勾股定理单元专题强化试卷检测

勾股定理单元专题强化试卷检测

一、选择题

1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，在矩形内部有一动点P 满足S △PAB ＝3S △PCD ，则动点P 到点A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为（ ）

A ．5

B ．35

C ．332+

D ．213

2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

3．如图，已知45∠=MON ，点A B 、在边ON 上，3OA =，点C 是边OM 上一个动点，若ABC ?周长的最小值是6，则AB 的长是（ ）

A ．

1

2

B ．

34

C ．

56

D ．1

4．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ） A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

5．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( )

A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1

6．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB230

．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足

MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（）

A．6 B．8 C．10 D．12

7．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )

A．3 B．15

4

C．5 D．

15

2

8．ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断ABC是直角三角形的是（）A．a＝7，b＝8，c＝10 B．a＝41，b＝4，c＝5

C．a＝3，b＝2，c＝5D．a＝3，b＝4，c＝6

9．如图，已知AB是线段MN上的两点，MN＝12，MA＝3，MB＞3，以A为中心顺时针旋转点M，以点B为中心顺时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，当△ABC为直角三角形时AB的长是（）

A ．3

B ．5

C ．4或5

D ．3或51

10．有下列的判断：

①△ABC 中，如果a 2＋b 2≠c 2，那么△ABC 不是直角三角形 ②△ABC 中，如果a 2－b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形 ③如果△ABC 是直角三角形，那么a 2＋b 2＝c 2 以下说法正确的是（ ） A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．② 二、填空题

11．如图，在△中，

，∠

90°，是

边的中点，是

边上一动

点，则

的最小值是__________．

12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．

13．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)

14．如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，()20,0A ，()0,8C ，点D 是OA 的中

是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为点，点P在边BC上运动，当ODP

______.

15．如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90o，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为________________．

16．如图，正方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm．

17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，D是BC边上的一点，BD=2，将△ACD沿直线AD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处.若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是________．

18．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC，则AC边上的高的长度是_____________．

19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=?，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，

32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．

20．如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ?使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．

三、解答题

21．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．

（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．

22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边

形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．

（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．

（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．

23．阅读与理解：

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？

分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点

C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明AC

D AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．

感悟与应用：

（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，CD 平分ACB ∠，试判断

AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，

12DC BC ==，

①求证：180B D ∠+∠=?； ②求AB 的长．

24．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==．

（1）若30AED ∠=?，则ADB =∠______． （2）求证：BED CDF △≌△．

（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．

25．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？ （2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，

①如图1，若90ACB ∠=?，b a ≥，6b =，求a 的值. ②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.

（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=?，4BC =，求ABC 的面积. 26．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4， （1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒）， ①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；

②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．

图1 图2 备用图

27．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0． （1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；

（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标； （3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．

28．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .

（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;

②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.

29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为

点E ，连接DF ．

（1）求∠EDF= （填度数）；

（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；

（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；

②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．

30．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．

（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段

AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

首先由PAB PCD S =3S △△，得知动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上，作点A 关于直线l 的对称点E ，连接AE 、BE ，则BE 的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形

ABE 中，由勾股定理求得BE 的值，即PA+PB 的最小值． 【详解】

解：∵PAB PCD S =3S △△， 设点P 到CD 的距离为h ，则点P 到AB 的距离为(4-h ),

则

11

AB (4-h)=3CD h 22

?????，解得：h=1，∴点P 到CD 的距离1，到AB 的距离为3， ∴如下图所示，动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上，作点A 关于直线l 的对称点E ，连接AE 、BE ，且两点之间线段最短，

∴PA+PB 的最小值即为BE 的长度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°， 根据勾股定理：22222BE =AE AB =63=35++ 故选：B ． 【点睛】

本题考查了轴对称—最短路线问题（两点之间线段最短），勾股定理，得出动点P 所在的位置是解题的关键．

2．C

解析：C 【分析】

观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知

2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。

【详解】

22a b +，又大正方形的面积为13，

即2213a b +=，而小正方形的面积表达式为2213a b +=，而小正方形的面积表达式为

2222()2()()213215a b a b a b -=+-+=?-=

故本题正确答案为C ． 【点睛】

本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键．

3．D

解析：D 【分析】

作点A 关于OM 的对称点E ，AE 交OM 于点D ，连接BE 、OE ，BE 交OM 于点C ，此时△ABC 周长最小，根据题意及作图可得出△OAD 是等腰直角三角形，OA=OE=3，，所以∠OAE=∠OEA=45°，从而证明△BOE 是直角三角形，然后设AB=x ，则OB=3+x ，根据周长最小值可表示出BE=6－x ，最后在Rt △OBE 中，利用勾股定理建立方程求解即可.

解：作点A 关于OM 的对称点E ，AE 交OM 于点D ，连接BE 、OE ，BE 交OM 于点C ， 此时△ABC 周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE ， ∵△ABC 周长的最小值是6， ∴AB+BE=6，

∵∠MON=45°，AD ⊥OM ，

∴△OAD 是等腰直角三角形，∠OAD=45°， 由作图可知OM 垂直平分AE ， ∴OA=OE=3， ∴∠OAE=∠OEA=45°， ∴∠AOE=90°， ∴△BOE 是直角三角形， 设AB=x ，则OB=3+x ，BE=6－x ， 在Rt △OBE 中，()()2

2

23+3+6x x =-， 解得：x=1， ∴AB=1. 故选D.

【点睛】

本题考查了利用轴对称求最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作图技巧，正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据勾股定理求解即可，注意要确认a 是直角边还是斜边. 【详解】

解：当a 是直角三角形的斜边时,22345a =+= ； 当a 为直角三角形的直角边时,22437a -= 故选C ． 【点睛】

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

解析：A 【分析】

连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答. 【详解】

解：∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形

1211

11222

ABC S -?∴=??== ，

∴AC 2==

==

2232

1

12:

2

1

22122

AACD ADE S S --?∴====??==

∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ， 故答案为A. 【点睛】

本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

MN 表示直线a 与直线b 之间的距离，是定值，只要满足AM +NB 的值最小即可．过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A ′，使得AA ′＝MN ，连接A 'B ，则A 'B 与直线b 的交点即为N ，过N 作MN ⊥a 于点M ．则A 'B 为所求，利用勾股定理可求得其值． 【详解】

过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A ′，使得AA ′＝4，连接A ′B ，与直线b 交于点N ，过N 作直线a 的垂线，交直线a 于点M ，连接AM ，过点B 作BE ⊥AA ′，交射线AA ′于点E ，如图，∵AA ′⊥a ，MN ⊥a ，∴AA ′∥MN ．

又∵AA ′＝MN ＝4，∴四边形AA ′NM 是平行四边形，∴AM ＝A ′N ． 由于AM +MN +NB 要最小，且MN 固定为4，所以AM +NB 最小． 由两点之间线段最短，可知AM +NB 的最小值为A ′B ． ∵AE ＝2+3+4＝9，

AB =

BE =

∵A ′E ＝AE ﹣AA ′＝9﹣4＝5，∴A ′

B ==8．

所以AM +NB 的最小值为8． 故选B ．

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．

7．C

解析：C

【解析】

将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，

∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，

∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，

所以S2=x+4y=5，

故答案为5．

点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y 表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=15求解是解决问题的关键．

8．B

解析：B

【分析】

根据勾股定理逆定理对每个选项一一判断即可．

【详解】

A、∵72+82≠102，∴△ABC不是直角三角形；

B、∵52+42＝41)2，∴△ABC是直角三角形；

C、∵223252，∴△ABC不是直角三角形；

D、∵32+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查勾股定理逆定理，熟记定理是解题关键．

9．C

解析：C

【分析】

设AB＝x，则BC＝9－x，根据三角形两边之和大于第三边，得到x的取值范围，再利用分

类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答． 【详解】

解：∵在△ABC 中，AC ＝AM ＝3， 设AB ＝x ，BC ＝9－x ，

由三角形两边之和大于第三边得：

3939x x

x x +-??

+-?

＞＞， 解得3＜x ＜6，

①AC 为斜边，则32＝x 2＋（9－x ）2，即x 2－9x ＋36＝0，方程无解，即AC 为斜边不成立，

②若AB 为斜边，则x 2＝（9－x ）2＋32，解得x ＝5，满足3＜x ＜6， ③若BC 为斜边，则（9－x ）2＝32＋x 2，解得x ＝4，满足3＜x ＜6， ∴x ＝5或x ＝4； 故选C ． 【点睛】

本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键．

10．D

解析：D 【分析】

欲判断三角形是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】

①c 不一定是斜边，故错误； ②正确；

③若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则a 2＋b 2≠c 2，故错误， 所以正确的只有②， 故选D. 【点睛】

本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.

二、填空题

11．

【解析】如图，过点作⊥

于点，延长

到点

，使

，连接

，交

于点

，连接

，此时

的值最小．连接，由对称性可知∠

45°，

，∴ ∠

90°.根据勾股定理可得

．

12．210或213或32 【分析】

在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算

,,DF DE CE ''，可得CD ．

【详解】

∵90ACB ?∠=，4,2AC BC ==， ∴25AB =，

情况一：当25AD AB ==时，作AE CE ⊥于E ∴

1122BC AC AB AE ?=?，即45AE =，145DE = ∴2285

5

CE AC AE =

-=

∴22213CD CE DE =+=

情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ， ∴

1122BC AC AB BE ?=?，即55BE =，55

DE = ∴2225

5

CE BC BE =

-=

∴22210CD CE DE =+=

情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E ∴

11

22

BC AC AB BE ?=?， ∴45BE =

35

5

CE ∴=

∵ABD △为等腰直角三角形 ∴1

52

BF DF AB ==

= ∴95

5

DE DF E F DF BE ''=+=+=

2535

5CE EE CE BF CE ''=-=-=-

=

∴2232CD CE E D ''=+=

故答案为：1021332【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 13．【分析】

这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，

另一条直角边长7×3=21（尺）， 因此葛藤长222021+=29（尺）． 答：葛藤长29尺． 故答案为：29． 【点睛】

本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 14．()4,8或()6,8或()16,8 【分析】

当ODP ?是以OD 为腰的等腰三角形时，分为两种情况①点O 是顶角顶点时，②D 是顶角顶点时，根据勾股定理求出CP ，PM 即可． 【详解】

解：OD 是等腰三角形的一条腰时：

①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP=22221086OP OC -=-=，则P 的坐标是（6，8）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，

在直角△PDM 中，22221086PD DM -=-= ， 当P 在M 的左边时，CP=10-6=4，则P 的坐标是（4，8）； 当P 在M 的右侧时，CP=10+6=16，则P 的坐标是（16，8）． 故P 的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）． 故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）． 【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．

1571

分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差 【详解】

如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--， ∴AP 的最大值为A P 1=AB=3

如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4， 由折叠的性质有PC=BC=4，

在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--， ∴AP 的最小值为AD PD=47--

线段AP 长度的最大值与最小值之差为()

1AP AP=347=71---- 故答案为71- 【点睛】

本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索. 16．55 【解析】 【分析】

要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】 展开图如图所示：

由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，

∴蚂蚁爬行的最短路径长=PQ=2222

PD QD

+=+=55（cm），

105

故答案为：55．

【点睛】

本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

17．222

+

【分析】

连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．

【详解】

如图，

连接CE，交AD于M，

∵沿AD折叠C和E重合，

∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，

∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，

∴2，

∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是

BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，

∵∠DEA=90°，

∴∠DEB=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠B=45°，

∵2，

∴2

即2，

∴△PEB的周长的最小值是222．

故答案为2

【点睛】

本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置．

18．

3

55 【详解】

四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：

12×1×1=12

． 则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣

12=3

2

． 在直角△ADC 中根据勾股定理得到：AC=222+1=5． 设AC 边上的高线长是x ．则12AC?x=5

x=32

， 解得：x=

3

55

．

3

55

. 19．39或639 【分析】

通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF

AED

AEG

S S

S

=-即可求解．

【详解】

①当点D 在H 点上方时，

过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，