复变函数与积分变换 第8.1 傅立叶变换的概念

2π 2π π = = , f4 (t ) = ∑ f (t + 4n), ω = T 4 2 n=∞
+∞
nπ ωn = nω = . 2
f4(t)
1
T=4
1
3
t
10
1 jωnt 则离散频谱 cn = fT (t )e dt T ∫2 T
T 2
1 1 jωn t 1 2 jωn t e dt = ∫ f 4 ( t )e dt = 4 1 4 2 1 1 1 jω jω jωn t = = e (e e 4 jωn 4 jωn 1
则fT ( t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： 级数， 处成立：
a0 ∞ fT ( t ) = + ∑ ( an cos பைடு நூலகம்ω t + bn sin nω t ) 2 n=1
4
a0 ∞ fT ( t ) = + ∑ ( an cos nω t + bn sin nω t ) 其中ω = 2π T , 2 n=1
cn ：fT ( t )的离散振幅频谱； 散振幅频谱；
arg cn：fT ( t )的离散相位频谱； n ∈ Ζ. 位频谱；
描述某种信号， 若以fT ( t ) 描述某种信号，则cn可以刻画 fT ( t )的 频率特征。 频率特征。
7
对任何一个非周期函数f 都可以看成是由某个 对任何一个非周期函数 (t)都可以看成是由某个 周期函数f 当 →∞时转化而来的. →∞时转化而来的 周期函数 T(t)当T→∞时转化而来的 作周期为T的函数 使其在[-T/2,T/2]之内等于 作周期为 的函数fT(t), 使其在 的函数 之内等于 f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期 延拓到整个数轴上 则 之外按周期T延拓到整个数轴上 之外按周期 延拓到整个数轴上, T越大 fT(t)与f (t)相等的范围也越大 这说明当 →∞ 越大, 相等的范围也越大, 越大 与 相等的范围也越大 这说明当T→∞ 周期函数f 便可转化为 便可转化为f 时, 周期函数 T(t)便可转化为 (t), 即有
0, n = 0,1,±2,±4,5,±6,±8,9 2. arg cn = π , 其它
3. f4 (t ) =
n=∞
∑ f (t + 4n),
jnω 0 t n
+∞
=
n = +∞
n = ∞
∑c e
1 sin ω n jnω 0 t e = ∑ ωn n = ∞ 2
n = +∞
12
sin x 抽样函数介绍: 例2. 抽样函数介绍: sinc( x ) = x
21
1 +∞ T jωnt 2 jωnτ dτ e 可知 f (t ) = lim ∑ ∫T fT (τ )e T→+∞ T n=∞ 2
当n取一切整数时, ωn所对应的点便均匀分 布在整个数轴上: 布在整个数轴上:
2π T 2π T
O ω1 ω2 ω3
令ω = ωn ωn1 = 2π T (与n无关 )，T = 2π ω
T
+∞
1 +∞ f (t ) = lim F (ωn )ejωnt ωn ∑ ωn →0 2 π n=∞ T T 2 +∞ iωnτ FT (ωn ) = ∫ fT (τ )e dτ → ∫ f (τ )e iωτ dτ F (ω ) (T → +∞ )
T T 定理： 周期函数， 上满足： 定理：fT ( t )为T 周期函数，在 , 上满足： 2 2
Dirichlet条件： 条件： 条件
连续或仅有有限个第一类间断点； (1) fT (t)连续或仅有有限个第一类间断点； 仅有有限个极值点. ( 2 ) fT ( t )仅有有限个极值点.
ω
14
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f(t)为基础构造一 为基础构造一 周期为8的周期函数 周期为 的周期函数f8(t): 的周期函数
f8 (t ) =
n=∞
∑
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = f (t + 8n), ω = T 8 4 4
f8(t)
引进复数形式： 引进复数形式：
e inω t + e inω t e inω t e inω t cos nω t = , sin nω t = 2 2i
5
级数化为： 级数化为：
a0 ∞ e inωt + e inω t e inω t e inω t + ∑ an + bn 2 n=1 2 2i
, 严格讲函数在x = 0处是无定义的 但是因为 sin x lim =1 x →0 x
所以定义 sinc(0) = 1, 则函数在整个实轴连续。 则函数在整个实轴连续。
sinc(x)
x
13
可将cn以竖线标在频率图上
1 , ) 前面计算出 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1 ±2, 2 2π nπ ωn = nω = n = , T 2
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所 有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函 数的线性组合来逼近.---- Fourier级数 级数. 数的线性组合来逼近 级数
方波
4个正弦波的逼近 个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 个正弦波的逼近
3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情 况即可, 通常研究在闭区间[ 内函数变化的情况. 况即可 通常研究在闭区间 T/2,T/2]内函数变化的情况 内函数变化的情况
+∞
即
1 T2 ωn = nω = 2nπ T , cn = ∫ fT ( t )e iωnt dt T T 2 1 +∞ T2 j ωn t jωnτ fT ( t ) = ∑ ∫ T fT (τ )e dτ e . T n=∞ 2
T→+∞
由
lim fT (t ) = f (t )
∞ = a0 + an ibn e inω t + an + ibn e inω t 2 ∑ 2 2 n =1
a0 an ibn an + ibn 则 , dn = , 令 c0 = , cn = 2 2 2
1 T2 c0 = ∫ fT ( t )dt T T 2
1 T2 1 T2 cn = ∫ fT ( t ) [cos nω t i sin nω t ] dt = ∫T 2 f ( t )T e inωt dt T T T 2 1 T2 1 T2 = ∫ f ( t )T e inωt dt dn = ∫ f ( t ) [cos nω t + i sin nω t ] dt T 2 T T T 2 T c n ( n = 1, 2,) (c n = cn )
T 2
(
)
19
当周期T越来越大时 当周期 越来越大时, 各个频率的正弦波的 越来越大时 频率间隔越来越小, 频率间隔越来越小 而它们的强度在各个频率 的轮廓则总是sinc函数的形状 因此 如果将方波 函数的形状, 因此, 的轮廓则总是 函数的形状 函数f 看作是周期无穷大的周期函数 看作是周期无穷大的周期函数, 函数 (t)看作是周期无穷大的周期函数 则它也 可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成。 可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成。
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2, ) 8 2π nπ 以竖线标在频率图上. ωn = nω = n = , 再将cn以竖线标在频率图上. 16 8
ω
18
一般地, 对于周期T 一般地 对于周期
1 1 1 jωnt jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt = ∫ e dt T 2 T 1 1 1 1 jωnt jωn jωn = e = e e Tjωn Tjωn 1 2 sinωn 2 = = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2, ) T ωn T
6
1 T2 cn = ∫ fT ( t )e inωt dt ( n = 0, ±1, ±2,) 合并为： 合并为： T T 2
级数化为： 级数化为：∑ cne
n =∞
+∞
inω t
1 +∞ T 2 fT (τ )e inωτ dτ e inωt = ∑ ∫ T n=∞ T 2
cn = F ( nω )：fT ( t )的离散频谱； 散频谱；
20
二. Fourier积分公式 积分公式
T T 周期函数， 设fT ( t )为T 周期函数，在 , 上满足Dirichlet条件, 2 2
级数: 则 fT ( t )可展开为Fourier级数:
fT ( t ) =
n =∞
cne inωt = ∑
+∞
n =∞
cne iωnt , ∑
T→+∞
lim fT (t ) = f (t )
8
例1. 求下列矩形脉冲函数的离散频谱与其 Fourier级数的复指数形式 级数的复指数形式. 级数的复指数形式
图象如图所示: 图象如图所示
1 | t |<1 f (t) = 0 | t |≥1
f (t)
1
1
o
1
t
9
现以f 为基础构造一周期为 的周期函数f , 现以 (t)为基础构造一周期为T的周期函数 T(t),令T=4, 则
ω → 0 T → +∞, 此时视ωn为ω (连续变量)
22
{
ωn-1ωn
{
ω
1 jωnt jωnτ f (t ) = lim ∑ ∫ T fT (τ )e dτ e T→+∞ T n=∞ 2
T 2
+∞
1 = lim ωn →0 2π
2 j ωn t jωnτ ∑ ∫T2 fT (τ )e dτ e ωn n =∞
∫
n
n
)
1 sin ωn 1 = = sinc(ωn ) ( n = 0, ±1, ±2,) 2 ωn 2
11
1 sin ω n 1. cn = 2 ωn
nπ . 0, n = 0,±2,±4, ωn = nω = 1 2 = 2π 2π π , n = ±1,±3,
nπ
ω=
T
=
4
=
2
,
第八章 Fourier变换 变换
Recall:
积分变换
周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 级数； 周期函数在一定条件下可以展开为 级数 但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示； 表示； 但全直线上的非周期函数不能有 表示 引进类似于Fourier级数的 级数的Fourier积分 积分. 引进类似于 级数的 积分 (周期趋于无穷时的极限形式 周期趋于无穷时的极限形式). 周期趋于无穷时的极限形式
2 T2 an = ∫ fT ( t )cos nω tdt ( n = 0,1, 2,) T T 2
2 T2 bn = ∫ f ( t )sin nω tdt ( n = 1, 2,) T 2 T T
在间断点t处成立： 处成立：
f T ( t + 0 ) + f T ( t 0 ) a0 ∞ = + ∑ ( an cos nω t + bn sin nω t ) 2 2 n=1
)
1 1 sin ωn cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2, ) = 4 4 ωn
16
1 ) 则在T=8时, cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2, 则在 时 4 2π nπ ωn = nω = n = , 8 4
再将cn以竖线标在频率图上
ω
17
如果再将周期增加一倍, 如果再将周期增加一倍 令T=16, 可计算出
1
1
T=8
7
t
15
1 T cn = ∫ 2 fT (t )e jωnt dt T 则 T 2
1 1 jωn t 1 4 jωn t dt = ∫ f8 ( t )e dt = ∫ e 8 1 8 4 1 1 1 jωn t jωn jωn = e = e e 8 jωn 8 jωn 1
(
1
§1 Fourier变换的概念 变换的概念
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 一. Fourier 级数:在工程计算中 无论是电学还是力学 经常要和随时间而变的周期函数 打交道. 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道 例如 要和随时间而变的周期函数 打交道 例如:
t
具有性质f 其中T称作周期 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中 称作周期 而1/T代表单位时 代表单位时 间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 间振动的次数 单位时间通常取秒 即每秒重复多少次 单位是赫兹(Herz, 或Hz). 单位是赫兹