大一高数知识点,重难点整理
大一高数知识点总结全

大一高数知识点总结全一、导数与微分1. 函数极限和连续性1.1 函数极限的定义和性质1.2 无穷大与无穷小1.3 函数的连续性与间断点2. 导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 常见函数的导数2.3 高阶导数与隐函数求导二、微分中值定理与高阶导数应用1. 中值定理1.1 罗尔定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 泰勒公式与函数的局部性质2.1 泰勒公式及余项2.2 函数的单调性与极值2.3 函数的凹凸性与拐点3. 高阶导数的应用3.1 曲率与曲线的切线与法线3.2 凸函数与凹函数的判定三、定积分与不定积分1. 定积分的意义与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的性质与运算法则1.3 可积条件与Newton-Leibniz公式2. 不定积分2.1 不定积分的定义与基本公式2.2 基本不定积分的计算方法2.3 图形与面积的应用四、微分方程1. 常微分方程基本概念1.1 微分方程的定义与基本概念1.2 一阶线性微分方程1.3 可分离变量的微分方程2. 常系数线性微分方程2.1 齐次线性微分方程2.2 非齐次线性微分方程2.3 变量变换与常系数线性微分方程3. 高阶线性微分方程3.1 n阶齐次与非齐次线性微分方程3.2 常系数线性齐次微分方程的特征方程 3.3 可降阶的线性非齐次微分方程五、多元函数微分学1. 二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限定义1.2 二元函数的连续性1.3 多元函数的极限与连续性2. 偏导数与全微分2.1 偏导数的定义与计算方法2.2 高阶偏导数与混合偏导数2.3 全微分与微分近似3. 隐函数与参数方程求导3.1 隐函数与参数方程的基本概念3.2 隐函数求导与相关性质3.3 参数方程求导与相关性质以上是大一高数的知识点总结,通过学习这些内容,能够掌握基本的导数与微分、定积分与不定积分、微分方程以及多元函数微分学的知识。
希望这份总结对你的学习有所帮助。
大一高数知识点重难点整理

大一高数知识点重难点整理大一高数是大学的一门重要基础课程,对于理工科学生来说尤为关键。
在这门课程中,有一些知识点是大家普遍认为比较重要和难以理解的。
本文将对其中的一些知识点进行整理,并分析其重难点所在,并尝试用简单的语言解释。
1. 极限极限是数学中一个非常重要的概念,也是大一高数的入门知识。
简单来说,极限是用来描述一个函数在某个特定的点或趋于某个特定点时的变化趋势。
而对于很多学生来说,理解极限的概念是一个挑战。
最常见的难点是理解ε-δ 定义法。
这种方法要求我们找到一个足够小的正数ε,并找到另一个正数δ,使得当自变量趋近于某个特定的值时,函数值与其极限值之间的差的绝对值小于ε。
要掌握这种方法,需要大量的练习和实践。
2. 一阶导数在高数中,一阶导数是指函数在某一点的变化率,也被称为函数的斜率。
一阶导数的求法有多种。
例如,对于多项式函数来说,一阶导数就是每一项的系数乘以其次数,并将次数减一。
然而,对于含有平方根、对数函数或指数函数等复杂函数来说,求导的过程就相对较难。
此时需要熟练掌握求导法则和运用链式法则。
还有一点需要注意的是,在求导的过程中,要注意使用正确的计算方法,以免出现常见的错误。
3. 不定积分不定积分是定积分的反运算,用来求函数的原函数。
在大一高数中,常见的求导法则可以帮助我们简化不定积分的过程。
但是,对于一些特殊的函数来说,不定积分的求解并不那么直观。
例如,含有三角函数的积分求解通常需要运用一些特殊的技巧和公式。
此外,对于含有根号、指数等复杂函数的积分求解也需要我们在掌握基本求导法则的基础上,多多练习和积累经验。
4. 二重积分二重积分是用来计算平面上曲线与坐标轴所围成的面积。
相较于不定积分,二重积分的求解相对较为复杂。
考察面积的微元要素,确定积分上下限,正确设置二重积分的积分域是非常重要的。
而且,对于积分中的被积函数来说,可能存在非常复杂的情况。
此时,需要对函数的性质和积分计算方法有一定的理解和掌握,才能顺利求解二重积分。
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n
( ) lim
为常数),
qn = 0 q 1 。
n→∞
若数列{an}没有极限,则称数列{an}发散。 数列极限不存在的两种情况: (1)数列有界,但当 n→∞时,数列通项不与任何常数无限接近,如:
1n1 ;
(2)数列无界,如数列{n²}。 二、当 x→0 时,函数 f(x)的极限
如果当 x 的绝对值无限增大(记作 x→∞)时,函数 f(x)无限地接近一个确定的常
(2) (u • v)′ = u′ v + u ,特别的,(k·u)’=k·u’,其中 k 为常数。
(3)若
v
0
,则
u v
u
vu v2
v
,特别的,
k v
k v v2
,,其中
k
是常
数。
推论 若函数 u1 u1x, u2 u2 x,..., um um x都可导,则
(1) u1 u2 um u1 u2 um ;
x
lim
f
x
A n
lim
f
x
A 。
建议收藏下载本文,以便随时学习! 三、当 X→Xo 时,函数 f(x)的极限 1、当 X→Xo 时,函数 f(x)的极限定义
如果当 x 无限接近 Xo(记作 X→Xo)时,函数 f(x)无限接近于一个确定的常数 A,则
称 A 为函数 f(x)当 X→Xo 时的极限,记作 lim f x A ,或当 X→Xo 时,f(x) →A。
续。 如果函数 f(x)在某个区间上连续,就称 f(x)是这个区间上的连续函数。
二、连续函数的运算与初等函数的连续性 1.连续函数的运算 如果两个函数பைடு நூலகம்某一点连续,那么它们的和、差、积、商(分母不为零)在这一点
大一高数常考知识点总结

大一高数常考知识点总结高等数学是大学理工类专业中的一门重要课程,也是学生们在大学期间必修的一门课程。
在大一的学习过程中,高等数学常常是学生们的一块难点。
为了帮助同学们更好地掌握和复习高等数学知识,下面将对大一高数常考的知识点进行总结。
1. 函数与极限1.1 函数的概念及性质1.2 极限的定义与性质1.3 无穷大与无限小1.4 极限运算法则1.5 重要的极限公式和常用极限2. 导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的计算方法2.3 高阶导数2.4 隐函数求导2.5 微分的概念及计算方法2.6 函数的单调性与极值3. 积分与定积分3.1 积分的概念及性质3.2 基本积分公式与常用积分3.3 定积分的概念及性质3.4 牛顿-莱布尼茨公式3.5 反常积分3.6 微积分基本定理4. 一元函数的应用4.1 曲线的切线与法线4.2 参数方程与极坐标系4.3 函数的应用(最值、最值问题、曲线的凹凸性) 4.4 速度、加速度与曲线的运动5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念及性质5.2 偏导数及其计算5.3 隐函数偏导数5.4 多元函数的极值问题5.5 条件极值与拉格朗日乘数法6. 重积分6.1 二重积分的概念及性质6.2 极坐标下的二重积分6.3 三重积分的概念及性质6.4 柱面坐标与球面坐标下的三重积分 6.5 重积分的应用7. 曲线积分与曲面积分7.1 参数曲线的弧长与曲线积分7.2 曲线积分的计算7.3 曲面的面积与曲面积分7.4 参数曲面的面积与曲面积分8. 常微分方程8.1 常微分方程的基本概念8.2 一阶常微分方程的解法8.3 高阶常微分方程与线性方程8.4 齐次方程与非齐次方程8.5 变量可分离方程与二阶线性常微分方程以上所列出的知识点为大一高数经常考察和使用的内容,同学们在复习高等数学时可以重点关注这些内容,加强掌握。
同时,为了更好地巩固和运用这些知识,建议同学们多做高等数学的相关练习题和真题,以提高自己的解题能力和应试水平。
高数大一重难点知识点总结

高数大一重难点知识点总结大学的第一学期,高数课程是许多学生都要面对的科目。
对于一些数学基础较弱的同学来说,高数可能会带来一定的困扰。
在这篇文章中,我将总结高数大一课程中的重难点知识点,以帮助大家更好地理解和掌握这门课程。
一、极限和连续性极限和连续性是高数课程中最基础也最重要的内容之一。
在研究函数的性质时,我们经常要用到极限的概念。
理解极限的含义,能够正确计算极限的运算法则,是学好高数的关键。
另外,连续性是极限的重要应用之一,学生们需要掌握连续函数的判定方法和连续函数的性质。
二、微分和导数微分和导数是高数课程中的一大难点。
在学习微分与导数时,需要逐渐掌握导数的定义、求导法则和高阶导数的计算。
此外,学生们还要理解导数的几何意义和物理意义,以便能够更好地应用导数进行问题求解。
三、积分和不定积分积分和不定积分是微积分学中的另一个重要部分。
学生们需要熟悉积分的定义和性质,掌握不定积分的计算方法和技巧。
特别地,需要重点掌握常见函数的不定积分公式,并学会运用换元积分法和分部积分法解决一些复杂的积分问题。
四、微分方程微分方程是高数课程中的一大难点,也是工科学生必须掌握的重要数学工具。
学生们需要学会分类和解常微分方程,并且掌握常微分方程的一些常用求解技巧和方法。
此外,对于一阶线性微分方程和二阶线性常系数齐次微分方程的解法,也需要加强理解和掌握。
五、级数和数列级数和数列是高数课程中的另一个重要部分。
学生们需要了解数列的定义和数列的极限概念,以及级数的定义和级数的收敛性判定方法。
此外,还要学会运用级数的求和公式,以及级数的一些特殊性质进行问题求解。
六、多元函数的极值与条件极值多元函数的极值与条件极值是高数课程中较为复杂的内容。
学生们需要深入理解多元函数的极值定义和条件极值的求解方法,熟悉方向导数和梯度的概念和计算方法。
另外,要牢记拉格朗日乘数法和极值存在性的相关定理,并能够灵活应用于问题求解中。
总结起来,高数大一课程中的重难点知识点主要包括极限和连续性、微分和导数、积分和不定积分、微分方程、级数和数列,以及多元函数的极值与条件极值。
大一高数最难知识点归纳

大一高数最难知识点归纳在大一学习高数课程的过程中,我们会遇到许多难题和难点,这些知识点可能会让我们感到头疼。
本文将对大一高数课程中最难的知识点进行归纳和分析,希望能帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、极限与连续1. 无穷大与无穷小的概念:在学习极限时,我们常常会遇到无穷大与无穷小的概念,这需要我们理解和掌握它们的定义和性质,例如何时一个函数趋于无穷大、无穷小,以及它们与极限的关系。
2. 极限运算法则:在求解极限的过程中,我们需要掌握一些运算法则,如极限的四则运算法则、复合函数的极限法则等。
这些法则需要我们熟练运用,才能正确求解各类极限问题。
3. 连续性与间断点:连续性是函数学习中的重要概念,我们需要理解函数的连续性和间断点的定义,并能够判定一个函数在某点是否连续,以及如何处理间断点。
二、导数与微分1. 导数的定义与性质:导数作为微积分的重要概念,其定义和性质需要我们牢固掌握。
尤其是导数的定义涉及到极限的运用,这是一个较难理解的点。
2. 高阶导数和隐函数求导:在求解复杂函数的导数时,我们需要掌握高阶导数的计算方法,并了解隐函数求导的相关知识。
这些内容相对较为复杂,需要耐心学习和反复练习。
3. 微分中值定理:微分中值定理是微积分中的重要定理,对于理解函数的增减性和曲线的特征具有重要意义。
然而,这个定理的证明和应用可能较为复杂,需要我们具备一定的数学推理能力。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的基本方法:在进行不定积分时,我们需要掌握基本的积分方法,如换元法、分部积分法等。
这些方法的正确应用对于求解不定积分问题至关重要,但在实践中可能会遇到一些复杂的情况。
2. 定积分的性质与应用:定积分是对函数在一定区间上的求和,它在应用数学和物理等领域中有着重要的地位。
我们需要理解定积分的性质以及如何将其应用到实际问题中,这对于积分的计算和应用具有重要意义。
3. 定积分的变量替换与分部积分法:在求解复杂的定积分时,我们需要熟练运用变量替换和分部积分法,以便简化积分的求解过程。
大一高数知识点-重难点整理

第一章 基础知识部分&1.1初等函数一、函数的概念1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述,是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。
设有两个变量x 与y ,如果对于变量x 在实数集合D 内的每一个值,变量y 按照一定的法则都有唯一的值与之对应,那么就称x 是自变量,y 是x 的函数 ,记作y=f (x ),其中自变量x 取值的集合D 叫函数的定义域,函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数的表示方法 (1)解析法即用解析式(或称数学式)表示函数。
如y=2x+1, y=︱x ︱,y=lg(x+1),y=sin3x 等。
便于对函数进行精确地计算和深入分析。
(2)列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。
便于差的某一处的函数值。
(3)图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观,能从图像上看出函数的某些特性。
分段函数——即当自变量取不同值时,函数的表达式不一样,如⎩⎨⎧--≥+=0,120 x 1,2x y x x ()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00,1sin x f x x xx隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。
所谓显函数,即直接用含自变量的式子表示的函数,如y=x ²+2x+3,这是常见的函数形式。
而隐函数是指变量x 、y 之间的函数关系式是由一个含x ,y 的方程F(x,y)=0给出的,如2x+y-3=0,0e yx =--+y x 等。
而由2x+y-3=0可得y=3-2x ,即该隐函数可化为显函数。
参数式函数——若变量x,y 之间的函数关系是通过参数式方程()()()⎩⎨⎧∈==T t t y t x ,ψϕ给出的,这样的函数称为由参数方程确定的函数,简称参数式方程,t 称为参数。
反函数——如果在已给的函数y=f(x)中,把y 看作自变量,x 也是y 的函数,则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数,记作x=f ¯¹(y)或y= f ¯¹(x)(以x 表示自变量).二、函数常见的性质1、单调性(单调增加、单调减少)2、奇偶性(偶:关于原点对称,f (-x )=f (x );奇:关于y 轴对称,f (-x )=-f(x).)3、周期性(T 为不为零的常数,f (x+T )=f (x ),T 为周期)4、有界性(设存在常数M >0,对任意x ∈D ,有f ∣(x)∣≤M,则称f(x)在D 上有界,如果不存在这样的常数M ,则称f(x)在D 上无界。
高数知识点大一重难点

高数知识点大一重难点一、导数与微分1. 导数的定义及计算方法在数学中,导数是函数的一个概念,描述了函数图像的变化率。
导数的定义是函数在某一点的变化率,可以用极限来表示。
常用的导数计算方法有基本初等函数的求导法则、复合函数求导法则等。
2. 微分的概念与应用微分是数学分析中的一个重要工具,在物理、工程等领域有广泛应用。
微分可以理解为函数在某一点的局部线性逼近,可以用来近似计算函数的变化量、判断函数的极值等。
二、极限与连续性1. 极限的定义与性质极限是数学分析中的基本概念,它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
极限具有一些重要性质,如唯一性、局部性等。
2. 极限存在与连续性的关系极限存在是函数连续的一个必要条件,连续函数的极限是函数在该点的函数值。
三、一元函数的导数与应用1. 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线斜率,可以用来研究曲线的几何特征。
导数的物理意义是描述了物理量的变化率,如速度、加速度等。
2. 高等数学中的导数应用导数在高等数学中的应用非常广泛,如函数的最值、切线方程、曲线的凹凸性等。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质不定积分是微积分中一个重要的概念,它是原函数的一个定义域。
不定积分具有线性性质、积分换元法、分部积分法等运算性质。
2. 定积分的定义与计算方法定积分描述了函数在一定区间上的累积效应,可以用来计算曲线下的面积、质量等物理量。
定积分的计算方法有区间分割法、换元积分法、分部积分法等。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念与解法常微分方程是研究变化过程中的函数与其导数之间关系的数学模型,可以描述很多物理、生物、经济等现象。
常微分方程的解法包括分离变量法、一阶线性微分方程的解法等。
2. 常微分方程的应用领域常微分方程在科学与工程领域中有广泛的应用,如天文学中的行星运动、生物学中的人口增长模型等。
六、级数与幂级数1. 级数的收敛性与发散性级数是无穷数列求和的一种形式,研究级数的收敛性可以判断级数是否有和。
大一高数最难知识点汇总

大一高数最难知识点汇总高等数学作为大学的一门重要基础课程,对于理工类专业的学生来说是必修科目之一。
而在大一的高等数学课程中,有一些知识点往往被学生普遍认为是难以掌握的。
在本文中,将对大一高数课程中最难的知识点进行汇总和讨论。
1. 极限与连续在大一高数课程的开篇,极限与连续的概念就是一个难点。
学生们需要理解极限的定义,掌握求极限的方法,例如用代数的方法、夹逼准则、洛必达法则等。
此外,学生还需要了解和掌握函数的连续性概念,例如左右极限的一致性、间断点的判定等。
2. 导数与微分导数与微分是大一高数中的核心概念,也是比较难以理解和运用的知识点。
学生们需要熟练掌握导数的定义、常见函数的导数公式、求导的基本法则等。
同时,学生们还需要理解导数的几何意义,例如导数表示函数的切线斜率,以及导数的应用,例如最值问题、曲线的凹凸性判断等。
3. 微分中值定理与泰勒展开微分中值定理与泰勒展开是大一高数中比较抽象和繁琐的知识点。
学生们需要理解中值定理的条件和结论,掌握利用中值定理解决问题的方法,例如罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
泰勒展开是将函数用多项式逼近的方法,学生们需要了解泰勒公式的推导过程和应用。
4. 不定积分与定积分不定积分与定积分是大一高数中的重点和难点之一。
学生们需要熟练掌握常见函数的积分公式,例如幂函数、指数函数、三角函数等的不定积分公式。
同时,学生们还需要理解定积分的定义和性质,掌握利用定积分求曲线面积、定积分的应用等。
5. 二重积分与三重积分高数课程的最后部分,二重积分与三重积分是比较难以理解和计算的知识点。
学生们需要了解平面图形的面积计算方法,掌握使用二重积分计算平面图形的面积和物理量。
而在三重积分中,学生们需要理解三维空间中体积的计算方法,掌握使用三重积分计算空间物理量等。
综上所述,大一高数课程中存在许多难点的知识点。
对于学生们来说,要克服这些难点,首先需要建立扎实的数学基础,掌握基本的运算法则和公式。
大一上高数重修重点知识点

大一上高数重修重点知识点大一上学期的高等数学是大多数理工类专业学生所必修的一门课程。
由于高数的理论复杂、题型繁多,因此在学习过程中往往会遇到一些难点。
本文将对大一上学期高等数学的重修重点知识点进行总结和归纳,以帮助同学们更好地掌握这门课程。
一、函数与极限函数与极限是高等数学的基础,也是高数复习的重点之一。
在这一部分中,我们需要掌握以下内容:1. 函数的定义与性质:包括函数的定义域、值域、单调性等基本概念,以及函数的四则运算、复合函数和反函数等运算方法。
2. 极限的概念与性质:了解极限的定义、有界性、夹逼定理等极限性质,并学会利用这些性质求解极限的方法。
3. 无穷大与无穷小:了解无穷大与无穷小的概念及其性质,掌握利用无穷小做极限运算的方法,如洛必达法则等。
二、导数与微分导数与微分是高等数学中的重要内容,也是高数复习的难点。
在这一部分中,我们需要掌握以下内容:1. 导数的定义与性质:掌握导数的定义和几何意义,了解导数的基本性质,如导数的四则运算、链式法则、隐函数求导等。
2. 高阶导数与微分:了解高阶导数的概念和性质,学会计算高阶导数,以及掌握微分的定义与应用。
3. 函数的凸凹性与极值:熟悉函数的凸凹性和极值的判定方法,包括二阶导数判别法、端点极值和区间极值等。
三、定积分与不定积分定积分与不定积分是高等数学中的重要内容,也是高数复习的重点之一。
在这一部分中,我们需要掌握以下内容:1. 定积分的概念与性质:了解定积分的定义和几何意义,掌握定积分的基本性质,如线性性、区间可加性等。
2. 定积分的计算:学会利用定积分的性质和基本公式,如换元法和分部积分法等,进行定积分的计算。
3. 不定积分的计算:熟悉常见函数的不定积分公式,如幂函数、三角函数和指数函数等,并学会利用换元法和分部积分法等方法进行不定积分的计算。
四、微分方程微分方程是高等数学中的重要内容,也是高数复习的难点之一。
在这一部分中,我们需要掌握以下内容:1. 常微分方程的概念与解法:了解常微分方程的基本概念,如一阶常微分方程和二阶常微分方程等,并学会利用常微分方程的解法进行求解。
高数大一上期末复习要点

高数大一上期末复习要点高等数学是一门大一上学期的重要课程,它是数学的一门基础性课程,也是理工科学生必修的一门课程。
本文将总结和归纳高等数学大一上学期的复习要点,以帮助同学们对这门课程进行有效的复习。
一、函数与极限1. 函数的概念、性质和表示法2. 函数的基本类型:多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等3. 函数的运算:和、差、积、商、复合函数4. 函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性5. 极限的定义、性质和相关定理6. 数列极限与函数极限的关系二、导数与微分1. 导数的概念、定义和几何意义2. 导数的计算法则:常数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导等3. 高阶导数的概念与计算4. 函数的微分与微分近似值的应用5. 函数的单调性与极值问题6. 函数的图像与导数的关系三、积分与不定积分1. 积分的概念、性质和计算方法2. 定积分的概念、性质和计算方法3. 牛顿-莱布尼茨公式与不定积分的概念4. 不定积分的基本性质和计算方法5. 不定积分的换元法与分部积分法6. 定积分的几何应用:面积、曲线长度、平均值等四、微分方程1. 微分方程的概念和基本形式2. 一阶微分方程的可分离变量、齐次方程和线性方程解法3. 一阶线性微分方程的常数变易法和伯努利方程解法4. 二阶齐次线性微分方程的特征方程解法5. 二阶非齐次线性微分方程的特解叠加法与待定系数法6. 微分方程的应用:变种种群模型、生命问题、机械振动等五、级数与幂级数1. 数列与级数的概念和性质2. 收敛与发散的判定:比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 常数项级数的和与收敛域4. 幂级数的收敛半径与收敛域5. 幂级数的运算:求导、求积等6. 幂级数的应用:函数展开、函数逼近等上述要点是大一上学期高等数学课程的重点内容,同学们在复习的过程中应该重点关注,并通过课堂笔记、教材、习题集等进行系统复习和巩固。
同时,在复习过程中要注重提高自己的问题解决能力和应用能力,培养数学思维和分析能力。
大一高数知识点全总结

大一高数知识点全总结一、导数与微分大一高数的第一个重点知识点是导数与微分。
导数是研究函数变化率的工具,表示函数在某一点处的切线斜率。
微分则是导数的另一种表达方式,它是建立在导数的基础上,用于在某一点附近对函数进行线性逼近。
在学习导数与微分时,需要注意以下几个重要的概念和公式:1. 导数的定义:导数可以用函数的极限表示,即 f'(x) =lim(Δx→0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx,其中 f'(x) 表示函数 f(x) 在点 x 处的导数。
2. 常见函数求导法则:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数可以利用一些基本的求导法则确定。
3. 高阶导数:函数的导数也可以再次求导,得到的导数称为高阶导数。
4. 微分的定义:函数 y = f(x) 在点 x 处的微分可以表示为 dy = f'(x)dx。
5. 微分的应用:微分可以用来进行近似计算,比如在物理上的位移、速度和加速度等问题中的应用。
二、极限与连续极限与连续是大一高数的第二个重点知识点。
极限是数列、函数趋近于某个确定值的概念,连续则是函数在某一区间内无断点的特性。
在学习极限与连续时,需要注意以下几个重要的概念和定理:1. 数列极限的定义:对于一个数列 {an},若存在常数 A,使得当 n 趋于无穷时,an 与 A 的差值无限接近,则称数列 {an} 的极限为 A。
2. 函数极限的定义:对于一个函数 f(x),若存在常数 A,使得当 x 趋于某个值 x0 时,f(x) 与 A 的差值无限接近,则称函数 f(x) 的极限为 A。
3. 极限的性质与四则运算:极限具有唯一性和有界性,并且可利用四则运算法则求解。
4. 无穷小量与无穷大量:无穷小量是指当 x 趋于某个值时,其极限为 0 的量;无穷大量是指当 x 趋于某个值时,其绝对值无限增大的量。
5. 连续函数的定义与性质:函数在某一点 x0 处连续,意味着函数在 x0 处的极限等于函数在 x0 处的取值,并且连续函数的四则运算结果仍然是连续函数。
大一高数知识点总结及重难点

大一高数知识点总结及重难点在大学的学习过程中,高等数学是一个重要而又基础的学科。
对于大一学生来说,高等数学作为一门必修课程,掌握其中的知识点是非常重要的。
下面将对大一高数的知识进行总结,并重点介绍一些难点和重点。
1.导数与微分导数是高等数学中的一个重要概念,它描述了函数在某点的变化率。
在导数的计算中,需要掌握基本的导数公式和求导法则,并理解其几何和物理意义。
微分是导数的一个应用,它可以用来求函数的极值和切线方程。
在微分的应用中,需要注意极值点和拐点以及函数图像的性质。
2.积分与不定积分积分是导数的逆运算,可以用来求函数的原函数或定积分。
在积分的计算中,需要熟练掌握各种常见函数的积分表达式和基本的积分法则,并理解其几何和物理意义。
不定积分是积分的一种形式,它表示用来求函数的原函数的过程。
在不定积分的计算中,需要注意常数项的添加和变量代换的方法。
3.一元函数的极限与连续极限是数列和函数的重要性质之一,可以用来描述数列或函数中的趋势和趋近程度。
在极限的计算中,需要掌握各种常见函数的极限计算方法和基本的极限定理。
连续是函数的一个重要性质,可以用来描述函数图像的连贯性和光滑性。
在连续的判断和计算中,需要注意间断点和连续函数的性质。
4.级数与收敛性级数是数列的一种形式,它是数列的和的无穷和。
在级数的计算和判断中,需要掌握各种级数的收敛性判断方法和级数求和的技巧。
收敛是级数的一个重要性质,可以用来描述级数的和的无穷性。
在级数的收敛性判断中,需要注意正项级数和交错级数以及比较判别法和积分判别法。
5.空间解析几何与向量空间解析几何是研究空间中的点、直线和平面的一个分支,可以用来描述和解决空间几何问题。
在空间解析几何中,需要掌握点、直线和平面的方程表示和性质,并能够进行相应的解题操作。
向量是空间解析几何的基本概念,它可以用来表示空间中的位移和力的方向和大小。
在向量的计算和运算中,需要掌握向量的线性运算和数量积、向量积的性质。
大学数学难点知识点归纳大一

大学数学难点知识点归纳大一大学数学对于许多大一学生来说,是一个充满挑战的学科。
其中,一些知识点被广泛认为是难点,需要我们投入更多的时间和努力来理解和掌握。
本文将归纳总结大学数学大一阶段的数学难点知识点,帮助大家更好地应对这些难点并提高数学成绩。
1. 极限与连续在大一数学中,极限与连续是一个重要的概念。
了解和理解极限的定义以及相关定理对于学习微积分和高等数学至关重要。
在求极限的过程中,需要熟练掌握一些常用的极限公式与运算法则。
2. 函数与映射函数是数学中一个基础的概念。
在大一数学中,我们需要掌握函数的定义、性质与分类,并学习如何使用函数图像来解决实际问题。
此外,理解映射的概念以及函数与映射之间的关系也是必要的。
3. 三角函数与向量三角函数是大一数学中的一大难点之一。
熟练掌握三角函数的定义、性质与相关公式,能够运用三角函数解决各种三角关系问题至关重要。
此外,向量也是数学中的一个重要概念,我们需要理解向量的定义、性质与运算法则,并能够灵活运用向量解决几何和物理问题。
4. 矩阵与行列式在线性代数中,矩阵与行列式是数学中的另一个重要知识点。
我们需要了解矩阵与行列式的定义、性质与运算法则,并掌握如何使用矩阵与行列式解决线性方程组和线性变换等问题。
5. 微分与积分微积分是大一数学的核心内容之一。
在学习微积分时,需要掌握导数和微分的定义、性质与运算法则,并学会运用它们解决函数的极值、曲线的切线和函数的图像等问题。
同时,我们还需学习积分的定义、性质与运算法则,并掌握如何应用积分计算函数的面积、求定积分和解决基本微分方程等问题。
6. 概率与统计概率与统计是大一数学中的一大难点,但也是一个非常实用的数学分支。
在学习概率与统计时,我们需要了解概率的基本定义、计算方法和概率分布等概念,以及统计的基本概念和统计方法。
通过学习概率与统计,我们可以应用数学的知识解决实际问题,并培养批判性思维和数据分析能力。
以上是大学数学大一阶段的一些难点知识点的归纳总结。
大一上高数重点知识点

大一上高数重点知识点一、函数与极限1.函数:-函数的定义:函数是一个变量间的关系,通常表示为y=f(x),其中x是自变量,y是因变量,f(x)是给定x的函数值。
-四则运算和复合运算:加法、减法、乘法、除法、复合等运算规则。
-基本初等函数:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
2.极限:-极限的定义:当自变量x无限接近一些确定值时,函数f(x)的值逐渐趋向于一个确定的常数L,称L为函数f(x)当x趋近于一些确定值时的极限。
-极限的性质:极限的唯一性、局部有界性、保序性等。
-极限计算法则:四则运算法则、复合运算法则、等价无穷小替代法则等。
二、导数与微分学1.导数:- 导数的定义:函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x),定义为f'(x)=lim(x→0)(f(x+h)-f(x))/h。
-导数的几何意义:导数表示函数的变化率,即函数曲线在一点的斜率。
-基本求导法则:常数法则、乘法法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
2.微分学:- 微分的定义:函数f(x)在点x处的微分表示为df(x)=f'(x)dx。
-微分的几何意义:微分代表函数曲线在特定点附近的线性近似,即切线与x轴的交点的y坐标。
-高阶导数:导数的导数称为高阶导数,如f''(x)表示f'(x)的导数。
三、不定积分与定积分1.不定积分:- 不定积分的定义:函数F(x)是f(x)的一个原函数,表示为∫f(x)dx=F(x)+C,其中C为常数。
-基本积分法则:幂函数积分、指数函数积分、对数函数积分、三角函数积分等。
-分部积分法:将积分的乘积分解为两个函数的乘积的积分形式进行求解。
-特殊积分:标准形式的积分表达式的求解,如三角函数的积分、有理函数的积分等。
2.定积分:- 定积分的定义:函数f(x)在区间[a,b]上的定积分表示为∫[a,b]f(x)dx,表示函数在该区间上的面积。
大一高等数学知识点难点

大一高等数学知识点难点在大一的学习中,高等数学是一门必修课程,也是理工科学生必备的一门基础学科。
高等数学作为一门抽象的学科,常常给学生带来许多困扰与挑战。
本文将围绕大一高等数学学习中的知识点和难点展开讨论,帮助读者更好地理解和掌握这门学科。
一、极限与连续极限与连续是高等数学的基础概念之一,也是后续学习微积分的重要基础。
在学习中,极限的定义和性质是重点和难点。
极限的定义通常包括ξ趋于a时的两个条件:一是当ξ无限接近a时,函数值f(ξ)无限接近于L;二是对于任意给定的正数ε,总存在对应的正数δ,使得只要0<|ξ-a|<δ,就有|f(ξ)-L|<ε。
这个定义的理解和掌握需要对数学符号、集合和函数的概念有一定的了解和运用能力。
二、导数与微分导数与微分是微积分的重要内容,也是从高等数学向工科专业中的应用数学的过渡。
求导的基本方法和常见函数的导数公式是学习中的重点。
同时,导数的几何意义和应用也是难点。
导数表示函数在某点的瞬时变化率,也可理解为函数图像在该点的切线斜率。
这种几何意义的理解需要结合图像和函数的性质进行抽象和推理。
三、不定积分与定积分不定积分与定积分是微积分的核心概念和计算方法,也是应用数学中常见的工具。
在高等数学学习中,不定积分的求解和基本积分公式的记忆是难点。
不定积分即求导的逆运算,通过积分求解函数的原函数。
在计算中,首先需要熟练掌握常见函数的积分公式,然后再通过换元积分、分部积分等方法进行复杂函数的积分计算。
四、级数级数是数列的和的概念的推广,是高等数学的一个重要内容。
级数的收敛性与发散性是学习中的难点。
级数收敛的概念是指当n 趋于无穷时,数列Sn趋于一个有限的极限值。
级数的收敛性判断需要掌握比较判别法、比值判别法、根值判别法等方法,并能够运用这些方法解决实际问题。
五、多元函数与偏导数多元函数和偏导数是高等数学的拓展内容,也是后续学习多元微积分的基础。
在学习中,掌握多元函数的定义和性质,以及偏导数的计算方法是难点。
大一高数知识点重难点整理

第一章 基础知识部分&1.1初等函数一、函数的概念1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述,是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。
设有两个变量x 与y ,如果对于变量x 在实数集合D 内的每一个值,变量y 按照一定的法则都有唯一的值与之对应,那么就称x 是自变量,y 是x 的函数 ,记作y=f (x ),其中自变量x 取值的集合D 叫函数的定义域,函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数的表示方法(1)解析法 即用解析式(或称数学式)表示函数。
如y=2x+1, y=︱x ︱,y=lg(x+1),y=sin3x 等。
便于对函数进行精确地计算和深入分析。
(2)列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。
便于差的某一处的函数值。
(3)图像法即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观,能从图像上看出函数的某些特性。
分段函数——即当自变量取不同值时,函数的表达式不一样,如⎩⎨⎧--≥+=0,120 x 1,2x y x x ()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00,1sin x f x x x x隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。
所谓显函数,即直接用含自变量的式子表示的函数,如y=x ²+2x+3,这是常见的函数形式。
而隐函数是指变量x 、y 之间的函数关系式是由一个含x ,y 的方程F (x,y)=0给出的,如2x+y-3=0,0e y x =--+y x 等。
而由2x+y-3=0可得y=3-2x ,即该隐函数可化为显函数。
参数式函数——若变量x,y 之间的函数关系是通过参数式方程()()()⎩⎨⎧∈==T t ty t x ,ψϕ给出的,这样的函数称为由参数方程确定的函数,简称参数式方程,t 称为参数。
反函数——如果在已给的函数y=f(x)中,把y 看作自变量,x 也是y 的函数,则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数,记作x=f ¯¹(y)或y= f ¯¹(x)(以x 表示自变量).二、函数常见的性质1、单调性(单调增加、单调减少)2、奇偶性(偶:关于原点对称,f (-x )=f (x );奇:关于y 轴对称,f (-x )=-f(x).)3、周期性(T 为不为零的常数,f (x+T )=f (x ),T 为周期)4、有界性(设存在常数M >0,对任意x ∈D ,有f ∣(x)∣≤M,则称f(x)在D 上有界,如果不存在这样的常数M ,则称f(x)在D 上无界。
大一高数知识点重难题目

大一高数知识点重难题目一、导数和微分1. 导数的定义2. 基本函数的导数3. 高阶导数4. 高阶微分5. 隐函数求导6. 参数方程求导7. 反函数求导8. 微分中值定理9. 极值与最值10. 曲线的凸凹性和拐点二、极限与连续1. 极限的定义与性质2. 极限的四则运算法则3. 无穷小量与无穷大量4. 极限存在准则5. 函数的连续性6. 间断点与可导性7. 闭区间上连续函数的性质8. 邹尔触类9. 累次极限三、一元函数微分学1. 定积分的概念2. 定积分的性质3. 牛顿-莱布尼茨公式4. 定积分的计算方法5. 常用函数的定积分6. 反常积分与广义积分7. 平均值定理与积分中值定理8. 罗尔定理与拉格朗日中值定理9. 函数的积分学基本定理10. 微分方程基础四、一元函数级数1. 数项级数的概念2. 数项级数的性质3. 收敛级数与发散级数4. 正项级数的比较判别法5. 正项级数的比值判别法6. 交错级数的Leibniz判别法7. 幂级数的收敛半径8. 幂级数的求和五、多元函数微分学1. 多元函数的极限2. 多元函数的连续性3. 多元函数的偏导数4. 多元函数的全微分5. 多元函数的隐函数6. 多元函数的泰勒公式7. 多元函数的最值与最值8. 多元函数的多元积分9. 重积分的计算方法10. 曲线曲面积分六、多元函数级数1. 多项级数的收敛性2. 多项级数的性质3. 双级数的性质与收敛性4. 多项级数的绝对收敛与条件收敛5. 多项级数的收敛判别法6. 多项级数的求和7. 函数项级数的收敛性8. 函数项级数的一致收敛性9. 一致收敛级数与积分的交换次序以上是大一高数中的重难题目的概述,涵盖了导数和微分、极限与连续、一元函数微分学、一元函数级数、多元函数微分学以及多元函数级数等核心知识点。
深入理解和掌握这些重难题目,对于巩固和提高数学基础是非常重要的。
希望同学们在学习过程中多加练习,多思考,做到知识点的理论联系实际,灵活运用,全面掌握高数的核心概念和解题技巧。
笔记整理大一高数知识点

笔记整理大一高数知识点在大一的高等数学课程中,学生们需要掌握和理解许多重要的数学知识点。
为了帮助同学们更好地学习和记忆这些知识点,本文将对大一高数的重要知识进行整理和总结。
1. 极限与连续1.1 极限的定义与性质- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 极限的性质(四则运算、复合函数)1.2 无穷大与无穷小- 无穷大的定义- 无穷小的定义- 无穷小的比较- 高阶无穷小1.3 连续性与间断点- 函数的连续性定义- 连续函数的性质- 间断点的分类和判断- 可导与连续的关系2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算- 导数的定义- 导数的四则运算法则- 高阶导数与Leibniz公式2.2 常见函数的导数- 幂函数、指数函数、对数函数的导数 - 三角函数的导数- 反三角函数的导数- 复合函数的导数2.3 微分学的应用- 极值与最值问题- 弧长与曲率- 泰勒展开式3. 不定积分与定积分3.1 不定积分与原函数- 不定积分的定义- 基本积分公式- 积分方法与换元法3.2 定积分的概念与性质- 定积分的定义- 定积分的性质(线性性、区间可加性等) - 牛顿-莱布尼茨公式3.3 定积分的计算- 分部积分法- 曲线的长度与面积- 广义积分的收敛性4. 无穷级数4.1 无穷级数的定义与收敛性 - 无穷级数的定义- 收敛级数与发散级数的判断 - 收敛级数的性质4.2 常见的数项级数- 等比级数- 幂级数- 正项级数的审敛法4.3 函数项级数- 函数项级数的收敛性- 一致收敛性与点态收敛性 - 幂级数的收敛半径5. 多元函数微分学5.1 偏导数的定义与计算- 偏导数的定义- 偏导数的计算方法- 高阶偏导数5.2 全微分与导数- 全微分的定义- 导数的定义- 隐函数与显函数的导数5.3 多元函数的极值与条件极值- 多元函数的极值判断- 条件极值问题的求解通过对以上知识点的整理与总结,相信同学们可以更好地理解和记忆大一高等数学中的重要知识,为后续学习打下坚实的基础。
高数知识点大一重难点总结

高数知识点大一重难点总结高等数学作为大一学生必修的一门课程,是建立在中学数学基础之上的,具有一定的难度。
在学习过程中,有些知识点往往令人感到困惑和头疼。
本文将对大一高数中的重难点进行总结,帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
一、极限与连续在高等数学中,极限是一个非常重要且基础的概念。
同学们在接触极限时,可能会遇到以下难点:1.1 无穷小量和无穷大量的概念无穷小量和无穷大量是极限概念中的重要内容。
无穷小量是指当自变量趋于某一点时,函数值无限接近于零的量;无穷大量则相反,意味着函数值在某一点上的绝对值可以无限增大。
理解和运用无穷小量和无穷大量的概念,是解决极限问题的基础。
1.2 极限的运算法则在计算极限的过程中,运用极限的运算法则是必不可少的。
常见的极限运算法则包括四则运算法则、乘法法则、导数法则等。
掌握这些运算法则,并能熟练地应用于实际问题的求解中,是解决极限问题的重要手段。
1.3 连续函数的判定连续函数也是重要的概念之一。
我们常常需要判定一个函数在某一点处是否连续。
对于大多数初学者而言,连续函数的概念较为抽象,需要通过具体的例子和练习来加深理解。
二、导数与微分导数与微分是高等数学中的重点内容,也是应用数学中常用的工具。
在学习导数与微分时,常见的难点如下:2.1 导数的定义和性质掌握导数的定义和性质对于解题非常重要。
导数的定义是利用极限的概念,定义了函数在某一点处的变化率;而导数的性质又是在导数的基础上进行推导和运用得出的。
对于初学者来说,能够准确地理解和应用导数的定义和性质是解题的关键。
2.2 基本初等函数的导数计算基本初等函数的导数计算是必须要掌握的。
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
每一种函数的导数计算都有一定的规律和技巧,需要通过大量的练习来加深理解和熟练运用。
2.3 高阶导数与隐函数求导在实际问题中,有时需要求高阶导数或使用隐函数求导。
求高阶导数需要运用导数的性质、运算法则和递推关系;而隐函数求导则需要通过对方程进行变形和运用相关的方法,例如隐函数求导公式、参数方程求导等。
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第一章 基础知识部分&1.1初等函数一、函数的概念1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述,是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。
设有两个变量x 与y ,如果对于变量x 在实数集合D 内的每一个值,变量y 按照一定的法则都有唯一的值与之对应,那么就称x 是自变量,y 是x 的函数 ,记作y=f (x ),其中自变量x 取值的集合D 叫函数的定义域,函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数的表示方法 (1)解析法即用解析式(或称数学式)表示函数。
如y=2x+1, y=︱x ︱,y=lg(x+1),y=sin3x 等。
便于对函数进行精确地计算和深入分析。
(2)列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。
便于差的某一处的函数值。
(3)图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观,能从图像上看出函数的某些特性。
分段函数——即当自变量取不同值时,函数的表达式不一样,如⎩⎨⎧--≥+=0,120 x 1,2x y x x ()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00,1sin x f x x xx隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。
所谓显函数,即直接用含自变量的式子表示的函数,如y=x ²+2x+3,这是常见的函数形式。
而隐函数是指变量x 、y 之间的函数关系式是由一个含x ,y 的方程F(x,y)=0给出的,如2x+y-3=0,0e yx =--+y x 等。
而由2x+y-3=0可得y=3-2x ,即该隐函数可化为显函数。
参数式函数——若变量x,y 之间的函数关系是通过参数式方程()()()⎩⎨⎧∈==T t t y t x ,ψϕ给出的,这样的函数称为由参数方程确定的函数,简称参数式方程,t 称为参数。
反函数——如果在已给的函数y=f(x)中,把y 看作自变量,x 也是y 的函数,则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数,记作x=f ¯¹(y)或y= f ¯¹(x)(以x 表示自变量).二、函数常见的性质1、单调性(单调增加、单调减少)2、奇偶性(偶:关于原点对称,f (-x )=f (x );奇:关于y 轴对称,f (-x )=-f(x).)3、周期性(T 为不为零的常数,f (x+T )=f (x ),T 为周期)4、有界性(设存在常数M >0,对任意x ∈D ,有f ∣(x)∣≤M,则称f(x)在D 上有界,如果不存在这样的常数M ,则称f(x)在D 上无界。
5、极大值、极小值6、最大值、最小值 三、初等函数1、基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。
(图像、性质详见P10)2、复合函数——如果y 是u 的函数y=f(u),而u 又是x 的函数u=∫(x),且∫(x)的值域与f(x)的定义域的交非空,那么y 也是x 的函数,称为由y=f(u)与u=∫(x)复合而成的复合函数,记作y=f(∫(x))。
3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的,并且能用一个数学式子表示的函数,称为初等函数。
四、函数关系举例与经济函数关系式1、函数关系举例2、经济函数关系式(1)总成本函数——总成本=固定成本+变动成本 平均单位成本=总成本/产量 (2)总收益函数——销售总收益=销售价格×产量 (3)总利润函数——总利润=销售总收益-总成本(4)需求函数——若其他因素不变,需求量Q=f(P)(P 为产品销售价格)&1.2函数的极限一、数列的极限对于无穷数列{a n },当项数n 无限增大时,如果a n 无限接近于一个确定的常数A ,则称A 为数列{a n }的极限,记为A a n n=∞→lim,或当n →∞时,a n →A 。
若数列{a n }存在极限,也称数列{a n }收敛,例如01n lim =∞→n ,C C =∞→n lim(C 为常数),()10 q q n =∞→n lim。
若数列{a n }没有极限,则称数列{a n }发散。
数列极限不存在的两种情况:(1)数列有界,但当n →∞时,数列通项不与任何常数无限接近,如:()11--n ;(2)数列无界,如数列{n ²}。
二、当x →0时,函数f (x )的极限如果当x 的绝对值无限增大(记作x →∞)时,函数f(x)无限地接近一个确定的常数A ,那称A 为函数f(x)当x →∞时的极限,记作()A x f x =∞→lim,或当x →∞时,f(x) →A 。
单向极限定义 如果当+∞→x 或()-∞→x 时,函数f(x)无限接近一个确定的长寿湖A ,那么称A 为函数f(x)当+∞→x 或()-∞→x 时得极限,记作()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-∞→=+∞→A x f n A x f x lim lim。
三、当X →Xo 时,函数f (x )的极限1、当X →Xo 时,函数f(x)的极限定义 如果当x 无限接近Xo(记作X →Xo)时,函数f(x)无限接近于一个确定的常数A ,则称A 为函数f(x)当X →Xo 时的极限,记作()A x f n =∞→lim,或当X →Xo 时,f(x) →A 。
2、当X →Xo 时,函数f(x)的左极限和右极限如果当X →Xo ¯(或+→0x x )时,函数f(x)无限接近一个确定的常数A ,则称函数f(x)当X →Xo 时的左极限(右极限)为A ,记作()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→=→+-A x f x x A x f x x 00lim lim。
四、无穷大与无穷小1、无穷大与无穷小的定义如果当X →Xo 时,f(x)→0,就称f(x)当X →Xo 时的无穷小,记作()0lim 0=→x f x x ;如果当X →Xo 时,f(x)的绝对值无限增大,就称函数f(x)当X →Xo 时为无穷大,记作()∞=→x f x x 0lim 。
其中,如果当X →Xo 时,f(x)向正的方向无限增大,就称函数f(x)当X→Xo 时为正无穷大,记作()+∞=→x f x x 0lim ;如果当X →Xo 时,f(x)向负的方向无限增大,就称函数f(x)当X →Xo 时为负无穷大,记作()-∞=→x f x x 0lim 。
2、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化中,如果f(x)为无穷大,那么)(f 1x 为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,那么)(f 1x 为无穷大。
根据这个性质,无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。
3、无穷小的性质性质1:有限个无穷小的代数和为无穷小; 性质2:有限个无穷小的乘积为无穷小; 性质3:有界函数与无穷小的乘积为无穷小。
4、无穷小的比较设a 与b 是自变量同一变化中的两个无穷小,记作a=o(b);(1)如果limb a=0,则称a 是比b 低阶的无穷小; (2) 如果lim ba=∞, 则称a 是比b 高阶的无穷小;(3) 如果limba=c(c 为非零的常数),则称a 是比b 同阶的无穷小。
特别的,当c=1,即lim ba=1时,称a 与b 是等阶无穷小,记作a ~b 。
&1.3极限运算法则法则一 若lim u=A ,lim v=B ,则lim(u ±v)=lim u ±lim v=A ±B; 法则二 若lim u=A ,lim v=B ,则lim(u ·v)=lim u ·lim v=A ·B ; 法则三 若lim u=A ,lim v=B ,且B ≠0,则 limv u =v u lim lim =BA 推论 若lim u=A ,C 为常数,k ∈N ,则 (1)lim C ·u=C ·lim u=C ·A ; (2)lim ku = ku) (lim =kA注 运用这一法则的前提条件是u 与v 的极限存在(在商的情况下还要求分母的极限不为零)。
&1.4两个重要极限一、0x lim →xsin x=1二、xx 11x lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→=e&1.5函数的连续性一、函数连续性的概念1.函数在某点的连续性若函数f(x)在点0x 及其左右有定义,且0x x lim →f(x)=f(0x ),则称函数f(x)在点0x 处连续,0x 为函数f(x)的连续点。
理解这个定义要把握三个要点: (1)f(x)要在点0x 及其左右有定义; (2)0x x lim → f(x)要存在(3)0x x lim →f(x)= f(0x )。
增量△x=x-0x △y= f(x)- f(0x )设函数f(x)在点0x 及其左右有定义,如果当自变量x 在点0x 处的增量△x 趋近于零时,相应的函数增量△y 也趋近于零,即0y 0x lim=∆→∆,则称函数f(x)在点0x 处连续,0x 为f(x)的连续点。
2.函数在区间上的连续性、连续函数如果函数f(x)在区间(a ,b )上每一点上连续,则称函数f(x)在区间(a ,b )上连续。
如果函数f(x)在某个区间上连续,就称f(x)是这个区间上的连续函数。
二、连续函数的运算与初等函数的连续性1.连续函数的运算如果两个函数在某一点连续,那么它们的和、差、积、商(分母不为零)在这一点也连续。
设函数()χϕ=u 在点0x 处连续,且()00x u ϕ=,函数y=f(u)点0u 处连续,那么复合函数())x (f y 0ϕ=在点0x 处也连续。
2.初等函数的连续性初等函数在其定义域内是连续的。
第二章 微分与导数&2.1导数的概念设函数y=f(x)在点0x 处及其左右两侧的小范围内有定义,当△x →0时,若xy∆∆得极限存在,则称y=f(x)在点0x 处可导,并称此极限值为函数y=f(x) 点0x 处的导数,记作()()()xx f x x f 0x lim x y0x limx f 000∆-∆+→∆=∆∆→∆=’,还可记作y ’∣dxdy0x x 或=∣dx dy 0x x ,=∣x x =。
函数f(x)在点0x 可导且f ′(0x )=A 等价于-'f (0x )和+'f (0x )都存在且等于A ,即 ()()()A x f x f A x f 000='='⇔='+-。
根据这个定理,函数在某点的左、右导数只要有一个不存在,或者虽然都存在但不相等,该点的导数就不存在。
&2.2导数的四则运算法则和基本公式一、导数的四则运算法则设函数u=u(x),v=v(x)都可导,则(1)()v u v u '±'='±; (2)()u v u ′v u +′=•,特别的,(k ·u)’=k ·u ’,其中k 为常数。