高阶导数的定义,高阶导数求法举例

y
( 20 )
= (e ) x + 20(e ) ( x )′ 20( 20 1) 2 x (18 ) (e ) ( x 2 )′′ + 0 + 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e x + 20 2 e 2 x
2x ( 20 ) 2
20 19 18 2 x 2 e 2 + 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
3 2 3 1 cos 4 x = 1 sin 2 x= 1 4 4 2 5 3 = + cos 4 x 8 8 3 n π (n) ∴ y = 4 cos(4 x + n ). 8 2
三、小结
高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的定义及物理意义 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式 高阶导数的运算法则 莱布尼兹公式); 莱布尼兹公式 n阶导数的求法 阶导数的求法; 阶导数的求法
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, 二阶导数的导数称为三阶导数 f ′′′( x ), y ′′′, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数 f ( x ), y , . 4 dx
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ′′( x ), y ′′, 2 或 2 dx dx
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 直接法
例1 设 y = arctan x , 求f ′′(0), f ′′′(0). 解
y′ = 1 1+ x2 y ′′ = ( 1 2x ′ = ) 2 1+ x (1 + x 2 ) 2
六、1、( 2 ) e cos( x + n ) ； 4 2 n! n 2、 2、( 1) ； n+1 (1 + x ) 8 1 n 3、 ], ( n ≥ 2) ； 3、( 1) n![ n+1 n+1 ( x 2) ( x 1) 1 n nπ ) 4、 [2 sin( 2 x + 4 2 nπ nπ n n ) 6 sin( 6 x + )]. + 4 sin( 4 x + 2 2
例5 设 y = e ax sin bx (a , b为常数 ), 求y ( n ) . 解
y ′ = ae ax sin bx + be ax cos bx = e ax (a sin bx + b cos bx )
b = e a + b sin( bx + ) ( = arctan ) a
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 3.间接法:利用已知的高阶导数公式 通过四则 间接法
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数 阶导数. 运算 变量代换等方法 求出 阶导数 常用高阶导数公式
(1) ( a )
x (n)
= a ln a (a > 0)
x n
( n) n
(e )
x ( n)
=e
x
α
( n)
.
解 y ′ = αx α 1
y ′′ = (αx α 1 )′ = α(α 1) x α 2 y ′′′ = (α(α 1) x α 2 )′ = α(α 1)(α 2) x α 3
y ( n ) = α( α 1) ( α n + 1) x α n ( n ≥ 1)
2x x2 3、 4、 3、 2 arctan x + ； 4、 2 xe ( 3 + 2 x 2 ) ； 2 1+ x 5、 6、207360； 5、 2 f ′( x 2 ) + 4 x 2 f ′′( x 2 ) ； 6、207360； 8、 7、 8、( n + 1)!. 7、 n ! ； 5 3 2 二、1、4 + x + 8 x 3 ； 4 2 sin 2 x cos 2 x 2、 2 cos 2 x ln x ； 2 x x x 3、 . 3 (1 + x 2 ) 2
∵ g ′′( x ) 不一定存在
故用定义求 f ′′(a )
f ′( x ) f ′( a ) f ′′(a ) = lim f ′( a ) = 0 x →a xa f ′( x ) = lim = lim[2 g ( x ) + ( x a ) g′( x )] = 2 g ( a ) x →a x a x→a
例8 设 y = sin 6 x + cos 6 x , 求y ( n ) .
2 3 2 3 解 y = (sin x ) + (cos x )
= (sin x + cos x )(sin x sin x cos x + cos x )
2 2 4 2 2 4
= (sin 2 x + cos 2 x ) 2 3 sin 2 x cos 2 x
若 α 为自然数 n, 则
y
(n)
= ( x ) = n! ,
n (n)
y
பைடு நூலகம்
( n + 1)
= ( n! )′ = 0.
注意: 阶导数时,求出 阶后,不要急于合并 阶导数时 求出1-3或 阶后 不要急于合并, 注意:求n阶导数时 求出 或4阶后 不要急于合并 分析结果的规律性,写出 阶导数.(数学归纳法证明 分析结果的规律性 写出n阶导数 数学归纳法证明) 写出 阶导数 数学归纳法证明 例3 设 y = ln(1 + x ), 求y ( n ) . 1 1 y ′′ = 解 y′ = 1+ x (1 + x ) 2
2. 高阶导数的运算法则 高阶导数的运算法则:
设函数 u和v具有n阶导数 , 则
(1) ( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) ( 2) (Cu) ( n ) = Cu ( n )
( 3) ( u v )
(n)
= u v + nu
(n)
( n 1 )
n(n 1) ( n 2 ) (n u v ′′ v′ + 2!
练 习 题
一、填空题： 填空题： sin t 1 、设 y = t 则 y ′′ =_________. e 2 、设 y = tan x ,则 y ′′ =_________. 3 、设 y = (1 + x 2 ) arctan x ，则 y ′′ =________. x2 4 、设 y = xe ,则 y ′′ =_________. 存在， _________. 5 、设 y = f ( x 2 ) , f ′′( x ) 存在，则 y ′′ =_________. 6 、设 f ( x ) = ( x + 10) 6 ,则 f ′′′( 2) =_________. 7 、设 x n + a1 x n1 + a 2 x n 2 + … + a n1 x + a n 都是常数) ___________. ( a1 , a 2 , … , a n 都是常数)，则 y ( n ) =___________. 8、设 f ( x ) = x ( x 1)( x 2)…( x n) , + 则 f ( n+1) ( x ) =____________.
( n 1)! xn
1 (n) n n! ( ) = ( 1) n + 1 x x
1 (5) , 求y . 2 x 1 1 1 1 1 解∵y= 2 ) = ( x 1 2 x 1 x +1
例7 设 y =
∴y
(5)
1 5! 5! ] = [ 6 6 2 ( x 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ 6 6 ( x + 1) ( x 1)
二、求下列函数的二阶导数： 求下列函数的二阶导数： 2x3 + x + 4 1、 y = ； x 2 、 y = cos 2 x ln x ； 3 、 y = ln( x + 1 + x 2 ) . dx 1 导出： 三、试从 = ，导出： dy y ′ d2x y ′′ 1、 2 = ； 3 dy ( y ′) d 3 x 3( y ′′ ) 2 y ′ y ′′′ 2、 3 = . 6 dy ( y ′) 是常数） 五、验证函数 y = c 1 e λx + c 2 e λx (λ ,c1 ,c 2 是常数） 满足关系式 y ′′ λ 2 y = 0 .
2! y ′′′ = (1 + x ) 3 y
(4)
3! = (1 + x ) 4
(n) n 1 ( n 1)! y = ( 1) (1 + x ) n
( n ≥ 1, 0! = 1)
例4
设 y = sin x , 求y (n ) . ′ = cos x = sin( x + π ) 解 y 2 π π π π ′′ = cos( x + ) = sin( x + + ) = sin( x + 2 ) y 2 2 2 2 π y ′′′ = cos( x + 2 ) = sin( x + 3 π ) 2 2 π (n) y = sin( x + n ) 2 π (n) 同理可得 (cos x ) = cos( x + n ) 2
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x )的n阶导数, 记作
d n y d n f ( x) f ( n ) ( x ), y ( n ) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
相应地 , f ( x )称为零阶导数 ; f ′( x )称为一阶导数 .
π ( 2) (sin kx ) = k sin( kx + n ) 2 π ( n) n ( 3) (cos kx ) = k cos( kx + n ) 2
(4) ( x α ) ( n ) = α(α 1) (α n + 1) x α n
(n)
(5) (ln x )
= ( 1)
n 1
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
∵ 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
定义 如果函数f ( x )的导数f ′( x )在点x处可导, 即 f ′( x + x ) f ′ ( x ) ( f ′( x ))′ = lim x → 0 x 存在, 则称( f ′( x ))′为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
ax 2 2
y ′′ = a 2 + b 2 [ae ax sin( bx + ) + be ax cos( bx + )] = a 2 + b 2 e ax a 2 + b 2 sin( bx + 2 )
y
(n) 2
= ( a + b ) e sin( bx + n )
ax
n 2 2
b ( = arctan ) a
六 、求下列函数的 n 阶导数： 阶导数： 1、 1 、 y = e x cos x ； 1 x 2、 y = ； 1+ x x3 3、 y = 2 ; x 3x + 2 4 、 y = sin x sin 2 x sin 3 x .
练习题答案
一、1、 2e t cos t ； 2、 2、2 sec 2 x tan x ；
n( n 1) ( n k + 1) ( n k ) ( k ) (n) u v + + uv + k! = ∑C u
k =0 k n n ( n k )
v
(k )
莱布尼兹公式
例6
设 y = x e , 求y
2 2x 2x 2
( 20 )
.
2x ( 19 ) 2
解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
2x 2( 3 x 2 1) y ′′′ = ( )′ = 2 2 (1 + x ) (1 + x 2 ) 3 2x ′′(0) = ∴f (1 + x 2 ) 2
x=0
2( 3 x 2 1) = 0; f ′′′(0) = (1 + x 2 ) 3
x=0
= 2.
例2
设 y = x (α ∈ R ), 求y
1.直接法 直接法; 直接法 2.间接法 间接法. 间接法
思考题
g′( x ) 连续，且 f ( x ) = ( x a )2 g ( x ) ， 连续， 设
求 f ′′(a ) .
思考题解答
∵ g ( x ) 可导
′( x ) = 2( x a ) g ( x ) + ( x a )2 g′( x ) ∴f