初二数学公式换底公式
初二数学公式换底公式
初二数学公式换底公式初二数学换底公式换底公式是一个比较重要的公式，在专门多对数的运算中都要使用，也是高中数学的重点。
另有两个推论。
loga(b)表示以a为底的b的对数。
换底公式确实是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1)推导过程若有对数log(a)(b)设a=n^x,b=n^y(n0,且n不为1)如：log(10)(5)=log(5)(5) /log(5)(10)则log(a)(b)=log(n^x)(n^y)依照对数的差不多公式log(a)(M^n)=nloga(M)和差不多公式log(a^n)M=1/nlog(a) M易得log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/x log(n)(n)=y/x由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
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如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
换底公式
换底公式的形式：
换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
log（a）（b）表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
换底公式的推导过程：
若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M) 和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1
换底公式的应用：
1.在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底.
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时
也通过用换底公式来证明或求解相关问题；
2.在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。
换底公式的推导过程
换底公式的推导过程摘要：一、换底公式简介1.什么是换底公式2.换底公式的应用场景二、换底公式的推导过程1.指数函数的定义2.对数函数的定义3.换底公式推导三、换底公式在实际问题中的应用1.常见函数的换底计算2.实际问题中的换底应用正文：一、换底公式简介换底公式，又称换底对数公式，是数学中一种重要的公式。
它可以将一个以某个底数为底的指数函数或对数函数转换为以任意底数为底的指数函数或对数函数。
换底公式广泛应用于各种数学问题，尤其是涉及到对数和指数运算的问题。
二、换底公式的推导过程1.指数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数f(x)=a^x (x∈R)，称为以a 为底的指数函数。
2.对数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数g(x)=log_a x (x>0)，称为以a 为底的对数函数。
3.换底公式推导：设y=f(x)=a^x，我们想要找到一个与f(x) 等价的函数，即h(x)=b^x，其中b 为任意正实数且b≠1。
我们可以通过对f(x) 取对数，然后用g(x) 表示，即：log_b y = log_b (a^x) = x * log_b a这样我们就得到了h(x) = b^x，即：h(x) = b^(x * log_b a)因此，我们可以用h(x) 替代f(x)，使得以b 为底的指数函数与以a 为底的指数函数等价。
三、换底公式在实际问题中的应用1.常见函数的换底计算：在实际问题中，我们常常需要将一个函数表示为另一种底数的函数。
例如，将自然指数函数表示为以2 为底的指数函数，可以使用换底公式：2^x = e^(x * log_e 2)2.实际问题中的换底应用：在物理学、化学和工程等领域，换底公式经常用于计算各种物理和化学常数的对数。
例如，在计算气体定律问题时，我们需要计算气体的体积、温度和压强等参数的对数，这时可以使用换底公式将底数为自然常数e 的对数转换为底数为任意正实数的对数，以便进行计算。
对数换底公式推导
对数换底公式推导对数换底公式，也称作变底公式，是数学中比较常用的一种公式。
它可以用来换算一个底数的对数。
简而言之，对数换底公式就是一种便捷的计算方法，实现对数从一个底数转换到另一个底数的操作。
对数换底公式是一个有用的数学工具，它可以用来解决现实中的各种问题。
比如，它可以用来求解数字的增加或减少的百分比，以及数字的乘法或除法问题。
借助这个公式，用户还可以轻松的计算出不同的数字的对数之差。
二、对数换底公式的推导对数换底公式的推导可以简单地总结为：公式：loga b = rlog c b其中，a，b，c分别表示底数、被求对数数值和新底数。
现在我们来推导这个公式。
我们要从一个简单的例子入手。
假设有一个数值n，其对数以2为底。
这个数值的对数可以表示为：log2 n，其中n表示被求对数数值，2表示底数。
现在我们要求n以4为底的对数，可以在等式右边替换底数，即：log4 n = ?此时我们可以把等式右边的部分变形：log4 n = log2 n 2于是，等式可以变形为：loga b = rlog c b其中a、b、c表示底数，r表示log2 n的值。
我们可以继续用范例来说明这个公式的推导过程。
假设有一个数值n，其对数以4为底。
这个数值的对数可以表示为：log4 n，既然要求n以2为底的对数，则可以使用上述公式推导：log2 n = log4 n即：log2 n = (1/2)log4 n以上就是对数换底公式的推导过程，简而言之，它的形式就是：loga b = rlog c b三、数换底公式的应用对数换底公式是一个非常有用的数学工具，它可以用来解决现实中的各种问题。
比如，它可以用来求解数字的增加或减少的百分比，以及数字的乘法或除法问题。
借助这个公式，用户还可以轻松的计算出不同的数字的对数之差。
另外，对数换底公式在推导几何级数和统计学方面也有广泛的应用。
例如，在推导几何级数中，对数换底公式可以帮助计算复杂的公式，从而求出结果。
换底公式的证明
换底公式的证明换底公式是数学中的一种重要公式，用于求解不同底数的对数之间的关系。
它在数学和科学研究中被广泛应用，对于解决问题和简化计算过程具有重要意义。
下面将给出换底公式的证明过程。
我们先回顾一下对数的定义。
对数是指数运算的逆运算，用来表示底数为a的幂运算的结果是多少。
具体地说，如果a^x = b，则记作x = log_a(b)，其中a称为底数，x称为对数，b称为真数。
现在我们来证明换底公式。
设对数的底数为a和c，对数的真数为b。
我们要证明的是log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
为了证明这个等式，我们可以使用对数的定义和指数运算的性质进行推导。
根据对数的定义，我们有a^log_a(b) = b。
这意味着对数log_a(b)是底数为a的幂运算的结果是b。
接下来，我们将这个等式转化为指数形式。
将等式两边同时以c为底数取对数，得到log_c(a^log_a(b)) = log_c(b)。
根据指数运算的性质，我们可以将指数移到对数的外面，得到log_c(b) = log_c(a) * log_a(b)。
这里，我们用到了对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
因此，我们证明了换底公式的正确性。
换底公式的证明过程相对简单，但是应用范围广泛。
它可以帮助我们在计算过程中，将底数不同的对数转化为底数相同的对数，从而简化计算。
在一些数学问题和科学实验中，我们常常需要进行对数运算，而换底公式能够为我们提供便利。
总结一下，换底公式是数学中的一种重要工具，用于求解不同底数的对数之间的关系。
通过对对数的定义和指数运算的性质进行推导，我们可以得到换底公式的证明过程。
这个公式在数学和科学研究中具有广泛的应用价值，能够帮助我们简化计算，解决问题。
对数换底公式及其应用
对数换底公式及其应用logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)其中，logₐ(b) 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓ(b) 表示以 x 为底数的 b 的对数，logₓ(a) 表示以 x 为底数的 a 的对数。
1.计算不同底数的对数之间的关系使用对数换底公式，可以将一个底数为 a 的对数转化为底数为 x 的对数，以便计算或进行比较。
例如，要计算 log₃(2) 的值，可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₃(2) = log₁₀(2) / log₁₀(3)2.化简复杂的对数表达式有时候，对数表达式可能比较复杂，难以计算或分析。
在这种情况下，对数换底公式可以帮助我们将其转化为更简单的形式，以便进行进一步的计算。
例如，对于表达式 log₉(27)，我们可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₉(27) = log₁₀(27) / log₁₀(9)= log₁₀(3³) / log₁₀(3²)= 3 * log₁₀(3) / 2 * log₁₀(3)=3/23.解决指数方程x = log₂(16) = log₁₀(16) / log₁₀(2) = 4 / log₁₀(2)4.求解连续复利问题连续复利是一种常见的复利计算方法，其中利息不断累积，而不是离散计算。
对数换底公式可以用于求解连续复利问题的相关计算。
例如，如果我们正在计算以年利率为8%的连续复利的总金额，我们可以使用对数换底公式将其转化为以自然对数e为底数的对数：F = P * (1 + r/n)^(nt)=P*(1+8%/1)^(1*1)=P*(1+0.08)^1= P * e^(ln(1 + 0.08))5.编程中的应用综上所述，对数换底公式是一种非常有用的数学工具，可以应用于许多不同的场景，包括计算不同底数的对数之间的关系、化简复杂的对数表达式、解决指数方程、求解连续复利问题以及在编程中的应用。
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。
指数函数换底公式
指数函数换底公式指数函数换底公式是数学中非常重要的一个公式，它能够解决指数函数运算中底数不同的问题，也是解决指数函数方程的一个关键方法。
换底公式的推导和运用涉及到对数函数的性质和指数函数的特点，下面我将详细介绍指数函数换底公式。
1.指数函数和对数函数的关系对于指数函数y = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，我们可以通过对数函数来描述这个指数函数。
首先，我们定义以a为底b的对数为log_a b，它表示满足a^x = b的x值。
对数函数的定义域为(0,∞)，值域为(-∞,+∞)。
2.换底公式的推导假设我们要将指数函数y=a^x换底为底为b的指数函数。
我们可以先将a^x转化为以e为底的指数函数，然后再将以e为底的指数函数转换为底为b的指数函数。
具体推导如下：2.1将a^x转化为以e为底的指数函数根据指数函数和对数函数的关系，我们有以下等式：a^x = e^(ln a^x) = e^(x ln a)其中ln a表示以e为底的对数函数，它满足e^(ln a) = a。
2.2将以e为底的指数函数转换为底为b的指数函数根据指数函数和对数函数的关系，我们有以下等式：e^(x ln a) = (e^(ln a))^x = a^x所以，将以e为底的指数函数转换为底为b的指数函数时，只需要将指数部分由ln a替换为ln b即可。
综上所述，指数函数换底公式可以表示为：a^x = (b^ln a)^x3.换底公式的运用3.1不同底数之间的换算当我们需要计算底数不同的指数函数的值时，可以利用换底公式将其转化为同一底数的指数函数进行计算。
例如，计算2^3.2和5^1.6的值，我们可以先将2^3.2换底为以5为底的指数函数：2^3.2 = (5^(ln 2))^3.2然后计算5^（ln 2）的值，再将其代入计算。
3.2指数方程的求解当需要解决形如a^x=b的指数方程时，可以利用换底公式将其转化为以同一底数的指数方程进行求解。
对数的运算法则及公式换底
对数的运算法则及公式换底
对数是数学中常用的一种运算方式，它可以将一个较大的数转化为较小的数，从而使计算更方便。
对数的运算法则和公式换底是对数运算中最基本的内容之一，下面我们来详细了解一下。
一、对数的运算法则
1、乘法法则
若a>0,b>0，则有loga (b×c) =loga b +loga c
2、除法法则
若a>0,b>0，则有loga (b/c) =loga b -loga c
3、幂次法则
若a>0,b>0，则有loga (b^n) =nloga b
二、对数的公式换底
在对数运算中，有时候需要将一个对数的底数换成另一个底数，这就是对数的公式换底。
公式换底有两种常用的方式，分别是常用对数和自然对数。
1、常用对数
常用对数的底数是10，因此我们可以将任意一个对数转化为以10为底数的对数。
公式如下：
loga b =log10 b/log10 a
其中a和b都是正数，且a≠1。
2、自然对数
自然对数的底数是e，因此我们可以将任意一个对数转化为以e
为底数的对数。
公式如下：
loga b =ln b/ln a
其中a和b都是正数，且a≠1。
总之，掌握对数的运算法则和公式换底对于学习高等数学、物理等学科是非常重要的。
换底公式
还可以变形,得
② log x y log y z log x z
公式的运用： 利用换底公式统一对数底数，即“化异为同” 是解决有关对数问题的基本思想方法；
log 8 9 log 27 32
log c b log a b log c a
n
(a, c (0,1) (1,), b 0) a, b (0,1) (1,)
n log am b log a b m log a b log b a 1
例三、设 求证：
3x 4 y 6 z t 1
2 10 lg
9 5
2+ ຫໍສະໝຸດ g 2 lg10 2+ lg 2
= ( 1 －lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 －lg 2 ) + lg 2 = 1 －2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 －lg 2 2 + lg 2 =1
2、已知 lg x + lg y = 2lg ( x －2y )，求 log
3)x 2 3
3或( 2
∴ x = 1 或 x = －1 故方程的解为 x = 1 或 x = －1.
，一定要求
log 18 2 1 a
log18 45 log18 9 log18 5 a b log 36 45 log18 36 1 log18 2 2a
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问 题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起 了重要作用，在解题过程中应注意： （1）针对具体问题，选择好底数； （2）注意换底公式与对数运算法则结合使用； （3）换底公式的正用与逆用；
lna÷lnb换底公式
lna÷lnb换底公式自然对数是数学中非常重要的一种对数。
在数学和科学中，自然对数经常被使用，因为它是很多数学和科学公式的基础。
在自然对数中，有一种非常重要的换底公式，叫做lna÷lnb换底公式。
本文将详细介绍这个公式的含义、用途和应用。
一、lna÷lnb换底公式的含义lna÷lnb换底公式是在求对数时常用的一种公式，它的含义是：将a的自然对数除以b的自然对数，等于以b为底a的对数。
也就是说，lna÷lnb = logba其中，lna表示以e为底a的对数，lnb表示以e为底b的对数，logba表示以b为底a的对数。
二、lna÷lnb换底公式的用途lna÷lnb换底公式的用途非常广泛，尤其是在数学和科学中。
以下是它的主要应用：1、计算对数lna÷lnb换底公式可以用来计算对数。
例如，若要计算log2 8，可以使用ln2÷ln8换底公式，即log2 8 = ln8÷ln2 = 32、求指数函数的导数在微积分中，指数函数是非常重要的函数之一。
指数函数的导数也是经常需要求解的问题。
lna÷lnb换底公式可以用来求解指数函数的导数。
例如，要求解y = 2x的导数，可以使用lny÷ln2换底公式，即lny = ln2x = xln2y' = d/dx(e^(lny)) = d/dx(e^(xln2)) = 2^xln2 = 2^xlny 3、计算复利在金融学和投资中，复利是一个非常重要的概念。
复利是指在每个计息周期内，本金和利息都会计算利息，而不是只计算本金。
lna ÷lnb换底公式可以用来计算复利。
例如，如果一个投资以5%的年利率复利，那么5年后的收益是多少？可以使用ln1.05÷ln1.05换底公式，即ln(1+0.05)^5÷ln1.05 = 0.276收益率为27.6%。
log换底公式
log换底公式
log函数换底公式是指loga(b)表示以a为底的b的对数，也就是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1）。
在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底。
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时也通过用换底公式来证明或求解相关问题；在计算器上计算对数时需要用到这个公式。
例如，大多数计算器有[ln]和[log10]的按钮，但却没有[log2]的。
要计算log2(3)，你只有计算log10(3) / log10(2)（或ln(3)/ln(2)，两者结果一样）。
对数换底公式的推导
对数换底公式的推导对数换底公式是初中数学中的重要内容之一。
它是解决对数运算中底数不同的问题的一种有效方法。
下面我将为大家详细介绍对数换底公式的推导过程。
我们先来回顾一下对数的定义。
假设a和b是正实数，且a≠1。
我们可以将对数表达为loga b，读作“以a为底b的对数”。
这里，a称为底数，b称为真数，loga b称为对数。
对数的特点是可以将指数运算转化为乘法运算，这对于解决复杂的指数运算问题非常有用。
接下来，我们来推导对数换底公式。
假设x是一个正实数，a、b和c是正实数，且a≠1，b≠1，c≠1。
我们可以得到以下等式：1. x = a^loga x；这是根据对数的定义，将指数运算转化为底数为a的对数。
2. x = b^logb x；同样地，将指数运算转化为底数为b的对数。
现在，我们希望将等式1和等式2联系起来。
我们需要找到一个方法，将底数为a的对数转化为底数为b的对数。
假设y=loga x，我们可以得到以下等式：3. x = a^loga x = a^y；这是根据等式1。
4. x = b^logb x = b^logb a^y；这是根据等式2。
接下来，我们将等式3和等式4进行比较。
我们可以发现，等式3中的x可以用等式4中的x表示。
于是，我们可以得到以下等式：5. a^y = b^logb a^y；这是将等式3中的x用等式4中的x表示。
接下来，我们希望将等式5进一步简化。
我们可以使用对数的定义将指数运算转化为对数运算。
假设z=logb a，我们可以得到以下等式：6. a^y = b^logb a^y = (b^z)^y；这是根据等式5。
现在，我们可以发现，等式6中的a^y可以用等式6中的(b^z)^y 表示。
于是，我们可以得到以下等式：7. a^y = (b^z)^y = b^(zy)；这是将等式6中的a^y用等式6中的(b^z)^y表示。
从等式7中，我们可以得到以下结论：8. y = zy；这是根据等式7。
换底公式
换底公式1．对数的换底公式b N N a a b log log log =(a ，b >0，且a ，b ≠1，N >0)． 2、利用对数换底公式可得到如下等式： ①a b b a log 1log =，即1log log =⋅a b b a (a >0，a ≠1，b >0，b ≠1)． ②b n m ba m a n log log =(a >0，a ≠1，b >0，m ∈R ，n ≠0)． 特例：b n b a a n log 1log = b b a n a n log log = b n b a n a l o g l o g = 课堂巩固练习1、21log log 9log 7log 44923=a ，则=a __22__________ 2、若x 3log 2log 23=，则=x （ C ）A 、1-B 、1C 、23)2(logD 、22)3(log3、=+51log 5log 3333_556____________ 4、（2012安徽文科）（2l o g 9）·（3log 4）=( D ) （A ） 14 （B ）12（C ） 2 （D ）4 解：利用ab b a log 1log =，即1log log =⋅a b b a 5、(2010辽宁文科)设2b =5b =m ,且11a b+＝２，则m=（ A ）(A) (B)10 (C)20 (D)100 解：利用ab b a log 1log =，即1log log =⋅a b b a 6、log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83 D.38解析：log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.答案：C7、若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝( )A.12 B ．9 C ．18 D ．27解析：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416，∴lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝log 442， 化简得lg m ＝2lg 3，即lg m ＝lg 9，∴m ＝9.答案：B8、已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( ) A ．3 B ．8 C ．4 D ．log 48解析：x ＝log 23，x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2·log 283log 24＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：A9、已知log 95＝a ，log 37＝b ，则log 359＝________.解析：∵a ＝log 95＝log 35log 39＝log 352，∴log 35＝2a ，∴log 359＝log 39log 35＋log 37＝22a ＋b. 答案：22a ＋b10、计算：(1)log 1627·log 8132；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．解：(1)log 1627·log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516.(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54.11、若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg (ab )·(log a b ＋log b a )的值．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg (ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b lg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12， 即lg (ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。
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初二数学公式换底公式
初二数学换底公式
换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
另有两个推论。
loga(b)表示以a为底的b的对数。
换底公式就是
log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1) 推导过程
若有对数log(a)(b)设a=n^x,b=n^y(n0,且n不为1)如：
log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)
则 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)
根据对数的基本公式
log(a)(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/nlog(a) M 易得
log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/x log(n)(n)=y/x
由 a=n^x,b=n^y可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a)
*log(c)(a)=log(c)(c)=1
公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下：
由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b 为底的对数
log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得:
log(a)(b)log(b)(a)=1。