度量空间之间的映射1

20 ♠ 5 1 度量空间之间的映射
假设 X, Y 是两个非空集合，所谓由 X 到 Y 的一个映射，用通俗的话来说，就是某个确定的对应法则，使得对每 个 x ∈ X ，都有唯一的 y ∈ Y 与之相对应。我们常用 f ， g 等记号表示这种对应法则，并把按对应法则 f 与 x ∈ X 对 应的元素 y ∈ Y 记为 f (x) ，并常把 f (x) 称为 x 在映射 f 下的值。我们常称 X 为映射 f 的定义域，把 Y 称为映射 f 的 陪域，并把映射记号 f 及其定义域 X 与陪域 Y 一起，记为 f : X → Y ，以表明这样的约定:严格说来，两个映射，只 有当其对应法则，定义域以及陪域都分别相同时，才被视作相同的映射。另外，映射的陪域不一定是映射的值域，后者 是 {y ∈ Y | ∃x ∈ X s.t. f (x) = y} ，它当然总是前者的子集。类似于实值函数的情形，我们有如下的定义和点列式刻画：
定义 1：假设 (X, dX) ， (Y, dY) 是两个度量空间， A ⊆ X ， a ∈ X 是 A 的一个聚点， b ∈ Y ， f : A → Y 。我们 称 f 在 a 处有极限 b ，并且记 limx→a f (x) = b ，如果对每个 ε > 0 ，都存在某个 δ > 0 ，使得对每个 x ∈ A ，只要满 足 0 < dX(x, a) < δ ，就有 dY( f (x), b) < ε 。
定理 2：假设 (X, dx) ， (Y, dY) 是度量空间， A ⊆ X ， a ∈ A ， 映射 f : A → Y ；那么以下两个陈述等价： (i) f 在 a 处 连续； (ii) 对每个含于 A 的点列 {xn}∞n=1 ，只要 limn→∞ xn = a ，就有 limn→∞ f (xn) = f (a) 。
注意，定义映射 f : A → Y 在 a 处连续时，我们要求 a ∈ A ，但不要求 是 A 的聚点。因此，如果 a ∈ A 不是 A 的聚 点，也就是说，存在某 δ > 0 ，使得 BX(a, δ) ∩ A = {a} （此时我们称 a 是 A 的孤立点），据定义 f : A → Y 在 a 处总连续。
证明: “(i) =⇒ (ii)” 由于 f (a) ∈ V ，且 V 是 Y 的开集，可知有某个 ε > 0 ，使得 BY( f (a), ε) ⊆ V ；由于 f : X → Y 在 a 处 连续，据定义有 δ > 0 ，使得对每个 x ∈ BX(a, δ) ，都有 f (x) ∈ BY( f (a), ε) ，或者更学究气地，都存在 y ∈ BY( f (a), ε) ，使 得 y = f (x) 。如果记 U := BX(a, δ) ，自然有 U ⊆ f −1(BY( f (a), ε)) ；据引理 3 ，也就是说， f (U) ⊆ BY( f (a), ε) ⊆ V
定理 4：如果 (X, dX) ， (Y, dY) 是度量空间， f : X → Y ， a ∈ X ，那么以下两个陈述等价： (i) f : X → Y 在 a 处连 续； (ii) 对于 Y 中包含 f (a) 的每个开集 V ，都存在 X 中包含 a 的某个开集 U ，使得 f (U) ⊆ V 。
定理 1：如果 (X, dx) ， (Y, dY) 是度量空间， A ⊆ X ， a ∈ X 是 A 的聚点， b ∈ Y ， f : A → Y 。那么以下陈述等 价： (i) limx→a f (x) = b ； (ii) 对每个含于 A \ {a} 的点列 {xn}∞n=1 ，只要 limn→∞ xn = a ，就有 limn→∞ f (xn) = b ；
证明: “(i) =⇒ (ii)” 对每个 x˜ ∈ A ，要证存在某 y˜ ∈ B ，使 f (x˜) = y˜ 。如果记 y0 := f (x˜) ，那么据 f (A) 的定义，可 见 y0 ∈ f (A) 。而据 (i) ， y0 ∈ f (A) ⊆ B 。取 y˜ := y0 即得所求。 “(ii) =⇒ (i)” 对每个 y˜ ∈ f (A) ，要证 y˜ ∈ B ；据 f (A) 的 定义，有某 x0 ∈ A ，使 f (x0) = y˜ 。但据 (ii) ， x0 ∈ A ⊆ f −1(B) ；于是有某 y0 ∈ B ，使 f (x0) = y0 。但因 f : X → Y 是映 射， y0 = y˜ 必成立。于是 y˜ ∈ B 。
定义 2：假设 (X, dx) ， (Y, dY) 是度量空间， A ⊆ X ， a ∈ A ， 映射 f : A → Y 称为在 a 处连续，如果对每个 ε > 0 ， 都存在 δ > 0 ，使得对每个 x ∈ A ，只要 dX(x, a) < δ ，就有 dY( f (x), f (a)) < ε 。如果映射 f : A → Y 在 A 上每点处都连 续，我们就称 f : A → Y 是连续映射。
“(ii) =⇒ (i)”；由 (ii) ，特别地，对每个 ε > 0 ，以及 Y 的包含 f (a) 的开集 BY( f (a), ε) ，都有 X 的包含 a 的开 集 U ，使得 f (U) ⊆ BY( f (a), ε) ；据引理 3 ，也就是说， U ⊆ f −1(BY( f (a), ε)) 。 a 属于开集 U ，于是有某个 δ > 0 ，使 得 BX(a, δ) ⊆ U ⊆ f −1(BY( f (a), ε)) ；也就是说，对每个 x ∈ BX(a, δ) ，都存在 y ∈ BY( f (a), ε) ，使得 y = f (x) ；更直白地说， 对每个 x ∈ BX(a, δ) ，都有 f (x) ∈ BY( f (a), ε) ；于是据连续的定义知 (i) 成立。
以下我们设法用开集来表述连续性的概念。首先我们需要以下引理：
引理 3：假设 X, Y 非空； A ⊆ X ， B ⊆ Y ；映射 f : X → Y 。如果记 f (A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ A s.t. f (x) = y} ，并 且 f −1(B) := {x ∈ X | ∃y ∈ Y s.t. f (x) = y} ，那么以下两陈述等价： (i) f (A) ⊆ B ； (ii) A ⊆ f −1(B) ；