5）勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2+b 2=c 2.2．判定：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.（3）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a ，b ，c 有下面的关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.（三）、重要结论1．S Rt △ABC =12ch =12ab .其中a ，b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高；2．Rt △ABC 的内切圆半径2a b c r +-=，外接圆半径2c R =.四、【经典题型】【23-1A 】如图23-1是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（）A ．4cm B.5cm C.6cm D.10cm解：在Rt △ABC 中，有AB 2=AC 2+BC 2，又∵AC =6cm ，BC =8cm ，∴AB =222286+=+BC AC =10.又根据折叠的性质有AE =BE ，∴BE =21AB =21×10=5(cm).选B.温馨提示：在直角三角形中，已知任意两边可以利用勾股定理求出第三边，但在运用的过程中要注意分清斜边和直角边；在折叠问题中，一定要掌握折叠时有哪些边是重合的，A 图23-1B C DE有哪些角是重合的.【23-2A 】我市某教师村有一块草坪如图23-2所示，已知AB =3m ，BC =4m ，CD =12m ，DA =13m ，且AB ⊥BC ，则这块草坪的面积是m 2.232-图解：连接AC ，∵AB ⊥BC ，∴∠B =90︒.在Rt △ABC 中，AC =22AB BC +=5(m).在△ACD 中，∵AC 2+DC 2=52+122=169，又AD 2=132=169，∴AC 2+DC 2=AD 2，∴△ACD 是Rt △，且∠ACD =90°，∴AC ⊥CD ，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =22AB BC AC CD ⋅⋅+=2125243⨯+⨯=36m 2.温馨提示：已知一个三角形的三边时，可以用勾股定理的逆定理来检验该三角形是否为直角三角形.设△ABC 的三边中a ≤b ≤c ，则①当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；②当a 2+b 2=c 2时，△ABC 为直角三角形；③当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形.【23-3A 】一个承重架的结构如图23-3所示，如果∠1=155°，那么∠2=°．图23-312解：∠2=∠1-90︒=155︒-90︒=65︒.温馨提示：直角三角形的两个锐角互余.此处利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.【23-4A 】如图23-4，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF =6，BC =15，则△EFM 的周长为.图23-4解：∵CF ⊥AB ，∴∠BFC =90︒，又∵M 为BC 的中点，BC =15，∴FM =21BC =215.同理，EM =21BC =215，∴△EFM 的周长为FM +EM +EF =215+215+6=21.温馨提示：当题中有垂直条件时，应联想到直角三角形，若有斜边上的中点，应联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形性质和判定-勾股定理
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勾股定理的应用
• 勾股定理的应用：勾股定理在几何勾 股定理计算两点之间的距离；在建筑学中，可以利用勾股定 理进行结构设计；在气象学中，可以利用勾股定理计算风速 和风力等级等。
03 直角三角形的判定
判定方法一：角判定法
总结词
通过一个直角来判断是否为直角三角 形
详细描述
如果一个三角形中有一个角为90度， 则该三角形是直角三角形。
判定方法二：边判定法
总结词
通过两条边的平方和等于第三边的平方来判断是否为直角三 角形
详细描述
如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角 形是直角三角形。
判定方法三：综合判定法
总结词
结合角和边来判断是否为直角三角形
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02
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勾股定理
直角三角形的两条直角边 的平方和等于斜边的平方， 即$a^2 + b^2 = c^2$。
毕达哥拉斯定理
直角三角形的斜边平方等 于两直角边的平方和，即 $c^2 = a^2 + b^2$。
锐角三角形性质
在锐角三角形中，任意一 边都小于其他两边之和， 即$a < b + c$，$b < a + c$，$c < a + b$。
逆定理的证明方法
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勾股定理的逆定理可以通过勾 股定理的证明过程进行推导。
首先，根据勾股定理，直角三 角形的斜边平方等于两直角边
的平方和。
然后，假设三角形ABC的三边 满足a²+b²=c²，其中c是AB的
长度，即斜边的长度。
最后，根据三角形的性质，如 果一个三角形的三边满足勾股 定理，则这个三角形是直角三
勾股定理与直角三角形的关系
勾股定理与直角三角形的关系在数学中，勾股定理是一个基本的几何定理，它描述了直角三角形中各边之间的关系。
勾股定理的形式化表述为：在一个直角三角形中，三条边的平方和等于斜边的平方。
即对于一个直角三角形，设其两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2勾股定理最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，因此也叫毕达哥拉斯定理。
它是数学中的重要定理之一，被广泛应用于各个领域。
勾股定理与直角三角形的关系是密不可分的。
直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
根据勾股定理，如果三条边的长度满足a^2 + b^2 = c^2的关系，则这个三角形是一个直角三角形。
换句话说，通过勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。
直角三角形和勾股定理在几何学中有着广泛的应用。
首先是测量，通过测量直角三角形的两条直角边的长度，可以利用勾股定理计算出斜边的长度，这在实际生活中非常有用。
其次，勾股定理还可以解决一些几何问题，例如求解角度、寻找缺失边长等等。
在建筑、设计、工程等领域，勾股定理也经常被用来计算和解决实际问题。
除了应用，勾股定理还有着深厚的数学内涵。
它是三角函数的基础之一，通过勾股定理可以导出正弦定理、余弦定理等重要的三角函数定理。
同时，勾股定理也是代数和几何之间的桥梁，在代数中，勾股定理可以用于解决二元二次方程。
总之，勾股定理与直角三角形的关系不仅仅局限于几何，还涉及到许多其他数学领域的运用。
它解决了很多实际问题，为我们提供了计算和推理的工具。
勾股定理的发现和应用是数学研究中的重要里程碑，深刻影响了数学和人类文明的发展。
无论是在学校教育中的数学教学，还是在实际生活中的应用，勾股定理都扮演着重要的角色，为我们提供了便利和启示。
三角形中的直角关系与勾股定理
三角形中的直角关系与勾股定理三角形是几何学中重要的研究对象，它包含了许多有趣的性质和定理。
其中，直角关系和勾股定理是三角形中最基本、最重要的概念之一。
直角关系是指三角形中存在一个角度为90度的角。
这样的角被称为直角。
在直角三角形中，直角位于两条边的交汇处，将三角形分为两个互相垂直的直角边和一个斜边。
勾股定理是描述直角三角形边长关系的定理。
它表明，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体而言，设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
勾股定理的证明可以通过几何方法或代数方法来完成。
其中，最著名的几何证明方法是毕达哥拉斯定理的证明。
毕达哥拉斯定理是勾股定理的特例，它指出，在一个直角三角形中，直角边的长度为3、4的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理的证明方法是通过构造两个相似的直角三角形来完成的。
除了几何证明外，勾股定理还有一种常见的代数证明方法。
这种方法利用了平方的性质和代数运算的规律。
通过将直角边的平方和斜边的平方展开，然后进行简化和合并，可以得到勾股定理的等式。
勾股定理在实际应用中有着广泛的用途。
它可以用来计算三角形的边长、角度和面积。
例如，已知一个直角三角形的两个直角边的长度，可以利用勾股定理计算出斜边的长度。
同样地，已知一个直角三角形的斜边和一个直角边的长度，也可以通过勾股定理计算出另一个直角边的长度。
此外，勾股定理还可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三条边满足勾股定理的等式，那么它就是一个直角三角形。
这对于解决实际问题中的三角形分类和判断非常有用。
总结起来，三角形中的直角关系和勾股定理是几何学中不可或缺的重要概念。
直角关系帮助我们理解和描述直角三角形的特征，而勾股定理则提供了计算和判断直角三角形的方法。
它们的应用范围广泛，不仅在学术研究中有重要意义，也在实际生活中有着实用价值。
通过深入理解和掌握这些概念和定理，我们可以更好地理解和应用三角形的性质。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理逆定理 二、直角三角形的性质 1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．5.直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数。
简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
【典例精析】◆例1：在△ABC 中，∠BAD ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，现将它们折叠，使B 点与C 点重合，求折痕DE 的长。
【巩固】1、四边形ABCD 中，∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝1，CD ＝2；求对角线AC 的长A BDC E ABCD◆例2：如图所示．已知：在正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，作EF ⊥AC 于F ，作FG ⊥AB 于G ．求证：AB 2＝2FG 2．【巩固】已知△ABC 中，∠A ＝90°，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC 上，ME ⊥MF ，求证：EF 2＝BE 2＋CF 2◆例3：已知正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF＝b ,且S EFGH ＝32求：a b 的值◆例4：已知：P 为等边△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数G F AE BD CFEC MB A HDAB C E F G A BP【巩固】如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O 点，AB ＝15，BC ＝40，CD ＝50，则AD ＝________.◆例5：一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_______种可能，其中最大的值是______.【拓展】是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个内角为直角（度数为90度），这个特性使得直角三角形与勾股定理存在紧密的联系。
勾股定理是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中三边之间的关系。
在本文中，我们将探讨直角三角形与勾股定理之间的关系以及一些应用例题。
一、直角三角形的定义和性质直角三角形是由三条边组成的三角形，其中一个内角为90度。
直角三角形的另外两个内角为锐角或钝角。
直角三角形的特性包括：1. 直角三角形的两条边相互垂直。
2. 直角三角形的两条直角边可以作为直角三角形的高和底。
3. 直角三角形的斜边是其他两条边的平方和的平方根。
二、勾股定理的定义和证明勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的。
勾股定理描述了直角三角形中三边之间的关系，它的公式如下：斜边的平方 = 直角边1的平方 + 直角边2的平方即c² = a² + b²其中，c代表直角三角形的斜边，a和b代表直角三角形的两条直角边。
勾股定理的证明有多种方法，其中一种常见的证明方法是通过几何图形推导得出。
三、直角三角形与勾股定理的应用1. 解决三角形的边长问题：有时候我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度，要求计算斜边的长度，就可以直接使用勾股定理来解决。
例如，如果一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，我们可以通过勾股定理来计算斜边的长度：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度为5。
2. 判断三角形的形状：在有些情况下，我们已知三角形的边长，但不确定它是不是直角三角形。
此时，我们可以利用勾股定理来判断。
例如，如果一个三角形的三边长度分别为5、12、13，我们可以通过勾股定理判断：5² + 12² = 25 + 144 = 169，而13² = 169，说明这个三角形是一个直角三角形。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形是几何学中的基本概念之一，而勾股定理则是解决直角三角形相关问题的重要工具。
本文将对直角三角形的定义和特性进行介绍，并详细解释勾股定理的原理和应用。
一、直角三角形的定义和特性直角三角形是一种边上有一个直角的三角形。
在直角三角形中，直角所对应的两边称为直角边，而不含直角的一边称为斜边。
直角三角形的特性包括以下几点：1. 边长关系：在直角三角形中，斜边的长度大于或等于任何一条直角边的长度。
2. 角度关系：直角三角形中，直角的两个相邻角是锐角，且它们的和等于90度。
而斜边所对应的角称为直角的对角，它是直角三角形中最大的角。
3. 边角关系：直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和。
这就是著名的勾股定理。
二、勾股定理的原理和应用勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，它指出在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即，设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有勾股定理的数学表达式：a²+ b² = c²。
勾股定理是解决直角三角形相关问题的重要定理，应用广泛。
以下是一些常见的勾股定理应用：1. 求边长：当已知直角三角形的两条边长时，可以利用勾股定理求解第三条边的长度。
例如，已知一直角三角形的一个直角边长为3，另一直角边长为4，我们可以使用勾股定理计算斜边长：3² + 4² = 5²，得到斜边长为5。
2. 判断直角三角形：通过验证勾股定理，可以判断一个三角形是否为直角三角形。
例如，已知一个三角形的三条边长为3、4和5，我们可以使用勾股定理验证：3² + 4² = 5²，符合勾股定理，所以这个三角形是直角三角形。
3. 解决实际问题：勾股定理可以应用于实际问题，如测量无法直接测得的距离。
例如，在田地中，测量两处障碍物之间的距离时，可以用勾股定理测量出距离。
总结：直角三角形是几何学中的基本概念，勾股定理则是解决直角三角形相关问题的重要定理。
勾股定理
勾股定理【知识点】１．勾股定理（只适用于直角三角形）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=２.勾股定理的证明证明方法1：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．证明方法2：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=证明方法3：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须注明所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，bacbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bc cbaED CBA②可运用勾股定理解决一些实际问题③利用勾股定理作长为 n （n 为大于1的整数）的线段５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 注意：①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较：若222a b c +=时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形； 若222a b c +<时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形； 若222a b c +>时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）考点例析考点1：已知直角三角形两边边长，求第三边边长1、如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+2、直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长 A 、4 cmB 、8 cmC 、10 cmD 、12 cm3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25B 、14C 、7D 、7或254、在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长考点2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
中考数学复习之直角三角形的性质、勾股定理,考点过关与基础练习题
23. 直角三角形和勾股定理➢ 知识过关1.直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________．3. 特殊的直角三角形➢ 考点分类考点1直角三角形的性质例117．如图，在△ACD 中，BC ⊥AD 于B ，AC ＝AD ＝3，AB ＝2，则CD ＝（ ）A ．6B ．√6C ．√5D ．4ACB 45°1130°234211BCABCA BCAa 2+b 2=c2CBAC B A A BC ABC C BA2mm AB C 30°考点2勾股定理及其逆定理例2如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．45例3等面积法例3若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P 到各边的距离都相等，则这个距离是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1➢ 真题演练1．如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 均在正方形格点上，则C 点到AB 的距离为（ ）A ．3√1010B ．2√105C ．5√104D ．4√1052．如图，AB ＝AC ＝13，BP ⊥CP ，BP ＝8，CP ＝6，则四边形ABPC 的面积为（ ）A ．48B ．60C ．36D ．723．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，若以AC 边和BC 边向外作等腰直角三角形AFC 和等腰直角三角形BEC ．若△BEC 的面积为S 1，△AFC 的面积为S 2，则S 1+S 2＝（ ）A ．36B ．18C ．9D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．163D ．65．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）A ．√302B ．85√5 C ．45√5 D ．√1326．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE ＝5，AB ＝13，则EF 的值是（ ）A ．7B ．2√3C ．√13D ．7√27．如图，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，DA ＝DB ，AB 与CD 交于点E ，若BC ＝2，AB ＝4，则点D 到AC 的距离是（ ）A.5√56B ．6√55C ．4√55D ．5√548．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°9．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）A．8B．12C．14D．1610．如图，四边形ABCD中，连接BD，O为BD中点，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，则∠CAO＝（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°➢课后练习1.如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC 于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤S△BFGS△AFD =BFAF．A．5个B．4个C．3个D．2个3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF= 12S△ABC；⑤EF的最小值为√2；⑥BE2+CF2＝EF2．则正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为8；③∠AOB＝150°；④四边形AOBO′的面积是24+16√3；⑤S△AOC+S△AOB＝24+9√3 4．其中正确结论有（）个．A．5B．4C．3D．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤6．如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD ＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S △BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④➢冲击A+如图1，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C 作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是圆O的切线；（2）如图2，点F在圆O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．①求证：CF＝2CD；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．。
勾股定理与三角形
勾股定理与三角形勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了直角三角形三条边的关系。
本文将介绍勾股定理的原理和应用，以及它与三角形的关联。
1. 勾股定理的原理勾股定理由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，它的原理可以用以下公式表示：在一个直角三角形中，设两直角边分别为a和b，斜边为c，则有：a² + b² = c²。
2. 勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用价值，在几何学和物理学中常被使用。
以下是其中的几个应用场景：2.1 计算直角三角形的边长已知直角三角形的两条边长，可以通过勾股定理来计算斜边的长度。
同样地，已知斜边和一条直角边的长度，也可以通过勾股定理求解剩余的边长。
2.2 判断三条边是否构成直角三角形根据勾股定理，如果三条边的边长满足 a² + b² = c²，那么这三条边可以构成一个直角三角形。
通过勾股定理，我们可以快速验证一个三角形是否为直角三角形。
2.3 判断三角形的形状对于一个非直角三角形，我们可以通过勾股定理判断其形状。
如果a² + b² < c²，那么该三角形为钝角三角形；如果 a² + b² > c²，那么该三角形为锐角三角形。
3. 勾股定理与三角形的关联勾股定理与三角形有着密切的联系，三角形的性质可以通过勾股定理来研究。
利用勾股定理，我们可以推导出正弦定理和余弦定理。
其中，正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中A、B、C为三角形的角度。
余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中C为三角形的夹角，a、b为两边的边长。
通过正弦定理和余弦定理，我们可以更全面地研究三角形的性质和关系，进一步拓宽勾股定理的应用范围。
结语勾股定理是数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形边长的关系。
23 直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理一、选择题1.（2011山东滨州）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（）A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5【答案】C2. （2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）A2m B.3mC.6mD.9mO（第2题图）【答案】C3. （2011台湾全区）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？A． 100 B． 180 C． 220 D． 260【答案】Ｃ4. （2011湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为A. 3cmB. 6cmC. 32cmD. 62cm【答案】D5. （2011贵州贵阳）如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（第5题图）（A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）7 【答案】D6. （2011河北、）如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A ．21B ．2C ．3D ．4图3A 'CBADE【答案】B二、填空题1. （2011山东德州）下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形． 【答案】① ④2. （2011浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3． 若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是 ．【答案】1033. (2011重庆綦江) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC ＝6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE ＝ 米时,有DC 2＝AE 2＋BC 2.【答案】：314 4. （2011四川凉山州）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +=”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：。
直角三角形的勾股定理
直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是数学中的一个重要定理，它表明在一个直角三角形中，三条边之间的关系可以通过一个简洁的等式来描述。
在本文中，我们将详细介绍直角三角形的勾股定理，包括定理的内容、推导过程以及实际应用。
一、定理内容直角三角形的勾股定理可以用一个简洁的等式来表示：c²= a²+ b²，其中c表示直角边，a和b表示其他两条边。
这个等式意味着，在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方之和。
二、推导过程直角三角形的勾股定理可以通过几何推导和代数推导两种方法得出。
1. 几何推导：通过在直角三角形内部构造一个正方形，可以得到勾股定理的一种几何证明。
具体过程如下：假设直角三角形ABC，其中∠C为直角。
在三角形ABC内部，以边AC为边长，构造正方形ACDE。
连接线段BD，则线段BD的长度等于直角边AC的长度。
平方定理表明，在正方形ACDE中，AC² + AD² = CD²。
由于正方形的特点，AD的长度等于直角边BC的长度，即AD = BC。
代入以上等式，可得AC² + BC² = CD²。
由于直角三角形的两个直角边分别等于AC和BC的长度，所以该等式可以转化成a² + b² = c²，即直角三角形的勾股定理。
2. 代数推导：通过使用平面直角坐标系，将直角三角形的三个顶点表示为坐标点，可以得到勾股定理的另一种代数证明。
具体过程如下：假设直角三角形ABC，其中∠C为直角。
将顶点A表示为坐标原点(0, 0)，顶点B表示为坐标点(b, 0)，顶点C表示为坐标点(0, c)。
则直角三角形的两个边分别可以表示为向量AB和向量AC。
向量AB的坐标为(b, 0)，向量AC的坐标为(0, c)。
根据向量的运算法则，向量的模长等于其坐标的平方和的平方根。
所以有|AB| = √(b² + 0²) = b ，|AC| = √(0² + c²) = c。
直角三角形的全部定理
直角三角形的全部定理
三角形是由三条相交的线段构成的，当三条线段边异一条角是直角时，就称为直角三角形。
1、勾股定理：
勾股定理（Pythagorean Theorem）指出了直角三角形的小边长之和等于斜边长的平方。
a² + b² = c² ;其中a,b为直角三角形的直角边，c为斜边的长度。
2、直角边的乘积等斜边的平方：
直角三角形的两条直角边之积等于斜边的平方。
AB ×BC = AC² ;其中AB,BC为两个直角边，AC为斜边的长度。
全等三角形的等价定理（Theorem of Congruent Triangles）指出当三角形的相应边之比相等，其内角也相等时，两个三角形完全相同。
4、里努森定理：
勾股定理的变种（modified Pythagorean Theorem）指出一条斜边一定长，一条直角边拓展成相当于原斜边的另一个直角边，新的直角边的平方乘以拓展另一条直角边的长就等于原斜边长的平方乘以2.
7、斜边长度萨沃定理：
斜边长度萨沃定理（Law of Sines）指出在直角三角形中，每个非直角角的正弦值与该角所在的斜边的长度的比值等同。
8、惠更斯定理：
惠更斯定理（Theorem of Heron）指出任何一个三角形的面积可由根据它的三条边的长度求出来。
9、加布鲁维定理：
加布鲁维定理（Theorem of Gauss-Bonnet）指出正n边形的外接圆的半径等于m个内角的和除以2m。
直角三角形的定理
直角三角形的定理直角三角形是指其中一个角度为90°的三角形，直角三角形的特点是其中两条边相互垂直。
在数学中，有几个重要的定理与直角三角形相关，包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。
本文将详细介绍这些定理及其应用。
一、勾股定理勾股定理是直角三角形中最著名且最基础的定理之一。
它表明：在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边平方的和。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²勾股定理可以用于求解各种与直角三角形有关的问题，例如已知两条直角边的长度，可以通过勾股定理求解斜边的长度，或者已知斜边和一条直角边的长度，可以通过勾股定理求解另一条直角边的长度。
二、正弦定理正弦定理是直角三角形中三角函数的重要定理之一，它是一个可以用于求解任意三角形的定理，不仅仅适用于直角三角形。
正弦定理表明：在一个三角形中，任意两条边的长度和它们夹角的正弦之比相等。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC对于直角三角形来说，其中一个角度为90°，而正弦值由定义可知，在90°角度对应的正弦值为1。
因此，正弦定理在直角三角形中可以简化为：a/sinA = b/sinB = c正弦定理可以用于求解直角三角形中非直角边的长度，或者求解三角形的角度。
三、余弦定理余弦定理也是直角三角形中三角函数的重要定理之一，它可以用于求解任意三角形的长度和角度。
余弦定理表明：在一个三角形中，任意一条边的平方等于另外两条边平方的和与这两条边的乘积的2倍的余弦值之积。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC对于直角三角形来说，其中一个角度为90°，而余弦值由定义可知，在90°角度对应的余弦值为0。
直角三角形的特征与勾股定理
直角三角形的特征与勾股定理直角三角形是指一个角度为90度的三角形，由于其独特的性质，我们可以通过勾股定理来研究直角三角形的相关特征。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于其他两个边的平方之和，即a² +b² = c²。
特征一：直角直角三角形的最明显特征就是其中一个角度为90度。
这个直角角度将直角三角形的两个边分为直角边和斜边。
直角边为与直角相邻的两条边，斜边则为直角的对边。
特征二：勾股定理勾股定理是直角三角形的重要特征。
根据勾股定理，直角边的平方等于斜边的平方减去另外一个直角边的平方。
换句话说，勾股定理表明了在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边上的平方。
特征三：比例性质直角三角形还有一些比例性质。
以直角边为基准，可以得到以下比例关系：- 正弦定理：直角边与斜边的比例为正弦值，即sinθ = 直角边 / 斜边；- 余弦定理：直角边与斜边的比例为余弦值，即cosθ = 直角边 / 斜边；- 正切定理：直角边与斜边的比例为正切值，即tanθ = 直角边 / 斜边。
特征四：特殊直角三角形在直角三角形中，有一些特殊的角度值会得到整数的边长比例。
最常见的例子是3:4:5和5:12:13的比例关系。
这种特殊的直角三角形在建筑、工程和几何学中得到广泛应用。
勾股定理的应用举例：勾股定理可以应用在解决各种与直角三角形相关的问题中，例如测量不直接知道的边长、判断角度大小、计算面积等。
举例一：已知直角边长度，求斜边的长度如果一个直角三角形的直角边的长度分别为a和b，我们可以通过勾股定理来求解斜边的长度c。
利用公式c² = a² + b²，我们可以得到c = √(a² + b²)。
举例二：已知两个边的长度，求直角的大小根据两条直角边的长度a和b，我们可以使用反三角函数来计算直角的大小。
例如，如果已知a = 3，b = 4，则利用反正切函数可以得到直角的大小θ = arctan(3/4) ≈ 36.87°。
勾股定理-讲义
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
23 直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2014•海南,第6题3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）2．（2014•随州，第7题3分）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）米BC=503．（2014•黔南州，第11题4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm考点：含30度角的直角三角形．分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的记录相等得出ED=CE，即可得出CE的值．解答：解：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm，∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm；故选C．点评：此题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED=CE．4．(2014年广西钦州，第12题3分)如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）A．1种B．2种C．3种D． 4种考点：勾股定理的应用．专题：计算题．分析：如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可．解答：解：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为+1=2+1，则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，故选C点评：此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键．5．(2014年贵州安顺，第9题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．A B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．.分析：tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．解答：解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2x，则BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．则tan∠CFB==．故选C．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．6．（2014•山西，第4题3分）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A．黄金分割B．垂径定理C．勾股定理D．正弦定理考点：勾股定理的证明．分析：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明．解答：解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．故选C．点评：本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明．7. （2014•乐山，第7题3分）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则CD的长为（）．．=BC AC，即2=×=8. （2014•丽水，第4题3分）如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（）解：如图9．(2014年湖北黄石) （2014•湖北黄石,第5题3分）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）第1题图A．30°B．60°C．90°D．120°考点：直角三角形的性质．分析：根据直角三角形两锐角互余解答．解答：解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，∠1+∠2=90°．故选C．点评：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．10．（2014•湖北荆门,第12题3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）第2题图A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm考点：平面展开-最短路径问题．分析：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．解答：解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=4+4=8，∴AC=2，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4cm．故选A．点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决11．（2014•四川绵阳,第11题3分）在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（）．．解得2×＜（此时不能构成三角形，舍去）∴取××n n二、填空题1. （2014•无锡，第15题2分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8．=82．(2014年广西南宁，第17题3分）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．.分析：根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD 即可．解答：解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=20海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=12×sin60°=20×=10海里，故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．3．(2014•黑龙江牡丹江, 第16题3分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于12cm．第1题图考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质．版权所有分析：根据三角形的面积求得=，根据勾股定理求得AB2=BC2+36，依据这两个式子求出AB、BC的值，即可求得周长．解答：解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，∴AB•CE=BC•AD，∵AD=6，CE=8，∴=，∴=，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC，∵AB2﹣BD2=AD2，∴AB2=BC2+36，∴=，整理得；BC2=，解得：BC=，∴AB=×BC=×=，∴△ABC的周长=2AB+BC=2×+=12．故答案为12．点评：本题考查了三角形的面积以及勾股定理的应用，找出AB与BC的数量关系是本题的关键．三、解答题1. （2014•河北，第22题10分）如图1，A，B，C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=100米．四人分别测得∠C的度数如下表：他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2，图3：（1）求表中∠C度数的平均数：（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；（3）用（1）中的作为∠C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75））=372、（2014•河北，第23题11分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABEF是菱形．（（2、（2014•宁夏，第20题6分）在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．，解中，∵∴．=22．(2014年广西钦州，第24题9分)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．解答：解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，∴CE==4+≈5.7（米），答：拉线CE的长约为5.7米．点评：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．3．（2014•湖北黄石,第22题8分）小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6）（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）第1题图考点：勾股定理的应用分析：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可；（2）分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案．解答：解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，∵∠ABC=120°，BC=20，∴BE=10，在△ACE中，∵AC2=8100+300，∴；（2）乘客车需时间（小时）；乘列车需时间（小时）；∴选择城际列车．点评：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形．。
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直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2014•湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（）2. （2014•湘潭，14题，3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，P A 切⊙O于A点，则P A=4．（第2题图）=43. （2014•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（），，（、底边上的高是=4. （2014•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）（第4题图）=，5.（2014•扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）（第5题图）B﹣2 ∠AC，==2﹣）﹣=﹣===6. （2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C． 4 D． 5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．7. （2014•广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．分析：连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论．[来源:Z.xx.k.]解答：解：连接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴=，∴===．故选B．点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．8.（2014•滨州，第7题3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（），）9．（2014年山东泰安，第8题3分）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7C．8D．10 分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFD的中位线，∴BF=2ED=8．故选：C．点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．10．（2014年山东泰安，第12题3分）如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．3cm 分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷=cm，在Rt△ADE中，DE=BD•tan30°=×=cm．故选A．点评：本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．二.填空题1. （2014•福建泉州，第14题4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为5cm．=AB2. （2014•广东，第14题4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为3．考点：垂径定理；勾股定理．分析：作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．解答：解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC===3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．3．（2014•新疆，第14题5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．=5AC ，∠=，即=，解得=故答案为：．4.（2014•邵阳，第17题3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ．∠A =30°，AB =8，则DE 的长度是 2 ．AD5.（2014·云南昆明，第10题3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =10cm ，点D 为AC 的中点，则BD =第10题图DCBAcm.三.解答题1. （2014•湘潭，第19题）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）=4002. （2014•益阳，第20题，10分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．（第2题图），解得，=，即正方形的边长为3. （2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．（第3题图），根据≠且≠•（﹣，最后根据x﹣+）=4×=2．，在=，，≠且≠，此时△），=PB=﹣x=x=x，x﹣）x+•（x）x）时，取得最小值x4. （2014•株洲，第21题，6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．5. （2014•株洲，第22题，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．=，在===m=，===6. （2014•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形AB C．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．（第6题图），×=×的面积为===．．===，，==的长度为7. （2014•泰州，第23题，10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥A C．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．（第7题图）BD×==2，=68.（2014•泰州，第25题，12分）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b 为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（第8题图）（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．xx（，（（﹣（b bFG﹣（﹣（﹣﹣与x（，9. （2014•扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（第9题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．=AB AP===．DAP=．PQQPQ QB=4．PB=2210．（2014•安徽省,第19题10分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相似比可计算出⊙O的半径OC=9；接着在Rt△OCF中，根据勾股定理可计算出C=3，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．解答：解：∵OE⊥AB，∴∠OEF=90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC=90°，而∠EOF=∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，∴⊙O的半径OC=9；在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，∴CF==3，∵OF⊥CD，∴CF=DF，∴CD=2CF=6．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．11. （2014•珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．（1）求BE的长；（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．，；=，即=，﹣；=，即BD=×2=重叠（阴影）部分的面积为12．（2014•温州，第22题8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣A．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+a B．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2证明：连结过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．ab bab cab b a。