五年级奥数约数与倍数
高斯小学奥数五年级上册含答案_第10讲_约数与倍数
第十讲约数与倍数在前面的章节，我们学习了数论中的整除和质数合数等知识.有关约数与倍数的知识.约数和倍数的定义是这样的：对整数a 和b ,如果a |b ,我们就称a 是b 的约数（因数），b 是a 的倍数.根据定义，我们很容易找到一个数的所有约数，例如对12：因为12 1 12 2 6 3 4 ,可知12可以被1、2、3、4、6、12整除，那么它的约数有 1、2、3、4、6、12，共6个.从上面12的分拆可以看出，约数具有“ 成对出现”的特征，也就是：最大约数对应最 小约数、第二大约数对应第二小约数等. 所以在写一个数的所有约数时，可以逐对写出.另 外如果计算较大约数不太方便，可以转而计算与其成对的较小约数.例题1. 12345654321的第三大约数是多少？「分析」第三大约数有点大，那我们可以先求出第三小的约数,12345678987654321的第二大约数是多少?从上面的分析知，可以通过枚举的方法逐对写出一个数的所有约数， 从而可就算出它的约数个数.但是对很大的数，例如 20120000，用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采用新的方法计算.以72为例，首先采用枚举可知 72共12个约数，分别为1、72; 2、36; 3、24; 4、18;6、12; 8、9.因为72的约数能整除72,而72的所有质因数也都能整除 72,所以对72进 行质因数分解，有： 72 23 32，那么72的所有约数应当由若干个 2与若干个3构成.显 然，2有0个到3个共4种选择；3有0个到2个共3种选择，根据乘法原理，72的约数共4 3 12个，见下表（注意20 1、30 1 ）:从72的这个例子，我们可以总结出计算约数个数的一个简单做法：今天，我们来学习数论中再根据它计算第三大的约数.约数个数等于指数加再相乘例题2.下列各数分别有多少个约数?23, 64, 75, 225，720.「分析」熟练掌握约数个数的计算公式即可.下列各数分别有多少个约数？18, 47, 243, 196, 450.例题3. 3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？「分析」约数既然能整除3600 ,那说明约数一定包含在3600的因数中•我们知道4 2 23600 2 3 5，那么3600的所有约数一定是由若干个2、若干个3和若干个5组成的.如果约数是3的倍数，那么它至少要含有多少个3？3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个约数，根据上面关于约数个数的知识我们可以知道，有奇数个约数的数一定是平方数，有偶数个约数的数一定不是平方数.前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数， 所以平方数有奇数个约数， 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道， 有．奇．数．个．约．数．的．数．一．定．是．平．方．数． ， 有．偶．数．个．约．数．的．数．一．定．不．是．平．方．数． ．7222122231 02 03 0320301 21 302 22304 23 308 31 20 31 3 21 31 6 2231 12 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2．下列各数分别有多少个约数？23， 64， 75， 225， 720．「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可． 练 习 2下列各数分别有多少个约数？18， 47， 243， 196， 450．例题 3．3600 有多少个约数？其中有多少个是 3的倍数？有多少个是 4 的倍数？有多少个不 是 6 的倍数？ 「分析」 约数既然能整除 3600，那说明约数一定包含在 3600 的因数中．我们知道 4223600 24 32 52，那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的．如 果约数是 3 的倍数，那么它至少要含有多少个 3？练 习 33456 共有多少个约数？其中有多少个是3 的倍数？有多少个是4 的倍数？有多少个不是 6 的倍数？722212223前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数， 所以平方数有奇数个约数， 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道， 有．奇．数．个．约．数．的．数．一．定．是．平．方．数． ， 有．偶．数．个．约．数．的．数．一．定．不．是．平．方．数． ．1 02 03 0320301 21 302 22304 23 308 3120 31 3 21 31 6 2231 12 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2．下列各数分别有多少个约数？23， 64， 75， 225， 720．「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可． 练 习 2下列各数分别有多少个约数？18， 47， 243， 196， 450．例题 3．3600 有多少个约数？其中有多少个是 3的倍数？有多少个是 4 的倍数？有多少个不 是 6 的倍数？ 「分析」 约数既然能整除 3600，那说明约数一定包含在 3600 的因数中．我们知道 4223600 24 32 52，那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的．如 果约数是 3 的倍数，那么它至少要含有多少个 3？练 习 33456 共有多少个约数？其中有多少个是3 的倍数？有多少个是4 的倍数？有多少个不是 6 的倍数？7222122230 01 02 03 0前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数， 所以平方数有奇数个约数， 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道， 有．奇．数．个．约．数．的．数．一．定．是．平．方．数． ， 有．偶．数．个．约．数．的．数．一．定．不．是．平．方．数． ．30 20 301 21 302 22 304 23 308 3120 31 3 21 31 6 2231 12 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2．下列各数分别有多少个约数？23， 64， 75， 225， 720．「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可． 练 习 2下列各数分别有多少个约数？18， 47， 243， 196， 450．例题 3．3600 有多少个约数？其中有多少个是 3的倍数？有多少个是 4 的倍数？有多少个不 是 6 的倍数？ 「分析」 约数既然能整除 3600，那说明约数一定包含在 3600 的因数中．我们知道 4223600 24 32 52，那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的．如 果约数是 3 的倍数，那么它至少要含有多少个 3？练 习 33456 共有多少个约数？其中有多少个是3 的倍数？有多少个是4 的倍数？有多少个不是 6 的倍数？7222122231 02 03 032030121 3022230423 308前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数， 所以平方数有奇数个约数， 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道， 有．奇．数．个．约．数．的．数．一．定．是．平．方．数． ， 有．偶．数．个．约．数．的．数．一．定．不．是．平．方．数． ．3120 313 21 316 22 3112 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2．下列各数分别有多少个约数？23， 64， 75， 225， 720．「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可． 练 习 2下列各数分别有多少个约数？18， 47， 243， 196， 450．例题 3．3600 有多少个约数？其中有多少个是 3的倍数？有多少个是 4 的倍数？有多少个不 是 6 的倍数？ 「分析」 约数既然能整除 3600，那说明约数一定包含在 3600 的因数中．我们知道 4223600 24 32 52，那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的．如 果约数是 3 的倍数，那么它至少要含有多少个 3？练 习 33456 共有多少个约数？其中有多少个是3 的倍数？有多少个是4 的倍数？有多少个不是 6 的倍数？7222122231 02 03 032030121 3022230423 308前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数， 所以平方数有奇数个约数， 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道， 有．奇．数．个．约．数．的．数．一．定．是．平．方．数． ， 有．偶．数．个．约．数．的．数．一．定．不．是．平．方．数． ．3120 313 21 316 22 3112 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2．下列各数分别有多少个约数？23， 64， 75， 225， 720．「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可． 练 习 2下列各数分别有多少个约数？18， 47， 243， 196， 450．例题 3．3600 有多少个约数？其中有多少个是 3的倍数？有多少个是 4 的倍数？有多少个不 是 6 的倍数？ 「分析」 约数既然能整除 3600，那说明约数一定包含在 3600 的因数中．我们知道 4223600 24 32 52，那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的．如 果约数是 3 的倍数，那么它至少要含有多少个 3？练 习 33456 共有多少个约数？其中有多少个是3 的倍数？有多少个是4 的倍数？有多少个不是 6 的倍数？7222122231 02 03 032030121 3022230423 308前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数， 所以平方数有奇数个约数， 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道， 有．奇．数．个．约．数．的．数．一．定．是．平．方．数． ， 有．偶．数．个．约．数．的．数．一．定．不．是．平．方．数． ．3120 313 21 316 22 3112 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2．下列各数分别有多少个约数？23， 64， 75， 225， 720．「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可． 练 习 2下列各数分别有多少个约数？18， 47， 243， 196， 450．例题 3．3600 有多少个约数？其中有多少个是 3的倍数？有多少个是 4 的倍数？有多少个不 是 6 的倍数？ 「分析」 约数既然能整除 3600，那说明约数一定包含在 3600 的因数中．我们知道 4223600 24 32 52，那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的．如 果约数是 3 的倍数，那么它至少要含有多少个 3？练 习 33456 共有多少个约数？其中有多少个是3 的倍数？有多少个是4 的倍数？有多少个不是 6 的倍数？7222122231 02 03 032030121 3022230423 308前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数， 所以平方数有奇数个约数， 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道， 有．奇．数．个．约．数．的．数．一．定．是．平．方．数． ， 有．偶．数．个．约．数．的．数．一．定．不．是．平．方．数． ．3120 313 21 316 22 3112 23 3124 3220 32 92132 1822 32 36233272约数个数等于指数加1 再相乘例题 2．下列各数分别有多少个约数？23， 64， 75， 225， 720．「分析」 熟练掌握约数个数的计算公式即可． 练 习 2下列各数分别有多少个约数？18， 47， 243， 196， 450．例题 3．3600 有多少个约数？其中有多少个是 3的倍数？有多少个是 4 的倍数？有多少个不 是 6 的倍数？ 「分析」 约数既然能整除 3600，那说明约数一定包含在 3600 的因数中．我们知道 4223600 24 32 52，那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、若干个 3和若干个 5组成的．如 果约数是 3 的倍数，那么它至少要含有多少个 3？练 习 33456 共有多少个约数？其中有多少个是3 的倍数？有多少个是4 的倍数？有多少个不是 6 的倍数？。
五年级奥数上册第四讲.最大公约数和最小公倍数
分类讨论
• • • • • • 如果d=1时： 由d(a1－b1)=4得a1－b1=4； 由d×da1b1=252可得a1b1=252 252=1×252=4×63=7×36=9×28 但此时都不满足a1－b1=4 所以d≠1
• • • • • • • • • • •
如果d=2时： 由d(a1－b1)=4得 a1－b1=2； 由d×da1b1=252可得 a1b1=63 63=1×63=7×9 此时63－1=62≠2不满足a1－b1=2 ， 9－7=2满足a1－b1=2 所以d=2并且a1=9、b1=7 所以a=18、b=14 答：这两个数为18和14。
（二）已知最大公约数和最小公倍数求两个数
• 例2、已知两数的最大公约数是21，最小公倍数 是126。求着两个数的和是多少？ • 分析：思路1，由最大公约数与最小公倍数的积等 于两个数的积可得到两个数的积为 • 21×126=2646， • 再利用分解质因数后重新组合即可 • 2646=2×3×3×3×7×7 • =(3×7×2)×(3×7×3)=42×63 • 或 =(3×7)×(3×7×2×3)=21×126
如果d =1则a1+b1=54 a1×b1－1=114 即a1×b1=115 115=1×115=5×23 但是1+115=116≠54 5+23=28≠54 d≠1 下面分别讨论d=2、3、6的情况得到： d=6是成立，此时a1=4,b1=5 a=6×4=24 b=6×5=30
• 例6、已知两个自然数的差为4，它们的最 大公约数与最小公倍数的积为252，求这两 个自然数 • 分析：差为4即a－b=4即d(a1－b1)=4 • 最大公约数与最小公倍数的积为252即 • d×da1b1=d×da1b1=252=2×2×3×3×7 • 所以d是6的约数，即d是4与6的公约数， d=1或2
五年级奥数基础教程最大公约数与最小公倍数小学
五年级奥数基础教程最大公约数与最小公倍数小学如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数a1,a2,…,a n的最大公约数通常用符号（a1,a2,…,a n）表示,例如,（8,12）=4,（6,9,15）=3。
如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。
自然数a1,a2,…,a n的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,a n]表示,例如[8,12]=24,[6,9,15]=90。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144,180,240的公约数。
题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144,180,240的最大公约数。
所以（144,180,240）=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5（元）。
为节约篇幅,除必要时外,在求最大公约数和最小公倍数时,将不再写出短除式。
例2 用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少？分析与解：因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48,450-414=36,498-414=84。
五年级奥数“约数与倍数” 第十三讲
相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。
因为3、4、5的最小公倍数是60
所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
答：至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
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第11讲 因数与倍数的应用
练 习
练习4：一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需 要这样的砖头多少块？
习 题
如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？
解： 要把三根钢管截成同样长的小段 每小段的长度数应该是240、200和480的公约数 而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。 240、200和480的最大公约数是40 所以每小段最长是40厘米。
答：每小段最长是40厘米。
要使三人再次从出发点一齐出发
经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数
200、150和300的最小公倍数是600
所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。
答：经过600秒后三人又同时从出发点出发。
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第11讲 因数与倍数的应用
练 习 题
练习5：有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向 而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分 钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。
例 题 精
例1： 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一 块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁 得的正方形面积最大，可以裁多少块？
讲
解：
7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。 因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长 是75和60的公约数。 75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
五年级奥数最大公约数和最小公倍数的比较和应用
最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。
又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。
五年级奥数题：约数与倍数(A)
四约数与倍数（A）_____ 年级______ 班姓名___________ 得分______一、填空题1 . 28的所有约数之和是 ______ .2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有________ 中不同的拼法•3. 一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是______ .4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____ 人.5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是________ .6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等,最多可分给 _____ 小朋友,每个小朋友得梨_______ 个,桔 _____ 个.7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____ 块.8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）__ 块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个.10. 含有6个约数的两位数有______ 个.11. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？12. 和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4丄米，黄鼠狼每次跳2-米,2 4它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12-米设有一个陷井，当它们8之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？14. 已知a与b的最大公约数是12, a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a, b, c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）--------------------------- 答案 -------------------------------------------- 答案：1. 5628的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105 的约数有1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3. 64因为28=2 2 7,所以28的约数有6个:1,2,4,7,14,28. 在数字0,1,2,…，9 中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4. 28因为667=23 29, 所以这班师生每人种的棵数只能是667 的约数:1,23,29,667. 显然,每人种667棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种 1 棵树时, 全班人数应是667-1=666, 但666 不能被 4 整除, 不可能. 所以, 一班共有28 名学生.5. 40 或20两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15 和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20, 所以应填40或20.［注］这里的关键是依最大公约数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的约数，又要是108的约数，即一定是36和108 的公约数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公约数.36 和108的最大公约数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨: 36 36=1( 只)每个小朋友可分得桔子: 108 36=3( 只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48 与42的公约数,题目又要求剪出的正方形最大, 故正方形的边长是48与42 的最大公约数.因为48=2 2 2 2 3,42=2 3 7,所以48与42的最大公约数是 6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7 块,共可剪(48 6) (42 6)=8 7=56(块)正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除, 即正方体的棱长是1 80,45和1 8的公约数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公约数.180,45 和18的最大公约数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180 9) (45 9) (18 9)=200块棱长是9厘米的正方体.9. 150根据3与5的最小公倍数是 1 5,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.10. 16含有6个约数的数，它的质因数有以下两种情况：一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M表示含有6个约数的数，用a和b表示M的质因数，那么M a5或M a2 b因为M是两位数，所以M= a5只有一种可能M=25，而M= a2 b就有以下15种情况：M223,M225,M227，M2211,M2213,M2217，M2219, M2223, M322，M325,M327,M3211，M522,M523,M722.所以,含有6个约数的两位数共有15+1=16(个)11. 三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公约数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大公约数应该是1111的约数.将1111作质因数分解，得1111=11 101最大公约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,101 2,101 3,101 5,它们的和恰好是101 (1+2+3+5)=101 11=1111,它们的最大公约数为101.所以101为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2-与123的“最小公倍数” 99，4 8 4qq 11 1 3即跳了99 ^=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是41和123的4 4 2 8“最小公倍数” 99，即跳了99 -=11次掉进陷井.2 2 2经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是14- 9=40.5（米）.14. 先将12、300分别进行质因数分解:12=2 2 3300=2 2 3 52(1)确定a的值.依题意a只能取12或12 5(=60)或12 25(=300). ⑵确定b的值.当a=12时，b可取12,或12 5,或12 25；当a=60,300时，b都只能取12.所以,满足条件的a、b共有5组：ra=12 r a=12 r a=12 r a=60 j a=300[b=12, I b=60, I b=300, 1 b=12, t b=12.（3）确定a, b, c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：2 2 2 2 2 2 2 25，5 2, 5 2，5 3, 5 2 3, 5 2 3, 即卩25, 50, 100, 75, 150, 300.所以满足条件的自然数a、b、c共有5 6=30 （组）。
五年级奥数第20讲-最小公倍数(教)
学科教师辅导讲义知识梳理一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。
如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；18的约数有1、18、2、9、3、6。
注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。
②任何数都有最小的约数1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。
③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。
如果数a与数b 相乘的积是数c，a与b都是c的因数。
二、 2、3和5倍数的特征2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数5的倍数的数特征是个位是0或53的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数三、质数与合数（1）只有1和本身两个因数的数叫做质数（或素数）（2）除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数（3）1既不是质数，也不是合数（4）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
（5）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……3的倍数有3、6、9、12、15、18 ……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。
记作[2,3]=6。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
注意：最大公约数×最小公倍数=两数的乘积，即（a，b）×[a，b]=a×b。
五年级奥数约数与倍数(一)学生版
1. 五年级奥数约数与倍数（一）学生版2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念[1]约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数；[2]公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”；[3]最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；[4]0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632,所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．[如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的]．例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以知识点拨教学目标5-4-1.约数与倍数（一）n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数[1]倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数[2]公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数[3]最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
【精品】五年级奥数培优教程讲义第20讲最小公倍数(教师版)
第20讲最小公倍数團教学目标掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法;圈会利用最小公倍数解决实际问题知识梳理、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数(在自然数的范围内)。
女口：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；18 的约数有1、18、2、9、3、6。
注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。
②任何数都有最小的约数1,最大的约数本身，最小的倍数也是本身。
③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。
④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。
如果数a与数b相乘的积是数c，a与b都是c的因数。
二、2、3和5倍数的特征2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8,是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数5的倍数的数特征是个位是0或53的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数三、质数与合数(1)只有1和本身两个因数的数叫做质数(或素数)(2)除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数(3)1既不是质数，也不是合数(4)100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
(5)几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，女口2 的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18 ……3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。
记作[2,3]=6。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
五年级奥数举一反三第252627周之公约数、公倍数
第252627周之公约数、公倍数最大公约数专题简析：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？分析 7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。
因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。
75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。
练习一1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？分析 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。
要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。
现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。
（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米练习二1，一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2，有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？3，五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？例题3 有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？- 1 - - 2 - 分析 要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公约数，的公约数，而每小段要取最长，而每小段要取最长，而每小段要取最长，也就是求也就是求240、200和480的最大公约数。
北师大五年级奥数专题三《最大公约数和最小公倍数》精编
最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1、公约数和最大公约数几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。
我们可以把自然数a 、b 的最大公因数记作(a 、b ）,如果（a 、b ）=1，则a 、b 互质。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a 、b 的最小公倍数可以记作〔a 、b 〕，当（a 、b ）=1时，〔a 、b 〕=a ×b 。
3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积 即(a 、b)×〔a 、b 〕= a ×b二、方法篇短除法（最大公约数)(1）必须每次都用n 个数的公约数去除；（2）一直除到n 个数的商互质(但不一定两两互质)；（3）n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积.短除法(最小公倍数）（1）必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用1n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数)能被同一数整除，就要继续除,一定要除到n 个数的商两两互质为止；（3)n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。
辗转相除法(最大公约数）设两数为a 、b(a>b)，求a 和b 最大公约数（a ，b)的步骤如下：用b 除a ，得a ÷b=q...。
.r1（0≤r1）。
若r1=0,则（a ，b ）=b ；若r1≠0，则再用r1除b,得b ÷r1=q 。
.r2 （0≤r2）。
若r2=0，则（a ，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。
其最后一个非零除数即为（a ，b ）。
小学奥数-精讲-约数与倍数PPT
问答互动环节设计思路
自动评分
利用课件的自动评分功能，对学生的测验结果进行客观评价。
反馈与建议
根据学生的测验成绩和表现，提供针对性的反馈和建议，帮助学生改进学习方法。
设计测验题目
根据教学目标和内容，设计合理的测验题目，检验学生学习效果。
测验反馈机制构建策略
导航菜单优化建议
清晰明了
确保导航菜单清晰明了，方便学生快速找到所需内容。
例2
答案揭秘
第一群只数:5、10、15……
第二群只数:4、8、12……
第三群只数:3、6、9……
三群总只数:12、24、36……
60÷12=5 120÷24=5……
花生总数:60、120、180 ……
答:每只猴子可得5粒花生。
举一反三
练习1
用945个同样大小的正方形拼成一个长方形,有______种不同的拼法。
图片选择与处理
为图片添加必要的标注和说明文字，帮助观众更好地理解和记忆图片内容。
图片标注与说明
将多张图片进行排版和组合，形成具有逻辑关系和视觉冲击力的图表或画廊效果。
图片排版与组合
图片编辑与美化方法
选用通用的音频视频格式，确保课件能够在不同设备和平台上正常播放。
音频视频格式选择
对音频视频素材进行必要的剪辑、合并、添加字幕等处理，提高课件的观赏性和实用性。
从第一次同时发车到第二次同时发车 的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数。
规 律 总 结
练习2
9,15和10的最小公倍数是90, 所以3,5,9,15和10的最小公倍数也是90。 从第一次同时发车后90 分钟又同时发第二次车。
参 考 答 案
方法
应用
五年级奥数约数与倍数
理解记忆(jìyì)理论部分－☆星级☆约数和倍数；若整数a能够(nénggòu)被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
☆公约数(yuēshù)：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
☆最大公约数的性质(xìngzhì)：1、几个(jǐɡè)数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、1218的约数有：1、2、3、6、9、18那么12和18的公约数有：1、2、3、6那么12和18最大的公约数是：6记作（12，18）＝6☆求最大公约数的基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
思维方法巩固训练部分－☆星级1 / 6■经验规律总结：通过举例观察两个数的最大公约数与它们的和、差、积之间的关系。
1．求（26，78）、（196，165）、（55，84，141）2．两个自然数的和是88，最大公约数是8，求这两个数。
3．两个自然数的积是384，最大公约数是8，求这两个数。
4．已知两数的和是104055，这两个数的最大公约数是6937，求这两个数。
5．若两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，求这两个数。
6．有男同学27人，女同学18人，一起去划船（每条船不超过6人），要保证每条船上男女同学都分别相等，应该租几条船？7．把一张长120厘米，宽80厘米的长方形的纸裁成同样大小的正方形（纸无剩余），至少能裁多少张？8．把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料，锯成尽可能大的同样的大小的正方体，求锯成的正方体的棱长与锯成的块数。
五年级奥数第20讲最小公倍数(教师版)
五年级奥数第20讲最小公倍数〈教师版〉教学目标教学目标掌握倍数和最小公倍数的概念,最小公倍数的求法；会利用最小公倍数解决实际问题。
知识梳理一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除,A叫做B的倍数,B就叫做A的约数〈在自然数的范围内〉。
如：2和6是12的约数,12是2的倍数,12也是6的倍数；18的约数有⒈18、⒉9、3、6。
注意：⒈一个数的约数个数是有限的,一个数的倍数有无数个。
⒉任何数都有最小的约数1,最大的约数本身,最小的倍数也是本身。
3.一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ,没有最大的倍数。
4.因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在,而因数是从乘积的角度来提出的。
如果数a与数b相乘的积是数c,a与b都是c的因数。
二、⒉3和5倍数的特征2的倍数的数特征是个位是0、⒉⒋6、8,是2的倍数的数叫偶数,不是2的倍数的数叫奇数5的倍数的数特征是个位是0或53的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数三、质数与合数〈1〉只有1和本身两个因数的数叫做质数〈或素数〉〈2〉除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数〈3〉1既不是质数,也不是合数〈4〉100以内的质数有：⒉3、5、7、1⒈13、17、19、23、29、3⒈37、4⒈43、47、53、59、6⒈67、7⒈73、79、83、89、97。
〈5〉几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有⒉⒋6 、8、10、1⒉1⒋16、18 ……3的倍数有3、6、9、1⒉15、18 ……其中6、1⒉18……是⒉3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
记作[2,3]=6。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
秋季班五年级奥数[20讲]-[第13讲]因数与倍数(二)——约数倍数综合运用
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秋季班五年级奥数两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216，这两个数分别是多少？两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到。
那么这些小朋友最多有多少人？一次考试，参加的学生中有七分之一得优，四分之一得良，三分之一得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有人。
有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。
已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人首次同时回到出发点？因数与倍数（二）—约数倍数综合运用(10年希望杯五年级初赛第11题)夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走。
小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。
那么这条小路长__ 米。
连续7个自然数的和既是5的倍数，也是9的倍数，那么这7个自然数中最大的一个数的最小值是_______。
在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．有两个自然数，它们的最大公因数是12，最小公倍数是180，并且两数不成倍数关系。
这两个数分别是( )A．36，60 B．12，180 C．12，150 D．36，1502．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数相差54，这两个数分别是( ) A．45，72 B．36，90 C．24，135 D．18，1803．鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端开始向另一端挖洞。
鼹鼠每隔3米挖一个洞，老鼠每隔5米挖一个洞，老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖。
”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖( )个洞。
小学奥数全国推荐最新五年级奥数通用学案附带练习题解析答案46约数和倍数(二)
年 级五年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题 约数和倍数（二）在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
这类题目中往往不直接指出是求最大公约数还是最小公倍数，学生最容易混淆，只有对这类题目的条件和问题作出全面的分析后，才能发现题中数量之间关系的实质，才能正确找到解决问题的途径。
一、判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
求最小公倍数和最大公约数的应用题，解题方法比较独特。
当某些题中所求的数并非正好是已知数的最小公倍数或最大公约数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数或最大公约数，从而求出结果。
二、在上节课中我们通过例题简单介绍了求约数个数的方法，本节课来解释这种方法：一般地，对自然数n 进行分解质因数，设n 可以分解为 n ＝k 32k x x x x αααα⨯⨯⨯⨯ 3211，其中k x x x 、、、 21是不同的质数，k ααα、、、 21是正整数，则形如m ＝k 32k x x x x ββββ⨯⨯⨯⨯ 3211的数都是n 的约数，其中1β可取11＋α个值：0、1、2、…、1α；2β可取12＋α个值：0、1、2、…、2α；…；k β可取1＋k α个值：0、1、2、…、k α。
根据乘法原理，n 的约数的个数共有（11＋α）×（12＋α）×…×（1＋k α）。
例1 长180厘米，宽45厘米，高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（无余料）_________块。
分析与解：根据“无余料”这一条件，可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除，即正方体的棱长是180、45和18的公约数。
为了使正方体木块尽可能大，正方体的棱长应是180、45和18的最大公约数。
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五年级奥数约数与倍数Prepared on 21 November 2021
理解记忆理论部分－☆星级
☆约数和倍数；若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
☆公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
☆最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几
个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12
18的约数有：1、2、3、6、9、18
那么12和18的公约数有：1、2、3、6
那么12和18最大的公约数是：6记作（12，18）＝6
☆求最大公约数的基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余
数，就是所求的最大公约数。
思维方法巩固训练部分－☆星级
■经验规律总结：通过举例观察两个数的最大公约数与它们的和、差、积之间的关系。
1．求（26，78）、（196，165）、（55，84，141）
2．两个自然数的和是88，最大公约数是8，求这两个数。
3．两个自然数的积是384，最大公约数是8，求这两个数。
4．已知两数的和是104055，这两个数的最大公约数是6937，求这两个数。
5．若两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，求这两个数。
6．有男同学27人，女同学18人，一起去划船（每条船不超过6人），要保证每条船上男女同学都分别相等，应该租几条船？
7．把一张长120厘米，宽80厘米的长方形的纸裁成同样大小的正方形（纸无剩余），至少能裁多少张？
8．
9．把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料，锯成尽可能大的同样的大小的正方体，求锯成的正方体的棱长与锯成的块
数。
10．四个互不相同的自然数的积是370，求这四个数及它们的最大公约数。
11．A、B小于100，A、B的差是72，最大公约数是8，求A、B两个数。
理解记忆理论部分－☆星级
☆公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12、24、36、48……
18的倍数有：18、36、54、72……
12和18的公倍数有：36、72、108……
12和18最小的公倍数是36，记作[12,18]=36
☆最小公倍数的性质：
1、几个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
☆基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
思维方法巩固训练部分－☆星级■经验规律总结：通过举例观察两数最大公约数与它们的最小公倍数之间的关系。
12．求[135,56]、[22,6,24]、[1,2,3,4,5,6,7,8,9]。
13．五个连续自然数的积是2520，这五个数的最大公约数和最小公倍数各是多少？
14．五个连续偶数的和是300，这五个数的最大公约数和最小公倍数各是多少？
15．甲、乙两个数的最大公约数是48，这两个数的公约数有几个分别是多少
16．有一条道路，左边每隔5米种一棵杨树，右边每隔6米种一柳树，两端都种上树，一共有5处杨树和柳树相对。
这条道路长多少米？
17．
18．两个两位数的最小公倍数与最大公约数的和是91，最小公倍数是最大公约数的6倍。
这两个两位数是多少？
19．两个两位数的最小公倍数是84，这两个数相加的和是26，这两个数分别是多少？
20．两个两位数相乘的积是2016，它们的最大公约数是6，这两个两位数各是多少？
21．两个两位数的最小公倍数是252，它们的最大公约数是6，这两个两位数各是多少？
22．某工厂加工配套的机器零件，要经过三道工序，第一道工序平均每人每小时做20件，第二道工序平均每人每小时做16件，第三道工序平均每人每小时做24件，现在有1332名工人，每道工序各安排多少人才合理？
23．两个两位数的和是70，它们的最大公约数是7，这两个两位数的最小公倍数是多少？
思维方法拓展训练部分－☆☆星级
24．某人上8天班后，就连续休息2天，如果这个星期六和星期天休息，那么至少再过几个星期后他才能在星期天休息？
25．城建工程队要铺一段地下排水管道，长78米，现在仓库中只有3米长和5米长的两种管子，可以有几种取法？
26．
27．有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。
28．有一种电子灯，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。
中午12点。
它既响铃又亮灯。
下一次既响铃又亮灯时是几点钟？
29．在建筑工地一条直道的一端到另一端，每隔4米打一个木桩，一共有37个木桩，现在要改成每隔6米打一个木桩，那么可以不拔出来的木桩多少根？30．
31．两个数的最小公倍数是最大公约数的12倍，它们的最小公倍数是720，求这两个数。
32．100以内约数个数最多有几个约数个数最多的数有哪些
33．
34．三个连续自然数的最小公倍数是168，这三个数的和是多少？
35．四个连续自然数的和是54，那么这四个数最小公倍数的十分之一是多少？
36．有一个数在700到800之间，用15、18、24去除，都不能整除，如果在这个数上加1，就能同时被15、18、24整除，这个数是多少？
37．一个数乘以2是4的倍数，乘以3是9的倍数，乘以4是16的倍数，乘以5是25的倍数，乘以6是36的倍数，乘以7是49的倍数，乘以8是64的倍数。
那么这个数最小是多少？。