概率论与数理统计(第四版)第六章

不难看到，当n充分大时，t 分布近 似N (0,1)分布。 但对于较小的n，t分布 与N (0,1)分布相差很大。
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3、F分布
设 X ~ 2(n1),Y ~ 2(n2 ), X与Y相
互独立，则称统计量
F X n1 Y n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第 一自由度，n2称为第二自由度，记作 ： F ~F ( n1 , n2 ) .
( n 2 ) n
n
具有自由度为n的t分布的随机变量T的数 学期望和方差为:
E ( T ) = 0 ; D ( T ) = n / (n-2) , 对 n >2
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t分布的密度函数关于x=0对称，且
Lim f (x;n) 0
x
当n充分大时，其图形类似于标准正 态分布密度函数的图形。
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若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
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F0.025 ( 6,4 ) 9.20
F0.975 ( 6,4 ) ?
本, X 为样本均值。
1. 若总体分布为 N( μX ,σ2), 则 的X 精确分 布为 N(μ, σ2/n ) ；
2. 若总体分布未知或不是正态分布， 则 X 的渐近分布为 N(μ, σ2/n ) ；
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2. 样本方差与样本标准差
它反映了总体方差 的信息
样本方差
S 2
1 n
n
( 1 i1
EX Es2 2
2
DX n
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它反映了总体k 阶矩 的信息
3. 样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
4. 样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
k=1,2,…
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统计量也是随机变量，统计量的 分布称为统计量的“抽样分布” .
2
1
2
n
(
i1
Xi
)2
~
2(
n)
2. 设 X1 ~ 2(n1), X2 ~ 2(n2 ), 且X1,X2相互 独立，则 X1 X2 ~ 2(n1 n2 )
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若 X ~ 2(n), 则 EX = n, DX= 2n
由中心极限定理可得，若
X ~ 2( n )，则当n充分大时，
X n
但是，一旦取定一组样本，得到的是 n个具体的数 ( x1 , x2 , … , xn )，称为样本 的一次观察值，简称样本观察值 。
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最常用的一种抽样方法叫作“简单 随机抽样”，它要求抽取的样本满足下 面两点:
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1. 代表性： X1 , X2 , … , Xn 中每一个 与所考察的总体有相同的分布。 2. 独立性： X1 , X2 , … , Xn 是相互独 立的随机变量。
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由简单随机抽样得到的样本(子样）称 为简单随机样本（子样）。
用（ X1 , X2 , … , Xn ）表示。
简单随机样本是应用中最常见的情形，
今后，当说到（ X1 , X2 , … , Xn ）是取自
某总体的样本时，就指简单随机样本。
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3. 总体、样本、样本值的关系 总体（理论分布）
2n 的分布近似正态分布N(0,1).
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2、t 分布
设X～N(0,1) , Y～ 2(n) ,且X与Y相互
独立，则称变量
T X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布。
记为： T ～ t (n).
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T 的密度函数为：
[( n 1 ) 2 ]
x2 n1
f ( x;n)
(1 ) 2
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由定义可见，
1 F
Y X
n2 n1
~ F ( n2, n1)
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若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
f
(x;n1, n2 )
( n1n2 2
(
n1 2
)
(
)
n2 2
)
(
n1 n2
)(
Байду номын сангаасn1 n2
n1 1
x) 2
1
n1 n2
x
n1n2 2
x0
0
x0
X的数学期望为:
E ( X ) n2 n2 2
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2分布的密度函数为：
f
( x; n)
1
2n 2 (n
2)
n 1 x
x2 e 2
0
x0 x0
其中伽玛函数 ( x ) 定义为
( x ) ett x1dt , x 0 0
.
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2 分布的性质：
1. 设 X1, X2,, Xn 相互独立, 都服从分布
N (, 2 ), 则
抽样分布 精确抽样分布 （小样本问题中使用）
渐近分布
（大样本问题中使用)
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三大抽样分布
1、 2 分布
定义: 设 X1, X2,, Xn 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量：
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
所服从的分布为自由度为 n 的 2 分布.
记为： 2 ~ 2(n)
样本
样本值
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§6.2 抽样分布 1. 统计量及其抽样分布
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量。它是完全由样本决定的量。统计量的分布 称为抽样分布。
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2. 样本均值及其抽样分布
1. 样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
反映了总体均值的信息
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定理: 设 X1, X2,, Xn 是来自某总体X的样
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§6.1 随机样本 1.总体与个体
一个统计问题总有它明确的研究对象。
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体。
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在数理统计中，总体这个概念 的要旨是：
———总体就是一个概率分布。
25
20
15
10
5
0
-500
0
500
1000
1500
2000
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容量为 n 的样本（也称为子样）可以 看作 n 维随机变量： ( X1 , X2 , … , Xn )
Xi
X
)2
样本标准差
S
n
1
1
n
(
i1
Xi
X
)2
休息 结束
事实上： n ( Xi X 2 )2 n Xi2 nX 2
i1
i1
故有：
S2
1n n 1 i1
Xi2
n n1
X2
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定理 设总体X有 EX=μ, DX=σ2， X1, X2, …, Xn 是来自总体 X 的样本，则：
第六章 样本及抽样分布
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本章转入课程的第二部分
———数理统计
数理统计的特点是应用面广，分支较多。 社会的发展不断向统计提出新的问题。
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需要强调说明一点：
统计方法具有“部分推断整体”的 特征 。
因为我们是从一小部分样本观察值 去推断该全体对象（总体）情况，即由 部分推断全体。 这里使用的推理方法是 “归纳推理”。