高阶导数的定义,高阶导数求法举例
高阶导数的概念与计算
高阶导数的概念与计算导数是微积分中的一项重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
而高阶导数则是对函数进行多次求导的结果，可以提供更加精确的函数变化信息。
本文将介绍高阶导数的概念，并提供一些计算高阶导数的方法。
一、高阶导数的概念高阶导数是对函数进行多次求导的结果。
通过高阶导数，我们可以获得函数在某一点处的更加精确的变化信息。
一阶导数描述了函数的变化率，而高阶导数则描述了这种变化率的变化率。
二、计算高阶导数的方法计算高阶导数的方法与计算一阶导数类似，可以使用多种方法，如基本定义法和公式法。
下面将介绍其中的几种常用方法。
1. 基本定义法基本定义法是一种直接计算高阶导数的方法。
对于函数f(x)，它的n阶导数可以通过使用基本定义法进行逐步求导来获得。
例如，要计算f(x)的二阶导数，首先计算一阶导数f'(x)，然后再计算f'(x)的一阶导数。
2. 使用公式法除了基本定义法外，还可以使用已知的导数公式来计算高阶导数。
一些常见的导数公式包括幂函数的导数公式、指数函数的导数公式、对数函数的导数公式等。
通过将这些公式应用于函数的表达式，可以直接得到高阶导数的表达式。
3. Leibniz符号法Leibniz符号法是一种使用特殊符号来表示高阶导数的方法。
该方法通过连续使用Leibniz符号表示多次求导。
例如，f(x)的二阶导数可以表示为f''(x)或者d²f(x)/dx²。
三、高阶导数的应用高阶导数在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用：1. 函数的凹凸性通过高阶导数，我们可以判断函数在某一区间内的凹凸性。
若函数的二阶导数在该区间内恒大于零，则函数在该区间内是凸的；若函数的二阶导数在该区间内恒小于零，则函数在该区间内是凹的。
2. 极值点的判定高阶导数可以帮助我们判断函数的极值点。
若函数在某一点的一阶导数为零且二阶导数大于零，则该点为函数的极小值点；若函数在某一点的一阶导数为零且二阶导数小于零，则该点为函数的极大值点。
第三节 高阶导数
例8. 设 y = x ( µ ∈ R ), 求 y 解:
µ
(n)
.
y′ = µ x µ −1 ,
y′′ = ( µ x µ −1 )′ = µ ( µ − 1) x µ − 2 ,
y′′′ = ( µ ( µ − 1) x µ − 2 )′ = µ ( µ − 1)( µ − 2) x µ − 3 , LL
′ ′ v 1 =− 2 v v
− 2x = y′′′ = 2 2 (1 + x )
2( 3 x 2 − 1) = , 2 3 (1 + x )
则 y′′(0) = − 2x (1 + x )
2 2
′
(−2 x )′(1 + x ) − (−2 x )[(1 + x ) ]′
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例11. 设
1
求
2 ′ y= ,即 ( +x )y =1 ′ 解: 1 2 1+x 用莱布尼兹公式求 n 阶导数
( +x ) 1
令 由 由 即 得 得
2
2x
2
y
(2m )
(0 =0 )
( + 得 y 2m 1)(0 =(− )m(2 )!y(0 ) 1 m ′ ) +) y(2m 1 (00, n=2 m )= (n ) y (0 = m ) (m=01 2L ,, , ) m =L (− ) 2 )!y 0 m m) ( 1= m − ) (21!,( n=2′(+1
3 2 3 1 − cos 4 x 5 3 = 1 − sin 2 x = 1 − ⋅ = + cos 4 x , 4 8 8 4 2
2.5高阶导数
二阶导数
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定义 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′( x ) 可导, 即
f ′ ( x + Δ x ) − f ′( x ) lim Δx → 0 Δx
存在，则称 f (x) 在 x 点处二阶可导, 极限值称为 f (x) 的二阶导数， 记作
f ′′( x ), y′′
y ( n ) = a n ea x
x (n) x (e ) = e 特别地 ,
Previous Next 8
注 求 n 阶导数时,求出 1-3 或 4 阶后,不要急于 数学归纳法证明 合并, 分析结果的规律性, 写出 n 阶导数.
(n) y = ln(1 + x ), 求 y . 例 设
( −1)( −2) 1 −1 ， ， y′′ = ， y′′′ = 解 y′ = 3 2 (1 + x ) 1+ x (1 + x )
( n)
=u
(n)
±v
(n)
(2) (c u)( n ) = c u( n )
( n −1)
( n)
= u v + nu
(n)
n( n − 1) ( n− 2) v′ + u v′′ + 2!
n( n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( n − k + 1) u ( n− k )v ( k ) + ⋅⋅⋅ + k!
(1) 1− x y= 1+ x
2 n! (n) n ∴ y = 2( −1) 解 ∵ y = −1 + ( x + 1)n+1 x+1
(2)
1 解 ∵ y = −x − x −1+ 1− x 1 (n) n! (n) n . ∴ y = −( ) = ( −1)( −1) n+1 ( x − 1) x −1 n! . = n +1 (1 − x ) Previous Next 16
第三节 高阶导数
例3. 求函数 解:
的n 阶导数.
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结束
练习
x3 1. 求函数 y 的 n 阶导数. 1 x
解:
y
(n)
n! , n3 n1 (1 x )
2 f ( x ) [ f ( x )] , 则当 2. 已知f (x)任意阶可导, 且
n 1 n ! [ f ( x )] n 2 时 f ( x)
当f (x) 的n 阶导数存在时,称 f (x) n阶可导.
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求高阶导数的方法:
1. 逐阶求导;
2. 利用归纳法; 3. 间接法 — 利用已知的高阶导数公式
2 y ln( x 1 x ) 的二阶导数. 例1. 求函数
解:
y
1 x 1 x 1
2
(1
1 2 1 x2
2 x) 1 1 x
2
x 1 x2
1 x
2
x 1 x
2
.
3 x 1 . y (1 x 2 ) 2 . 2 x (1 x 2 )3 2
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结束
例2. 设f (x)和
皆二 阶可导,求
的二 阶
导数.
解:
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结束
y ( y )
或
即
或
d2 y d dy ( ) 2 dx d x dx
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结束
二阶导数的导数称为f (x)的 三阶导数 , n－1阶导数的导数称为f (x) 的n阶导数 , 分别记作
或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
高阶导数
y=(-1)(-2)(1+x)-3 y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4
一般地 可得 y(n)=(-1)(-2) (-n+1)(1+x)-n (1)n 1 (n 1)! (1 x)n
k u (n k )v(k ) (uv)(n) Cn k 0 n
这一公式称为莱布尼茨公式
5. yx 2e2x 求y(20) 解: 设ue2x vx2 则 (u)(k)2ke2x (k1 2 20) v2x v2 (v)(k)0 (k3 4 20) 代入莱布尼茨公式 得
解:
y
(n)
n(n 1)(n 2) 3 2 1 a0 n!a0
y
( n 1 )
0
4. 导出函数积的 n 阶导数公式. (uv)uvuv (uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 类似地可以得到:
根据高阶导数的定义, 求函数的高阶 导数就是将函数逐次求导, 因此, 前面介 绍的导数运算法则与导数基本公式, 仍然 适用于高阶导数的计算． 例1 y=axb 求y 解: ya y0 例2 ssinwt 求s 解: swcoswt sw 2sinwt
第四节 高阶导数
一、高阶导数的概念
二、高阶导数的运算法则
引例：变速直线运动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ速度
加速度 即 a ( s)
即 v s
一、高阶导数
定义. 如果函数 y f (x) 的导函数 y f ( x) 仍是x的可导函数, 就称 y f (x) 的导数为 函数 f ( x) 的二阶导数, 记作 2 2 d y d f (x) y，f (x) ， 2 或 2 dx dx 类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数; 一般地, (n1)阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作 3y 4y ny d d d y y (4) y (n) 或 3 4 n dx dx dx
初等函数的高阶导数公式
初等函数的高阶导数公式在微积分中，初等函数的高阶导数是一个重要的概念和发展的重要方面。
它的研究可以帮助我们更好地理解函数和微积分的本质。
本文将介绍初等函数的高阶导数概念，定义，求解公式，并给出相关实例。
一、对初等函数的高阶导数的定义初等函数的高阶导数指的是求得函数的多次微分的结果，通常可以表示为一系列的积分运算过程，其中每一次的结果都是函数的某一阶导数。
由此可以得出如下定义：初等函数的高阶导数，是指将初等函数进行多次微分，而得到的函数中最高导数的数量。
根据这个定义，可以得出一般性的求解初等函数高阶导数的方法：1.根据题目给定的初等函数，将其求出其一阶（上）导数；2.由于一般情况下，一阶（上）导数等于函数本身，故可以将原函数代入其一阶（上）导数的表达式，并进行积分，求出其二阶（上）导数；3.再将二阶（上）导数的表达式中的原函数代入其一阶（上）导数的表达式，并进行积分，求出其三阶（上）导数；4.以此类推，直至到达求解题目要求的高阶导数为止。
二、初等函数的高阶导数求解公式一般情况下，初等函数的高阶导数求解公式可表达为：f^(n)(x)=a_n*f^n(x)+a_n-1*f^n-1(x)+a_n-2*f^n-2(x)+...+a1*f’(x)+a0*f(x)其中，n表示高阶导数的阶数，a_n表示每一阶导数的系数，f^n(x)表示函数的n阶导数，f’(x)表示函数的一阶导数，f(x)表示函数本身。
三、初等函数的高阶导数求解实例以下给出一个实例，使用初等函数的高阶导数求解公式求解三阶导数：求f(x)=x^3-1的三阶导数解：根据定义，高阶导数求解公式可表示为：f^(3)(x)=a_3*f^3(x)+a_2*f^2(x)+a_1*f′(x)+a_0*f(x)由于f(x)=x^3-1，则f^3(x)=6x，f^2(x)=6，f′(x)=3x^2，f(x)=x^3-1将以上结果代入，有：f^(3)(x)=6a_3*x+6a_2+3a_1*x^2+a_0*x^3-a_0解得a_3=1，a_2=0，a_1=0，a_0=1因此，f^(3)(x)=6x+x^3-1四、总结本文介绍了初等函数的高阶导数概念，定义，求解公式，并给出了相关实例。
高阶导数
①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,
高阶导数及其计算方法
高阶导数及其计算方法高阶导数是微积分中的重要概念，它描述了一个函数变化的速度随着自变量改变的趋势。
本文将介绍高阶导数的概念、性质以及几种常见的计算方法。
一、高阶导数的概念高阶导数指的是对一个函数进行多次求导得到的导数。
设函数f(x)在某一区间内可导，则f(x)的n阶导数可以记为f^{(n)}(x)。
其中，f^{(n)}(x)表示对f(x)进行n次求导后得到的导数。
二、高阶导数的性质1. 若函数f(x)的各阶导数存在，那么其高阶导数也存在。
2. 高阶导数的计算公式可以通过对原函数的导数逐次求导得到。
3. 高阶导数具有运算法则，如导数的和、差、乘积、商的法则，可以方便地计算。
三、高阶导数的计算方法1. 基本法则根据基本导数法则，可以通过对函数进行逐次求导来计算高阶导数。
例如，对于函数f(x)，其二阶导数可表示为f''(x)或d^2f(x)/dx^2，可以通过对f'(x)进行求导得到。
2. 递推关系对于一些特定的函数，可以通过递推关系来计算其高阶导数。
例如，函数f(x)=x^n的n阶导数可表示为f^{(n)}(x)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)x^{n-k}，其中k为小于等于n的正整数。
3. 泰勒级数展开泰勒级数是一种将一个函数表示为无穷项多项式求和的表达形式。
通过对函数进行泰勒级数展开，可以计算出其各阶导数。
这种方法在数值计算中常被使用，特别是对于复杂函数而言。
四、实际应用高阶导数在科学、工程和经济等领域具有广泛的应用。
在物理学中，高阶导数可以描述物体的加速度、速度和位移之间的关系。
在工程学中，高阶导数可以用于求解最优控制问题。
在金融学中，高阶导数可以应用于期权定价和风险管理等领域。
总结：高阶导数是描述函数变化速度的重要工具，它具有计算简单、适用广泛的特点。
通过基本法则、递推关系和泰勒级数展开等方法，可以计算高阶导数。
高阶导数在许多领域具有广泛的实际应用。
高数(上)第二章第三节高阶导数
f '"( x ) 2 3[ f ( x )]2 f '( x ) 3![ f ( x )]4 ,
故 f ( n) ( x ) n![ f ( x )]n1
已知 f ( x ) 存在，且 f ( x ) 0, y ln[ f ( x )],
d2 y 求 . 2 dx
v ' 2 x , v '' 2 , v ( n) 0(n 3)
由莱布尼兹公式
0 (10) (0) 1 (9) ' 2 (8) '' y (10) C10 u v C10 u v C10 u v 10 9 2 x sin( x 10 ) 10 2 x sin( x 9 ) 2 sin( x 8 ) 2 2 2 2
同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为
y, f ( x ), d3 y , 3 dx d3 f dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数.记为
y
(4)
,
f
(4)
( x ),
d4 y , 4 dx
d4 f dx 4
f ( x x ) f ( x ) 即 f ( x ) lim x 0 x
( n)
= (-1)
n-1
( n 1)! xn
1 ( n) n n! ( ) = (-1) n1 x x
( n 1)! (6) (ln （ 1 x ） ) (-1) n （ 1 x ）
( n) n-1
1 ( n) n! n ( ) = (-1) n1 1 x （1 x）
1 ( n) n! ( ) = n 1 1 x （1 x）
3-4高阶导数
9/20
三. 隐函数与参数方程的二 阶导数
2 sin( ) = 0 确定的 xy − π y 例6 设 y = y( x )是由方程
隐函数，求 y′ x = 0 , y′′ x = 0 。 解 等式两端对 x 求导得 y + xy′ − cos(π y 2 ) ⋅ 2π yy′ = 0
y′ x = 0 当 x = 0 , y = 1时，
代人方程得
dz 2 d 2z z) 4 dz 2 2 2 sec z tan z ( ) + sec z 2 = 2 + 2(1 + tan sec z ⋅ ( ) 2 dx 1 + tan z dx dx 化简得 d 2z dz 2 2 2 ( ) 2 cos − = z. 2 dx dx
2
一个是改变自变量变换 注意 比较上述两个例子，前
n( n − 1) ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) + u v + + uv ( n ) k! = ∑C u
k =0 k n n ( n− k )
v
(k )
——莱布尼兹公式
用归纳法证明
16/20
例10 设 y = x e , 求y
2 2x
( 20 )
.
1 20 2 x ( 19 )
解（设 u = e ，v = x ，则）由莱布尼兹公式 知
2x 2
y
( 20 )
= C (e )
0 20 3 20
2 x ( 20 )
⋅ x + C (e )
2
⋅ ( x )′
2
+ C (e )
2 x ( 18 )
高等数学 第二章 极限和导数2-12高阶导数
(2) 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′(x) 在区间 b) 在区间(a, 上可导, 上可导 则称 记作 或 的导数为 f (x)的二阶导 函)数 , 二阶导(函 数 d2 y d dy ( ) = 即 y′′ = ( y′)′ 或 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , n −1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
三、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数 为常数) 为常数
n(n −1) 2! n(n −1)L n − k + 1) ( +L+ k!
(u(0) = u， (0) = v) v
—— 莱布尼茨 莱布尼茨(Leibniz) 公式
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′′= (u′v + uv′)′ = u′′v +2 u′v′+ uv′′
(n) n)
= sin( x + n⋅ π );
2
n) (cos x)(n) = cos( x + n⋅ π ) 2
(a )
x (n)
= a ln a;
x n
4. 利用莱布尼兹公式 5. 求由参数方程确定的函数的高阶导数时 从 求由参数方程确定的函数的高阶导数时, 低到高每次都用参数方程求导公式. 低到高每次都用参数方程求导公式
1 (n) n! ( ) = 其中a为常数 其中 为常数) n+1 (其中 为常数 a− x (a − x)
3. 利用已知高阶导数法 常用高阶导数公式： 常用高阶导数公式：
(e x )(n) = ex (1) (ax )(n) = ax ⋅ lnn a (a > 0) π (n) n (2) (sin kx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π (n) n (3) (cos kx) = k cos(kx + n⋅ ) 2 (4) ( xα )(n) = α(α −1)L α − n+1)xα−n (
2-4(高阶导数)
2( 3 x 1)
2
(1 x )
2
3 x0
2.
二、求高阶导数的几种方法
1. 一般函数导数求法
一般函数求高阶导数：逐阶求导即可.
例 解 ya
x x
y a ln a, y a ln a
x 2
2.抽象函数高阶导数求法
例 若f ( x )存在二阶导数，求函数 y f (ln x )的 二阶导数
解
y f (ln x )(ln x )
f (ln x ) y x
2
f (ln x ) x
1 x x .
2
,
f (ln x )
x f (ln x ) 1
f (ln x ) f (ln x ) x
• 注意抽象复合函数高阶导数求法
练习
若函数y f (sin x )存在二阶导数，求 y.
答案
y cos
2
x f (sin x ) sin x f (sin x )
3.隐函数二阶导数求法
方法1、由一阶导数的表达式求二阶导数.
方法2、在求导后的方程两边继续求导， 并将一阶导数代入；
n1
( n 1 )! x
n
1 x
( 1)
n
n! x
n1
例 y sin 4 x cos 4 x , 求 y ( n ) . 解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
y sin
4
x cos
2
4
x
2
(sin
x cos
2
d ( cot t ) d y dx
高等数学2-3高阶导数隐函数求导
解
利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得 cos y y 1 e y x e y y 0
解出 y , 得
ey y cos y xe y
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的 求导变得更为简单. 方 法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
一、高阶导数的定义
高阶导数也是由实 际需要而引入的.
问题:变速直线运动的加速度. 设 s s(t ),则瞬时速度为 v(t ) s(t )
t的变化率 加速度 a是 速度v对时间
a( t ) v ( t ) [ s( t )]' 这就是二阶导数的物理意义
将f ( x )的导数称为 f ( x )的 二阶导数.
4
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y y 3 3 y3 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
例 设 y x sin x ( x 0), 求y. 解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x 上式两边对x求导得 1 1 y cos x ln x sin x y x 1 y y(cos x ln x sin x ) x
x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 y ( t ) 确定 y与x的 函数关系 称此为由参数方程所确定的函数. x x 2t , t 如 消去参数 t 2 2 y t , 2 2 1 x x 2 y x yt 2 2 4
高阶导数
高阶导数一、高阶导数的定义：定义 若函数)(x f 的导函数)('x f 在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x 二阶可导，并称)('x f 在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，22x x dxy d =，…，即：.)()(lim)()(lim)(00''0'0'220''0x x x f x f xx f x x f dxdy x f x x x x x --=∆-∆+==→→∆=一般的，若函数)(x f 的1-n 阶导函数)()1(x f n -在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x n 阶可导，并称)()1(x fn -在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的n 阶导数，记作)(0)(x fn ，x x nndxy d =，…，即：.)()(lim)()(lim)(00)1()1(0)1(0)'1(00)(0x x x fx fxx fx x fdxdy x fn n x x n n x x x nn n --=∆-∆+==--→--→∆=二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，以前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数)(x f 在区间I 上每一点都可导，即I x ∈∀0，有)(x f 在点0x 的唯一n 阶导数与其对应，这样建立了一个函数，称为)(x f 在I 上的n 阶导函数，简称为)(x f 在I 上的n 阶导数，记作： ,),()(nn n dxdy x f 。
二、高阶导数的计算：函数n 阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法则n 次即可。
除此之外我们再介绍两个计算函数n 阶导数的计算公式。
1．)()()(][n n n vuv u ±=±。
2．设uv y =，则'''uv v u y +=；()'''''''''''2uv v u v u uv v u y ++=+=；()''''''''''''''''''''''332uv v u v u v u uv v u v u y +++=++=；依此类推，我们可由数学归纳法证得如下莱布尼茨公式（结果与二项式()nv u +展开式极为相似）：+++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(vuC vuC vuuv n n n n n n )()()1()1(1)()(n o n n n k k n k n vuvuC vuC ++++---∑=-=NK k k n knvu C)()(，其中u u=)0(，v v=)0(。
高阶导数的运算法则
(1) y 1 x 1 x
(3)
y
x2
1 3x
2
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
1 x
解:
1
解: (x 2)(x 1)
(x 1) (x 2) (x 2)(x 1)
1 1 x 2 x 1
y(n)
n! (1 x)n1
,
n3
y(n)
(1)n
n!
(x
1 2)n1
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
x
n
2
)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例7. 设 f (x) 3x3 x2 x , 求使 f (n) (0) 存在的最高
阶数 2
分析:
f
(x)
4x3, 2x3,
x0 x0
f (0)
lim
x 0
例5. 设
求
解:
y 1 , 1 x
y
1 (1 x)2
,
y
(1)2
1 (1
2 x)3
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
山东农业大学
例6. 设
高等数学
求
主讲人： 苏本堂
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2
)
sin(x
微积分10-高阶导数
,cos )(sin x x ='例,sin )(cos x x -='. sin 连续求两次导数的结果是x , sin 记为的二阶导数称为函数x x x x x sin )(cos ))((sin )(sin -='=''='' )( )( ,仍然的导函数如果函数一般说来x f x f '的二的导数为原来函数则称可导 )( )( ,x f x f '.))(()( ,''=''x f x f 记为阶导数一. 高阶导数的概念一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连续. 如果函数f ( x) 在区间 I 上有直到n 阶的导数f (n)(x) , 且f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于n 阶的导数均连续 ), 则称f (x) 在区间 I 上n 阶连续可导, 记为如果f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续, 则称函数f (x) 是无穷次连续可导的, 记为1)(-='='n nxn x y 21)1()()(---='=''=''n n xn n xn y y 3)2()1()(---='''='''n xn n n y y …………………………kn k k xk n n n n yy--+---='=)1()2()1()()1()( ., 的高阶导数求幂函数+∈=Z n x y n )1(n k ≤≤解例1注意, 当 k = n 时!123)2()1()()(n n n n x n n =⋅⋅--= 综上所述：.0)( , 1 ,)(=+≥k n x n k 时当从而kn k n xk n n n x -+--=)1()1()()( )1(n k ≤≤0)()(=k n x )1(+≥n k)()())((k n k b ax y+=,1 时当n k ≤≤kkn ab ax k n n n ⋅++--=-))(1()1(, 1 时当+≥n k 0)(=k y解例2.)( 的高阶导数求nb ax y +=多项式的高阶导数.nn n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( 231202)2)(1()1(''---++--+-=n n n a x n n a x n n a y ………………!0)(n a yn ⋅=解12110)1('---++-+=n n n a xn a nxa y 例3)2()1(===++ n n yy对多项式而言,每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的n 阶导数为一常数 ;大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .求 y = e x 的各阶导数.解xey =' y = e x 的任何阶导数仍为 e xxn x ee =)()()(N n ∈xxee y y ='=''='')()(xn ey=)(例4求 y = a x 的各阶导数.解aa y xln '=运用数学归纳法可得)( )(ln )()(+∈=Z n a a a n x n x 2)(ln )ln ()(''a a a a y y x x ='=''=kx k a a y)(ln )(=例511)1()()!1()1(---+---=k k k xk k y)1(1)1(!]1)1[()1(+--+-+-=k k xk )( )!1()1()(ln 1)(N n x n x y nn n n ∈--==--类似地, 有)( )()!1()1())(ln(1)(N n b ax a n b ax nn n n ∈+--=+--则故由数学归纳法得.1的高阶导数求xy =解)(ln 1'==x xy )1()()()(ln ))((ln +='=∴n n n x x y)1(1)1(!]1)1[()1(+--+-+-=n n xn )1(!)1(+--=n n xn 注意这里的方法例7解x y cos ='x y sin -=''x y cos -='''x ysin )4(=.cos , sin 的各阶导数求x y x y ==xy sin = 看出结论没有)24sin(π⋅+=x )23sin(π⋅+=x )22sin(π⋅+=x )21sin(π⋅+=x 例8运用数学归纳法可以证得)( )2sin()(sin )(+∈⋅+=Z n n x x n π类似地 , 可求得)( )2cos()cos ()(+∈⋅+=Z n n x x n π)sin (cos sin 2sin x ex ey xx-+='')sin (cos 2sin x x ex-=. ,sin y e y x''=求解xey xcos sin ='二阶导数经常遇到, 一定要掌握.例10。
2[2][1].5_高阶导数
![2[2][1].5_高阶导数](https://img.taocdn.com/s3/m/cfc42bc658f5f61fb7366635.png)
.
dy′′ dx y 3 2 d ′ dx ⋅ ( y′) − y′′ ⋅ 3( y′) ⋅ 2 d x dx dy dx dy =− 2 dy ( y′)6 y′′′ ⋅ ( y′)2 −( y′′)2 ⋅ 3y′ 3( y′′)2 − y′y′′′ =− = 6 ( y′) ( y′)5
四、验证函数 满足关系式
n( n − 1) L ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) (n) u v + L + uv + k!
k = ∑ C n u ( n− k ) v ( k ) k =0 n
(莱布尼兹公式 莱布尼兹公式) 莱布尼兹公式
例. 设 y = x2e2x , 求 (20) . y 解: 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
2. 高阶导数的运算法则:
设函数 u和v具有n阶导数 , 则
(1) ( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) ( 2) (Cu) ( n ) = Cu ( n )
( 3) ( u ⋅ v )
(n)
= u v + nu
(n)
( n −1 )
n( n − 1) ( n− 2 ) v′ + u v ′′ 2!
2.5 高阶导数
一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 问题:变速直线运动的加速度
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
果 数 导 f 点 可 , 定义: 如 函 f (x)的 数 ′(x)在 x处 导即 定义
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2x 2( 3 x 2 1) y ′′′ = ( )′ = 2 2 (1 + x ) (1 + x 2 ) 3 2x ′′(0) = ∴f (1 + x 2 ) 2
x=0
2( 3 x 2 1) = 0; f ′′′(0) = (1 + x 2 ) 3
x=0
= 2.
例2
设 y = x (α ∈ R ), 求y
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x )的n阶导数, 记作
d n y d n f ( x) f ( n ) ( x ), y ( n ) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
相应地 , f ( x )称为零阶导数 ; f ′( x )称为一阶导数 .
若 α 为自然数 n, 则
y
(n)
= ( x ) = n! ,
n (n)
y
( n + 1)
= ( n! )′ = 0.
注意: 阶导数时,求出 阶后,不要急于合并 阶导数时 求出1-3或 阶后 不要急于合并, 注意:求n阶导数时 求出 或4阶后 不要急于合并 分析结果的规律性,写出 阶导数.(数学归纳法证明 分析结果的规律性 写出n阶导数 数学归纳法证明) 写出 阶导数 数学归纳法证明 例3 设 y = ln(1 + x ), 求y ( n ) . 1 1 y ′′ = 解 y′ = 1+ x (1 + x ) 2
练 习 题
一、填空题： 填空题： sin t 1 、设 y = t 则 y ′′ =_________. e 2 、设 y = tan x ,则 y ′′ =_________. 3 、设 y = (1 + x 2 ) arctan x ，则 y ′′ =________. x2 4 、设 y = xe ,则 y ′′ =_________. 存在， _________. 5 、设 y = f ( x 2 ) , f ′′( x ) 存在，则 y ′′ =_________. 6 、设 f ( x ) = ( x + 10) 6 ,则 f ′′′( 2) =_________. 7 、设 x n + a1 x n1 + a 2 x n 2 + … + a n1 x + a n 都是常数) ___________. ( a1 , a 2 , … , a n 都是常数)，则 y ( n ) =___________. 8、设 f ( x ) = x ( x 1)( x 2)…( x n) , + 则 f ( n+1) ( x ) =____________.
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 直接法
例1 设 y = arctan x , 求f ′′(0), f ′′′(0). 解
y′ = 1 1+ x2 y ′′ = ( 1 2x ′ = ) 2 1+ x (1 + x 2 ) 2
二、求下列函数的二阶导数： 求下列函数的二阶导数： 2x3 + x + 4 1、 y = ； x 2 、 y = cos 2 x ln x ； 3 、 y = ln( x + 1 + x 2 ) . dx 1 导出： 三、试从 = ，导出： dy y ′ d2x y ′′ 1、 2 = ； 3 dy ( y ′) d 3 x 3( y ′′ ) 2 y ′ y ′′′ 2、 3 = . 6 dy ( y ′) 是常数） 五、验证函数 y = c 1 e λx + c 2 e λx (λ ,c1 ,c 2 是常数） 满足关系式 y ′′ λ 2 y = 0 .
六 、求下列函数的 n 阶导数： 阶导数： 1、 1 、 y = e x cos x ； 1 x 2、 y = ； 1+ x x3 3、 y = 2 ; x 3x + 2 4 、 y = sin x sin 2 x sin 3 x .
练习题答案
一、1、 2e t cos t ； 2、 2、2 sec 2 x tan x ；
1.直接法 直接法; 直接法 2.间接法 间接法. 间接法
思考题
g′( x ) 连续，且 f ( x ) = ( x a )2 g ( x ) ， 连续， 设
求 f ′′(a ) .
思考题解答
∵ g ( x ) 可导
′( x ) = 2( x a ) g ( x ) + ( x a )2 g′( x ) ∴f
ax 2 2
y ′′ = a 2 + b 2 [ae ax sin( bx + ) + be ax cos( bx + )] = a 2 + b 2 e ax a 2 + b 2 sin( bx + 2 )
y
(n) 2ຫໍສະໝຸດ = ( a + b ) e sin( bx + n )
ax
n 2 2
b ( = arctan ) a
例8 设 y = sin 6 x + cos 6 x , 求y ( n ) .
2 3 2 3 解 y = (sin x ) + (cos x )
= (sin x + cos x )(sin x sin x cos x + cos x )
2 2 4 2 2 4
= (sin 2 x + cos 2 x ) 2 3 sin 2 x cos 2 x
α
( n)
.
解 y ′ = αx α 1
y ′′ = (αx α 1 )′ = α(α 1) x α 2 y ′′′ = (α(α 1) x α 2 )′ = α(α 1)(α 2) x α 3
y ( n ) = α( α 1) ( α n + 1) x α n ( n ≥ 1)
2! y ′′′ = (1 + x ) 3 y
(4)
3! = (1 + x ) 4
(n) n 1 ( n 1)! y = ( 1) (1 + x ) n
( n ≥ 1, 0! = 1)
例4
设 y = sin x , 求y (n ) . ′ = cos x = sin( x + π ) 解 y 2 π π π π ′′ = cos( x + ) = sin( x + + ) = sin( x + 2 ) y 2 2 2 2 π y ′′′ = cos( x + 2 ) = sin( x + 3 π ) 2 2 π (n) y = sin( x + n ) 2 π (n) 同理可得 (cos x ) = cos( x + n ) 2
例5 设 y = e ax sin bx (a , b为常数 ), 求y ( n ) . 解
y ′ = ae ax sin bx + be ax cos bx = e ax (a sin bx + b cos bx )
b = e a + b sin( bx + ) ( = arctan ) a
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 3.间接法:利用已知的高阶导数公式 通过四则 间接法
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数 阶导数. 运算 变量代换等方法 求出 阶导数 常用高阶导数公式
(1) ( a )
x (n)
= a ln a (a > 0)
x n
( n) n
(e )
x ( n)
=e
x
n( n 1) ( n k + 1) ( n k ) ( k ) (n) u v + + uv + k! = ∑C u
k =0 k n n ( n k )
v
(k )
莱布尼兹公式
例6
设 y = x e , 求y
2 2x 2x 2
( 20 )
.
2x ( 19 ) 2
解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
2x x2 3、 4、 3、 2 arctan x + ； 4、 2 xe ( 3 + 2 x 2 ) ； 2 1+ x 5、 6、207360； 5、 2 f ′( x 2 ) + 4 x 2 f ′′( x 2 ) ； 6、207360； 8、 7、 8、( n + 1)!. 7、 n ! ； 5 3 2 二、1、4 + x + 8 x 3 ； 4 2 sin 2 x cos 2 x 2、 2 cos 2 x ln x ； 2 x x x 3、 . 3 (1 + x 2 ) 2
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, 二阶导数的导数称为三阶导数 f ′′′( x ), y ′′′, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数 f ( x ), y , . 4 dx
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ′′( x ), y ′′, 2 或 2 dx dx
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
∵ 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
定义 如果函数f ( x )的导数f ′( x )在点x处可导, 即 f ′( x + x ) f ′ ( x ) ( f ′( x ))′ = lim x → 0 x 存在, 则称( f ′( x ))′为函数f ( x )在点x处的二阶导数.