02传热学第二章稳态热传导
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传热学第二章 稳态热传导
混合气体导热系数不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
河海大学常州校区热能与动力工程共一系百一—十四页传热学
2022年2月24日9时35分 杨祥花
分子质量小的气体（H2、He）导热(dǎorè)系数较大 — 分子 运动速度高。
温度对气体导热(dǎorè)系数的影
响 河海大学常州校区热能与动力工程共一系百一—十四页传热学
T
大多数建筑材料和绝热材料具有(jùyǒu)多孔或纤维结构
多孔材料的导热系数与密度和湿度有关
、湿度
保温材料：1992年国家标准规定，温度低于350度时导热系数 小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）
80年代0.14；50年代0.23
河海大学常州校区热能与动力工程共一系百一—十四页传热学
2022年2月24日9时35分 杨祥花
河海大学常州校区热能与动力工程共一系百一—十四页传热学
2022年2月24日9时35分 杨祥花
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2022年2月24日9时35分 杨祥花
（三）导热(dǎorè)系数同温度的 关系
~t
t （1） 与 有关(yǒuguān)为！某温度(wēndù)下的
第二章 稳态热传导
基本 要求 (jīběn)
：
1 、重点(zhòngdiǎn)内容：
① 傅里叶定律及其应用；
② 导热系数及其影响因素；
③ 导热问题的数学模型。
2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 ；
3 、了解内容：多维及具有内热源的导热问题。
定性—导热基本概念，傅里叶定律 定量—温度场求解，导热量计算
各时刻物体中各点温度所组成的集合温度分布物体中任一点温度则为非稳态温度场平行平面间的温度场一维温度场对应非稳态导热非稳态温度场稳态导热稳态温度场河海大学常州校区热能与动力工程系传热学2017年9月20日1时51分河海大学常州校区热能与动力工程系传热学2017年9月20日1时51分2324河海大学常州校区热能与动力工程系传热学2017年9月20日1时51分二向量形式的傅里叶定律1温度梯度如图等温面梯度指向量变化最剧烈方向法向方向则温度梯度为gradt在空间坐标则河海大学常州校区热能与动力工程系传热学2017年9月20日1时51分25热流密度矢量可见
工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念
t—温度(0C)；
x , y , z—直角坐标
由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获 得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一 般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得 所需的物体温度场。
具体推导: 傅里叶定律
能量守衡定律
导热微分方程式
假定导热物体是各向同性的，物性参数为常数。 我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面 体来推导导热微分方程，如下图所示。
2. 说明： 导热系数表明了物质导热能力的程度。 它是物性参数 物质的种类 热力状态（温度、压力等）。
在温度t=200C时：
纯铜λ=399 w/m0C；水λ=0.599 w/m0C；干空气0C λ（固体）大--------→（液体）---------→（气体）小
隔热材料（或保温材料）----石棉、硅藻土、矿渣棉等，它 们的导热系数通常:λ < 0.2 w/m0C。
c t ( x 2t2 y 2t2 z 2t2)q'
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
Cp t ( x2t2 y2t2 z2t2)qv
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动； 非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。
2. 等温面(Isothermal surface)（线）：同一时刻物体中温度 相同的点连成的面（或线）。 特点：（1）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交； （2）传热仅发生在不同的等温线（或面）间； （3）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域 热流密度的相对大小。
在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则
工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念
0)
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
传热学-第2章-稳态热传导
0
x
➢ 恒热流边界条件（constant heat rate B.C）
qw const
➢ 绝热边界条件（adiabatic B.C）
t (x,τ) qw(τ)
qw 0
0
x
第三类边界条件
给出边界上物体与周围流体间的表面传热系数h
及周围流体的温度 tf 。
(t ) n
w
h
(t
wt f
)
tw (τ) tf h
几种简化形式的导热微分方程
✓ 导热系数k=常数： t
a(
2t x 2
2t y 2
2t z 2
)
V
c
✓ 无内热源фV=0：
t
2t a( x2
2t y 2
2t z 2
)
✓ 稳态导热
t
0:
2t a( x2
2t y 2
2t z 2
)
V
c
0
✓ 稳态导热，无内热源：
2t x 2
2t y 2
2.1.1 温度场（temperature field）
1. 定义：温度场描述了各个时刻物体内所有各点 的温度分布。
t f ( x, y, z, )
2. 分类： 按温度场是否随时间变化：
➢ 稳态温度场： t 0
➢ 非稳态温度场： t 0
按温度场随空间坐标的变化：
t
➢ 三维温度场； t f ( x, y, z, )
热流密度 • Fourier定律
例题
1. 如图，由某种材料组成的大平壁，厚度为0.5m，
具有强度等于 103 W/m3 的内热源。在某一瞬时的
温度场为 t=450-320x-160x2
传热学(第四版)第二章：稳态热传导
t t t t ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
1 单层平壁、第一类边界条件的导热
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
2、微元体中内热源的发热量 d 时间内微元体中内热源的发热量：
[2] dxdydz
3、微元体热力学能的增量 内微元体中内能的增量：
t [3] c dxdydz
导热微分方程式、导热过程的能量方程 由 [1]+ [2]= [3]：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
§2-2 导热问题的数学描述
根据傅里叶定律： - grad t q [ W m2 ]
要想确定热流密度，应知道物体内的温度场； 因此，确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务
根据热力学第一定律，对于任一微元体：
建立关于t的方程，求解温度分布
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知； (3) 物体内具有内热源；内热源均匀分布。
1、导入与导出微元体的净热量 沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
x qx dydz
沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
() x dx qx dx dydz
qx dx qx qx dx x
qx dxdydz x
沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
20
20
Temperature (C)
15
15
10
10
5
5
0
1 单层平壁、第一类边界条件的导热
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
2、微元体中内热源的发热量 d 时间内微元体中内热源的发热量：
[2] dxdydz
3、微元体热力学能的增量 内微元体中内能的增量：
t [3] c dxdydz
导热微分方程式、导热过程的能量方程 由 [1]+ [2]= [3]：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
§2-2 导热问题的数学描述
根据傅里叶定律： - grad t q [ W m2 ]
要想确定热流密度，应知道物体内的温度场； 因此，确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务
根据热力学第一定律，对于任一微元体：
建立关于t的方程，求解温度分布
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知； (3) 物体内具有内热源；内热源均匀分布。
1、导入与导出微元体的净热量 沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
x qx dydz
沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
() x dx qx dx dydz
qx dx qx qx dx x
qx dxdydz x
沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
20
20
Temperature (C)
15
15
10
10
5
5
0
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导
d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：
t w1 t w 2
ql
Q l
t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1
i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学2-稳态导热
tw1 tw2 1 d ln 2 2 l d1
虽然是稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！
热阻为：
t ln(d 2 / d1 ) R Φ 2l
t w1 t w 2 ql d2 1 l ln 2 d1
21
长度为 l 的圆筒壁的导热热阻
t w1 t w 2 d2 1 ln 2 l d1
采用圆柱坐标系，这是沿半径方向 的一维导热，稳态导热微分方程为：
d dt r 0 dr dr
积分得： 通解为：
dt r c1 dr
dt c1 dr r
19
t c1 ln r c2
第一类边界条件
边界条件为： r r1 r r2 代入通解：
t tw1
如果采用单层玻璃窗，则散热损失为
10 Φ' 3333 .3W 0.003
是双层玻璃窗散热损失的 35 倍，可见采用双层玻璃 窗可以大大减少散热损失，节约能源。
例题2-1 P 29
4)第三类边界条件 已知平壁的壁厚为，无内热源，导热系数为常数 传热过程：一侧的热流体通过固体壁面把热量传给 另一侧冷流体的过程。 1、热流体传给壁面的热流密度：
k为传热系数
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
•
平壁的表面积为A，热流量为:
例题2-2 P31
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
第二节 复合平壁的稳定导热
工程上经常碰到沿宽度或厚度方向的材料不同构成
平壁，这种平壁为复合平壁，如空心墙、夹心板等。 导热系数相差不大时，仍近似作一维处理：
总热阻为：
虽然是稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！
热阻为：
t ln(d 2 / d1 ) R Φ 2l
t w1 t w 2 ql d2 1 l ln 2 d1
21
长度为 l 的圆筒壁的导热热阻
t w1 t w 2 d2 1 ln 2 l d1
采用圆柱坐标系，这是沿半径方向 的一维导热，稳态导热微分方程为：
d dt r 0 dr dr
积分得： 通解为：
dt r c1 dr
dt c1 dr r
19
t c1 ln r c2
第一类边界条件
边界条件为： r r1 r r2 代入通解：
t tw1
如果采用单层玻璃窗，则散热损失为
10 Φ' 3333 .3W 0.003
是双层玻璃窗散热损失的 35 倍，可见采用双层玻璃 窗可以大大减少散热损失，节约能源。
例题2-1 P 29
4)第三类边界条件 已知平壁的壁厚为，无内热源，导热系数为常数 传热过程：一侧的热流体通过固体壁面把热量传给 另一侧冷流体的过程。 1、热流体传给壁面的热流密度：
k为传热系数
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
•
平壁的表面积为A，热流量为:
例题2-2 P31
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
第二节 复合平壁的稳定导热
工程上经常碰到沿宽度或厚度方向的材料不同构成
平壁，这种平壁为复合平壁，如空心墙、夹心板等。 导热系数相差不大时，仍近似作一维处理：
总热阻为：
传热学第二章--稳态导热精选全文
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t ( t ) Φ x x
d 2t dx2
0
o
x 0,
x ,
t t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
2024/11/6
35
带入边界条件：
c1
t2
t1
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin
sin
t
r2
1
sin 2
t
Φ
2024/11/6
26
6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
4
2 等温面与等温线
①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
2024/11/6
5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
固体 液体 气体
金属 非金属
金属 12~418 W (m C) 非金属 0.025 ~ 3W/(mC)
合金 纯金属
传热学-第2章稳态热传导-习题课
保温材料的应用范围广泛，不 仅可以用于民用建筑，还可用 于工业和商业建筑等领域。
电子元件散热方案
随着电子技术的不断发展，电子元件的功率密度越来越高，散热问题越 来越突出。
电子元件的散热方案包括自然散热、强制风冷、液冷等，需要根据电子 元件的发热量、使用环境和可靠性要求等因素选择合适的散热方案。
良好的散热方案能够有效地降低电子元件的工作温度，提高其稳定性和 寿命。
稳态热传导通常发生在物体内部，当 热量传递速率与热量生成速率相平衡 时，物体内部温度分布达到稳定状态 。
稳态热传导的物理模型
01
稳态热传导的物理模型通常采用 一维导热模型，即温度随空间坐 标的变化而变化，忽略时间因素 对温度分布的影响。
02
在一维导热模型中，温度分布可 以用一维偏微分方程来描述，该 方程基于傅里叶导热定律和能量 守恒原理。
02
解析
首先，我们需要计算平壁的传热量，然后根据传热量和平壁的热导率计
算平壁的温度变化。由于平壁是稳态热传导，所以温度分布是线性的。
03
答案
平壁的另一面的温度升高了20℃。
习题二解析
题目
一圆筒壁，内径为1m，长度为2m，加热功率为50W，材料的热导率为0.02W/m·℃，求圆 筒壁的另一面的温度升高了多少？
常见问题解答
问题2
如何求解一维稳态热传导问题？
解答
一维稳态热传导问题可以通过分离变量法求解。首先将温度表示为x的函数，然后根据傅里叶定律和 边界条件建立方程，最后求解方程得到温度分布。在求解过程中，需要注意初始条件和边界条件的处 理。
下节课预告
重点内容
非稳态热传导的基本概念、扩散 方程的建立和求解、初始条件和 边界条件的处理。
传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
1、导入微元体的净热量
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
《传热学》第2章_稳态热传导
三三
三三三三三三三三三 三三
三三 三三
三三三三三三三
三三
三三三三三三三三
三三
三三三三三三三三三三三
18
第2章 稳态热传导
2.1 典型一维稳态导热问题的分析解
2.3.1 通过平壁的导热：
一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板的导热情况。
c t
x
t x
t x
n
中，gradt表示空间某点的温度梯度，
n表示通过该点的等温线上的法向单位矢量，温度升高的方向。
利用等温线和热流线来定量且形 象地表述一个导热过程： 等温线表示热流梯度，而热流线 是与等温线处处垂直的一组曲线， 通过平面上任一点的热流线与该 点的热流密度相切。 相邻两条热流线之间所传递的热 流量处处相等，相当于构成了一 个热流通道。 该方法用于现代工程软件应用。
2.类似于非导电固体;(倾向于此观点)
2
第2章 稳态热传导
等温场(temperature field)：
温度场：物体中存在温度的场。 温度分布：各时刻物体中各点温度所组成的集合
分类：
稳态温度场：物体中各点温度不随时间而变。 t f x, y, z 瞬态温度场：物体中各点温度随时间变化。 t f x, y, z,
几何条件： 说明导热体的几何形状(平壁或圆筒壁)和大小(厚度、直径等)
物理条件:
说明导热体的物理特征如：物性参数λ、c 和 r 的数值，是否 随温度变化；有无内热源、大小和分布；是否各向同性 初始(时间)条件: 说明在时间上导热过程进行的特点 稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布
疏密可直观反映出不同区域温度热流密度的相对大小。
传热学第二章稳态导热
第三节 通过圆筒壁的导热 l d 10
1. 第一类边界条件下单层圆筒壁的导热
假设；空心圆筒壁 l，内外径 r1, r2, 且 l>>d2， λ=常数，无内热源，内外表面维持均匀
恒定温度 tw1, tw2，且tw1> tw2。
t
确定（1）圆筒壁的温度分布； （2）通过径向的热流量。
λ
tw1
选取坐标系为圆柱坐标。 tf(r)
t f1 h1 A
tw2 tw3 tw4 ф
0 δ1 δ2 δ3 x
t f2 h2
tf 1 tf 2
1
n
i
1
h1A i1 i A h2A
Φ
t f1
R h1 tw1 R λ1 tw2
R
t
λ2
w3
R λ3 tw4 R h2
t f2
第二节 通过复合平壁的导热
图2-5 复合平壁示例
说明：复合平壁的各种不同材料导热系数相差
通过平壁的总热流量：
Q Ad d x tA tw 1 tw 2
t
A
λ
tw1
tw2 ф
0 x dx δ x
大小和方向
结论
ttw1tw1tw2 x
qtw1tw2
✓ 当λ= 常数时，平壁内温度分布呈线性分布，
且与λ无关。
t
✓ 通过平壁内任何一个等温面的
A
λ
tw1
热流密度均相等，与坐标x无关。
✓ 导热热阻（Conductive resistance）
通过平壁的导热热流密度：
qtw1tw2011 2btw1tw2
图 2-2 导热系数随 温度变化时平壁内 的温度分布
对于一维稳态导热问题，因为热流密度是常数，可 由傅里叶定律分离变量并按相应的边界条件积分得到
传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热
d x d x d xdx
qxdydz qxdxdydz
qx dxdydz x
q xdx
qx
q x x
dx
2qx x 2
dx 2 2!
0
qx
qx x
dx
2-2 导热微分方程
d = dx + dy + dz
2. 导热问题的数学理模型
t
❖ x方向净导入微元体的热量为： qx x
d x d x d xdx qx dxdydz
x2 y 2 z 2
当导热系数为常数时：
拉普拉斯算子
t
c
ห้องสมุดไป่ตู้
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c
t a 2t
c
a c
热扩散率表征物体被 加热或冷却，物体内 各部分温度趋向于均 匀一致的能力.
❖ 物体无内热源： t a 2t
❖ 稳态导热： a 2t 0 c
❖ 稳态导热、无内热源：
增加的方向。
gradt t n n
等温面法线方向 的单位矢量
在直角坐标系中的温度梯度:
gradt t i t j t k x y z
i、j、k 分别为x、y、z方向的单位矢量。
2.1 导热基本概念
四、热流密度矢量
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
q—W/m2
不同方向上的热流密度的大小不同；
x
同理，
d x
x
t x
dx dydz
d y
y
t y
dxdydz
单位时间内净导入微元体的热流量：
d z
t dxdydz z z
d
《传热学》第二章课件_chapter2
2、导热系数的相对大小和典型数据
金属 非金属; 固相 液相 气相
在常温（20℃）条件下
纯铜： 399 W (m K)
碳钢： 36.7 W/ (m K)
水： 0.599 W (m K)
空气： 0.0259 W (m K)
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
t dxdydz y y
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
0
δ
x
传热学 Heat Transfer
3. 一块厚度为 的平板，平板内有均匀的内热源， ，平板一侧绝热，平板另一侧与温 热源强度为 度为tf 的流体对流换热，且表面传热系数为h。
传热学 Heat Transfer
4. 已知一单层圆筒壁的内、外半径分别为 r1、r2，
导热系数为常量，无内热源，内、外壁面维持均
匀恒定的温度tw1，tw2 。
3.对各向异性材料必须做一定的修改；
4.当导热发生的过程时间极短或空间尺度极小时，
傅里叶定律不在适合。
传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描写
作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。
t f ( x, y, z, )
理论：导热微分方程式建立的基础是： 热力学第一定律+傅里叶定律 方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析， 依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间 的关系式。
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39
（3）肋面总效率
A rh (t0 tf) A f fh (t0 tf)
A0h(t0tf )Ar A0f Af
A00h(t0tf )
肋面总效率
0
Ar f Af
Ar Af
3、肋片的选用与最小重量肋片
4、接触热阻
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40
t x
dxdydz
ydy
y
y
dy
y
y
t y
dx dz dy
y
y
t y
dxdydz
zdz
z
z
dz
z
z
t z
dxdydz
z
z
t z
dxdydz
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16
•
※微元体内热源生成热 dxdydz
•
为单位时间内单位体积中内热源的生成热。
※微元体热力学能的增量 c t dxdydz
Φ A t
x
q t
x
当物体的温度场是三维温度场时，表达式如下：
qgratd tnn
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8
4、导热系数
定义式
q
t
n
n
数值上等于单位温度梯 度作用下物体内热流密 度矢量的模
工程测量 0 (1 bt)
※ 保温材料：凡平均温度不高于350摄氏度时，导热系数
不大于0.12W/（m·K）的材料。
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体 内各部分温度趋向于均匀一致的能力
※ 为常数无内热源
t
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
※ 为常数且稳态时
•
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
※ 为常数、无内热源、稳态时 2021/4/10
2t 2t 2t 0 x 2 y 2 z 2 18
第三类边界条件：对流换热条件
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t n
w
h
tw
21
t
f
※求解步骤
（1）建模 （2）导热微分方程的简化 （3）求解微分方程，得出温度分布的通解 （4）设定定解条件 （5）求解温度分布公式（特解）
（6）代入导热基本定律中求解热流量或热流密度
2021/4/10
22
3、热扩散率（Thermal diffusivity）的物理意义
02传热学第二章稳态热传导
4、传热方程：
kA(t f 1 t f 2 )
传热系数 W /(m 2 K )
5、传热热阻： 1 1 1 Ak Ah1 A Ah2
2021/4/10
2
第二章 稳态热传导
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3
§2.1 导热基本定律
1、各类物体的导热机理 2、温度场
(1)定义：某时刻物体中各点温度分布的总称。 温度 场是时间和空间的函数。
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通过界面的导热的能量增量
源项
27
3.边界条件 第一类边界条件：给定壁面温度 tw 第二类边界条件：给定壁面热流密度 qw
第三类边界条件：对流换热条件 h t f
4.无内热源平壁导热（单层和多层）
q (t1 t2 )
（单层）
q
tw1
n
t w( n 1)
i
（多层）
i1 i
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● 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到 一个等温线簇，即任何一个二维截面上等温面表面
为等温线。 等温面与等温线的特点：
(1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或 者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物 体的边界上
物体的温度场通常用等温面或等温线表示
a c— 热 扩 散 率 （ 导 温 系 数 ） [m 2 s]
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力（ ）
与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系
a 值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分
一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力
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1、通过等截面直肋的导热 ⅰ建模
假设：a.肋片、Ac、P、h为常数 等截面肋
b. l 很长 简化成二维的传热
c. 1
简化成一维的传热
h
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d. 肋端绝热 q 0，即 dt 0 dx
e. 对流和辐射换热看成是肋片的内热源
s Pdxh(t t )
建筑用空心砖
•不均匀，各向异性 由不同各向异性材料
组合成的层板结构
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13
§2.2 导热问题的数学描写
Partial differential equation of heat conduction
导热微分方程
能量守恒定律 傅立叶定律 定解条件（时间与边界）
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conditions for unique solution
初始时刻温度分布
0时 t f (x, y, z)
※边界条件
非稳态时，h及tf均 为时间的已知函数
第一类边界条件：给定壁面温度 tw
稳态：tw const 非稳态： 0时，tw f1( )
第二类边界条件：给定壁面热流密度 qw
稳态：qw const
非稳态：
0时， t
n w
f2
圆柱坐标系导热微分方程的形式
c t
1 r
r t
r r
1 r2
t
z
t z
•
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19
球坐标系导热微分方程的形式
c t
1 r2
r
r 2
t r
1
r 2 sin
sin
t
1
r 2 sin 2
t
•
2021/4/10
20
2、定解条件
※初始条件
测定导热系数的方法：稳态法、非稳态法
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9
硅酸铝纤维
石棉
矿渣棉
硅藻土
膨胀珍珠岩
微孔硅酸钙及其制品
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岩棉及其制品
蛭石
10
2021/4/10
11
2021/4/10
12
5、工程导热材料的一般分类
多数工程应用的 单一均质材料
导热性能： •均匀，各向同性
木材、石墨等
•均匀，各向异性 •不均匀，各向同性
2021/4/10
5
2021/4/10
6
2021/4/10
7
3、导热基本定律（Fourier’s law of heat conduction)
在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量， 正比于垂直该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热 量传递的方向与温度升高的方向相反。引入比例常数，得 到表达式：
•
s
Ac dx
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hP(t t ) Ac
34
ⅱ数学描写
•
d 2t
dx 2
0
d 2t hP(t t )
dx 2
Ac
设定定解条件
x 0时, t t0
x H时，dt 0 dx
ⅲ分析求解
引入过余温度（excess temperature)
令 t t
令m2 hP
14
1、导热微分方程
导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热
=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（即内能）的增量
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※导入微元体的总热流量
x
t x
dydz
y
t y
dxdz
z
t z
dxdz
15
※导出微元体的总热流量
xdx x x dx
x
x
t x
dydz dx
x
x
双曲正切函数
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0
ch m(x H ) ch(mH )
H
0
ch(mH )
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代入导热基本定律中求解热流量或热流密度
x0
Ac
d
dx
x0
Ac0mth(mH )
hP m
0th(mH )
※肋端非绝热时 H ' H
2
由肋片散入外界的全部 热流量都必须通过x=0 处的肋根截面。
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23
§2.3 典型一维稳态导热问题的分析解
1、通过平壁的导热
（1）单层平壁
ⅰ建模
ⅱ简化导热微分方程
c t
x
t x
y
t y
z
t
•
z
d 2t dx2 0
ⅲ求解微分方程 t c1x c2
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ⅳ设定定解条件
x 0时t t1
x 时t t228源自2、通过圆筒壁的导热（1）单层圆筒壁
ⅰ建模
ⅱ导热微分方程的简化
d r dt 0 dr dr
c t
1 r
r t
r r
1 r2
t
z
t z
•
2021/4/10
29
ⅲ求解微分方程，得出温度分布的通解
t c1 ln r c2
ⅳ设定定解条件
r r1时t t1 r r2时t t2
0
e mx e mH e mH
e mH e mx e mH