人教版九年级上册二次函数一般式的图像和性质课件
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人教版九年级上数学22.二次函数的图像和性质课件(21张)
6
5
坐标平面中描点(x,y),
4
再用平滑曲线顺次连
3 2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
(2) 描点 y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
(3) 连线
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
对称轴、顶点、最低点、最高点
y x2
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
例2:在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象． 解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称y轴轴 ,顶点(0是,0) ; 2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点(是0,0) ;
3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
(1) 求此抛物线的函数解析式 （2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向；
新人教版九上《二次函数图像和性质》课件
图像的描绘方法
Байду номын сангаас
01
02
03
列表法
通过选取自变量的值，计 算对应的函数值，并列表 ，从而描绘出函数的图像 。
描点法
通过描点，将函数图像上 的点连接起来，得到函数 的图像。
两种方法的比较
列表法简单易行，但精确 度不高；描点法虽然较为 繁琐，但可以得到精确的 函数图像。
03
二次函数的性质
开口方向
总结词
要点一
总结词
要点二
详细描述
转化思想，解决问题
数形结合是一种重要的数学思想方法，它可以将抽象的数 学问题转化为直观的图像问题，从而降低解题难度。在解 决二次函数问题时，利用数形结合的方法可以将一些看似 复杂的问题转化为图像问题，进而通过观察图像得出问题 的答案。例如，利用数形结合的方法解决二次函数的最值 问题、比较大小问题等。
学习目标
掌握二次函数的图像 和性质的基本概念和 运算方法。
培养学生的数学思维 能力和解决问题的能 力。
能够根据二次函数的 图像和性质，解决实 际问题中的一些简单 问题。
课程结构
本课件共分为五个部分
引言、知识点讲解、例题解析、课 堂练习和总结回顾。
引言部分
介绍课程背景和学习目标，激发学 生的学习兴趣。
二次函数的图像
图像的形状
通过二次函数的表达式，可以得 出二次函数的图像是抛物线形状
。
开口方向与对称轴
开口方向由$a$决定，对称轴由 $b$决定。
顶点坐标与对称轴
抛物线的顶点坐标是$(\frac{b}{2a}, \frac{4ac b^{2}}{4a})$，对称轴是直线$x = \frac{b}{2a}$。
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
第一课时二次函数的图像和性质-九年级数学上册课件(人教版)
－14
.
5.把函数y＝－x2－4x－5配方得 y＝－(x＋2)2－1
.它的开口方
向 向下 ，顶点坐标是 (－2，－1)
，对称轴是 直线x＝－2
，当x
＝ －2 时，函数y的最 大 值为 －1 .
课堂练习
6.将下列二次函数的一般式用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并指 出其图象的开口方向、顶点坐标、对称轴. (1)y＝x2－2x＋1； (2)y＝2x2－4x＋6. 解：(1)y＝(x－1)2. 开口向上，顶点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝1. (2)y＝2(x－1)2＋4. 开口向上，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.
巩固练习
2.利用配方法将抛物线 y＝x2－8x＋1 化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并 写出其开口方向、顶点坐标和对称轴. 解：y＝(x－4)2－15. 开口向上，顶点坐标为(4，－15)，对称轴为直线x＝4.
新知探究
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否
利用这些知识来讨论 y
6
x
21
12（x 6）2 3
先利用对称性列表:
x
… 3 4 5 6 7 8 9…
y 1 (x 6)2 +3 …
2
7.5
5
3.5
3
3.5 5 7.5 …
y
方法二：描点法
8
y
1 2
x2
6x
21
开口方向：向上
6
对称轴：直线x=6
4
顶点：(6,3)
2
-4 -2 O 2 4 6 8 x
新知探究
问题4 结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其性质. 2
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT精品课件
和一次项同时提取公因数a，再进行配方会更简便.
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版九年级上册二次函数一般式的图像和性质课件
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y
＝0，所以 0 02 k 4 0 k 7，所以k＝
－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，
即
b
k 4
0
，所以k＝－4，所
2a
21
以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即 4ac b2 4 1 k 7 k 42 0 ，整理得
4a
4 1
k2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6 ，所 以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。 ④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
例5 当x取何值时，二次函数 y 2x2 8x 1 有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
解法一（配方法）：
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的情势。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的情势，求出顶点坐标和对称轴。
解：y
1 2
二次函数（一般式）图象和性质
复习提问
1．y a x h2 k 的顶点坐标是_（__h_，__k_）_，
对称轴是__直__线__x_＝__h_ 2．怎样把 y 3x2的图象移动，便可得到
y 3 x 22 5 的图象？
3．y 3 x 22 5 的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
人教版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)课件
2
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
人教版九年级上册2二次函数的图象和性质课件
现在你知道怎样确定二次函数y=3x2-6x+5 =3(x-1)2+2的基本图象了吗？
想一想：
那么二次函数y= 3(x+1)2与y= 3x2的 图象又有怎样的联系呢？可以通过 平移而得到吗？
12 y
11
10
y=3x2
9
8
7
6
5
y=3(x+1)2
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
一般地，平移二次函数y= ax2的图象便可以得到 二次函数y= a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数 y= a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、 对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关。填写下表：
y= a(x-h)2+k
a >0 a <0
开口方 向
向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
-2 -1 0 1
12 3 0 3 27 12 3 0
234
12 27 48 3 12 27
12 y 11 10 y=3x2
9 8 7 6 5
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2
y=3(x-1)2 34x
y=3x y= 2先向右平移1个单位长度 3(x-1)2
再向上平移2个单位长度 y= 3(x-1)2+2
练一练
指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标 。
（1） y=2(x-3)2- 0.5
（2） y=-0.2(x+1)2- 5
你从今天的学习中收获了什么？ 你会作二次函数的图象吗？
议一议
（1）二次函数y= -3(x-2)2+4的图象与二次函数y= -3x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称
想一想：
那么二次函数y= 3(x+1)2与y= 3x2的 图象又有怎样的联系呢？可以通过 平移而得到吗？
12 y
11
10
y=3x2
9
8
7
6
5
y=3(x+1)2
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
一般地，平移二次函数y= ax2的图象便可以得到 二次函数y= a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数 y= a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、 对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关。填写下表：
y= a(x-h)2+k
a >0 a <0
开口方 向
向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
-2 -1 0 1
12 3 0 3 27 12 3 0
234
12 27 48 3 12 27
12 y 11 10 y=3x2
9 8 7 6 5
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2
y=3(x-1)2 34x
y=3x y= 2先向右平移1个单位长度 3(x-1)2
再向上平移2个单位长度 y= 3(x-1)2+2
练一练
指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标 。
（1） y=2(x-3)2- 0.5
（2） y=-0.2(x+1)2- 5
你从今天的学习中收获了什么？ 你会作二次函数的图象吗？
议一议
（1）二次函数y= -3(x-2)2+4的图象与二次函数y= -3x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称
人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
人教版九年级上册二次函数一般式的图像和性质精品系列PPT
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
新课
我们复习了将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
新课
我们复习了将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级数学上册22.1：二次函数的图象和性质 课件(共20张PPT)
对接中考 1
将抛物线 y＝x2＋1先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个 单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是 y＝(x＋2)2－2 .
当 -2≤x≤1 时，二次函数 y=-(x-m)2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为( C )
已知二次函数 y=(x-m)2+2，当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 m≥3 .
-1.5 -3 -5.5
…
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
知识点1
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
y
再描点、连线：
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
直线x=－1
-8 -9
课堂导入
向上平移3个单位 把y=−2x2的图象
向左平移2个单位
y=−2x2+3 y=−2(x+2)2
知识点1 画出函数 y 1 (x 1)2 1 的图象.指出它的开口方向、顶点与对称轴. 2
先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 2
…
-5.5
-3
-1.5 -1
22.1.3
二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质
知识回顾
说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：
(1) y=ax2
y
Ox
y
O
x
(2) y=ax2+k
y
人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)
1.y=x2 8x 7
2.y=-2x2 9x 17
3.y=mx2 kx-4k2
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
b 2a
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
y
左同右异
o
x
练习：
1.若抛物线yax2 bxc的图象如图，说出a，b，
c的符号。
2.若抛物线yax2 bxc经过原点和第一二三
象限，则a，b，c的取值范围分别是
3.若抛物线yax2 bxc的图象
如图所示，则一次函数y=ax+bc
的图象不经过
。y
。 y ox
o 图1
x 图2
y abc 0 （ 4 ） 与 直 线 x1 交 点 y a b c 0
y a b c 0
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利 的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4acb2 4a
(人教版)九年级上册数学课件：22.1二次函数一般式的图象和性质
的形式，写出对称轴和顶点。
解:a= -2 b= -4 c= 1
-b 2a
4 1 2 (2)
4ac b2 4 (2) 1 (4)2 3
4a
4 (2)
y 2x2 4x 1 2(x 1)2 3
对称轴： x = -1 ，顶点：（-1 , 3）
22.1.4 二次函数的图象和性质（5）
一．复习回顾
1. 二次函数 y =a（x - h）的2 图+ k象是什么？ 2. 它具有怎样的图象特征和性质？
二、探究新知
1．探究二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象和性质 2
问题1 如何用学过的知识研究二次函数
y
1
x2
6x
21
的
图象和性质？
三．巩固练习
1. 课本P39页练习
2 . 二次函数 y = -2x 2 + 4x -1，
当 x ＜1 时， y 随 x 的增大而增大， 当 x ＞1 时， y 随 x 的增大而减小．
3. 《学案》P40：探究2
四．小结
本节课研究的主要内容是什么？ 你的目标达到了吗？ • 你有什么收获？
五．检测
2
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成 y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= 12（x2 - 12x + 42） = 12（x2 - 12x + 36 - 36 + 42） = 12（x - 6）2 +3
·你能画出 y 1 x2 6x 21的图象吗？ 2
《学案》P40页：巩固训练：1---4.
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人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
y a x h2 k 的形式，并求出顶点坐标和
对称轴。
答案：y 2 x 22 2 ，顶点坐标为
（2，2）对称轴是直线 x＝2
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
新课
我们复习了将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解：y
1 2
x2
3x
5 2
1 2
x2
6x
5
1 x2
2
6x
9 9 5
1 2
x
32
4
1 x 32 2
2
顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
（1）顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
4ac 4a
,
4ac 4a
b2
，对称轴是直线 x b 。
2a
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
例2 用公式法把 y 1 x2 x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的形式，求出对称轴和顶点
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
y
ax2
bx
c
a
x2
b a
x
c a
a
x2
b a
x
b 2a2Βιβλιοθήκη b 2a2c
a
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a
所以抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是
b 2a
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
坐标．
解：在 y 1 x2 x 5 中，a 1 ,b 1, c 5
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
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解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
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人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像，利用函 数图像回答： (1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
3． y ax2 bx c 图象的画法． 步骤：1．利用配方法或公式法把y ax2 bx c
化为y a x h2 k 的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
b2
;
（5）增减性：
①若a＞0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
二次函数（一般式）图象和性质
复习提问
1．y a x h2 k 的顶点坐标是_（__h_，__k_）_，
对称轴是__直__线__x_＝__h_ 2．怎样把 y 3x2的图象移动，便可得到
y 3 x 22 5 的图象？
3．y 3 x 22 5 的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
y
·（2,2）y 2x2 8x 6
由图像知：
· · （1,0）
（3,0）
x
(1)当x＝1或x＝3时， y＝0；
(2)当1＜x＜3时，
y＞0；
(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；
x=2
(4)当x＝2时，
· · （0,－6）
（4,－6）
y有最大值2。
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件