最新平方根基本知识点
初三数学平方根知识点汇总
初三数学平方根知识点汇总一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。
如果一个数的平方等于给定数，那么这个数就叫做给定数的平方根。
平方根表示为√。
二、平方根的性质1. 非负数的平方根是非负数。
2. 正数的平方根有两个解：一个正数和一个负数。
3. 0的平方根是0。
4. 负数没有实数平方根，但可以用虚数表达。
三、平方根的运算法则1. 平方根与平方的运算互相抵消，即√(a^2) = a。
2. 平方根与乘法可以交换次序，即√(a*b) = √a * √b。
3. 平方根与除法可以交换次序，即√(a/b) = √a / √b。
4. 平方根的和与差可以分别用相应数的平方根表示，即√a + √b ≠ √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)。
四、求平方根的方法1. 分解质因数法：将被开方数分解成质因数的形式，相同因数的指数减半。
2. 逼近法：通过不断逼近，找到一个足够接近被开方数的近似值。
3. 牛顿迭代法：通过求切线与x轴的交点，逐步逼近被开方数的平方根。
五、常见的平方根1. 平方根的近似值：- √2 ≈ 1.41- √3 ≈ 1.73- √5 ≈ 2.24- √7 ≈ 2.65- √10 ≈ 3.162. 完全平方数的平方根：- 1的平方根是1。
- 4的平方根是2。
- 9的平方根是3。
- 16的平方根是4。
- ...六、注意事项1. 在计算平方根时，要注意是否涉及虚数。
2. 求平方根时，如果不要求精确值，可以使用近似值进行计算。
3. 在运算中，要注意平方根的运算法则，以避免出现错误的结果。
以上是初三数学平方根的知识点汇总，希望对您有所帮助！。
平方根相关知识点
平方根相关知识点平方根是数学中非常基础的一个概念，它是求一个数的平方根，使得这个数的平方等于被求数本身。
在生活中，平方根的应用非常广泛，如计算房屋面积、测量线段长度等。
接下来，我将详细介绍一些与平方根相关的知识点。
一、平方根的定义和性质平方根是指一个数的平方等于被求数本身的数值。
例如，2的平方根就是1.414。
平方根用符号√a来表示，其中a表示被求数。
在数学中，平方根的定义和性质如下：1、非负实数 a 存在唯一的非负实数 x，使得 x 的平方等于 a。
2、x>=0时，√a>=0；3、若a>b≥0，则√a>√b；4、若a>0，则√a的平方为a，即(√a)²=a；5、若a>0，则1/√a也称为a的倒数或a的根式倒数。
二、平方根运算法则平方根运算法则是指对于任意实数a和b，有以下运算法则：1、√(a×b)=√a×√b2、√(a/b)=√a/√b3、√(a+b)和√(a-b)不一定相等。
其中最为常见的就是第一个运算法则：对于非负数a和b，它们的积的平方根等于它们的平方根的积。
这个运算法则在实际生活中也应用的十分广泛。
例如，计算一个矩形的面积就可以应用这个运算法则，设矩形的长和宽分别为a和b，则矩形的面积为S=ab，其平方根即为√(a×b)，即可直接求得矩形的面积。
三、二次根式的化简二次根式是指平方根中含有更高次的根式，如√(8)就是一个二次根式，因为8=2×2×2，可以写成√(2×2×2)=√2×√2×√2。
在化简二次根式时，我们可以利用平方根运算法则和分解质因数法进行简化。
例如，对于√(50)，我们可以把50分解成2×5×5，因此√(50)=√(2×5×5)=5√2。
再如，对于√(72)，我们可以先把72分解成2×2×2×3×3，然后用平方根运算法则把每个因子分开处理，即√(72)=√(2×2×2×3×3)=2√(2×3×3)=6√(2)。
(完整版)平方根知识点总结讲义
平方根 知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b +-=260a +≥，|20b -≥，∴260a +=，20b -=．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根知识点
平方根知识点平方根作为数学中的一个重要概念，在我们的日常生活和学习中经常会遇到。
它是数学中的一种特殊运算，用来求解一个数的平方根。
在本文中，我们将介绍平方根的定义、性质以及一些实际应用。
1. 平方根的定义平方根是指某个数的平方等于给定数的非负实数解。
例如，对于非负数a和b，如果b^2=a，那么b就是a的平方根。
表示为√a。
2. 平方根的性质（1）非负数的平方根是非负实数。
也就是说，如果a是一个非负数，那么√a大于或等于0。
（2）对于非负实数a和b，如果b^2=a，那么-b也是a的平方根。
这是因为(-b)^2=b^2=a。
（3）平方根的运算性质。
对于非负实数a和b，有以下运算规则：a. √(a*b) = √a * √b，即两个数的乘积的平方根等于它们的平方根的乘积。
b. √(a/b) = √a / √b，即一个数除以另一个数的平方根等于它们的平方根的商。
c. √(a^n) = a^(n/2)，即一个数的n次方的平方根等于这个数的n/2次方。
（4）平方根的大小。
对于非负实数a和b，如果a<b，那么√a < √b。
也就是说，较小的数的平方根更小。
3. 平方根的表示方法平方根可以用根号符号表示，也可以用指数表示。
例如，√a可以等价地表示为a^(1/2)。
4. 平方根的应用平方根在实际生活和学习中有广泛的应用。
下面是一些例子：（1）几何学：在计算图形的周长、面积或体积时，常常需要用到平方根。
例如计算一个正方形的对角线长度，可以利用平方根来求解。
（2）物理学：在物理学中，平方根用于计算速度、加速度等与运动相关的物理量。
（3）金融学：在利息计算中，常常需要用到平方根。
例如，在复利计算中，平方根可以帮助计算复利的时间间隔。
（4）计算机科学：在编程中，平方根函数常用于数值计算和算法设计中。
总结：平方根是数学中一个重要的概念，用来求解一个数的平方根。
我们介绍了平方根的定义、性质以及一些实际应用。
平方根在几何学、物理学、金融学和计算机科学等领域都有广泛的应用，是我们日常生活和学习中必不可少的数学概念之一。
初二必背平方根口诀
初二必背平方根口诀以下是五个初二必背平方根口诀：
口诀一：
平方根要记清，正数有俩不能扔。
就像正数有双影，一正一负要分明。
零的平方根还是零，安安静静在当中。
负数没有平方根，可别硬把它来寻。
记住这些不犯晕，平方根题轻松应。
口诀二：
一二三四依次来，平方根里有安排。
一是正数平方根，两者相伴不分开。
二是零的很特别，只有一个在等待。
三说负数没根在，不用费力去瞎猜。
四要记住常复习，知识牢固不会坏。
口诀三：
平方根呀不难背，听我给你来描绘。
正数就像双胞胎，一正一负好可爱。
零像个乖宝宝，独自一个也自在。
负数好似没伙伴，根儿和它不往来。
大家快来记一记，数学世界真精彩。
口诀四：
要背平方根别发愁，听我口诀记心头。
正数开根分正负，如同白天和黑夜。
零的平方根很安静，自己呆着不挪窝。
负数就像没户口，根儿和它不牵手。
简单易记不混乱，做题轻松不用忧。
口诀五：
平方根的口诀妙，大家一起学一学。
正数如同两兄妹，哥哥正来妹妹负。
零是个小独苗，独自站在那一角。
负数好似没朋友，根本没有平方根。
这样记来真容易，知识永远不会忘。
初一数学下册：平方根知识点
初一数学下册：平方根知识点#初一数学一、平方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示．（6）<—>a是x的平方x的平方是ax是a的平方根a的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式(x≥0)中，规定x=。
（2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）(x≥0)<—>a是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根a的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
数学开方知识点总结
数学开方知识点总结一、整数的平方根1、定义对于一个非负整数a，如果存在一个非负整数b，使得b * b = a，那么b就是a的平方根。
通常用符号√a来表示a的平方根。
2、性质（1）非负整数的平方根是一个非负整数。
即如果a是一个非负整数，那么它的平方根一定是一个非负整数。
（2）如果a是一个非负整数，那么a的平方根存在且唯一。
即对于任意一个非负整数a，存在唯一的一个非负整数b，使得b * b = a。
（3）如果a和b是两个非负整数，且a = b * b，那么a的平方根就是b。
3、计算方法（1）试除法试除法是一种通过逐步增大的方式逐个尝试所有可能的非负整数来找到a的平方根的方法。
这种方法比较原始，但是对于小的非负整数还是比较有效的。
（2）牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断逼近的方式来计算a的平方根的方法。
该方法利用函数的导数和函数值来不断逼近函数的零点，从而找到a的平方根。
这种方法通常比试除法更加高效，尤其对于大的非负整数。
4、应用整数的平方根在实际生活中有很多应用，比如在工程领域中，用来计算各种物理量的大小，比如速度、加速度、功率等。
在数学领域中，整数的平方根也有很多应用，比如在代数、几何等方面的应用。
二、实数的平方根1、定义对于一个非负实数a，如果存在一个非负实数b，使得b * b = a，那么b就是a的平方根。
同样地，通常用符号√a来表示a的平方根。
2、性质（1）非负实数的平方根是一个非负实数。
即如果a是一个非负实数，那么它的平方根一定是一个非负实数。
（2）如果a是一个非负实数，那么a的平方根存在且唯一。
即对于任意一个非负实数a，存在唯一的一个非负实数b，使得b * b = a。
（3）如果a和b是两个非负实数，且a = b * b，那么a的平方根就是b。
3、计算方法（1）试除法试除法也适用于计算非负实数的平方根，但是由于实数的数量级比较大，那么这种方法通常比较低效。
（2）牛顿迭代法和整数的平方根一样，牛顿迭代法也适用于计算非负实数的平方根。
算术平方根知识点总结
算术平方根知识点总结算术平方根是数学中重要的概念之一，在数学的学习过程中常常涉及到。
本文将对算术平方根的定义、性质及求解方法进行总结。
通过阅读本文，读者将能够准确理解算术平方根的概念，熟练运用相关方法，提高数学解题的能力。
一、算术平方根的定义算术平方根是指一个数的平方等于它的平方根的数。
以数a为例，如果一个正数x满足x^2=a，那么x就是a的算术平方根。
二、算术平方根的性质1. 非负数的算术平方根都是非负数。
即，如果a≥0且x^2=a，那么x≥0。
2. 正数的算术平方根只有一个。
即，如果a>0且x^2=a，那么x只有一个解。
3. 零的算术平方根是零。
即，0^2=0，所以0是0的算术平方根。
4. 负数没有实数算术平方根。
即，如果a<0，那么方程x^2=a没有实数解。
三、求解算术平方根的方法1. 常见正数的算术平方根可以通过手算方法求得。
例如，我们可以通过试探法或近似法，逐步逼近一个数的平方根。
2. 对于较大的数，可以利用计算器或电脑软件来求解算术平方根。
3. 在解题过程中，可以通过运用一些特定的运算性质来求解算术平方根。
例如，利用开方运算的性质，可以将复杂的问题简化为简单的计算。
四、算术平方根的应用算术平方根在生活中和其他学科中有广泛的应用。
下面列举一些常见的应用场景：1. 几何学中的勾股定理：勾股定理中涉及到了平方根的概念，通过找出两个边的平方和等于第三边的平方，可以判断三角形是否为直角三角形。
2. 物理学中的速度计算：在物理学的速度计算中，常常需要运用平方根来计算速度的大小。
3. 统计学中的标准差：在统计学中，标准差是一种衡量数据离散程度的指标，其计算过程需要使用平方根。
4. 金融学中的收益率计算：在金融学中，计算投资收益率时，常常需要运用平方根进行计算。
五、总结通过阅读本文，我们了解了算术平方根的定义、性质及求解方法。
算术平方根在数学中具有重要的地位，也广泛应用于其他学科和实际生活中。
平方根和开平方(基础)知识讲解
平方根和开平方(基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫做被开方数。
平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根)，读作“根号a ”;a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”。
要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同;(2）结果不同:a ±和a2．联系：（1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释:（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=,0.06250.25=。
【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A 。
5是25的算术平方根B 。
l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D 。
0的平方根与算术平方根都是0【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A 。
实数,平方根等知识
实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。
学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。
以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。
2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。
3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。
二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。
2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。
4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。
三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。
2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。
3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。
四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。
2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。
3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。
五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。
2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。
平方根总结知识点
平方根总结知识点一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的操作，比如数a的平方根就是满足等式：x^2= a的x，记作√a。
1. 正数的平方根当a是非负实数时，存在一个非负实数x，使得x^2 = a成立，这个非负实数就是a的平方根。
如果a=0，则a的平方根为0；如果a>0，则a的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。
比如，√9=3，-3。
2. 负数的平方根当a是负实数时，不存在任何实数x，使得x^2 = a成立，因此负数没有实数域内的平方根，这在实数范围内是没有意义的。
3. 复数的平方根如果a是负数，则我们可以在复数域内寻找a的平方根，因为复数域中规定了i^2 = -1，即虚数单位i的平方为-1。
因此，负数a的平方根可以表示为√a=i√|a|，其中|a|表示a的绝对值。
二、平方根的性质平方根具有一系列性质，这些性质对于平方根的运算和性质分析都有着重要的作用。
1. 非负实数的平方根性质（1）正数的平方根是非负实数，即√a≥0。
（2）如果a<b，则√a<√b。
（3）平方根的运算性质：a) √(ab) = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）2. 负实数与复数的平方根性质（1）负实数的平方根是复数且成对出现，例如√-4 = 2i。
（2）负实数的平方根满足共轭关系：如果z是负数a的平方根，那么z的共轭z*也是负数a的平方根。
3. 平方根的运算规律（1）平方根的加减法计算：a) √a + √b = √(a + 2√ab + b)b) √a - √b = √(a - 2√ab + b)（2）平方根的乘除法计算：a) √ab = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）三、平方根的计算方法1. 精确计算如果已知某个数的精确值，可以直接通过平方根的定义来计算，即求解方程x^2 = a。
但是这种方法对于大数来说较为繁琐，且无法精确计算出其平方根。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结数字运算是数学中的基础内容，而平方根和立方根是其中常见且重要的概念。
它们用来求解数字的根号运算，能够帮助我们计算数字的次方根。
本文将对平方根和立方根进行知识点总结，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、平方根平方根是一个数学运算符号，用symbol √ 表示。
它表示一个数的平方根。
对于一个非负数 a，其平方根记作√a，表示满足 b² = a的正数 b。
例如，√25 = 5，因为 5² = 25。
1. 平方根的性质平方根有一些基本的性质，包括：（1）非负性质：一个非负数的平方根是非负的。
例如，√25 = 5，√0 = 0。
（2）保号性质：如果两个非负数 a 和 b 满足 a < b，则有√a < √b。
例如，√9 = 3 < √16 = 4。
（3）开方法则：对于任意非负数 a 和 b，有以下等式成立：√(a × b) = √a × √b。
例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。
2. 平方根的应用平方根在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：形的斜边长度等。
（2）物理学公式：平方根可以用于求解物理学公式中的问题，如求解速度、加速度等。
（3）统计学问题：平方根可以用于求解统计学问题，如计算方差、标准差等。
二、立方根立方根是另一种常见的根号运算，用 symbol ∛表示。
它表示一个数的立方根。
对于一个实数 a，其立方根记作∛a，表示满足 b³ = a 的实数 b。
例如，∛8 = 2，因为 2³ = 8。
1. 立方根的性质立方根与平方根一样，也有一些基本的性质。
其中包括：（1）非负性质：一个实数的立方根可以是正数、负数或零。
（2）保号性质：如果两个实数 a 和 b 满足 a < b，则有∛a < ∛b。
例如，∛1 = 1 < ∛8 = 2。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即如果 x²＝ a，那么 x 叫做 a 的平方根。
例如，因为 2²＝ 4，（－2）²＝ 4，所以 4 的平方根是 2 和－2。
2、表示方法一个正数 a 的平方根记作“±√a”，读作“正负根号a”，其中“√”叫做二次根号，a 叫做被开方数。
例如，9 的平方根记作±√9 ＝ ±3。
3、性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 25 的平方根是±5，5 和－5 互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
因为任何数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，因为（±8）²＝ 64，所以 64 的平方根是±8，即±√64 ＝ ±8，对 64 开平方得到±8。
5、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“√a”。
例如，9 的算术平方根是 3，记作√9 ＝ 3。
0 的算术平方根是 0。
6、平方根的估值对于一些非完全平方数的平方根，可以通过估算来确定其大致范围。
例如，估算√11 的值。
因为 9 ＜ 11 ＜ 16，所以 3 ＜√11 ＜ 4。
又因为 11 更接近 9，所以√11 更接近 3，比如 33 左右。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即如果 x³＝ a，那么 x 叫做 a 的立方根。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2。
2、表示方法数 a 的立方根记作“³√a”，读作“三次根号a”。
例如，27 的立方根记作³√27 ＝ 3。
3、性质（1）正数的立方根是正数。
高一数学平方根的知识点
高一数学平方根的知识点平方根是数学中一个重要的概念，它在高一数学学习中起到了至关重要的作用。
本文将介绍高一数学中关于平方根的基本知识点，包括定义、性质和运算等内容。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于它的正数根。
具体而言，对于任意非负实数a，如果存在一个非负实数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根。
通常使用符号√来表示平方根，并将√a读作“根号a”。
二、平方根的性质1. 正数的平方根是一个非负实数，负数没有实数平方根。
2. 非负实数a的平方根有两个，一个是非负实数，另一个是它的相反数的相反数，即-b和b，其中b为非负实数。
三、平方根的运算1. 平方根的加减若a和b均为非负实数，则√a ± √b = √(a ± b)。
例如，√2 + √3 = √(2 + 3) = √5。
2. 平方根的乘法若a和b均为非负实数，则√a × √b = √(a × b)。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 平方根的除法若a和b均为非负实数，则(√a) / (√b) = √(a / b)。
例如，(√2) / (√3) = √(2 / 3)。
四、简化与合并平方根在运算平方根的过程中，我们常常需要简化和合并根式，以便更好地进行计算。
下面介绍一些常见的技巧：1. 简化根式当a是一个正整数且能被某个平方数整除时，可以将根号a 简化。
例如，√12可以简化为2√3。
2. 合并同类项当根号下的数字相同时，可以将它们合并成一个根号，并进行相应的运算。
例如，√5 + √5可以合并为2√5。
五、平方根的应用平方根在现实生活中有着广泛的应用，尤其在几何学、物理学等学科中起着重要的作用。
以下是一些常见的应用场景：1. 长方形的对角线长度计算长方形的对角线长度可以通过边长的平方根来计算，即对角线长度d = √(长边长的平方 + 短边长的平方)。
2. 三角形的边长关系在一些特殊的三角形中，边长之间存在平方根的关系。
平方根(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
平方根（5种题型）【知识梳理】一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、平方根的性质x a 2x a =x a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪−<⎩()20a a =≥四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：.【考点剖析】题型一、平方根和算术平方根的概念例1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2－4＝－（3－1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2－4＝－（3－1），解得＝1；∴的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【变式1】下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.＝5，所以本说法正确；B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为0，＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（ ）（2．（ ）（3）的平方根是．（ ） 250=25= 2.5=0.25=m m m m m m m m m ()24−9−4=±21()10−110±（4）是的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √；×，提示：（2）；（4）是的算术平方根．【变式3】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.解：①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以例2、 填空：（1）是 的负平方根．（2表示 的算术平方根， ．（3的算术平方根为 ． （4，则 ，若，则 ． 【思路点拨】（3就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 【变式1】下列说法中正确的有（ ）：③ 3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根． ④ 是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】的平方根是 ．25−−4254=25425a a m m a a m a a a a a m ()()22212111a −=⨯−=a a a ()()22221[2(1)1]39a −=⨯−−=−=4−=3=x =3=x =181191911;164138−【答案】±3.解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.例3.为何值时，下列各式有意义？； (4)．【答案与解析】解：(1)因为，所以当(2)由题意可知：，所以(3)由题意可知：解得：．所以(4)由题意可知：，解得且．所以当且时有意义．【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．【变式1的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，≥0，≥0.【变式2】已知，求的算术平方根．【答案】解：根据题意，得则，所以＝2，∴，∴．x 3x −20x ≥x 40x −≥4x ≥1010x x +≥⎧⎨−≥⎩11x −≤≤11x −≤≤1030x x −≥⎧⎨−≠⎩1x ≥3x ≠1x ≥3x ≠3x −x x 1−x x 1−a a 2b =11a b+320,230.a a −≥⎧⎨−≥⎩23a =b 1131222a b +=+=11a b +=题型二、平方根的运算例4、求下列各式的值．；【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：；．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．题型三、利用平方根解方程例5、求下列各式中的x值， （1）169x 2=144（2）（x ﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，x ，x=x=. （2）（x ﹣2）2﹣36=0，（x ﹣2）2=36，x ﹣2=2234+2234+257535==⨯=110.63035=⨯−⨯90.26 1.72=−−=−(0)a a =>2144=1691213±x ﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．【变式1】求下列各式中的.（1） （2）； （3）【答案与解析】解：（1）∵∴ ∴（2）∵∴∴＋1＝±17＝16或＝－18.（3）∵∴∴∴【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.【变式2】求x 的值：（x ﹣2）2=4．【答案】解：∵，∴（x ﹣2）2=36， x 23610;x −=()21289x +=()2932640x +−=23610x −=2361x =19x ==±()21289x +=1x +=x x x ()2932640x +−=()264329x +=8323x +=±21499x x ==−或∴x ﹣2=6或x ﹣2=﹣6，解得：x1=8，x2=﹣4．题型四、平方根的综合应用例6.若x ，y 为实数，且满足．求的值．【答案与解析】解：∵+|y ﹣|=0， ∴x=，y=， 则原式=1．【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x ，y ，然后代入求值即可.，求的值． 【答案】，得，，即，． ①当＝1，＝－1时，．②当＝－1，＝－1时，． 【变式2】已知a 2＝16，|﹣b |＝3，解下列问题：（1）求a ﹣b 的值；（2）若|a +b |＝a +b ，求a +b 的平方根．【分析】（1）根据平方根、绝对值的定义解决此题．（2）根据平方根、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：（1）∵a2＝16，|﹣b|＝3，∴a ＝±4，b ＝±3．∴当a ＝4，b ＝3，则a ﹣b ＝4﹣3＝1；当a ＝4，b ＝﹣3，则a ﹣b ＝4﹣（﹣3）＝7；当a ＝﹣4，b ＝3，则a ﹣b ＝﹣4﹣3＝﹣7；当a ＝﹣4，b ＝﹣3，则a ﹣b ＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1．综上：a ﹣b ＝±1或±7．0=20112012x y +0+=210x −=10y +=1x =±1y =−x y 20112012201120121(1)2x y +=+−=x y 2011201220112012(1)(1)0x y +=−+−=（2）∵|a+b|＝a+b ，∴a+b ≥0．∴a+b ＝1或7．∴当a+b ＝1时，a+b 的平方根为±1；当a+b ＝7时，a+b 的平方根为±． 综上：a+b 的平方根为±1或±．【点评】本题主要考查平方根、绝对值，熟练掌握平方根、绝对值的定义是解决本题的关键． 例7、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片 使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得. . . ∵ ＞0， ∴ .∴ 长方形纸片的长为.∵ 50＞49, ∴.∴ , 即长方形纸片的长大于20.由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．（2）求阴影部分的面积． 2cm 2cm 2:3x x cm x cm 32300x x ⋅=26300x =250x =x x=cm 7>21>cm 2cm cm cm【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；（2）利用长×宽可得结论．【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；（2）阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣6．【点评】考查列代数式和算术平方根问题，得到两个正方形的边长是解决本题的关键．【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】(1)长方形纸片的长为，宽为cm(2)不能，理由见详解【分析】（1）设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据面积求出矩形的长和宽即可；（2）将（1）中求出的矩形的长与正方形的边长进行比较大小即可得出结果．（1）解：设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据题意得3x·2x=300，解得x=或x=−，则3x=，2x=．答：长方形纸片的长为，宽为；（2）小波不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：∵正方形的面积为400cm2，∴边长为20cm ，∵20>cm ，∴不能剪出符合要求的纸片．【点睛】本题主要考查了平方根的应用以及实数比较大小，解题的关键是理解题意并正确列出方程． 题型五：平方根小数点位数移动规律例8.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（11.414≈14.14≈141.4≈，……0.1732≈ 1.732≈17.32≈，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873 1.225≈_____≈______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；【详解】解：（1 1.414≈14.14141.4≈，……0.1732≈ 1.732≈17.32≈，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873 1.22512.25≈0.3873≈；故答案为：12.25；0.3873；【变式】如果＝3.9522，则＝ ；＝39.522，则x ＝ ；【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．【解答】解：如果＝3.9522，则＝395.22，＝39.522，则x ＝1562；故答案为：395.22，1562；【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022秋•杭州期末）若一个正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，则边长可能是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出20的算术平方根，再估算出其取值范围即可．【解答】解：20的算术平方根为，∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∵正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，∴正方形的边长小于5．故选：A．【点评】本题考查的是算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．2．（2015•下城区校级二模）的平方根（）A．4B．2C．±4D．±2【分析】先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义进行求解．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，∵（±2）2＝4，∴的平方根为±2．故选：D．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，需要先求出，是易错题，需要注意．3．（2022秋•越城区期中）“的平方根是±”用数学式子可以表示为（）A．B．C．﹣D．±【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根．4．（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±的数是（）A．B．C．D．±【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（）2＝，∴平方根是±的数是，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．5．（2022秋•桐乡市期中）平方根等于本身的数是（）A．﹣1B．0C．1D．0，±1【分析】根据平方根的定义选项．【解答】﹣1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1，故选：B．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题关键．6．（2020秋•义乌市期中）的算术平方根是（）A．4B．2C．±4D．±2【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，∴的算术平方根是2，故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．7．（2022秋•越城区期中）若，则＝（）A．1.01B．±1.01C．±0.101D．10.1【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．【解答】解：∵，∴故选B．【点评】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．二．填空题（共11小题）8．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±）2＝2，∴2的平方根一个是，另一个是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．9．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个数的一个平方根是﹣10，则另一个平方根是．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵一个数的一个平方根是﹣10，∴这个数是（﹣10）2＝100，∴100的平方根为±10，∴另一个平方根是10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．10．（2022秋•柯桥区期中）已知一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，则这个数是．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：∵一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，∴a+2＝﹣（a﹣18），∴a＝8，∴a+2＝8+2＝10，∴这个数是102＝100．故答案为：100．【点评】本题考查的是平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．11．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为．【分析】根据一个正数的平方根互为相反数求得a值，再求出（b﹣a）的算术平方根即可．【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），∴a+a﹣4＝0，∴a＝2，∴b＝4，∴b﹣a＝2，∴（b﹣a）的算术平方根为，故答案为：．【点评】本题考查平方根和算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是正的平方根是解答的关键．12．（2022秋•永康市期中）已知等式+（b﹣c+1）2＝0，则b﹣c+2a＝．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出a、b﹣c，代入计算即可．【解答】解：∵+（b﹣c+1）2＝0，∴a+3＝0，b﹣c+1＝0，∴a＝﹣3，b﹣c＝﹣1，∴b﹣c+2a＝﹣1+2×（﹣3）＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟记算术平方根、偶次方具有非负性是解题的关键．13．（2022秋•兰溪市期末）如图，在3×3的方格纸中，有一个正方形ABCD，这个正方形的边长是．【分析】根据正方形的面积＝大正方形的面积﹣三角形面积×4求出正方形的面积，从而得到正方形的边长．【解答】解：正方形的面积＝32﹣×2×1×4＝9﹣4＝5，正方形的边长＝．故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，求出正方形的面积是解题的关键．14．（2022秋•余姚市月考）4的算术平方根是．【分析】根据算术平方根的意义进行计算即可．【解答】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是正确计算的关键．15．（2021秋•松阳县期末）如图，在7×7方格中，小正方形的边长均为1，则图中阴影正方形的边长是．【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查算术平方根，根据网格构造直角三角形是解决问题的关键．16．（2022秋•鹿城区校级期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是2a﹣1和3，则a的值为．【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值即可．【解答】解：根据题意得：2a﹣1+3＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．17．（2022秋•苍南县期中）如图，把一张面积为25的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为．【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设未知数，求出直角三角形的直角边，再根据长方形周长与“直角边”的关系进行计算即可．【解答】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设短直角边为x，则长直角边为2x，由题意得，x2+（2x）2＝25，解得x＝或x＝﹣（舍去），拼成的长方形的长为5x，宽为x，所以周长为（5x+x）×2＝12x＝12，故答案为：12．确解答的前提．18．（2022秋•萧山区期中）如图所示的是一个数值转换器．（1）当输入的x值为7时，输出的y值为；（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为；（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为．【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值；（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．【解答】解：（1）当x＝7时，则y＝；故答案为：；（2）当y＝时，（）2＝5，52＝25，则x＝25；故答案为：25；（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，∴所有满足要求的x的值为0或1．故答案为：0或1．【点评】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•越城区期中）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是72cm2，求这个长方形的周长．【分析】设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据面积是72cm2列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．【解答】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，由题意得：2x⋅x＝72，即x2＝36，∵x＞0，∴x＝6，即这个长方形的宽为6cm，长为12cm，则这个长方形的周长2×（12+6）＝36（cm）．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．20．（2022秋•鄞州区校级月考）已知x＝，z是9的平方根，求5z﹣2x的值．【分析】根据算术平方根和平方根的定义求出x、z的值，然后代入代数式求值即可．【解答】解：∵x＝，∴x＝5，∵z是9的平方根，∴z＝±3，∴分两种情况：当z＝+3时，5z﹣2x＝3×5﹣2×5＝5；当z＝﹣3时，5z﹣2x＝﹣3×5﹣2×5＝﹣25．故5z﹣2x的值为：5或﹣25．【点评】此题主要考查了算术平方根和平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．21．（2022秋•鄞州区期中）已知实数a，b，c满足：，求a+b+c的值．【分析】根据非负数的性质，可求出a、b、c的值，然后将代数式化简，再代值计算．【解答】解：根据题意得：，解得：．则a+b+c＝﹣2+3+1＝2．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．（2021秋•余姚市校级期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义解决此题．（2）由（1）得a＝12，b＝﹣3，再解决此题．【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．∴a＝12，b＝﹣3．（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．∴a+b＝12﹣3＝9．∴a+b的平方根为＝±3．【点评】本题主要考查平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解决本题的关键．23．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，∴2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝121；（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝1+0+5＝6，∴a+b+c的平方根是±．【点评】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．24．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：（1）|a|+3有最（填“大”或“小”）值；（2）5﹣a2有最（填“大”或“小”）值；（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求a b的平方根．【分析】（1）根据|a|≥0，可得|a|+3有最小值，最小值为3；（2）根据a2≥0，可得﹣a2≤0，进而可得5﹣a2≤5得出答案；（3）根据正整数以及方程的解的定义，得出a、b的值，再代入计算后，求其平方根即可．【解答】解：（1）∵|a|≥0，∴|a|+3有最小值，最小值为3，故答案为：小，3；（2）∵a2≥0，∴﹣a2≤0，∴5﹣a2≤5，即5﹣a2有最大值，最大值为5，故答案为：大，5；（3）∵正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2，∴正整数a、b可能为：a＝3，b＝2或a＝4，b＝1，当a＝3，b＝2时，ab＝32＝9，所以ab的平方根为±＝±3；当a＝4，b＝1时，ab＝41＝4，所以ab的平方根为±＝±2；答：ab的平方根为±2或±3．【点评】本题考查平方根，偶次方，绝对值的非负性，理解平方根的定义以及偶次方、绝对值的非负性是解决问题的前提．25．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案；（2）根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，解得a＝4，∴a+3＝7，∴这个数是49；（2）由题意得：2m+1＝0，3n﹣2＝0，∴m＝﹣，n＝，∴m2+n2＝（﹣）2+（）2＝+＝，∴m2+n2的平方根是±．【点评】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数，算术平方根与平方的和为0，算术平方根与平方同时为0，开平方的被开方数互为相反数，被开方数为0．26．（2020秋•诸暨市期中）先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x ＝1．解答问题：已知y＝++2，求x y的值．【分析】根据被开方数互为相反数，可得方程，根据解方程，可得x的值，再根据乘方运算，可得答案．【解答】解：已知y＝++2，1﹣2x＝0，2x﹣1＝0，解得x＝，则y＝2，则xy＝（）2＝．【点评】本题考查了算术平方根，注意算术平方的被开方数互为相反数时，被开方数相等等于零．。
算术平方根知识点总结
算术平方根知识点总结算术平方根是数学中一个基础且重要的概念。
在我们的日常生活和学习中，它有着广泛的应用。
接下来，让我们详细地了解一下算术平方根的相关知识。
一、算术平方根的定义若一个非负数 x 的平方等于 a，即\（x^2 ＝ a\），那么这个非负数x 叫做 a 的算术平方根，记作\（＼sqrt{a}＼），读作“根号a”，a 叫做被开方数。
特别地，0 的算术平方根是 0。
例如，因为\（2^2 ＝ 4\），所以 2 是 4 的算术平方根，即\（＼sqrt{4} ＝ 2\）；因为\（0^2 ＝ 0\），所以 0 是 0 的算术平方根，即\（＼sqrt{0} ＝ 0\）。
需要注意的是，负数没有算术平方根，因为任何数的平方都是非负数。
二、算术平方根的性质1、双重非负性算术平方根具有双重非负性，即被开方数\（a\geq 0\），算术平方根\（＼sqrt{a}＼geq 0\）。
这是因为一个数的平方不可能是负数，所以被开方数必须是非负的；同时，算术平方根表示的是一个非负的数。
2、唯一性一个正数的算术平方根是唯一的。
例如，9 的算术平方根只有一个，就是 3，而不是\（－3\）。
3、运算性质＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
三、算术平方根的计算1、常见数的算术平方根要牢记一些常见数的算术平方根，例如：＼（＼sqrt{1} ＝ 1\），＼（＼sqrt{4} ＝ 2\），＼（＼sqrt{9} ＝3\），＼（＼sqrt{16} ＝ 4\），＼（＼sqrt{25} ＝ 5\）等等。
2、利用平方运算求算术平方根对于一个数 a，如果要计算它的算术平方根，可以通过试探找到一个数 x，使得\（x^2 ＝ a\），则\（x ＝＼sqrt{a}＼）。
例如，要计算\（＼sqrt{10}＼），因为\（3^2 ＝ 9\），＼（4^2 ＝16\），而 10 在 9 和 16 之间，所以\（＼sqrt{10}＼）在 3 和 4 之间。
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，25 的平方根是_________. (-4)2 的平方根是___________.
2、 (9) 2 的平方根是（ ）（A）±3 （B）±9 （C）3
（D）－9
二、平方根的表示：
练习：
1、求下列个数的算术平方根
1 （1）、 196； （2） 256
；（3）0.04 ； （4）102
2、如果一个数的平方根是 a 3 和 2a 15，求这个数。
计算下列各数：1： ；
；
；
；
2：
；
；
；
3：
总结： =
或=
2、若 5x 1 有意义，则 x 能取的最小整数是（ ）
A． 1
B．0
C．1
D．2
3、已知 a、b 满足 2a 8 b 3 0 ，解关于 x 的方程 a 2x b2 a 1。
练习：1、若 (1 K )2 =1－K，则 K 的值（
1.2 已知 x2 5 ，则 x 为（ ）A. 5 B. -5 C. ±5 D. 以上都不对 1.3 当 x ≤0 时， x2 的值为（ ）A. 0 B. x C. x D. x
1.4 若 x2 81，则 x 的取值范围是（
）A．3
B．9
C． 3 D． 81
5、当 x___________时， 2x 5 有意义，若 2 x 有意义，则 x________ x
）
A．K≤1
B．K≥1
C．0≤K≤1
1.1 (x 2)2 2 x ，则 x 的取值范围是__________．
D．K<1
3.1△ABC 的三边长分别为 a、b、c，其中 a 和 b 满足 a 2 b 32 0 ，求 c
的取值范围。
4、已知 2a－1 的平方根是±3，3a＋b－1 的平方根是±4，求 a＋2b 的平方根
方根一定有两个。其中正确的有（ ）个。（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
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练习：1、若 3 x x 3 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A． x 3 B． x 3 C． x 3 D． x 3
1.1 若 x、y 都是实数，且 y = 2x 3 3 2x 4，求 xy 的值.
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2011-2012 暑期第一次课 一、平方根的定义
填空：
内容：平方根
4、判断：9 的平方根是 3（
）； 3 是 9 的平方根（
）
9 的平方根是
3 是 9 的平方根（
）
2 是 4 的平方根（
）
三、算术平方根
平方根的定义：
定义：
注意：
思考：平方根和算术平方根的区别和练习
练习：
1、 4 的平方根是 9
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2、若 x 0 ，则 x2 x 等于（ ）（A）0 （B）2x （C）2x （D）0 或 2x
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2.1 已知 a, b 是实数，且 a2 2ab b2 b a ，则 a 与 b 的大小关系是（ ）
（A） a b
（B） a b
（C） a b
（D） a b
五、公式
的区别和联系：
求下列各数的平方根：5, 3, 121，
练习：1、若 a 的平方根是±5,则 a =___________. 2、设 x2 a ，有下列几种说法：（1）a 是 x 的平方根 （2）a 是 x 的平方（3）x 是
a 的平方根（4）x 是 a 的平方。正确的是（ ） （A）（1）和（2） （B）（2）和（3） （C）（2）和（4） （D）（1）和（3）
5.1 当 x
时,式子 x 1 有意义，当 x
五、 的应用：
时,式子 x 2 有意义 2x 4
1.2 已知 x 1 1 x y 4 ，求 x 与 y 的值。 1.3 已知 x、y 都是实数，且 y x 2 2 x 4 ，求 y x 的平方根。
1.4 若 x y 4 x y 2 0 ，则 xy ____________
2、已知 5＋ 11 的小数部分为 a，5－ 11 的小数部分为 b，求：
（1）a＋b 的值；
（2）a－b 的值．
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1、a 的取值范围 2、结果的范围
3、结果
2
练习：1、化简 4x2 4x 1 2x 3 得（
）
（A）2 （B） 4x 4
六、 的取值范围：
（C） 2 （D） 4x 4
练习：1、绝对值小于 7 的整数有______.
1.1 大于 17 小于 11 的所有整数;
(2) 绝对值小于 18 的所有整数.
2.1 一个数的平方根是 2a-3 与 5-a，求 a 的值和这个数。 四、非负性
3、有下列说法：（1） 16 4
（2）因为 4 是正数，所以 4 有平方根
计算下列各值： ， ， ，
，， ，
（3）因为 0 既不是正数也不是负数，所以 0 没有平方根
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
从上面的计算，你可以得到那些结论：
（4）可以平方的数一定也可以开平方 （5）如果一个数有平方根，那么这个数的平