抗噪声性能分析

⎜⎝
S N
⎞ ⎟⎠o
=
3PM
K
2 f
2NoW 3
=
3PR
∆fmax
P 2 Mn
NoW 3
= 3β 2PMn
PR N0W
六 FM 在小信噪比时的门限效应
以上的推导是在“大信噪比”这个条件下得到的。在大信噪比范围内，输出信噪比随着
输入信噪比线性下降。如果输入信噪比降低 3dB 倍，输出信噪比也下降 3dB。但当输入信
DSB-SC 信号 s′(t ) = m (t ) cos 2π fct 。若 s′(t ) 的功率（即 AM 的边带功率）为 PR′ ，则输出
信噪比是
PR′ N0W
，就是说总
AM
接收功率
PR 中，只有边带功率对输出信噪比有贡献。假设
AM 的调制效率为η ，则 PR′ = η PR ，则
⎛ ⎜⎝
S N
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抗噪声性能分析
一 模型
1. 系统模型
本讲要讲的是噪声的存在对各种模拟调制有什么样的影响。我们考虑的模型如下
Fig 1 所研究问题的模型
图中 nw
(t ) 是双边功率谱密度为
N0 2
的白高斯噪声，BPF 是一个增益为 1 的理想带通滤波器，
什么， Pno 近似都是一样的。
如果输出噪声的功率和信息是什么无关的话，就可以简化分析，因为我们此时可以假设
m(t = 0) 。
Fig 4 信息信号为 0 时，接收信号的复包络
m (t ) = 0 则 FM 信号的复包络是 s (t ) = Ae jϕ(t) = 1（假设幅度为 1），接收信号的复包络是
r (t ) = 1+ nc (t ) + jns (t ) ，如 Fig 4 所示。复包络的相位是
θ
(t
)
=
tan
−1
1
ns (t ) + nc (t
)
因为是大信噪比，所以近似有
θ
(t
)
≈
ns (t ) 1+ nc (t
)
≈
ns
(t
)
因此输出噪声是
v (t ) ≈ ns′ (t )
2π K f
其中 ns′ (t ) 是 ns (t ) 的导数。除 K f 是因为我们建设输出幅度经补偿后有用信号正好是
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四 AM
⎛S ⎜⎝ N
⎞ ⎟⎠o
=
PW N0W
=
PR N0W
1. 相干解调
AM 信号是 s (t ) = ⎡⎣1+ m (t )⎤⎦ cos 2π fct = cos 2π fct + m (t ) cos 2π fct ，其中的载波项
cos 2π fct 经过相干解调、隔直流后不产生输出，因此发送这个 AM 信号等价于发送了一个
f ≤ B1 2
else
其中 B1 = 2 ( β +1)W 是 Fig 3 中 BPF 的带宽。由于 BPF 是增益为 1 的理想带通，故此有
Pns
(
f
)
=
Pnc
(
f
)
=
⎪⎧ ⎨
N
0
⎪⎩ 0
这一点如图 4.4.3 所示。于是我们得到
f ≤B 2
else
Pv ( f ) =
N0
K
2 f
f2
从而得到
Pno
率谱密度，则输出信号在各个频率成分处的信噪比不均衡，加重技术就是为了解决这一问题。
其法如图 4.5.6 所示，发送端使用“预加重滤波”提升信号在高频部分的功率，使之能和 FM
鉴频器输出的噪声功率谱密度相匹配，接收端再用“去加重滤波”还原到原来的频谱。
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数为 j2π f 的线性系统，所以
Pns′
(
f
)
=
4π
2
f
P2 ns
(
f
)
Pns ( f ) 是 ns (t ) 的功率谱密度。
由于解调器输入端的窄带噪声 n (t ) 的功率谱密度关于 fc 对称，由式(3.6.24)知
Pns
(
f
)
=
Pnc
(
f
)
=
⎧⎪ ⎨
Pn
⎪⎩
(
f
+
fc ) +
0
Pn
(
f
−
fc )
相同）。 注意 Fig 1 只是实际系统的数学模型，许许多多对所研究的问题无影响的因素都被略去
（如天线、放大器等）。噪声 nw (t ) 也是各种各样的噪声和干扰的集中表示。本课中所出现
的各种框图都应作此理解，它们的目的是为了表明原理、为了进行分析研究、或者是为了说 明设计思路。实际系统的硬件模块构成有可能和它们一样，也有可能不一样。硬件设计会有 硬件设计的一些具体考虑。
⎞ ⎟⎠o
=η
⎛ ⎜ ⎝
PR N0W
⎞ ⎟ ⎠
2. 包络检波
包络检波器输入端的复包络是 r (t ) = ⎡⎣1+ m (t )⎤⎦ + ⎡⎣nc (t ) + jns (t )⎤⎦ ，其模为
ρ (t ) = ⎡⎣1+ m (t ) + nc (t )⎤⎦2 + ns2 (t ) 在大信噪比，即 nc (t ) , ns (t ) << 1 （注意我们已经假设 Ac = 1）的条件下
r (t ) = s (t ) + n (t ) = ⎡⎣m(t ) + nc (t )⎤⎦ + j ⎡⎣±mˆ (t ) + ns (t )⎤⎦ 因此相干解调输出是 mo (t ) = m (t ) + nc (t ) ，因此输出信噪比是
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其复包络是
因此解调输出是
r (t ) = m(t ) + nc (t ) + jns (t )
mˆ (t ) = m (t ) + nc (t )
由窄带噪声的性质知， nc (t ) 的功率等于 n (t ) 的功率，为 N0B = 2N0W 。另外， s (t ) 的功
率是
PR
=
⎡⎣m (t ) cos 2π
fct ⎤⎦2
=
m2
(t ) cos2
2π
fct
=
m2
(t)1+
cos 4π 2
fct
=
1 2
m2
(t)
+
m2
(t ) cos 4π
fct=ຫໍສະໝຸດ 1 2PM+
m2
(t ) cos 4π
fct
其中的 m2 (t ) cos 4π fct 是在求 m2 (t ) cos 4π fct 的平均值也即直流分量，由于 fc >> W ，
=
2N0W 3
3K
2 f
⎛ ⎜⎝
S N
⎞ ⎟⎠o
=
3PM
K
2 f
2NoW 3
=
3PR
PM
K
2 f
NoW 3
仿照 AM 中的一些记号，令 a
=
m (t ) max ，mn (t ) =
m(t)
a
，则有 PM
=
a2 PMn
。注意最大频
偏和调频灵敏度的含义，则有 ∆fmax = aK f 。于是
( ) ⎛
m(t) 。
欲求 Pno ，可先求 v (t ) 的功率谱密度 Pv ( f ) ，从而
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∫ ( ) W
Pno = −W Pv f df
欲求 v (t ) 的功率谱密度 Pv ( f ) ，须求 ns′ (t ) 的功率谱密度 Pns′ ( f ) 。由于微分是一个传递函
所以 m2
(t ) cos 4π
fct
没有直流分量，所以
PR
=
1 2
PM
。因此
三 SSB 相干解调
⎛S ⎜⎝ N
⎞ ⎟⎠o
=
PM 2 N 0W
=
PR N0W
=
2 ⎛⎜⎝
S N
⎞ ⎟⎠ i
对于 SSB 信号 s (t ) = m (t ) cos 2π fct ∓ mˆ (t )sin 2π fct ，接收信号功率为
络、相位、频率与复包络的关系。
二 DSB 相干解调性能分析
BPF 带宽为 B = 2W ，解调器输入信噪比为
解调器输入信号是
⎛ ⎜⎝
S N
⎞ ⎟⎠i
=
PR 2 N 0W
r (t ) = m (t ) cos (2π fct ) + nc (t ) cos (2π fct ) − ns (t )sin (2π fct )
其带宽 B 恰好使 s (t ) 无失真通过（对 FM 只能是近似无失真）。
如果没有噪声，则解调输出是 mo (t ) = m (t ) （假设解调器可能引起的常系数已经被补 偿）。噪声引起的问题是导致 mo (t ) ≠ m (t ) ，误差（也称输出噪声）为 no (t ) = mo (t ) − m (t ) 。
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当我们想从 s (t ) 中提取出 a (t ) 时，可以用相干载波 cos (2π fct + ϕ ) 来乘 s (t ) ，再将结果通 过一个低通滤波器以滤除高频成分，这样就能得到 a (t ) （常系数如果不是所关心的问题的