离散数学第一章命题演算基础-命题和联结词
离散数学第一章第一节
PQ PQ PQ PQ
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1
111源自(1.B,2.AD,3.AD)
6、本讲小结
1、命题是客观上能判明真假的陈述句。当命题为真 时，称命题的真值为“真”；否则，说命题的真值为 “假”。命题一般用大写英文字母表示。表示命题的符 号叫命题标识符。当命题标识符表示不确定命题时称为 命题变元。
7、 练习
1、设P：天热。Q：我去游泳。R：我在家读书。则 命题“如天热，我去游泳，否则在家读书。”的符号化 结果是（ ）。
A.(PQ)(PR) C.(PQ)(PR) B.(PQ)(PR) D.(PQ)(PR)
2、设X：我上街。Y：我有空闲时间。则命题“我上 街，仅当我有空闲时间。”的符号化结果是( )。
A.XY B.YX C.XY D.YX
3、设X:我上街。Y:我有空闲时间。则命题“除非我 有空闲时间,否则我不上街。”的符号化结果是（ ）。
A.XY B.YX C.XY D.YX
练习答案
第一讲 作业
P8 3，4c，5bf，6bdgh
定义5 双条件联结词
设Ｐ,Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ当且仅 当Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的双条件命题，记作 ＰＱ。叫双条件联结词，也记作iff 。 ＰＱ为真当且仅当Ｐ,Ｑ真值相同。
例如，2+2＝5当且仅当雪是黑的。 设Ｐ： 2+2＝5 。Ｑ：雪是黑的。
则原命题表示为：ＰＱ。
例5 分析下列各命题的真值： (1) 如果2+2＝4，当且仅当3是奇数。 (2) 如果2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 (3) 如果2+2≠4，当且仅当3是奇数。 (4) 如果2+2≠4，当且仅当3不是奇数。
离散数学第一章
离散数学第⼀章1.1命题及其表⽰法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表⽰命题通常使⽤⼤写字母A，B，…，Z或带下标的⼤写字母或数字表⽰，如A i，[10]，R等，例如A1：我是⼀名⼤学⽣。
A1:我是⼀名⼤学⽣.[10]：我是⼀名⼤学⽣。
R：我是⼀名⼤学⽣。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁PP P0 11 01.2.2 合取联结词∧P∧P Q Q0 0 00 1 01 0 01 1 11.2.3 析取联结词∨P∨P Q Q0 0 00 1 11 0 11 1 11.2.4 条件联结词→P→P Q Q0 0 10 1 11 0 01 1 11.2.5 双条件联结词?P?P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.6 与⾮联结词↑P↑P Q Q0 0 10 1 11 0 11 1 0性质：（1） P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。
1.2.7 或⾮联结词↓P↓P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 0性质：（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应⽤(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下⾯的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把⾃然语⾔中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C)德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n) (2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n) 定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i 表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）①(p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
离散数学课件第一章.ppt
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且 n=max(i,j)； (c) A=BC, 其中 B,C 的层次及 n 同(b)； (d) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b)； (e) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b). (3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式.
例如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r,
E=((pq) r) (rs)
分别为0层，1层，2层，3层，4层公式.
16
公式赋值
定义1.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中的全部命题变项, 给p1, p2, … , pn各指定一个真值, 称为对A的一个赋值或解释. 若使A为1, 则称这组值为A的成真赋值; 若使A为0, 则称这组
基本要求 深刻理解各联结词的逻辑关系, 熟练地将命题符号化 会求复合命题的真值 深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等概念 熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成假
赋值及判断公式类型 24
练习1
1. 将下列命题符号化 (1) 豆沙包是由面粉和红小豆做成的. (2) 苹果树和梨树都是落叶乔木. (3) 王小红或李大明是物理组成员. (4) 王小红或李大明中的一人是物理组成员. (5) 由于交通阻塞，他迟到了. (6) 如果交通不阻塞，他就不会迟到. (7) 他没迟到，所以交通没阻塞. (8) 除非交通阻塞，否则他不会迟到. (9) 他迟到当且仅当交通阻塞.
2
命题概念
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 2是有理数. (2) 2 + 5 = 7.
(3) x + 5 > 3. (4) 你去教室吗？ (5) 这个苹果真大呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 2050年元旦下大雪.
离散数学第1章
P Q为真当且仅当P、Q同时为假。
27
极小全功能集
定义1.15 称联结词集G为全功能集， 如果由G中联结词构成的公式能等价表 示任意命题公式。
定义1.16 称联结词集G为极小全功能集， 如果G满足条件：①由G中联结词构成的 公式能等价表示任意公式；②G中的任 一联结词不能用其余联结词等价表示。
16
等值式有下列性质：
① 自反性，即对任意公式A，有A A。
② 对称性，即对任意公式A和B，若A
B，则B A。
③ 传递性，即对任意公式A、B和C，若
A B、B C，则A C。
17
基本等值式——命题定律
双否定: (1)AA
幂等律：(2)A∨AA
(3)A∧AA
2
1.1 命题符号化及联结词
命题 真值：T（1）
命题标识符
F（0）
3
命题联结词
复合命题、原子命题 命题联结词 否定l 合取∧ 析取∨ 蕴涵→ 等价
4
否定
定义1.1 设P表示一个命题，复合命 题 “非P” 称为P的否定式，记作 lP。 l为否定联结词。
lP为真当且仅当P为假。
5
记为H1∧H2∧…∧HnP。
定理 公式P是H1, H2,…, Hn的逻辑结论， 当且仅当H1∧H2∧…∧Hn→P是永真式。
40
推理规则
Ｐ规则(也称前提引入规则)：在推导过
程中，前提可视需要引入使用。
Ｔ规则(也称结论引入规则)：在推导过
程中，前面已导出的有效结论都可作为
离散数学 数理逻辑__命题逻辑_(1)
EX9：“如果张三能考90分，
那么李四也能考90分。”
P ：“张三能考90分”。
Q ：“李四能考90分”。
P
Q
T
T
•P→Q： “如果张三能考90分，
T
F
那么李四也能考90分。”
F
T
F
F
P→Q T F T T
17
EX10：如果你今年离散数学考100分，那么就奖励你100元。 P：你今年离散数学考100分。 Q：奖励你100元。
8
1、否定联结词
EX3：求“我们班上所有的同学都大于18岁”的否定。 P：我们班上所有的同学都大于18岁。 ① P：我们班上所有的同学不都大于18岁。 ② P：我们班上所有的同学都不大于18岁。
9
2、合取联结词
设P、Q为两个命题，复合命题“P而且Q”称为P、Q的合取式， 记为P∧Q，“∧”称为合取联结词。 P∧Q为真当且仅当P 与 Q 为同时为真。一般地“既P又Q”，“不仅P而且Q”， “虽 然P但是Q”都可以符号化的含义去理解。
11
EX5：求“今天下雪且今天下雨”的否定。 P：今天下雪。 Q：今天下雨。
P Q (P∧Q)
TT
F
TF
T
FT
T
FF
T
12
思考：将“小王和小李是夫妻俩，他们都很贪婪。” 符号化。 令p:小王和小李是夫妻俩; q:小王很贪婪; r:小李很贪婪; 则可符号化为： p∧q∧r 。
5
4、联结词和复合命题
➢ 联结词： 通常“并非”, “并且”, “或”,“如果…那 么…”,“只要…就…”, “当且仅当”等词称为联结词。
在命题逻辑中主要研究由简单命题用联结词连接而成的 命题称为复合命题；相对地，不能分解为更简单命题的 命题称为简单命题。（命题的分类） 注：简单命题和复合命题的划分具有相对性。 复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假所决定。
离散数学.第1章
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
10
3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
28
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
《离散数学》课件-第1章命题逻辑基本概念
6
二、命题的分类
定义1.4 设p、q为任意命题，复合命题“如 果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p 是蕴涵式的前件（hypothesis or premise），q为 蕴涵式的后件（conclusion or consequence）。 →称为蕴涵联结词。
规定：p→q为假当且仅当p为真q为假。即当 p为真q为假时，p→q为假；其它情况都为真。
（4）如果2是素数，则3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：如果，则
（5）2是素数当且仅当3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：当且仅当
17
解：简单命题的符号化为：
p：3是偶数。 q：2是偶数。 r：2是素数。 s：4是素数。
为了得到复合命题的符号化 形式，我们还必须对五个联 结词进行符号化！
（6）a能被4整除仅当a能被2整除。 p→q
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 p→q
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（1）3不是偶数。 Î 非3是偶数。
简单命题：3是偶数。
联结词：非
（2）2是偶素数。
Î 2是偶数并且2是素数。
简单命题：2是偶数。2是素数。 联结词：并且
（3）2或4是素数。
Î 2是素数或4是素数。
简单命题：2是素数。4是素数。 联结词：或
离散数学考试重点
离散数学考试重点第一章命题演算一、命题概念：具有唯一真值的陈述句称作命题。
二、命题的常用联结词否定（）、合取（∧）、析取（∨）、条件（→）、双条件（−−→←−−）（按优先次序排序）1．（→）只有前件为T，后件为F的时候，即T→F的真值才为F，其他情况的真值均为T。
2.（−−→←−−）只有前件和后件值相同时，真值才为T。
三、复合命题1．概念：至少包含一个联接词的命题称作复合命题。
2．命题公式没有确定值。
3．由命题变元、联结词和有关括号组陈搞定字符串并不能都成为命题公式，这些字符串必须按照如下规定才能组成合式公式：单个命题变元本身是一个合式公式；如果A是合式公式，则!A也是合适公式；如果A和B是合式公式，那么AB之间的联结都是合适公式。
4．真值表：含n个命题变元的命题公式，共有2n组指派。
5．若A和B中对任意一组变元P1，P2，…P n的真值指派，其真值都相同，则A和B等价。
6．若A在各种指派情况下，取值均为真，则称为永真式或重言式，反之称为永假式或矛盾式。
7．常用的命题：教材P10四、等价变换与蕴含式1．当且仅当P→Q是一个重言式时，我们称P蕴含Q，记作P⇒Q，四个常用性质：（1）对任意公式有A⇒A（2）A⇒B，B⇒C，则A⇒C（3）A⇒B，A⇒C，则A⇒（B∧C）（4）A⇒C，B⇒C，则A∨B⇒C2．A⇔B的充要条件是A⇒B，B⇒A。
3．各种蕴含式：教材P14。
五、最小联结词组与范式1．合取范式：由析取式组成A1∧A2∧A3∧…∧A n2．析取范式：由合取式组成A1∨A2∨A3∨…∨A n3．主析取范式：在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，称为主析取范式。
∑根据小项的对应编码，可以写成统一编码形式，记作：m00∨m01∨m10…或0,1,2....若A可化为与其等价的、含2n个小项的主析取范式，则A为永真式。
4．主合取范式：在真值表中以个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取，即为主合取范式。
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“Ø”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作Øp. 符号Ø称作否定联结词，并规定Øp为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧Øq.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧Øu) ∨(Øt∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧Øw)∨(Øv∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“®”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p®q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. ®称作蕴涵联结词，并规定，p®q为假当且仅当p 为真q 为假.p®q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p®q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“«”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p«q. «称作等价联结词.并规定p«q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p«q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p«q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),Ø, Ù, Ú, ®, «同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：Ø, Ù, Ú, ®, «，组成一个联结词集合{Ø, Ù, Ú, ®, «}，联结词的优先顺序为：Ø, Ù, Ú, ®, «; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.⏹命题常项⏹命题变项1.2 命题公式及分类▪命题变项与合式公式▪命题常项：简单命题▪命题变项：真值不确定的陈述句▪定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：▪(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1▪是合式公式▪(2) 若A是合式公式，则 (ØA)也是合式公式▪(3) 若A, B是合式公式，则(AÙB), (AÚB), (A®B), (A«B)也是合式公式▪(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式▪说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=ØB, B是n层公式；(b) A=BÙC, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=BÚC, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B®C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B«C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层Øp 1层Øp®q 2层Ø(p®q)«r 3层((ØpÙq) ®r)«(ØrÚs) 4层▪公式的赋值▪定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定▪一组真值称为对A的一个赋值或解释▪成真赋值: 使公式为真的赋值▪成假赋值: 使公式为假的赋值▪说明：▪赋值a=a1a2…a n之间不加标点符号，a i=0或1.▪A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值a1a2…a n是▪指p1=a1, p2=a2, …, p n=a n▪A中仅出现p,q, r, …, 给A赋值a1a2a3…是指▪p=a1,q=a2 , r=a3 …▪含n个变项的公式有2n个赋值.▪真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q®p) Ùq®p的真值表例 B = Ø (ØpÚq) Ùq的真值表例C= (pÚq) ®Ør的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q®p)Ùq®p，B =Ø(ØpÚq)Ùq，C= (pÚq)®Ør1.3 等值演算⏹等值式定义若等价式A«B是重言式，则称A与B等值，记作AÛB，并称AÛB是等值式说明：定义中，A,B,Û均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p®q) Û ((ØpÚq)Ú (ØrÙr))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p®(q®r) Û (pÙq) ®rp®(q®r) (p®q) ®r⏹基本等值式双重否定律 : ØØAÛA等幂律：AÚAÛA, AÙAÛA交换律: AÚBÛBÚA, AÙBÛBÙA结合律: (AÚB)ÚCÛAÚ(BÚC)(AÙB)ÙCÛAÙ(BÙC)分配律: AÚ(BÙC)Û(AÚB)Ù(AÚC)AÙ(BÚC)Û (AÙB)Ú(AÙC)德·摩根律: Ø(AÚB)ÛØAÙØBØ(AÙB)ÛØAÚØB吸收律: AÚ(AÙB)ÛA, AÙ(AÚB)ÛA零律: AÚ1Û1, AÙ0Û0同一律: AÚ0ÛA, AÙ1ÛA排中律: AÚØAÛ1矛盾律: AÙØAÛ0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若AÛB, 则F(B)ÛF(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p®(q®r) Û (pÙq)®r证p®(q®r)ÛØpÚ(ØqÚr) （蕴涵等值式，置换规则）Û(ØpÚØq)Úr（结合律，置换规则）ÛØ(pÙq)Úr（德×摩根律，置换规则）Û(pÙq) ®r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p®(q®r) (p®q) ®r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) qÙØ(p®q)解qÙØ(p®q)Û qÙØ(ØpÚq) （蕴涵等值式）Û qÙ(pÙØq) （德×摩根律）Û pÙ(qÙØq) （交换律，结合律）Û pÙ0 （矛盾律）Û 0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p®q)«(Øq®Øp)解 (p®q)«(Øq®Øp)Û (ØpÚq)«(qÚØp) （蕴涵等值式）Û (ØpÚq)«(ØpÚq) （交换律）Û 1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((pÙq)Ú(pÙØq))Ùr)解 ((pÙq)Ú(pÙØq))Ùr)Û (pÙ(qÚØq))Ùr（分配律）Û pÙ1Ùr（排中律）Û pÙr（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当AÛ0A为重言式当且仅当AÛ1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词Ø, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ØA(p1,p2,…,p n) ÛA* (Øp1, Øp2,…, Øp n)(2) A(Øp1, Øp2,…, Øp n) ÛØA* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A Û B，则A*Û B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, Øq, pÚØq, pÚqÚr, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, Øq, pÙØq, pÙqÙr, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式AÚA2Ú¼ÚA r, 其中A1,A2,¼,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式AÙA2Ù¼ÙA r , 其中A1,A2,¼,A r是简单析取式1范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式pÙØqÙr, ØpÚqÚØr既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的®, «（若存在）(2) 否定联结词Ø的内移或消去(3) 使用分配律Ù对Ú分配（析取范式）Ú对Ù分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p®Øq)ÚØr解 (p®Øq)ÚØrÛ (ØpÚØq)ÚØr（消去®）Û ØpÚØqÚØr（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p®Øq)®r解 (p®Øq)®rÛ (ØpÚØq)®r（消去第一个®）Û Ø(ØpÚØq)Úr（消去第二个®）Û (pÙq)Úr（否定号内移——德×摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (pÙq)ÚrÛ (pÚr)Ù(qÚr) （Ú对Ù分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1£i£n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为i极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: Øm i Û M i , ØM i Û m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(ØpÙØqÙr)Ú(ØpÙqÙr) Û m1Úm3是主析取范式(pÚqÚØr)Ù(ØpÚqÚØr) Û M1ÙM5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p®Øq)®r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p®Øq)®rÛ (pÙq)Úr , （析取范式）①(pÙq)Û (pÙq)Ù(ØrÚr)Û (pÙqÙØr)Ú(pÙqÙr)Û m6Úm7 ,rÛ(ØpÚp)Ù(ØqÚq)ÙrÛ(ØpÙØqÙr)Ú(ØpÙqÙr)Ú(pÙØqÙr)Ú(pÙqÙr)Û m1Úm3Úm5Úm7 ③②, ③代入①并排序，得(p®Øq)®rÛ m1Úm3Úm5Ú m6Úm7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p®Øq)®rÛ (pÚr)Ù(qÚr) , （合取范式）①pÚrÛ pÚ(qÙØq)ÚrÛ (pÚqÚr)Ù(pÚØqÚr)Û M0ÙM2,②qÚrÛ (pÙØp)ÚqÚrÛ (pÚqÚr)Ù(ØpÚqÚr)Û M0ÙM4 ③②, ③代入①并排序，得(p®Øq)®rÛ M0ÙM2ÙM4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p®Øq)®rÛ m1Úm3Úm5Ú m6Úm7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式ÛA的主析取范式含2n个极小项ÛA的主合取范式为1.A为矛盾式Û A的主析取范式为0Û A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式ÛA的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项ÛA的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p®q)(2) (sÚu)(3) ((qÙØr)Ú(ØqÙr))(4) ((rÙs)Ú(ØrÙØs))(5) (u®(pÙq))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p®q)Ù(sÚu)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))Ù((rÙs)Ú(ØrÙØs))Ù(u®(pÙq))④ A Û (ØpÙØqÙrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙØsÙu)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:AÛ (ØpÚq)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))Ù(sÚu)Ù(ØuÚ(pÙq))Ù((rÙs)Ú(ØrÙØs)) （交换律) B= (ØpÚq)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))1Û ((ØpÙqÙØr)Ú(ØpÙØqÙr)Ú(qÙØr)) （分配律）B= (sÚu)Ù(ØuÚ(pÙq))2Û ((sÙØu)Ú(pÙqÙs)Ú(pÙqÙu)) （分配律）BÙB2 Û (ØpÙqÙØrÙsÙØu)Ú(ØpÙØqÙrÙsÙØu)1Ú(qÙØrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙs)Ú(pÙqÙØrÙu)再令B3 = ((rÙs)Ú(ØrÙØs))得AÛ B1ÙB2ÙB3Û (ØpÙØqÙrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙØsÙu)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p®r, r®Øs结论：s®q证明① s附加前提引入②p®r前提引入③r®Øs前提引入④p®Øs②③假言三段论⑤Øp①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
离散数学第一章命题演算基础-范式及其应用
例 成真解释(P，Q，R)= (T,F,T) 合取式PQR
成假解释(P，Q，R)= (F,F,T) 析取式PQR
析取范式、合取范式
定义3 形如A1 A2… An的公式称为析取范式， 其中Ai(i=1,2…,n)为合取式。
定义4 形如A1 A2… An的公式称为合取范式，
其中Ai(i=1,2…,n)为析取式。
第一章 命题演算基础
1.1 1.2 1.3 命题和联结词 真假性 范式及其应用 1.3.1 范式 1.3.2 主范式 1.3.3 范式的应用
(一) 主析取范式
定义1 对于n个命题变元P1，P2，……，Pn，公式 Q1Q2……Qn
称为极小项，其中Qi=Pi或Pi(i=1，……，n)。
例 由两个命题变元P，Q组成的极小项有四个，它们分别为： PQ PQ PQ PQ
例(p12) 求 (PR)(P(Q R))
的主析取范式。
解法1：等价变换法（续上页）
原式 =(P Q R)(PQR)((PR)(QQ))
=(P Q R)(PQR)((PQR) (PQ R)) =(P Q R)(PQR)((PQR) = 010 101 111 去等价词的两个公式需要 = m2 m5 m7 灵活运用，才能将原式快 速转化为析取范式！ = (2,5,7, )
例: 考察公式 =PQ的合取范式
P Q
T T F F T F T F
P Q
T F F T 成假解释 于是，有： (T, F), (F, T),
对应析取式为 P∨Q, P∨Q = (P∨Q) ∧(P∨Q)
定理2 任何命题演算公式均可以化为合 取范式，也可以化为析取范式。
证明： (1)设公式为永真公式 因为任何一个永真公式均与公式PP逻辑等价， 而PP既是析取范式又是合取范式，所以公式既 可表示为析取范式又可表示为合取范式。
离散数学——精选推荐
离散数学第一章命题逻辑定义1。
设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作¬P。
若P为T，¬P为F；若P为F，¬P为T。
联结词“¬”表示命题的否定。
否定联结词有时亦可记作“¯”。
（P3）定义2。
两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。
当且仅当P,Q同时为T时，P∧Q为T，在其他情况下，P∧Q的真值都是F。
（P4）定义3。
两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。
当且仅当P，Q同时为F时，P∨Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。
（P5）定义4。
给定两个命题P和Q，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q，读作“如果P，那么Q”或者“若P则Q”。
当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P→Q的真值为T。
我们称P为前件，Q为后件。
（P6）定义5。
给定两个命题P和Q，其复合命题P⇆Q的真值为F。
（P7）定义6。
命题演算的合式公式（wff），规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B）和（A⇆B）都是合式公式。
（4）当且仅当能够有限次地应用（1），（2），（3）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。
（P9）定义7。
在命题公式中，对于分量指派真值得各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。
（P12）定义8。
给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，P n为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，…，P n任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。
记作A⇔B。
（P15）定义9。
如果X是合式公式的A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的字公式。
（P16）定理1。
设X是合式公式A的字公式，若X⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B 与公式A等价，即A⇔B。
离散数学复习资料
离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
离散数学命题与联结词
例1.6求下列复合命题的真值1 0(1) 2+2＝4 当且仅当 3+3＝6.
(2) 2+2＝4 当且仅当 3是偶数. (3) 2+2＝4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2+2＝4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f(x)在x0可导的充要条件是 它在x0连续.
1
0 0
21
以上给出了5个联结词：, , , , ，组成 一个联结词集合{, , , , }， 联结词的优先顺序为：, , , , ; ① ② ③ 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左 到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括 号中的运算.
25
7
例1.1
下列句子中哪些是命题？ 真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句 祈使句 悖论 (3)—(7)都不是命题
8
(1) (3)
(4) (5) (6) (7)
2 是无理数. (2) 2 + 5 ＝8.
x + 5 ＞ 3.
你有铅笔吗？ 这只兔子跑得真快呀！ 请不要讲话！ 我正在说谎话.
命题的分类
10
联结词与复合命题
1.否定式与否定联结词“”
定义 设p为命题，复合命题 “非p”（或 “p 的 否定”）称为p的否定式，记作p，符号称
作否定联结词，并规定p 为真当且仅当p为
假.
例如：p：10是素数，则p：10不是素数.
11
2. 合取式与合取联结词“∧” 定 义 设 p, q 为 二 命 题 , 复 合 命 题 “ p 并 且 q ”( 或 “ p 与 q ”) 称为 p 与 q 的合取式，记作 p∧q ，∧ 称 作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与
自考离散数学第1章
¬ P的真值：
P
F T
¬P
T F
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （2）合取 定义1.2.2 两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。 ∧称作合取联结词， 在自然语言中的“并且”、“和”、“既...又...”、“不
仅....而且....”、“虽然...但是...”等都可以符号化为∧ 例1 2是素数和偶数
1.3 命题公式与真值表
真值表 将命题公式P在所有指派下取值情况，列成表，称为P的真值表。 真值表中，真值T，F可分别用1，0代替。 例： 构造 ¬ P ˄Q 的真值表。
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （4）条件 例
只要天不下雨，我就骑车上班。 设S: 天下雨； R:我骑车上班。 所以本例可描述为： ¬ S→R
如果我不骑车上班，则天下雨。 ¬ R→ S
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （4）条件 例
设p：天下雨，q：我就骑自行车上班，将下列命题符号化 (1) 只要不下雨，我就骑自行车上班 ¬ p→q
1.1 命题概念
在数理逻辑中，将命题的真值也符号化了。一般用“T”（或“1”）
表示“真”；用“F”（或“0”）表示“假”。
例如，
令p： 2 是有理数，则p 的真值为F（或0)，
q：2 + 5 = 7，则q 的真值为T（或1）
1.1 命题概念
练习：
1.下列句子为命题的是（ D ） A.全体起立！ C. 我在说谎 B. X=0 D.张三生于1886年的春天
(6) 火星上有生物.
(7) 星期五下午有会吗？ (8) 请勿吸烟！ (9) 这束花多么好看啊！ (10) x+y>5.
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﹃
② 合取词
∧
③ 析取词
∨
④ 蕴含词
⑤ 等价词
﹃P， 非P
设P是一个命题。显然，如下这句话也是命题： “P是不对的”
称之为P的否定。
P P
日常语句中有： 非， 不，并非， ……
TF FT
真值表
否定词的例子
例 P：上海是中国的城市。 ﹁P：上海不是中国的城市。
例 P：雪是黑色的。 ﹁P：雪不是黑色的。
亚里士多德有170多部著作，留传于世的仅 47种。他的科学著作构成当时的科学知识百 科全书。
孔子（前551-479）
中国春秋末期伟大的 思想家和教育家，儒 家学派的创始人。
孔子被尊为圣人，无 法超越，后代的人们 只有沿袭与膜拜。
学而不思则罔 思而不学则殆
数理逻辑——数学化的逻辑学
在17世纪莱布尼兹（Leibniz）已经提出仿数学 的方法发展逻辑的思想。
否定联结词使用的原则
将真命题变成假命题，将假命题变成真命题。但这 并不是简单的随意加个不字就能完成的。
例 P: 这些都是学生。 ﹃P：这些不都是学生 ≠ 这些都不是学生
阿契贝难题
例 下述两命题都是真命题： A: “本句是六字句” B: “本句不是六字句”
看似矛盾的根本原因，在于两个命题的前提条件是否 统一的问题。
Stearns, Richard E 1992 Lampson, Butler W. 1991 Milner, A J 1990 Corbato, Fernando J. 1989 Kahan, William 1988 Sutherland, Ivan 1987 Cocke, John 1986 Hopcroft, John E
可兼的“或”
他会英语或法语。 今天刮风或者今天下雨。
PQ TT TF FT FF
P∨Q T T T F
不可兼的“或”
人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。 今天晚上我去看电影，或去看球赛。
异或 XOR
PQ
TT TF FT FF
P∨Q
T T T F
(P∧﹁ Q)∨(﹁P∧Q)
F T T F
P→Q, P蕴含Q
P∧Q， P合取Q
设P，Q是两个命题。显然，如下这句话也是命题：
“P并且Q”
称之为P和Q的合取。
日常语句中有： 且，与，……
P Q P Q
TT
T
TF
F
FT
F
FF
F
合取词的例子
P: 2×2＝5 Q：雪是白的。 P∧Q：2×2＝5并且雪是白的。
P:今天刮风。 Q：今天下雨。 P∧Q：今天刮风并且今天下雨。
✔
⑤ 1+101=110。
✔
例：下列句子都是命题吗？
① 上海世博会开幕时天晴
✔
② 21世纪末，人类将住在月球 ✔
③ 大于2的偶数可表示成两个素数之和
（哥德巴赫猜想）
✔
④ X<0
✘
⑤ A>B
✘
⑥如果x大于3，则x2大于9。 ✔
例：下列句子都是命题吗？
① 8大于12吗？ ✘
② 请勿吸烟。
✘
③ 姚明很帅。
(一) 命题定义
定义1： 凡是可以判断真假的陈述句称为命题。
真: 用T(或1)表示
命题真值
假: 用F(或0)表示
命题——可以判断真假的陈述句
陈述句 特征
真假性: 可决定真或假，且真假不可兼
非经典逻辑 不接受 排中律
例：下列句子都是命题吗？
① 雪是白的。
✔
② 雪是黑的。
✔
③ 好大的雪啊！
✘
④ 8大于12。
• 德国G. Frege (1848-1925)在1879年建立了第一个谓词 演算系统。
• 英国B. Russell (1872-1970)等从逻辑学的基本法则建 立了自然数理论、实数理论及解析几何学等。
• 奥地利K. Godel (1906-1978)在1931年提出Godel不完 全性定理。
• 英国Alan M. Turing (1912-1954)在1936年提出一种抽 象计算模型（数学逻辑机），引入图灵机——一种 理想的计算机。
注1. 前件为假时，命题为真
如果蕴含前件P是假命题，那么不管Q是什么命 题，命题
“如果P则Q” 在逻辑中都被认为是真命题。 例：
如果张三能及格，那太阳从西边升起。
注2. 前件、后件可以毫不相关
目录（数理逻辑）
第一章 命题演算基础 （6学时） 第二章 命题演算的推理理论（4学时） 第三章 谓词演算基础（5学时） 第四章 谓词演算的推理理论（5学时） 第五章 递归函数论（4学时）
第一章 命题演算基础
1.1 命题和联结词 1.1.1 命题 1.1.2 联结词 1.1.3 合式公式
1.2 真假性 1.3 范式及其应用
离散数学
• 数理逻辑 • 集合论 • 图论 • 代数
逻辑学:研究推理的科学
早期创始人 • 亚里士多德(公元前384—322) • 柏拉图(公元前429—348), 首先把逻辑学的思
想方法引入几何学 • 苏格拉底（前470—前399年）
亚里士多德（Aristotole，公元前384-322）
世界古代史上最伟大的哲 学家、科学家和教育家。 他创立了形式逻辑学，丰 富和发展了哲学的各个分 支学科。
Tarjan, Robert E 1985 Karp, Richard M. 1984 Wirth, Niklaus E 1983 Ritchie, Dennis M.
Thompson, K。 Lane
姚期智
1982 Cook, Stephen A. 1981 Codd, Edgar F.
1980 Hoare, C. Antony R.
数理逻辑的学习
“我现在年纪大了，搞了这么多年的 软件，错误不知犯了多少，现在觉悟 了。我想，假如我早年在数理逻辑上 好好下点工夫的话，我就不会犯这么 多的错误。不少东西逻辑学家早就说 过了，可是我不知道。要是我能年轻 二十岁的话，我就去学逻辑。”
—— Edsger. W. Dijkstra
1972年Turing奖获得者
复合命题例子
下列命题都是复合命题，其中红字为逻辑联结词：
（1）雪不是白的（并非雪是白的） （2）今晚我看书或者去看电影。 （3）如果天气好，那么我去接你。 （4）偶数a是质数，当且仅当a=2（a是常数）。 （5） 2是偶数且3也是偶数。 （6）你去了学校，我去了工厂。
（省略了逻辑联结词“且”）
(三)命题变元
定义2：如果当P表示任意命题时，P称为命题变元。
字母P表示
命题——具体的、特定的命题，有确定的真值 命题变元——任意命题，没有确定的真值
第一章 命题演算基础
1.1 命题和联结词 1.1.1 命题 1.1.2 联结词 1.1.3 合式公式
1.2 真假性 1.3 范式及其应用
五种常用的联结词
① 否定词
设P,Q是两个命题。显然，如下这句话也是命题： “如果P则Q”
称之为P蕴含Q 。
P Q P Q
TT
T
TF
F
日常语言中有：
FT
T
FF
T
如果…则…, 只要…就…，……
蕴含词的例子
• P：2×3＝6 Q：(2×3)+1=6+2 P→Q: 如果2×3＝6，则（2×3）＋1＝6+2
• P: 天气不好 Q：我去接你 P→Q: 如果天气不好，那么我去接你。
Dijkstra
Leslie Valiant, Harvard University
Professor of Computer Science and Applied Mathematics
School of Engineering and Applied Sciences
Valiant's greatest single contribution may be his 1984 paper "A Theory of the Learnable," which laid the foundations of computational learning theory. He introduced a general framework as well as concrete computational models for studying the learning process, including the famous "probably approximately correct" (PAC) model of machine learning. This has developed into a vibrant research area and has had enormous influence on machine learning, artificial intelligence, and many areas of computing practice, such as natural language processing, handwriting recognition, and computer vision.
1930年，Godel完全性定理的证明完善了数理 逻辑基础，建立了逻辑演算，成为现代科学特 别是计算机科学不可缺少的基础理论之一。
数理逻辑发展史中的代表人物
• 德国G.W. Leibniz (1626-1716)把数学引入形式逻辑， 明确提出用数学方法研究推理。
• 英国G. Boole (1815-1864)等创立了逻辑代数，1847 年Boole实现了命题演算。
1999 Brooks, Frederick P. 1998 Gray, Jim