高中选修杨辉三角

试用数学归纳法证明二项式定理:
n 0 n 1 n1 r
(a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b
nr r n
n
证明: (1)当n=1时, 左边=a+b, 右边= C10 a1 C11a11b a b ∴ 当n=1时等式成立 (2)假设当n=k时等式成立, 即
0 k 1 1 0 k r 1 r k r r 1
(C C )ab C b ,
k k k
k 1 k
k k 1 k
利用 0 0 1 0 1 r 1 r r 1 Ck Ck 1，Ck Ck Ck 1， ，Ck Ck Ck 1， ,
Ck Ck Ck1，Ck Ck1 ,
0 0 1 0 1 r 1 r r 1 利用 Ck Ck 1，Ck Ck Ck 1， ，Ck Ck Ck 1， ,
当n=k+1时
Ck Ck Ck1，Ck Ck1 ,
k k 1 k k k 1
Ck a (Ck Ck )a b (Ck Ck )a b
杨辉三角之探究1
杨辉三角的第1, 3, 7, 15, · · · 行, 即第2k–1行 (k∈Z+)的各个数字有什么特点？ 第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行 第 7行 1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 · · · · · · · · · · · ·
杨 辉 三 角
一
一
一 一 一 一 一 六 五
十 五
一
二 一 三 六 四 十
二 十 十 五
三 四 十
一 一 五 一
六
一
一般的杨辉三角
第 0行 1 n展开式的系数 杨辉三角的第 n 行就是二项式 (a+b) 第 1行 1 1 即 第 2行 1 2 1 0 n 1 n1 r n r r n n n 第 3 行 1 3 3 1 (a+b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b 第 4行 1 4 6 4 1 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 · · · · · · · · · · · · 第n–1行 1 Cn11 Cn21 · · ·Cnr11 Cnr1 · · · Cnn12 1 1 2 r n 1 n2 第n行 1 Cn Cn · · · · · Cn C n 1 Cn · · · · · · · r r 1 r r nr Cn Cn1 Cn1，Cn Cn . 基本性质
(a b) Ck a Ck a b Ck a b Ck b
k 0 k 1 k 1 r k r r k
k
(a b)k1 (a b)k (a b) 0 k 1 k 1 r k r r k k (Ck a Ck a b Ck a b Ck b )(a b) 0 k 1 1 k r 1 k r r 1 k k 0 k Ck a Ck a b Ck a b Ck ab Ck a b r k r r 1 k 1 k k k 1 Ck a b Ck ab Ck b
r r r
Cr Cr1 Cr2 Ck1 Ck
r
r 1
当n=k+1时
r r
Cr Cr1 Cr2 Ck1 Ck r 1 r r 1 Ck Ck Ck1
r r
r
这就是说, 当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2)可知对于任意正整数n,等式都成立.
1 Cn1 Cn2 Cnr Cnn1 1 2n
颗弹子,让它们自由落下,落到下边 的n+1个长方形框子里, 那么落在 每个长方形框子中的弹子数目(按 照可能的情形来计算)会是多少? 你能用学习过的排列组合与概率 的知识解析这一现象吗?
如图, 在一块木版上钉一些正六棱柱形的小木块, 在它们中间 留下一些通道, 从上面的漏斗直通到下面的长方形框子, 前面用一 块玻璃挡住. 把小弹子倒在漏斗里, 它会通过中间的一个通道落到 第二层(有几个竖直通道就算第几层)的六棱柱上面,以后,落到第二 层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖 直通道里边去.再以后,它又落到下一层的 三个通道之一里边去· · · · · · 依此类推, 最终 落到最下边的长方形框子中. 假设我们总共在木版上做了n+1层 通道, 在顶上的漏斗里一共放了
P 是素数
杨辉三角之探究3
计算杨辉三角中各行数字的和,我们有 第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行 1 1 + 1= 2 , 1 + 2 + 1= 4 , 1 + 3 + 3 + 1= 8 , 1 + 4 + 6 + 4 + 1= 16 , 1 + 5 +10 + 10 + 5 + 1= 32 , 1 + 6 +15 +20 + 15 + 6 + 1= 64 , · · · · · · · · · · · · n r n 1 0 1 2 n 2 · · + Cn + · · · + Cn + Cn = , Cn + C n+ Cn + · 2n .
各个数字 均是奇数
杨辉三角之探究2
在杨辉三角的5行中, 除去两端的数字1以外, 行数5整除其余的所有数, 你能找出具有类似性质 的三行吗?这时 行数P是什么样的数? 第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行 第 7行 1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 · · · · · · · · · · · ·
第n行
即(a+b)n的展开式的各个二项式系数等于
杨辉三角之探究4
杨辉三角中与腰平行的第m条斜线(从右上 到左下)上前n个数字的和, 与第m+1条斜线上的 第n个数有什么关系? 相等关系 第 0行 1 第 1行 1 1 + 第 2行 1 2 1 + 第 3行 1 3 3 1 + 第 4行 1 4 6 4 1 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 · · · · · · · · · · · · r r r r r 1 Cr Cr1 Cr2 Cn1 Cn (n r ) 一般有
研究性课题: 杨辉三角
(数学选修2-3 第33页)
杨辉简介
杨辉 ( 约公元13世纪中叶至后 半叶 ) 字谦光, 钱塘 ( 今浙江杭州 ) 人, 是中国南宋末年的数学家、数 学教育家. 著作甚多, 他编著的数 学书共五种二十一卷, 著有《详解九章算法》十二 卷 (1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、等. “杨辉三角”出现在他编著的《详解九章算法》 一书中, 杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右, 杨 辉是一位杰出的数学教育家、重视数学的普及．
当n=k+1时
(2)假设当n=k时等式成立, 即
(a b) Ck a Ck a b Ck a b Ck b
k 0 k 1 k 1 r k r r k
k
(a b)k1 (a b)k (a b) 0 k 1 k 1 r k r r k k (Ck a Ck a b Ck a b Ck b )(a b) 0 k 1 1 k r 1 k r r 1 k k 0 k Ck a Ck a b Ck a b Ck ab Ck a b r k r r 1 k 1 k k k 1 Ck a b Ck ab Ck b 0 k 1 1 0 k r 1 r k r r 1 Ck a (Ck Ck )a b (Ck Ck )a b k k 1 k k k 1 (Ck Ck )ab Ck b ,
k k 1 k k k 1
得到
(a b)k1 Ck01a k1 Ck11a k b Ckr11a kr br1
Ck1ab Ck1 b ,
k k k 1 k 1
这就是说, 当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2)可知对于任意正整数n,等式都成立.
试用数学归纳法证明:
r r
Cr Cr1 Cr2 Cn1 Cn (n r )
r r r 1
1 1
证明: (1)当n=2时, r=1, 左边= C21 C1 1 11 2 右边= C2源自文库 C2 1 ∴ 当n=2时等式成立 (2)假设当n=k时等式成立, 即
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · ·· ·· · · · · · · · · · · · · ·
杨辉三角之探究5
杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和, 有 什么规律? 从第3个数起, 任 第 0行 1 一个数是前2 第 1行 1 1 个数字的和, 是斐波那 第 2行 1 2 1 契数列. 第 3行 1 3 3 1 第 4行 1 4 6 4 1 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第7行 1 8 28 56 70 56 28 8 1