高阶导数的运算法则

例5. 设
求
解:
y 1 , 1 x
y
1 (1 x)2
,
y
(1)2
1 (1
2 x)3
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
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例6. 设
高等数学
求
主讲人： 苏本堂
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2
)
sin(x
2
2
)
sin(x
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
x
n
2
)
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主讲人： 苏本堂
例7. 设 f (x) 3x3 x2 x , 求使 f (n) (0) 存在的最高
阶数 2
分析:
f
(x)
4x3, 2x3,
x0 x0
f (0)
lim
x 0
用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
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主讲人： 苏本堂
例8.
求
解: 设 u e2x , v x2, 则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 , , 20 )
v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 , , 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
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主讲人： 苏本堂
§2.3 高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度
即 v s
加速度
即
a (s)
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定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导, 则称
主讲人： 苏本堂
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
n(n 1) (n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
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主讲人： 苏本堂
(uv) uv uv (uv) (uv uv) uv 2 uv uv (uv) uv 3uv 3uv uv
例1 证明 函数 y 2x x2 满足关系式 y3 y10
证明 因为 y 22x 1 x 2 2x x2 2x x2
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
2x3 0 x
0
f (0)
lim
x0
4x3 0 x
0
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)
lim
x0
6
x x
2
0
f
(0)
lim
x0
12x x
2
0
f
( x)
24x 12x
, ,
x0 x0
但是 f(0) 12 , f(0) 24 , f (0) 不存在 .
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二、高阶导数的运算法则
2!
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高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
1
x
(n)
(1)n
(a
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
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例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?
1
3
(2x x2)2
1 y3
所以y 3y10
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Biblioteka Baidu例2. 设
存在，求下列函数的二阶导数
（1） y f (ex ); （2） y e f (x).
解:（1） dy f (ex )(ex ) f (ex )ex dx
d 2 y [ f (ex )]ex f (ex )(ex ) f (ex )(ex )ex f (ex )ex dx2
f (ex )e2x f (ex )ex
（2） dy e f (x) f (x)
dx
d 2 y e f (x)[ f (x)]2 e f (x) f (x)
dx2
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例3. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
(x
1 1)n1
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作业：p-103 习题2-3 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (1) ; 5, 10 (2) , (3) ; 11 (2) , (3)
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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主讲人： 苏本堂
y(y) f (x)[f (x)]
d 2 y d (dy) dx2 dx dx
(1) y 1 x 1 x
(3)
y
x2
1 3x
2
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
1 x
解:
1
解: (x 2)(x 1)
(x 1) (x 2) (x 2)(x 1)
1 1 x 2 x 1
y(n)
n! (1 x)n1
,
n3
y(n)
(1)n
n!
(x
1 2)n1
依次类推 , 可得
y(n) n!an
思考: 设 y x ( 为任意常数), 问
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例4. 设 y eax , 求 y(n).
主讲人： 苏本堂
解: y aeax , y a2 eax , y a3eax , ,
y(n) aneax 特别有: (ex )(n) e x