离散数学讲义(第1章)

• 明天是否开大会？ 不是命题，疑问句不是命题
• 天气多好啊！
不是命题，感叹句不是命题
• 我正在说谎。
是悖论
• 我学英语，或者我学日语。 复合命题
• 如果天气好，那么我去散步。 复合命题
再次注意：命题是具有唯一真值的陈述句。
12
2
1-1 命题及其表示法（续）
习惯上，命题用大写字母A，B，…，P，Q，… 或用带下标的大写字母Ai或数字[12]等表示。称为 命题标识符。
规定：P∧Q的真值为T当且仅当P，Q同时为T。
合取是一个二元运算。
17
18
3
1-2 联结词（续）
P ∧ Q的真值关系：
P Q P∧Q
TT
T
TF
F
FT
F
FF
F
1-2 联结词（续）
（3）析取
设P，Q为两个命题，则复合命题“P或者Q” 称为命题P，Q的析取。记作：P∨Q
如：P：北京是中国的首都。 Q：北京是一个故都。
国的四化建设而奋斗。
解 找出原子命题：
A：我们要做到身体好。 B：我们要做到学习好。 C：我们要做到工作好。 P：我们要为祖国的四化建设而奋斗。 命题的形式化描述： (A ∧ B ∧ C) ↔ P。
31
32
1-3 命题公式与翻译（续）
1-3 命题公式与翻译（续）
例题2 上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开。
|例如：
|合式公式：
¬(P∧Q)
¬(P→Q)
(P→(P∨¬Q))
¬(((P→Q)∧(Q→R)) ↔(S↔T))
非合式公式： (P→Q)→(∧Q)
∧应是二元运算符
(P→Q
括号不匹配
(P∧Q)→Q)
运算优先级：
括号不匹配
¬∧∨→↔
1-3 命题公式与翻译（续）
试以符号形式写出命题：
例题1 我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖
例如： 或
P：今天下雨。 [12]：今天下雨。
¾ 命题常量：命题标识符表示确定的命题。 ¾ 命题变元：命题标识符只表示任意命题的位置标
志。 （命题变元不是命题）
13
1-2 联结词
（1）否定 设P为一命题，则新命题“P是不对的”称为 P的否定。记作： ¬ P
如：P：2是常数。 ¬ P：2不是常数。 Q：今天是星期四。 ¬ Q：今天不是星期四。
9
10
1-1 命题及其表示法（续）
判断下列句子哪些是命题？
• 中国人民是伟大的。 是命题，真值为T
• 雪是黑的。
是命题，真值为F
• 1+101=110
是命题，真值需根据上下文确定
• 别的星球上有生物。 是命题，它的真值是唯一确定
的，只是目前人们不知道
• 全体立正！
不是命题，祈使句不是命题
11
1-1 命题及其表示法（续）
例如：
“排斥或”
P：今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
Q：他可能是100米或400米赛跑的冠军。
“可兼或” （析取）
R：他昨天做了二十或三十道习题。
这里“或”不
命题R是一个原子命题。
是命题联结词
21
22
1-2 联结词（续）
（4）条件（蕴含）
设P，Q是两命题，其条件命题是一个复合命 题，记做P→Q，读做“如果P，则Q”。命题 联结词“→”亦可记作“⊃”。
设P，Q是两个命题，新命题“P并且Q”是 一个复合命题，称为命题P，Q的合取。记作： P∧Q
如：P：北京是中国的首都。 Q：北京是一个故都。 P∧Q：北京是中国的首都并且是一个 故都。
例：P：今天下雨。
Q：明天下雨。 则 P∧Q：今天下雨且明天下雨。 P∧Q：今天与明天都下雨。 P∧Q：这两天都下雨。
P∨Q：北京是中国的首都或者是一个故都。
规定：P∨Q的真值为T当且仅当P，Q中至少有 一个真值为T。
或：P∨Q的真值为F当且仅当P，Q同时为F。
19
20
1-2 联结词（续）
P∨Q的真值关系：
PQ TT TF FT FF
P∨Q T T T F
析取是一个二元运算。
1-2 联结词（续）
注意：析取联结词∨与汉语中的“或”的意义不 完全相同。汉语中的“或”既可以表示“排斥 或”，也可以表示“可兼或”。
|（2）如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。
|（3）如果A、B是合式公式，那么（A∧B）、
| （A∨B）、（A→B）、（A↔B）都是合式公
归纳 |
式。
|（4）当且仅当能够有限次地应用上面（1）、 （2）、（3）所得到的包含命题变元、联结词 和括号的符号串是合式公式。
界限
递归定义
29
30
5
1-3 命题公式与翻译（续）
条件联结词是一个二元运算。
24
4
1-2 联结词（续）
（5）双条件
设P，Q是两命题，其双条件命题是一个复合 命题，记做P↔Q，读做“P当且仅当Q”。双 条件联结词也记作“V”或“iff”。
例1：两个三角形全等，当且仅当他们的三组对应 边相等。 例2：燕子飞回南方，春天来了。 例3：2+2=4当且仅当雪是白的。
| 本章包括以下内容：
1-1 命题及其表示法 1-2 联结词 1-3 命题公式与翻译 1-4 真值表与等价公式
7
8
第一章 命题逻辑
| 本章包括以下内容：
1-5 重言式与蕴含式 1-6 其他联结词 1-7 对偶与范式 1-8 推理理论
1-1 命题及其表示法
| 命题：能够表达判断（分辩其真假）的 陈述语句。
28
1-3 命题公式与翻译（续）
1-3 命题公式与翻译（续）
|概念：
| 命题公式没有真值，仅当在一个公式中 命题变元用确定的命题代入时，才得到 一个命题，其真值依赖于代换变元的那 些命题的真值。
| 并不是由命题变元，联结词和一些括号 组成的字符串都能成为命题公式。
|合式公式（wff）
基础
|（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
TTF F
T
F
T
T
TFF T
F
F
F
F
FTT F
F
F
F
F
FFT T
F
T
T
T
40
1-4 真值表与等价公式（续）
10个命题定律： 序号 定律 1 对合律 2 幂等律
3 结合律
4 交换律
5 分配律
表达式 ¬¬P ⇔ P
P∨P ⇔ P P∧P ⇔ P
(P ∨ Q) ∨ R ⇔ P ∨ (Q ∨ R) (P ∧ Q) ∧ R ⇔ P ∧ (Q ∧ R)
P∧Q T F F F
P→Q T F T T
PQ TT TF FT FF
P∨Q T T T F
PQ TT TF FT FF
P↔Q T F F T
27
1-3 命题公式与翻译
几个概念
命题常元（常项） 命题变元（变项） 命题公式：由命题变元、命题常元经逻
辑联结词再加上圆括号后组 成的符号串。
T
37
1-4 真值表与等价公式（续）
例题4 ¬(P∧Q)↔(¬P∨¬Q)的真值表。
永真公式 （重言式）
P Q P∧Q ¬ (P∧Q) ¬P ¬Q ¬P∨¬Q ¬(P∧Q)↔(¬P∨¬Q)
TT T
F
FF
F
T
TF F
T
FT
T
T
FT F
T
TF
T
T
FF F
T
TT
T
T
有一类公式不论命题变元做何种指派，其真值 永为真（假），我们把这类公式记为T（F）
离散数学讲义（电子版）
Discrete Mathematics
天津财经大学 信息科学与技术系 王宁 ninglw@
趣味逻辑数学题－巧猜围棋子
甲手里有一个围棋子，要乙来猜棋 子的颜色是白的还是黑的。条件是： 只允许乙问一个只能回答“是”或“否” 的问题，但甲可以说真话，也可以 说假话。问：乙可以向甲提出一个 什么问题，然后从甲回答“是”或“否” 中就能判断出甲手中围棋子的颜 色？
38
1-4 真值表与等价公式（续）
定义：给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…， Pn，为 所有出现在A和B中的原子变元。若给P1， P2，…， Pn任 意一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价 （或逻辑相等），记做A⇔B。
例题5 证明P↔Q ⇔ (P→Q)∧(Q→P) 。
P Q P↔Q P→Q Q→P (P→Q)∧(Q→P)
2
趣味逻辑数学题－巧猜围棋子
答案
乙问：“棋子是白的且你说了真话， 或者棋子是黑的且你说了假话，对 吗？”
分析：棋子白：甲说真话： 是 甲说假话： 是
棋子黑：甲说真话： 否 甲说假话： 否
3
趣味逻辑数学题－巧猜围棋子
用数理逻辑学方法解题
P表示：“棋子为白色” Q表示：“甲说的是真话” 数理逻辑运算符：
¬（非），∧（与），∨（或）
问题答案：S=理逻辑
数理逻辑是用数学方法来研究推理 过程的科学。主要是指引进一套符 号体系的方法，因此数理逻辑一般 又叫符号逻辑。
á 基本内容是：命题逻辑（演算）和 谓词逻辑（演算）。
5
6
1
第一章
命题逻辑
第一章 命题逻辑
| 命题演算是数理逻辑的基本组成部分， 是谓词演算的基础。
TT
T
T
T
T
TF
F
F
T
F
FT
F
T
F
F
FF