数值计算方法教案_曲线拟合与函数逼近
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。
函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。
而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。
本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。
它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。
插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。
牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。
它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。
通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。
最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。
最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。
数值分析Ch3函数逼近与曲线拟合
正交，这就需要引进范数与赋范线性空间，内积
3．1 函数逼近的基本概念
• 定义 设集合 S 是数域 P 上的线性空间，元 素 x1 , x2 , , xn S ，若存在不全为零的数 1 , 2 , , n P ，使得 1 x1 2 x2 n xn 0 则称 x1 , x2 , , xn 线性相关，否则，若仅对
数 值 分 析
Computational Method
Chapter 3 函数逼近
第三章 函数逼近与曲线拟合 设函数 y f x 的离散数据（有误差）为
x y
，
x0 y0
x1 y1
x2 y2
xn yn
希望找到简单函数 Px 整体上有 是某度量， 0 是指定精度。
f x Px
1 x1
2 x2 x 2 , 1 1 1 , 1 x , x , 3 2 2 3 x3 3 1 1 2 , 2 1 , 1
xn , 1 xn , 2 xn , n1 1 2 n1 n xn 1 , 1 2 , 2 n1 , n1 k 1 xk , i i ( k 1,2,, n) 简写为: k x xk i 1 i , i
，
x
2
。
（连续） f x Ca, b
b
常见范数：
f x 1 f x dx • 1范数： a ，
• 2-范数：
f x 2
2 f x dx a b
1 2
f x max f x • 范数： ， a ,b
(整理)数值分析课件 第3章 函数逼近与曲线拟合
第三章 函数逼近与曲线拟合1 函数的逼近与基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。
当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。
这个误差分布是不均匀的。
当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。
插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。
更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。
如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。
由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。
如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
实验数据真函数插值多项式逼近精确的线性逼近图11.2范数与逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间.所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间.在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间.定义1 设X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数，即对于任意,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件(1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =；(2) 齐次性：x x αα=；(3) 三角不等式：x y x y +≤+；称为X 上的范数，定义了范数的线性空间就称为赋范线性空间.以上三个条件刻划了“长度”、“大小”及“距离”的本质，因此称为范数公理.对n X 上的任一种范数，n X ∀∈x,y ，显然有±≥-x y x y .n R 上常用的几种范数有：(1) 向量的∞-范数：1max i i nx ∞≤≤=x(2) 向量的1-范数：11n i i x ==∑x(3) 向量的2-范数：12221()n i i x ==∑x (4) 向量的p -范数：11()n p pi p i x ==∑x其中[1,)p ∈∞，可以证明向量函数()p N x x ≡是nR 上向量的范数. 前三种范数是p -范数的特殊情况（lim p p ∞→∞=x x ）.我们只需表明(1).事实上1111111max max max n n p pp p i i i i i n i n i n i i x x x x ≤≤≤≤≤≤==⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑及max 1p →∞=，故由数学分析的夹逼定理有1l i m ma x i p p i nx ∞→∞≤≤==x x 。
数值分析---函数逼近与曲线拟合
xk
cos 2k 1 , k
2n
1,2,
若将xn用T0(x),T1(x), …,Tn(x)的线性组合表 示,则其公式为
n
x n
21n
2 k 0
n
k
Tn
2
k
( x).
3.3 最佳一致逼近多项式
• 最佳一致逼近多项式 是讨论 f∈C[a, b],在Hn=span{1,x,…xn}中求 多项式 Pn* ( x) , 使其误差
第3章 函数逼近与曲线拟合
本章基本内容
• 函数逼近的基本概念 • 正交多项式—Lagrange and Chebyshev • 最佳一致逼近多项式 • 最佳平方逼近多项式 • 曲线拟和的最小二乘法
拟合与逼近
本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函 数的问题.上章提到的插值就是近似代替的方 法之一,插值的近似标准是在插值点处误差为 零. 但在实际应用中,有时不要求具体某些点 误差为零,而要求考虑整体的误差限制 ,这就 引出了拟合和逼近的概念.
例题：利用 Gram-schmidt 方法构造 [0,1] 上带权
( x)
ln
1 x
的前3个正交多项式
0 ,1, 2
解：利用正交化公式来求
( x) ln 1 ln x
x
0 (x) 1
1 (x)
x
( x 0 ) ( 0 0 )
0
2 (x)
x2
(x
(
2 0
0 0
) )
0
(x 21 (11
(正定性) (2)‖αx‖＝|α|‖x‖,α∈R;
(齐次性) (3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖,x,y∈S. (三角不等式) 则称 || || 为线性空间S上的范数, S与 || || 一起称为赋范线性空间,记为X.
数值计算方法教案51
第5章 多项式逼近与曲线拟合教学目的 1. 理解连续函数空间，正交多项式理论；2. 掌握最佳平方逼近及最小二乘逼 近函数的求解方法；3. 理解非线性模型举例的有关知识的基础上会求模型的逼近函数。
教学重点及难点 重点是最佳平方逼近及最小二乘逼近函数的求解。
难点是会求非线性模型的逼近函数。
教学时数 6学时 教学过程§1 引言在科学计算中有下述两类逼近问题。
1．关于数学函数的逼近问题由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计算机上计算数学函数（例如x x f e x f x sin )(,)(==等在有限区间上计算）必须用其他简单的函数来逼近（例如用多项式或有理分式来逼近数学函数，）且用它来代替原来精确的数学函数的计算。
这种函数逼近的特点是：（a ）要求是高精度逼近；（b ）要快速计算（计算量越小越好）。
2．建立实验数据的数学模型给定函数的实验数据，需要用较简单和合适的函数来逼近（或拟合实验数据）。
例如，已知)(x f y =实验数据mm y y y x f x x x x 2121)(希望建立)(x f y =数学模型（近似表达式），这种逼近的特点是： （a ）适度的精度是需要的； （b ）实验数据有小的误差；（c ）对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数据的数学模型。
事实上，我们已经学过一些用多项式逼近一个函数)(x f y =的问题，例如 （1）用在0x x =点Taylor 多项式逼近函数 设)(x f y =在[a,b]上各阶导数)1,,1,0)(()(+=n i x fi 存在且连续，],[0b a x ∈，则有)()(!)())((')()(00)(000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-+=)()(x R x P n n +≡其中εε],,[,)()!1()()(10)1(b a x x x n f x R n n ∈-+=++在0x 和x 之间。
数值分析函数逼近与曲线拟合省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件优选全文优选全文优选全文
用正交函数做最佳平方逼近(返回)
最佳平方逼近多项式(例题)
最佳平方逼近多项式例题(返回)
线性模型例题(返回)
线性模型图例(返回)
指数模型例题(返回)
指数模型图例(返回)
双曲模型图例(返回)
S-曲线模型图例(返回)
§3.6最佳平方三角逼近与FFT(返回)
最佳平方三角逼近 三角二乘拟合及插值 离散傅立叶变换 迅速傅立叶变换(FFT)
最佳平方三角逼近(返回)
离散傅立叶变换(返回)
迅速傅立叶变换(FFT)(返回)
§3.7 有理逼近(返回)
有理逼近及其计算 用Taylor展式求连分式 帕德(Padé)逼近
有理逼近及其计算(返回)
用Taylor展式求连分式(返回)
帕德(Padé)逼近(例题)
Padé逼近例题(继续)
Padé逼近例题
TT11
T2
偏差与偏差点(返回)
最佳一致逼近多项式(返回)
切比雪夫定理(返回)
最佳一致逼近 多项式旳构造(例题)
切比雪夫多项式 与零旳偏差(定理)
最佳一致逼近例题(继续)
最佳一致逼近例题(返回)
最佳一次逼近多项式(例题)
最佳一次逼近多项式图示(返回)
y
f (x)
P1 ( x)
E1
a
Chebyshev多项式(性质)
Chebyshev多项式性质
Chebyshev多项式 与幂基旳转换(返回)
其他正交多项式(返回)
Weierstrass定理图示(定理)
N=2150
Legendre多项式图示(返回)
P0
PP3
P1 P2
Chebyshev多项式图示(返回)
实验二函数逼近与曲线拟合
《数值分析》课程设计实验报告实验二函数逼近与曲线拟合一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。
二、实验步骤先写出线性最小二乘法的M文件function c=lspoly(x,y,m)% x是数据点的横坐标组成的向量，y是纵坐标组成的向量% m是要构成的多项式的次数，c是多项式由高到低次的系数所组成的向量n=length(x);b=zeros(1:m+1);f=zeros(n,m+1);for k=1:m+1f(:,k)=x.^(k-1);enda=f'*f;b=f'*y';c=a\b;c=flipud(c);方法一：近似解析表达式为：y（t）=a1t+a2t2+a3t3第二步在命令窗口输入：lspoly([0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55],[0,1.27,2.16,2.86,3.44 ,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64],2)回车得到：ans =0.0000-0.00520.26340.0178即所求的拟合曲线为y=-0.0052t2+0.2634t+0.0178在编辑窗口输入如下命令：>>x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44, 3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64];>> t=0:0.1:55;>> z=-0.0052*t.^2+0.2634*t+0.0178;>> plot(x,y,'ro',t,z);grid命令执行得到如下图（图2-1）0102030405060拟合多项式与数据点的关系方法二：假设近似表达式为：y（t）=c0+c1t+c2t2第一步在命令窗口输入：>>lspoly([0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55],[0,1.27,2.16,2.86,3. 44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64],2)回车得到：ans =-0.00240.20370.2305即所求的拟合曲线为y=-0.0024t2+0.2037t+0.2305在编辑窗口输入如下命令：>>x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64];>> t=0:0.1:55;>> z=-0.0024*t.^2+0.2037*t+0.2305;>> plot(x,y,'ro',t,z);grid命令执行得到如下图（图2-2）拟合多项式与数据点的关系三、实验结论在利用数据的最小二乘法求拟合曲线时，选取合适的近似表达式很重要，应通过不断的试验找出较为合适的近似表达式，这样才能尽可能的提高拟合精度。
数值计算方法教案_曲线拟合与函数逼近
第三章 曲线拟合与函数逼近一．曲线拟合 1.问题提出：已知多组数据(),,1,2,,i i x y i N =，由此预测函数()y f x =的表达式。
数据特点：（1）点数较多。
（2）所给数据存在误差。
解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。
2.直线拟合的概念 设直线方程为y=a+bx 。
则残差为：ˆi i i e y y =-,1,2,,i N =，其中ˆi i ya bx =+。
残差i e 是衡量拟合好坏的重要标志。
可以用MATLAB 软件绘制残差的概念。
x=1:6;y=[3,4.5,8,10,16,20];p=polyfit(x,y,1); xi=0:0.01:7; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o'); y1=polyval(p,x); hold on for i=1:6plot([i,i],[y(i),y1(i)], 'r');end可以绘制出如下图形：三个准则： （1）max i e 最小 （2）1ni i e =∑最小（3）21N i i e =∑最小3.最小二乘法的直线拟合问题：对于给定的数据点(),,1,2,,i i x y i N =，求一次多项式y=a+bx ，使得总误差Q 最小。
其中()2211NNi i i i i Q e y a bx ====-+⎡⎤⎣⎦∑∑。
根据0,0.Q Qa b∂∂==∂∂ 22221222Ni i i i i i i Q y a b x y a y x b x ab =⎡⎤=++--+⎣⎦∑[]()12222Ni i i i i Q a y x b Na y b x a =∂=-+=-+∂∑∑∑ ()2212222Ni i i i i i i i i Q bx y x x a b x x y a x b =∂⎡⎤=-+=-+⎣⎦∂∑∑∑∑ 故有以下方程组（正则方程）：2i iii i i aN b x y a x b x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 例1.给定数据表，求最小二乘拟合一次多项式解：N=5，51i i x =∑=702，51i i y =∑=758，521i i x =∑=99864，51i i i x y =∑=108396。
《数值分析》第3讲：函数逼近与计算
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
实验三 函数逼近与曲线拟合
实验三 函数逼近与曲线拟合实验3.1（曲线逼近方法的比较） 问题提出：曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。
实验内容：考虑实验2.1中的著名问题。
下面的MATLAB 程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。
x=-1:0.2:1;y=1/(1+25*x.*x); xx=-1:0.02:1; p2=polyfit(x,y,2); yy=polyval(p2,xx); plot(x,y,’o’,xx,yy); xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); hold on;p3=polyfit(x,y,3); yy=polyval(p3,xx); plot(x,y,’o’,xx,yy); hold off;适当修改上述MATLAB 程序，也可以拟合其他你有兴趣的函数。
实验要求：（1）将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。
（2）归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。
实验3.2：（最小二乘拟合的经验公式和模型）1.（已知经验公式）：某类疾病发病率为y ‰和年龄段x (每五年为一段，例如0~5岁为第一段，6~10岁为第二段……)之间有形如bxae y =的经验关系，观测得（1）用最小二乘法确定模型bxae y =中的参数a 和b (提示函数：lsqcurvefit ，lsqnonlin )。
（2）利用MATLAB 画出离散数据及拟合函数bxae y =图形。
（3）利用MATLAB 画出离散点处的误差图，并计算相应的均方误差。
2．（最小二乘拟合模型未知） 某年美国轿车价格的调查资料如表，其中i x 表示轿车的使用年数，i y 表示相应的平均价格，实验要求：试分析用什么形式的曲线来拟合表中的数据，并预测实验3.3（研究最佳平方逼近多项式的收敛性质）实验内容和要求：取函数xe xf =)(，在[-1，1]上以勒让德多项式为基函数，对于10,,1,0 =n 构造最佳平方逼近多项式)(x p n ，令)()()(x p x f x n n -=ε，将x x n ~)(ε的曲线画在一个图上。
数值分析实验报告--实验3--函数逼近与曲线拟合
数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合1曲线逼近方法的比较1.1问题描述曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。
考虑实验2.1中的著名问题。
下面的MATLAB程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。
x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.*x);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);hold on;p3=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);hold off;实验要求：(1) 将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。
(2) 归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。
1.2算法设计对于曲线拟合，这里主要使用了多项式拟合，使用Matlab的polyfit函数，可以根据需要选用不同的拟合次数。
然后将拟合的结果和插值法进行比较即可。
本实验的算法比较简单，此处不再详述，可以参见给出的Matlab脚本文件。
1.3实验结果1.3.1多项式拟合1.3.1.1多项式拟合函数polyfit和拟合次数N的关系1 / 13首先使用polyfit函数对f(x)进行拟合。
为了便于和实验2.1相比较，这里采取相同的参数，即将拟合区间[-1,1]等分为10段，使用每一段区间端点作为拟合的数据点。
分别画出拟合多项式的次数N=2、3、4、6、8、10时，f(x)和多项式函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment3_1_1.m。
Figure 1 多项式拟合与拟合次数N的关系可以看出，拟合次数N=2和3时，拟合效果很差。
增大拟合次数，N=4、6、8时，拟合效果有明显提高，但是N太大时，在区间两端附近会出现和高次拉格朗日插值函数类似的龙格现象。
函数逼近与曲线拟合
函数逼近与曲线拟合3.１函数逼近的基本概念3.1.1 函数逼近与函数空间在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识．数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间．定义１设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得， (3.1.1)则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关．若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有则称为空间Ｓ的一组基，记为，并称空间Ｓ为n维空间，系数称为x在基下的坐标，记作，如果Ｓ中有无限个线性无关元素，…，则称Ｓ为无限维线性空间．下面考察次数不超过n次的多项式集合，其元素表示为， (3.1.2）它由个系数唯一确定．线性无关，它是的一组基，故，且是的坐标向量，是维的．对连续函数，它不能用有限个线性无关的函数表示，故是无限维的，但它的任一元素均可用有限维的逼近，使误差（为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理．定理１（Weierstrass）设，则对任何，总存在一个代数多项式，使在上一致成立．这个定理已在“数学分析”中证明过．这里需要说明的是在许多证明方法中，伯恩斯坦１９１２年给出的证明是一种构造性证明．他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式， (3.1.3)其中，其中，并证明了在上一致成立；若在上阶导数连续，则．这不但证明了定理１，而且由(3.1.3)给出了的一个逼近多项式．它与拉格朗日插值多项式很相似，对，当＝１时也有关系式． (3.1.4)这只要在恒等式中令就可得到．但这里当时还有，于是是有界的，因而只要对任意成立，则有界，故是稳定的．至于拉格朗日多项式，由于无界，因而不能保证高阶插值的稳定性与收敛性．相比之下，多项式有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条插值效果差得多，实际中很少被使用．更一般地，可用一组在上线性无关的函数集合来逼近，元素，表示为． (3.1.5) 函数逼近问题就是对任何，在子空间中找一个元素，使在某种意义下最小．3.1.2 范数与赋范线性空间为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是空间中向量长度概念的直接推广．定义2.1.2 设为线性空间，，若存在唯一实数，满足条件：（1）正定性：，（2）当且仅当时，（3）；（4）齐次性：，（5）；（6）三角不（7）等式：，（8）．则称为线性空间上的范数，与一起称为赋范线性空间，记为．例如，在上的向量，三种常用范数为类似地对连续函数空间，若可定义三种常用范数如下：可以验证这样定义的范数均满足定义3.1.2中的三个条件．3.1.3 内积与内积空间在线性代数中，中两个向量及的内积定义为．若将它推广到一般的线性空间，则有下面的定义．定义3.1.3设是数域上的线性空间，对，有中一个数与之对应，记为，它满足以下条件：（１）；（２）；（３）；（４），当且仅当时，．则称为上与的内积．定义了内积的线性空间称为内积空间．定义中（１）的右端称为的共轭，当为实数域时．如果＝０，则称与正交，这是向量相互垂直的概念的推广．关于内积空间性质有以下重要定理．定理3.1.2设为一个内积空间，对，有(3.1.6) 称为Cauchy-Schwarz不等式．［证明］当时(3.1.6)式显然成立．现设，则，且对任何数有．取，代入上式右端，得，即得时．定理证毕定理3.1.2设为一个内积空间，，矩阵（3.1.7）称为Gram矩阵，则Ｇ非奇异的充分必要条件是线性无关．［证明］Ｇ非奇异等价于，其充分必要条件是齐次方程组(3.1.8) 只有零解．而(3.1.9) 从以上的等价关系可知，等价于从(3.1.8)推出．而后者等价于从(3.1.9)推出，即线性无关．定理证毕在内积空间上可以由内积导出一种范数，即对于，记(3.1.10) 容易验证它满足范数定义的三条性质，其中三角不等式(3.1.11)可由定理3.1.2直接得出，即两端开方即得(3.1.11）．例１与的内积．设，，，则其内积定义为(3.1.12)由此导出的向量２－范数为．若给定实数，称为权系数，则在上可定义加权内积为(3.1.13)相应的范数为．不难验证(3.1.13)给出的满足内积定义的４条性质，当时，(3.1.13)就是(3.1.12)．如果，带权内积定义为(3.1.14) 这里仍为正实数序列，为的共轭．在上也可以类似定义带权内积，为此先给出权函数的定义．定义３.1.4 设是有限或无限区间，在上的非负函数满足条件：（１）存在且为有限值；（２）对上的非负连续函数，如果，则．则称为上的一个权函数．例２上的内积．设，是上给定的权函数，则可定义内积． (3.1.15)容易验证它满足内积定义的４条性质，由此内积导出的范数为． (3.1.16)称(3.1.15)和(3.1.16)为带权的内积和范数．特别常用的是的情形，即若是中的线性无关函数族，记，它的Gram矩阵为(3.1.17)根据定理3.1.3可知线性无关的充分必要条件是．3.2 正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有着重要的应用．3.2.1 正交函数族与正交多项式定义3.2.1 若，为上的权函数且满足， (3.2.1)则称与在上带权正交．若函数族满足关系(3.2.2)则称是上带权的正交函数族；若，则称之为标准正交函数族．例如，三角函数族就是在区间上的正交函数族．因为对有，而对，当时有定义3.2.2 设是上首项系数的次多项式，为上权函数，如果多项式序列满足关系式(3.2.2)，则称多项式序列为在上带权正交，称为上带权的次正交多项式．只要给定区间及权函数，均可由一族线性无关的幂函数，利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列；，(3.2.3) 这样得到的正交多项式序列有以下性质：（１）是具有最高次项系数为１的次多项式．（２）任何次多项式均可表示为的线性组合．（３）当时，，且与任一次数小于的多项式正交．（４）成立递推关系．其中这里．（５）设是在上带权的正交多项式序列，则的个根都是在区间内的单重实根．3.2.2 勒让德多项式当区间为［－１，１］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示．这是勒让德于１７８５年引进的，１８１４年罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式由于是２次的多项式，求阶导数后得，于是得首项系数为，显然最高项系数为１的勒让德多项式为．(3.2.6) 勒让德多项式有下述几个性质：性质１正交性(3.2.7) ［证明］令，则．设是在区间[-1,1]上的阶连续可微的函数，由分部积分知下面分两种情况讨论：（１）若是次数小于的多项式，则，故得（２）若，则，于是由于，故，于是(3.2.7)得证．性质２奇偶性（3.2.8）［证明］由于是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故为偶数时为偶函数，为奇数时为奇函数，于是(3.2.8)成立．性质３递推关系(3.2.9) ［证明］考虑＋１次多项式，它可表示为两边乘以，并从－１到１积分，得．当时，的次数小于－１，上式左端积分为０，故得．当时．为奇函数，左端积分仍为０，故．于是．其中，代入上式整理可得(3.2.9)．例１由利用性质３可得性质４在区间[-1,1]内有个不同的实零点．3.2.3 切比雪夫多项式当权函数，区间为[-1,1]时，由序列正交化得到的多项式就称为切比雪夫(Chebyshev)多项式，它可表示为(3.2.10)若令，则．切比雪夫多项式有很多重要性质：性质１递推关系(3.2.11) 这只要由三角不等式．令即得．由(3.2.11)就可推出由递推关系(3.2.11)还可得到的最高次项系数是．性质６切比雪夫多项式在区间［－１，１］上带权正交，且(3.2.12) 事实上，令，则，于是性质７只含的偶次幂，只含有的奇次幂．这性质由递推关系直接得到．性质８在区间［－１，１］上的个零点此外，实际计算中时常要求用的线性组合，其公式为． (3.2.13) 例如：结果如下：3.2.4 其他常用的正交多项式一般说，如果区间及权函数不同，则得到的正交多项式也不同．除上述两种最重要的正交多项式外，下面再给出三种较常用的正交多项式．第二类切比雪夫多项式在区间［－１，１］上带权的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为． (3.2.14)令，可得即是［－１，１］上带权的正交多项式族．还可得到递推关系式．拉盖尔多项式在区间上带权的正交多项式称为拉盖尔（Laguerre）多项式，其表达式为. (3.2.15)其正交性为和递推关系．３. 埃尔米特多项式在区间上带权的正交多项式称为埃尔米特多项式．其表达式为， (3.2.16)其正交性为递推关系为．3.3 最佳一致逼近多项式3.3.1 基本概念及其理论本节讨论，在中求多项式，使其误差．这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题．为了说明这一概念，先给出以下定义．定义3.3.1 设，，称． (3.3.1) 为与在上的偏差．显然，的全体组成一个集合，记为｛｝，它有下界０．若记集合的下确界为(3.3.2)则称之为在上的最小偏差．定义3.3.2 假定，若存在，使得， (3.3.3)则称是在上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式．注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理．定理４若，则总存在，使．为了研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点的定义．定义3.3.3设，，若在上有，就称是的偏差点．若，称为“正”偏差点．若，称为“负”偏差点．由于函数在上连续，因此，至少存在一个点，使，也就是说的偏差点总是存在的．下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理．定理3.3.2是的最佳逼近多项式的充分必要条件是在上至少有个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有个点，使． (3.3.4) 这样的点组称为切比雪夫交错点组．［证明］只证充分性．假定在上有个点使(3.3.4)成立，要证明是在上的最佳逼近多项式．用反证法，若存在，使．由于在点上的符号与一致，故也在个点上轮流取“＋”、“－”号．由连续性质，它在内有个零点，但因是不超过次的多项式，它的零点不超过．这矛盾说明假设不对，故就是所求最佳逼近多项式．充分性得证，必要性证明略，可参看［５］．定理５说明用逼近的误差曲线是均匀分布的．由这定理还可得以下重要推论．推论１若，则在中存在唯一的最佳逼近多项式．证明略．利用定理５可直接得到切比雪夫多项式的一个重要性质，即定理3.3.3 在区间［－１，１］上所有最高次项系数为１的次多项式中与零的偏差最小，其偏差为．［证明］由于，且点是的切比雪夫交错点组，由定理５可知，区间［－１，１］上在中最佳逼近多项式为，即是与零的偏差最小的多项式．定理证毕例３求在［－１，１］上的最佳２次逼近多项式．解由题意，所求最佳逼近多项式应满足由定理3.3.3可知，当时，多项式与零偏差最小，故就是在［－１，１］上的最佳２次逼近多项式．3.3.2 最佳一次逼近多项式定理3.3.2给出了最佳逼近多项式的特性，但要求出却相当困难．下面讨论的情形．假定，且在内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式．根据定理3.3.2可知至少有３个点，使由于在内不变号，故单调，在内只有一个零点，记为，于是，即．另外两个偏差点必是区间端点，即，且满足由此得到(3.3.5) 解出， (3.3.6) 代入(3.3.5)得． (3.3.7)这就得到了最佳一次逼近多项式，其几何意义如图３－３所示．直线与弦MN平行，且通过MQ的中点D，其方程为．图３－３一次最佳一致逼近多项式几何意义例4 求在上的最佳一次逼近多项式。
第三章函数逼近和曲线拟合
S=span{ x1,..., xn}
并称该空间为n维空间。1,2 ,...,n P
称为x在这组基下的坐标。 例：n次多项式
p(x) Hn , p(x)=a0 + a1x ... an xn Hn span{1, x, x2 ,..., xn}
4
11
4.5
12
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
9.5
3.5
24
10
强 度 yi
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
6
内积与内积空间 定义3：设X为数域K（R或C）上的线性空
间，满足条件：
u, v X , k (u, v) K, st.
(1) (u, v) (v, u)
(2) (u, v) (u, v), for K
(3) (u v, w) (u, w) (v, w), for w X
(4) (u, u) 0, u 0 iff (u, u) 0
存在唯一实数 g ，满足条件：
(1) x 0; x 0 iff x 0
(2) x x , R
(3) x y x y , x, y R
函数逼近与曲线拟合(演示)精编
第三章 函数逼近与曲线拟合1 函数的逼近与基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()kk k f x a x∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。
当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。
这个误差分布是不均匀的。
当0x =时，(0)0ne=，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()nf x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。
插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。
更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。
如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。
由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。
如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
1.2范数与逼近实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近图1一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。
最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用nH 表示，称为多项式空间。
数值分析 第五章 曲线拟合和函数逼近
an xi n yi ) 0 an xi n yi ) xi 0
an xi n yi ) xi n 0
6
可以化为如下的法方程组或正则方程组：
1 xi n 1 xi
x x
i
i 2
x x x
i
2 3
i i
x x
x
,n 1
( xPk , Pk ) 由 ( Pk 1 , Pk ) 0 k 1 ( Pk , Pk )
2 x P i i k ( xi ) i 0 m
m
P ( x )
i 0 2 i k i
， k 0,1, 2,
, n 1
由 ( Pk 1 , Pk 1 ) 0 k
12
y 1 /(ax b) y x /(ax b) y 2 ax2 bx c y x /(ax bx c)
2
设y 1 / y 设y 1 / y , x 1 / x 设y y 2 x 设y y 设x 1 / x
b c y a 2 x x
求解线性方程组有 a 2, b 1.05 。
3
最小二乘原理
曲线拟合问题：对给定的数据 ( xi , yi ) (i 0,1,
, m) ，在取定的函 , m)
(i 0,1, 数类 中， 求函数 P( x) ， 使偏差 ri P( xi ) yi ，
的平方和最小，即
2 r ( P ( x ) y ) i i i min 2 i 0 i 0 m m
,x 。
n
11
非线性最小二乘拟合
可化为线性拟合问题的常见函数类型
函数逼近与曲线拟合
8
x p x ( p 时),
所以
x
也是
x
的特例
p
例1.求下列向量的各种常用范数
x (1,4,3,1)T
解: x 1 x1 x2 x4 9 x 2 ( x1 2 x2 2 x4 2 )12 27 3 3
x
max 1i4
a0 a1
an
m i0 m i0
m i0
yi xi yi
xin yi
称之为正规方程组或者法方程组。如何简化表示呢？
17
引入符号
1
x0
A=
1
x1
1 xm
x0n x1n
xmn
a0
=
a1
an
则正规方程组可简化为
y0
Y
=
y1
ym
AT A ATY
一个有趣的问题是AT能不能消去？
18
若强行消除，则正规方程组变化为
xi
4
9
设f (x) C[a,b],可定义范数如下：
f
(
b
1
f p (x) dx ) p ,
p
a
f (x)的p 范数, p 1
b
f f (x) dx
1
a
f (x)的1 范数
f
(
b
f
2 (x)
dx
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第三章 曲线拟合与函数逼近一．曲线拟合 1.问题提出：已知多组数据(),,1,2,,i i x y i N =，由此预测函数()y f x =的表达式。
数据特点：（1）点数较多。
（2）所给数据存在误差。
解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。
2.直线拟合的概念 设直线方程为y=a+bx 。
则残差为：ˆi i i e y y=-,1,2,,i N =，其中ˆi i ya bx =+。
残差i e 是衡量拟合好坏的重要标志。
可以用MATLAB 软件绘制残差的概念。
x=1:6;y=[3,4.5,8,10,16,20];p=polyfit(x,y,1); xi=0:0.01:7; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o'); y1=polyval(p,x); hold on for i=1:6plot([i,i],[y(i),y1(i)], 'r');end可以绘制出如下图形：三个准则： （1）max i e 最小 （2）1ni i e =∑最小（3）21N i i e =∑最小3.最小二乘法的直线拟合问题：对于给定的数据点(),,1,2,,i i x y i N =，求一次多项式y=a+bx ，使得总误差Q 最小。
其中()2211NNi i i i i Q e y a bx ====-+⎡⎤⎣⎦∑∑。
根据0,0.Q Qa b∂∂==∂∂ 22221222Ni i i i i i i Q y a b x y a y x b x ab =⎡⎤=++--+⎣⎦∑[]()12222Ni i i i i Q a y x b Na y b x a =∂=-+=-+∂∑∑∑ ()2212222Ni i i i i i i i i Q bx y x x a b x x y a x b =∂⎡⎤=-+=-+⎣⎦∂∑∑∑∑ 故有以下方程组（正则方程）：2i iii i i aN b x y a x b x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 例1.给定数据表，求最小二乘拟合一次多项式解：N=5，51i i x =∑=702，51i i y =∑=758，521i i x =∑=99864，51i i i x y =∑=108396。
则有方程组570275870299864108396a b b b +=⎧⎨+=⎩解得a=-60.9392，b=1.5138，则一次多项式为y=-60.9392+1.5138b 用MATLAB 计算并画图如下： x=[165,123,150,123,141]; y=[187,126,172,125,148];A(1,1)=5;A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(y); A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=x*y'; B=rref(A); a=B(1,3);b=B(2,3); p=[b,a];%以上四行，可以用一行命令 p=polyfit(x,y,1); 替代。
xi=min(x)-1:0.01:max(x)+1; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o'); 绘制如下图形4.最小二乘法的多项式拟合问题：对于给定的数据点(),,1,2,,i i x y i N =，求m 次多项式0mj j j y a x ==∑（m<<N ），使得总误差Q 最小。
其中22110NNm j i i j i i i j Q e y a x ===⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑∑∑。
根据0,0,1,,k Q k m a ∂==∂1020Nm j k i j i i i j y a x x ==⎛⎫--= ⎪⎝⎭∑∑ 故有正则方程：011mN Nj k k j i i i j i i a x y x +===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑ 当m=2时，有2012230122342012i i i i i i i i ii i i i a N a x a x y a x a x a x y x a x a x a x y x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑例2.求数据表的最小二乘法拟合的二次多项式函数在MATLAB命令窗口输入：x=-1:0.25:1;y=[50,40,25,20,18,21,35,56,66];A(1,1)=length(x);A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(x.^2);A(1,4)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=sum(x.^3);A(2,4)=y*x';A(3,1)=sum(x.^2);A(3,2)=sum(x.^3);A(3,3)=sum(x.^4);A(3,4)=y*(x.^2)'; B=rref(A);p=[B(3,4),B(2,4),B(1,4)];%以上五行可以用p=polyfit(x,y,2); 替代xi=min(x)-0.1:0.01:max(x)+0.1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y, 'o');可以绘制出如下图形：例3.从三次多项式()3232345P x x x x =-+-上找出21个点(),,1,2,,21i i x y i =，然后对这21个点进行“差错处理”，得到新的21个点，根据新的21个点拟合一个新的3次多项式函数，然后和原函数进行比较。
解：在MATLAB 命令窗口输入： p3=inline('2.*x.^3-3.*x.^2+4.*x-5'); x=-10:10; y=p3(x);e=randn(1,length(x))*80; y=y+e; p=polyfit(x,y,3); xi=-10:0.01:10; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o');hold onfplot(p3,[-10,10],'r');5.利用MATLAB的多项式拟合命令polyfit来实现多项式的插值例1.过随机6个数据点，构造5次多项式函数。
解：在MATLAB命令窗口输入：x=1:6;y=round(10*randn(1,6));p=polyfit(x,y,length(x)-1);xi=1:0.01:6;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y, 'o');可以得到以下图形：6.利用最小二乘法解超定方程组例1．解下列超定方程组24113532627x y x y x y x y +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 解：设超定方程的解为00,x x y y ==。
方法一：点()00,x y 到4条直线的距离平方分别为：()2002122241124x y d +-=+，()()200222235335x y d --=+-，()20023222612x y d +-=+，()20024222721x y d +-=+设()42001,i i Q x y d ==∑，根据000,0Q Qx y ∂∂==∂∂，有： ()()()()00000000222322224113532627203455x y x y x y x y ⨯⨯⨯+-+--++-++-=0 ()()()()00000000242522224113532627203455x y x y x y x y ⨯⨯⨯+----++-++-=0 化简有：000024912991201294319450x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得002.99, 1.30x y == 方法二：最小二乘法：点()00,x y 关于4条直线的残差平方和为：()2002411Q x y =+-()200353x y +--()20026x y ++-+()20027x y +-根据000,0Q Qx y ∂∂==∂∂，有： ()()()()00000000424116353226427x y x y x y x y +-+--++-++-=0 ()()()()000000008241110353426227x y x y x y x y +----++-++-=0 化简有：0000183510346480x y x y --=⎧⎨-+-=⎩解得003.04, 1.24x y == 用MATLAB 命令有： syms x0 y0f1=4*(2*x0+4*y0-11)+2*3*(3*x0-5*y0-3)+2*(x0+2*y0-6)+2*2*(2*x0+y0-7) f2=8*(2*x0+4*y0-11)-2*5*(3*x0-5*y0-3)+4*(x0+2*y0-6)+2*(2*x0+y0-7) 解得： f1 =36*x0-6*y0-102 f2 f2 =-6*x0+92*y0-96继续在MATLAB 命令窗口输入： A=[36,-6,102;-6,92,96]; B=rref(A) x0=B(1,3) y0=B(2,3) 解得： x0 =3.04029304029304 y0 =1.24175824175824方法三：最小二乘法（矩阵运算）针对方程组Ax b =的最小二乘近似解即为方程组T T A Ax A b =的解 于是，在MATLAB 命令窗口输入： A=[2,4;3,-5;1,2;2,1]; b=[11;3;6;7]; x=inv(A'*A)*A'*b 计算结果为： x =3.040293040293041.24175824175824方法四：用MATLAB左除命令“\”在MATLAB命令窗口输入：A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=A\b即可以得到答案x =3.040293040293041.24175824175824可以看出用MATLAB的左除“\”命令计算得到的答案与最小二乘法得到的答案是一致的。
其实，MATLAB的左除“\”命令就是按照最小二乘法的原来来编写的。
另外，可以用MATLAB的ezplot命令绘制四条直线的图形ezplot('2*x+4*y=11');hold onezplot('3*x-5*y=3');ezplot('x+2*y=6');ezplot('2*x+y=7');plot(2.99,1.30,'o');A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=A\bplot(x(1),x(2),'*');绘制图形如下：二．函数逼近问题，已知函数f(x)，求一个多项式函数()n P x 在区间[a,b]上逼近f(x)。