基本不等式 题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式

一. 基本不等式

①公式：(0,0)2

a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭

,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版

二．考试题型

【题型1】 基本不等式求最值

求最值使用原则：一正 二定 三相等

一正： 指的是注意,a b 范围为正数。

二定： 指的是ab 是定值为常数

三相等：指的是取到最值时a b =

典型例题：

例1 .求1(0)2y x x x

=+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->

1

2x x ∴-+≥=-1

2x x

∴+≤ 得到(,y ∈-∞

例2 .求12(3)3

y x x x =+>-的值域 解：123

y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63

x x =+-+-

330x x >∴-> 12(3)3x x ∴

+-≥-

6y ∴≥， 即)6,y ⎡∈+∞⎣

例3.求2sin (0)sin y x x x

π=+<<的值域

分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内

解：令sin (0,1)t x t =∈，

2y t t

=+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t +

>，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞

注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内，

如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

例4．求221(2)2

x x y x x ++=>-+的值域 分析：先换元，令2,0t x t =+>，其中2x t =- 解：22(2)2(2)16116t t t t y t t t t

-+-+++===++ 110268t t t t t

>∴+≥∴++≥ [8,)y ∴∈+∞ 总之：形如2(0,0)cx dx f y a c ax b ++=≠≠+的函数，一般可通过换元法等价变形化为p y t t

=+()p 为常数型函数，要注意t 的取值范围；

【失误与防范】

1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．

3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

【题型2】 条件是a b +或ab 为定值，求最值（值域）（简）

例5．若0,0x y >>且18x y +=，则xy 的最大值是________．

解析：由于0,0x y >>

，则x y +≥

，所以18≤，则xy 的最大值为81

例6．已知,x y 为正实数，且满足4312x y +=，则xy 的最大值为________．

解析：43x y +≥

12≤，3xy ∴≤当且仅当434312x y x y =⎧⎨+=⎩即322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩

时，xy 取得最大值3.

例7．已知0,0m n >>，且81mn =，则m n +的最小值为________． 解析：0,0m n >>

，18m n ∴+≥=，当且仅当9m n ==时，等号成立． 总结：此种题型：和定积最大，积定和最小

【题型3】 条件是a b +或11a b

+为定值，求最值（范围）（难） 方法：将1整体代入

例8.已知0,0x y >>且1x y +=，则11x y

+的最小值是________________ 解析：1x y +=

1111()()224y x x y x y x y x y ∴+=++=++≥+= 所以最小值是4

例9. 已知0,0a b >>，2a b +=，则14y a b

=+的最小值是________． 解析：212

a b a b ++=∴=

则141412()()2222a b b a a b a b a b

++=+=+++52592222b a a b =++≥+= 所以最小值是

92 例10.已知0,0x y >>，且121,x y

+=求2x y +的最小值是____________ 解析：121,x y

+=

则1

2222()(2)14y x x y x y x y x y +=+

+=+++59=+= 从而最小值为9

【题型4】 已知a b +与ab 关系式，求取值范围

例11. 若正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 及a b +的取值范围．

解析：把ab 与a b +看成两个未知数，先要用基本不等式消元

解：⑴求ab 的范围 （需要消去a b +：①孤立条件的a b +②a b +≥③将a b +替换） ①3ab a b =++ 3a b ab ∴+=-，

②a b +≥

③3ab ⇒-≥a b +结束，下面把ab 看成整体，换元，求ab 范围）

令(0)t t =>，则3ab -≥变成232t t -≥

解得3t ≥或1t ≤-（舍去），从而9ab ≥

⑵求a b +的范围 （需要消去ab ：①孤立条件的ab ②2()2

a b ab +≤ ③将ab 替换） 3ab a b =++ 2,2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

， ∴232a b a b +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭

（消ab 结束，下面把a b +看成整体，换元，求a b +范围） 令(0)t a b t =+> 则有232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭

，2412t t +≤，24120t t --≥，得到6t ≥或2t ≤-（舍去） 得到6a b +≥