数形结合思想启迪数学形象思维

数形结合思想启迪数学形象思维

摘要：数形结合思想是一种起源悠久，在数学思想大家庭中起着重要作用的数学思想，这种思想在数学解题过程中常常起着化繁为简，变抽象为直观的作用。数与形，就代表了数学的抽象面和直观面，数形结合思想的过程就是变抽象为形象的过程，在这一过程中启迪了数学形象思维。

关键词：数形结合形象思维启迪意义

一、对数形结合及数学形象思维的认识

自古以来，由于生产活动的需要产生了数学，现在已经发展成为分支众多的庞大系统。如果我们把各个分支的内容仔细分析一下，就可以发现，数学的研究对象大致可以分成两类：一类是研究数量关系的；一类是研究空间形式的。我们的现实世界的问题，虽然他们没有明明白白地说这是数学问题，但只要通过一定的转换，他们就会成为一个与数学有关的问题，换句话说，不论是初等数学，还是高等数学，都是以现实世界的数与形为研究对象的，数与形这两个基本概念，是数学的两块基石。

对数学形象思维中的“形象”，长期以来，人们的认识仅仅局限与几何图形，从而把数学形象思维能力的培养也错误地局限在几何教学之中，事实上，数学的各种图形、图象、解析式等都是事物在人们头脑中的反映。这种形象以物化的形式再现出来，就是数学形象。数学中的形象思维方法，是对数学形象进行加工并形成新形象的方式程序，它是数学的基本思维方法之一。

二、渗透数形结合思想，培养数学形象思维

在数学的教学、研究、解题中，如果我们能经常地、有意识地去；利用图形直观地研究数、式问题，用数、式对图形的性质进行更为丰富、精确、深刻地探讨，将对提高我们的数学素质、发展分析问题一、解决问题的能力，培养我们的数学形象思维是大有裨益的。

在这里，我们的数形结合思想中的形不单纯地指几何中的图形，它更广泛地说，应当是图形、图象及模型。数学的形象思维它至少可以分为四类：直观形象思维、经验形象思维、创新形象思维及意会形象思维。我们在下面的文字里将简单地介绍这四类形象思维，同时以相关例子来看一下数形结合思想与数学形象思维的紧密联系。

1、通过形数结合的直观形，构建直观形象思维

直观形象包括平面几何图形、立体几何图形、函数图象等。直观形象思维属第一层次的几何思维，它常用于研究尚具有直观特点的几何问题，画出文字语言所表示的图形，添加几何证明中的辅助线，把实际问题数学化为几何问题，皆属这个层次的形象思维。

有些数学问题，如方程、不等式的解的讨论，仅局限于数的方面考虑，虽然能解决问题，但过程繁琐，甚至较为困难，但根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数式特征又揭示了几何意义，使数量关系与空间形式巧妙而和谐地结合，构建了问题的直观形象，培养了大家的直观形象思维，同时也使求解的问题简单化了。

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2、数形结合思想积累经验形象思维

一定的“形常对应一定的“式”，解代数题时，抓住式的结构特征，反过来联想与之对应的形，把代数题转化到几何领域，通过研究形的性质而解决。这种由式而产生的图形，也就是经验形象。象握手、比赛问题用连线段求解；行程、工程问题用构建矩形求解；方程问题用函数图象求解，这都是经验形象的作用，这种形象思维第二层次的几何思维，类几何思维是主体把已知和已知类似的经验形象沟通，从而解决代数问题的一种思维。

3、渗透数形结合思想，激发创新形象思维

创新形象就是主体面对一个新的问题情景时，在经验形象基础上想象出来的一种新形象。可以说，煞一看，这个新形象似乎与原问题没有什么很紧密的联系，但细细揣摩、观察，我们就可以发现这个新的形象也反映了问题的相关信息。如对于勾股定理的证明有很多种方法，但我们是否想到为勾股定理中的各个量赋以一定的形之后，根据图形的特点来证明呢？’

创造新形象解决问题的思维属第三层次的创新形象思维，笛卡尔创立解析几何，进行的也就是创新形象思维。

4、数形结合中不可言传的意会形象思维

爱因斯坦在回答阿达玛所准备的一组问题中写到：“无论是在写作的时候，还是在论述的时候，我所使用的单词或语言对于我正在进行的思维活动几乎不起丝毫作用。作为心理元素的思维实体是某

些符号，以及时而清楚时而模糊地意会着………”。阿达玛也说：“在我所从事的全部数学研究中，我都会构作这样的图象，它一定是一幅模糊的东西，有了这个图，我才不会误入歧途。”此处爱因斯坦、阿达玛所说的“意象”、“图象”就是意会形象。意会形象一般不进入人类公认的知识体系，只存在于单个人的大脑中，它是主体个人对数学对象的一种整体把握，模糊、易变，只可意会，不好言传是其主要特点，这种意会形象的思维，属形象思维的最高层次。

以上所述四点是数形结合思想在培养形象思维的简浅体现，当然，通过数形结合培养形象思维这只是培养形象思维的一种方式，它不是唯一的方法，此外，通过直观教学，丰富我们的数学形象，利用类比和联想，丰富我们的想象力，加强模型教学等，这些方法都对促进数学形象思维的形成与发展有很大的帮助。

三、数形结合思想锻炼形象思维的价值

数形结合思想中的“形”的不断构建会无形中培养、激发我们的数学形象思维，勿庸置疑，良好的数学形象思维对我们进行数学的研究和求索，以及开发丰富我们的其他的思维分支都有着积极的作用。

1、数学形象思维有益于解题

“问题是数学的心脏”，教研工作的首要任务就是研究、解决问题，“解题者所做的脑力工作就在于回忆它的经验中用得上的东西”并和它的解答思维联系起来，这是表象——联想——想象的形象思维过程，形象思维能力较强的人，思考问题时各种形象经常浮现眼

前、活跃的脑海里，这有助于搜集有用的信息，激活解题思路，从而有效地解决问题。

2、数学形象思维有益于发展创造性思维

数学形象美而有趣，它不仅有利于激发学生的创造性想象，而且会引导学生主动地实验、研究，从而发现问题、探索问题、解决问题直至深入问题。又由于数学创造性思维往往通过形象、灵感、数学美感等抓住问题的实质，迅速找出问题的突破口，再通过逻辑作出严格的证明，所以对我们的形象思维能力的训练将有益于我们创造性思维的发展。

3、数学形象思维有益于开发右脑潜能

大脑生理学认为，人大脑的两个半球功能不同，左脑主管抽象思维，右脑主管形象思维；右脑的信息量是左脑的100万倍。而有关资料却证明，在数学上的抽象思维是形象思维的几十倍，可见，在数学的学习上，右半脑远远没有得到开发，而其开发潜力又是巨大的，加强形象思维训练就是开发右脑潜能的一个重要途径。

四、数形结合思想与形象思维互相促进

数形结合思想是数学的一种重要思想，正因为它能把数学中抽象的元素通过直观的形象联系并展示出来，在一次次运用这种思想指导我们探求问题的无形之中，也培养、启发了我们的形象思维，可别是数学形象思维，或一维形象、或二维形象、甚至三维形象。反过来，随着人们的数学形象思维的越发活跃、丰富，我们在运用数形结合思想研究抽象的数学问题时，将能寻找到与抽象问题相联