高阶导数的运算法则
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一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
高阶导数的运算法则
v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
Байду номын сангаас
1
x
(n)
(1)n
(a
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
1
3
(2x x2)2
1 y3
所以y 3y10
例2. 设
存在，求下列函数的二阶导数
（1） y f (ex ); （2） y e f (x).
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x 1 x
(3)
y
x2
1 3x
2
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
1 x
解:
1 解: (x 2)(x 1)
(x 1) (x 2) (x 2)(x 1)
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 ,
分别记作
或
y(y) f (x)[f (x)]
d2y dx2
d dx
(dy) dx
高阶导数
n
则 y1
(1)(2)(n)(1 x )
Hale Waihona Puke ( n 1)n! (1) (1 x ) n1
n
y1
n
(1)(2)(n)(1 x )
( n 1)
n! (1) (1 x ) n1
n
另：
2 3 2 y ( 1 )( 1 x ) ( 1 ) ， y ( 1 )( 2 )( 1 x ) ( 1 ) ， 2 2
n n 1 n 1 1 y 2 1 x 1 x
其中： y1 (1 x ) 1 则 (1)(1 x ) 2 ， (1)(2)(1 x ) 3 , y1 y1
例 3 设 y＝x μ （x＞ 0， μ为任意实数），求 yn .
解：
y x 1 ， y ( 1) x 2
y ( n ) 1 2 n 1x n
特别： x
n
n
＝n！ （n为自然数）。
例 4 设 f ( x) ＝sin x ，求f
则 y2
n
(1)(2)(n)(1 x )
n
( n 1)
n! (1) n 1 (1 x )
n
y
1 n! n! n (1) n1 n1 2 (1 x ) (1 x )
例 8 设 y＝x2 ＋ 1 ln 1 ＋x ，求 y100 .
解：
令 u＝ln 1 x ，v＝ x 2 1 v＝2 x ， v＝2 ， v n＝ 0 n 3
则利用莱布尼兹公式可 得： 99! 100 98! 100 99 97! 2 y ＝－ 1＋ ＋ 0 ＋ ＋ 0 100 x ＋ 99 2 x－ 98 2 1 x 1 x 2!1 x ＝
则 y1
(1)(2)(n)(1 x )
Hale Waihona Puke ( n 1)n! (1) (1 x ) n1
n
y1
n
(1)(2)(n)(1 x )
( n 1)
n! (1) (1 x ) n1
n
另：
2 3 2 y ( 1 )( 1 x ) ( 1 ) ， y ( 1 )( 2 )( 1 x ) ( 1 ) ， 2 2
n n 1 n 1 1 y 2 1 x 1 x
其中： y1 (1 x ) 1 则 (1)(1 x ) 2 ， (1)(2)(1 x ) 3 , y1 y1
例 3 设 y＝x μ （x＞ 0， μ为任意实数），求 yn .
解：
y x 1 ， y ( 1) x 2
y ( n ) 1 2 n 1x n
特别： x
n
n
＝n！ （n为自然数）。
例 4 设 f ( x) ＝sin x ，求f
则 y2
n
(1)(2)(n)(1 x )
n
( n 1)
n! (1) n 1 (1 x )
n
y
1 n! n! n (1) n1 n1 2 (1 x ) (1 x )
例 8 设 y＝x2 ＋ 1 ln 1 ＋x ，求 y100 .
解：
令 u＝ln 1 x ，v＝ x 2 1 v＝2 x ， v＝2 ， v n＝ 0 n 3
则利用莱布尼兹公式可 得： 99! 100 98! 100 99 97! 2 y ＝－ 1＋ ＋ 0 ＋ ＋ 0 100 x ＋ 99 2 x－ 98 2 1 x 1 x 2!1 x ＝
高等数学高阶导数
第四节
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
高阶导数的运算法则
应用
高阶微分方程在描述复杂系统的行为和解决某些数学问题中有重要应用。
05
高阶导数的物理应用
速度与加速度的关系
总结词
描述速度和加速度之间的数学关系
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的两 个重要物理量。速度是描述物体位置变化的量，而加 速度是描述物体速度变化快慢的量。通过高阶导数， 我们可以更精确地描述速度和加速度之间的关系。例 如，物体的运动方程可以表示为速度关于时间的导数 （即加速度），而加速度关于时间的导数则表示加加 速度（即物体速度变化的速率）。
举例
$y'' = f(x, y, y', y'')$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变量。
应用
二阶微分方程在振动、波动和曲率等领域有广泛应 用。
高阶微分方程
定义
高阶微分方程是包含一个未知函数及其高阶导 数的方程。
举例
$y^{(n)} = f(x, y, y', ldots, y^{(n)})$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变 量。
幂的导数法则
总结词
幂的导数法则是计算幂函数的高阶导数的规 则。
详细描述
幂的导数法则是说，如果幂函数y=x^n对x有 n阶导数，则其高阶导数的形式为 d^ny/dx^n=(n!)*x^(n-1)/[(n-
1)!]+...+2*x/1+0*1/x，其中n为非负整数。
03
高阶导数的应用
求极值
极值判定定理
04
高阶导数在微分方程中的应 用
一阶微分方程
定义
01
一阶微分方程是包含一个未知函数及其导数的方程。
高阶导数
①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,
高数第二章第三次高阶导数
= n 3 ⋅ x n − 1 cos x n ⋅ f
n−1
⋅ nϕ n −1 (sin x n ) ⋅ [ϕ(sin x n )]′
⋅ nϕ n −1 (sin x n ) ⋅ ϕ′(sin x n ) ⋅ cos x n ⋅ nx n − 1
[ϕ n (sin x n )] ⋅
ϕ n − 1 (sin x n ) ⋅ f ′[ϕ n (sin x n )] ⋅ ϕ ′(sin x n ).
注意: 阶导数时,求出 阶后,不要急于合并 注意:求n阶导数时 求出 或4阶后 不要急于合并 阶导数时 求出1-3或 阶后 不要急于合并, 分析结果的规律性,写出 阶导数.(数学归纳法证明 分析结果的规律性 写出n阶导数 数学归纳法证明) 写出 阶导数 数学归纳法证明 例6 设 y = ln(1 + x ), 求y ( n ) . 1 1 y ′′ = − 解 y′ = 1+ x (1 + x ) 2
莱布尼兹公式
五、高阶导数求法举例 2. 高阶导数的运算法则 高阶导数的运算法则:
例9
设 y = x e , 求y
2 2x
( 20 )
.
解 设u = e 2 x , v = x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y ( 20 ) = (e 2 x )( 20 ) ⋅ x 2 + 20(e 2 x )( 19 ) ⋅ ( x 2 )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 + 2! = 2 20 e 2 x ⋅ x 2 + 20 ⋅ 219 e 2 x ⋅ 2 x 20 ⋅ 19 18 2 x 2 e ⋅2 + 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
n−1
⋅ nϕ n −1 (sin x n ) ⋅ [ϕ(sin x n )]′
⋅ nϕ n −1 (sin x n ) ⋅ ϕ′(sin x n ) ⋅ cos x n ⋅ nx n − 1
[ϕ n (sin x n )] ⋅
ϕ n − 1 (sin x n ) ⋅ f ′[ϕ n (sin x n )] ⋅ ϕ ′(sin x n ).
注意: 阶导数时,求出 阶后,不要急于合并 注意:求n阶导数时 求出 或4阶后 不要急于合并 阶导数时 求出1-3或 阶后 不要急于合并, 分析结果的规律性,写出 阶导数.(数学归纳法证明 分析结果的规律性 写出n阶导数 数学归纳法证明) 写出 阶导数 数学归纳法证明 例6 设 y = ln(1 + x ), 求y ( n ) . 1 1 y ′′ = − 解 y′ = 1+ x (1 + x ) 2
莱布尼兹公式
五、高阶导数求法举例 2. 高阶导数的运算法则 高阶导数的运算法则:
例9
设 y = x e , 求y
2 2x
( 20 )
.
解 设u = e 2 x , v = x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y ( 20 ) = (e 2 x )( 20 ) ⋅ x 2 + 20(e 2 x )( 19 ) ⋅ ( x 2 )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 + 2! = 2 20 e 2 x ⋅ x 2 + 20 ⋅ 219 e 2 x ⋅ 2 x 20 ⋅ 19 18 2 x 2 e ⋅2 + 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
求导法则与高阶导数计算
求导法则与高阶导数计算导数是微积分中一个重要的概念，求导法则是用来计算函数导数的一系列规则。
无论是简单的一次导数还是更高阶的导数，掌握这些求导法则对于解决实际问题和理解函数的性质都具有重要意义。
一、基本导数法则1. 变量的导数对于自变量是单个变量的函数，导数的计算方法如下：- 若函数是常数：导数为零。
- 若函数是自变量的线性函数：导数为常数。
- 若函数是自变量的幂函数（幂指数是常数）：导数为幂函数的幂指数乘以常数。
- 若函数是自变量的指数函数（底数是常数）：导数为指数函数的自然对数乘以常数。
2. 和差的导数法则对于函数的和差，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的和：导数等于两个函数各自的导数之和。
- 若函数为两个函数的差：导数等于两个函数各自的导数之差。
3. 乘法的导数法则对于函数的乘法，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的乘积：导数等于一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以一个函数。
4. 商的导数法则对于函数的商，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的商：导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数除以分母的平方。
二、高阶导数计算高阶导数是指导函数的导数再次求导的结果。
高阶导数的计算可以使用以下方法：1. 一次求导后再次求导。
2. 利用高阶导数的公式，如幂函数和指数函数的高阶导数规律。
3. 利用递推法则，将高阶导数表示为一阶导数的形式。
三、实例分析下面通过几个实例来说明求导法则和高阶导数的计算方法：例1：求函数f(x) = 3x^2 + 4x + 2的导数和二阶导数。
解：首先求一阶导数：f'(x) = 6x + 4然后求二阶导数：f''(x) = 6例2：求函数f(x) = e^x / x的导数和三阶导数。
解：首先求一阶导数：f'(x) = (e^x * x - e^x) / x^2然后求二阶导数：f''(x) = (2e^x - e^x * x + e^x) / x^3最后求三阶导数：f'''(x) = (6e^x - 6e^x * x + 3e^x * x^2 - e^x) / x^4通过这些例子可以看出，求导法则和高阶导数的计算非常有用，可以帮助我们快速准确地获得函数的导数信息，并进一步分析函数的性质、变化趋势等。
高数第三、高阶导数
x2 )2 ]'
2(3 x 2 1) (1 x 2 )3
f
(0)
(1
2x x2 )2
x0 0;
f (0)
2(3 x 2 1) (1 x 2 )3
2.
x0
例2 设 y x ( R), 求y(n) . 解 y x1
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1)x 2 ) ( 1)( 2)x 3
由介质定理， ( xk , xl ), 使 f ( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn )
n
又 ( xk , xl ) [ x1, xn ],
故 ( x1, xn ).
220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2 2!
220 e2x ( x 2 20 x 95)
(u v)(n) u(n)v Cn1u(n1)v Cnku(nk)v(k) uv(n)
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
f ( xk )
f ( x1 )
f ( x2 ) f ( xn ) n
f ( xl )
（2）若 f ( xk ) f ( xl ) 则必有
f ( xk )
f ( x1 )
f ( x2 ) f ( xn ) n
f ( xl )
不仿设 xk xl , 由于 f ( x) 在[xk , xl ]上连续,
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1
高数(上)第二章第三节高阶导数
f '"( x ) 2 3[ f ( x )]2 f '( x ) 3![ f ( x )]4 ,
故 f ( n) ( x ) n![ f ( x )]n1
已知 f ( x ) 存在，且 f ( x ) 0, y ln[ f ( x )],
d2 y 求 . 2 dx
v ' 2 x , v '' 2 , v ( n) 0(n 3)
由莱布尼兹公式
0 (10) (0) 1 (9) ' 2 (8) '' y (10) C10 u v C10 u v C10 u v 10 9 2 x sin( x 10 ) 10 2 x sin( x 9 ) 2 sin( x 8 ) 2 2 2 2
同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为
y, f ( x ), d3 y , 3 dx d3 f dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数.记为
y
(4)
,
f
(4)
( x ),
d4 y , 4 dx
d4 f dx 4
f ( x x ) f ( x ) 即 f ( x ) lim x 0 x
( n)
= (-1)
n-1
( n 1)! xn
1 ( n) n n! ( ) = (-1) n1 x x
( n 1)! (6) (ln （ 1 x ） ) (-1) n （ 1 x ）
( n) n-1
1 ( n) n! n ( ) = (-1) n1 1 x （1 x）
1 ( n) n! ( ) = n 1 1 x （1 x）
高阶导数运算法则
高阶导数的运算法则包括以下几个方面：
1. 一阶导数的求导法则：对常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常
见函数求导时，可以利用相应的求导公式进行计算。
2. 乘积法则：若u(x)和v(x)是可导函数，则它们的乘积的导数可以按照以下方式计算：(u*v)' = u'v + uv'。
3. 商积法则：若u(x)和v(x)是可导函数且v(x)≠0，则它们的商的导数可以按照以下方
式计算：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
4. 链式法则：若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导函数，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
5. 反函数求导法则：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则g'(y) = 1 / f'(x)。
6. 隐函数求导法则：对于由x和y的关系式所确定的函数y=f(x)，如果无法显式解出y
作为x的函数，可以使用隐函数求导法则进行求导。
这些是高阶导数运算中常用的法则，通过这些法则可以对各种复杂函数进行高阶导数
的计算。
3-4高阶导数
n
9/20
三. 隐函数与参数方程的二 阶导数
2 sin( ) = 0 确定的 xy − π y 例6 设 y = y( x )是由方程
隐函数，求 y′ x = 0 , y′′ x = 0 。 解 等式两端对 x 求导得 y + xy′ − cos(π y 2 ) ⋅ 2π yy′ = 0
y′ x = 0 当 x = 0 , y = 1时，
代人方程得
dz 2 d 2z z) 4 dz 2 2 2 sec z tan z ( ) + sec z 2 = 2 + 2(1 + tan sec z ⋅ ( ) 2 dx 1 + tan z dx dx 化简得 d 2z dz 2 2 2 ( ) 2 cos − = z. 2 dx dx
2
一个是改变自变量变换 注意 比较上述两个例子，前
n( n − 1) ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) + u v + + uv ( n ) k! = ∑C u
k =0 k n n ( n− k )
v
(k )
——莱布尼兹公式
用归纳法证明
16/20
例10 设 y = x e , 求y
2 2x
( 20 )
.
1 20 2 x ( 19 )
解（设 u = e ，v = x ，则）由莱布尼兹公式 知
2x 2
y
( 20 )
= C (e )
0 20 3 20
2 x ( 20 )
⋅ x + C (e )
2
⋅ ( x )′
2
+ C (e )
2 x ( 18 )
9/20
三. 隐函数与参数方程的二 阶导数
2 sin( ) = 0 确定的 xy − π y 例6 设 y = y( x )是由方程
隐函数，求 y′ x = 0 , y′′ x = 0 。 解 等式两端对 x 求导得 y + xy′ − cos(π y 2 ) ⋅ 2π yy′ = 0
y′ x = 0 当 x = 0 , y = 1时，
代人方程得
dz 2 d 2z z) 4 dz 2 2 2 sec z tan z ( ) + sec z 2 = 2 + 2(1 + tan sec z ⋅ ( ) 2 dx 1 + tan z dx dx 化简得 d 2z dz 2 2 2 ( ) 2 cos − = z. 2 dx dx
2
一个是改变自变量变换 注意 比较上述两个例子，前
n( n − 1) ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) + u v + + uv ( n ) k! = ∑C u
k =0 k n n ( n− k )
v
(k )
——莱布尼兹公式
用归纳法证明
16/20
例10 设 y = x e , 求y
2 2x
( 20 )
.
1 20 2 x ( 19 )
解（设 u = e ，v = x ，则）由莱布尼兹公式 知
2x 2
y
( 20 )
= C (e )
0 20 3 20
2 x ( 20 )
⋅ x + C (e )
2
⋅ ( x )′
2
+ C (e )
2 x ( 18 )
高等数学 第二章 极限和导数2-12高阶导数
(2) 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′(x) 在区间 b) 在区间(a, 上可导, 上可导 则称 记作 或 的导数为 f (x)的二阶导 函)数 , 二阶导(函 数 d2 y d dy ( ) = 即 y′′ = ( y′)′ 或 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , n −1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
三、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数 为常数) 为常数
n(n −1) 2! n(n −1)L n − k + 1) ( +L+ k!
(u(0) = u， (0) = v) v
—— 莱布尼茨 莱布尼茨(Leibniz) 公式
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′′= (u′v + uv′)′ = u′′v +2 u′v′+ uv′′
(n) n)
= sin( x + n⋅ π );
2
n) (cos x)(n) = cos( x + n⋅ π ) 2
(a )
x (n)
= a ln a;
x n
4. 利用莱布尼兹公式 5. 求由参数方程确定的函数的高阶导数时 从 求由参数方程确定的函数的高阶导数时, 低到高每次都用参数方程求导公式. 低到高每次都用参数方程求导公式
1 (n) n! ( ) = 其中a为常数 其中 为常数) n+1 (其中 为常数 a− x (a − x)
3. 利用已知高阶导数法 常用高阶导数公式： 常用高阶导数公式：
(e x )(n) = ex (1) (ax )(n) = ax ⋅ lnn a (a > 0) π (n) n (2) (sin kx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π (n) n (3) (cos kx) = k cos(kx + n⋅ ) 2 (4) ( xα )(n) = α(α −1)L α − n+1)xα−n (
高阶导数与隐函数的导数
y′ = 1 1+ x2
⎛ 1 ⎞′ − 2x y′′ = ⎜ 2 ⎟ = ⎝ 1 + x ⎠ (1 + x 2 ) 2
2 ⎛ −2 x ⎞′ 2( 3 x − 1) = y′′′ = ⎜ 2 2 ⎟ (1 + x 2 ) 3 (1 + x ) ⎠ ⎝
− 2x ′′(0) = ∴f (1 + x 2 ) 2
(k )
莱布尼兹（Leibniz）公式
例6
设 y = x e , 求y
2 2x 2x 2
( 20 ) 2x ( 20 ) 2
( 20 )
.
2x ( 19 ) 2
解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
y
= (e ) ⋅ x + 20(e ) ⋅ ( x )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) + (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e ⋅ x + 20 ⋅ 2 e ⋅ 2 x 20 ⋅ 19 18 2 x + 2 e ⋅2 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
代入 x = 0, y = 1, y ′
x=0 y =1
1 = 得 y ′′ 4
x=0 y =1
=−
1 . 16
y = x + e x 的反函数的导数 . 例3 求
dy 解 方法1 ∵ = 1+ ex dx 1 dx = ∴ dy 1+ ex
方法2 等式两边同时对 y 求导
dx x dx +e ⋅ 1= dy dy
π
n! 1 (n) n n ( ) = ( −1) a ax + b (ax + b )n+1
⎛ 1 ⎞′ − 2x y′′ = ⎜ 2 ⎟ = ⎝ 1 + x ⎠ (1 + x 2 ) 2
2 ⎛ −2 x ⎞′ 2( 3 x − 1) = y′′′ = ⎜ 2 2 ⎟ (1 + x 2 ) 3 (1 + x ) ⎠ ⎝
− 2x ′′(0) = ∴f (1 + x 2 ) 2
(k )
莱布尼兹（Leibniz）公式
例6
设 y = x e , 求y
2 2x 2x 2
( 20 ) 2x ( 20 ) 2
( 20 )
.
2x ( 19 ) 2
解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
y
= (e ) ⋅ x + 20(e ) ⋅ ( x )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) + (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e ⋅ x + 20 ⋅ 2 e ⋅ 2 x 20 ⋅ 19 18 2 x + 2 e ⋅2 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
代入 x = 0, y = 1, y ′
x=0 y =1
1 = 得 y ′′ 4
x=0 y =1
=−
1 . 16
y = x + e x 的反函数的导数 . 例3 求
dy 解 方法1 ∵ = 1+ ex dx 1 dx = ∴ dy 1+ ex
方法2 等式两边同时对 y 求导
dx x dx +e ⋅ 1= dy dy
π
n! 1 (n) n n ( ) = ( −1) a ax + b (ax + b )n+1
高阶导数
n 阶导数的记号为 :
f ( n ) ( x),
n n d f ( x ) d y (n) y , , . n n dx dx
f
( n)
( x) ( f
( n1)
( x)),
y ( n) ( y ( n1) ),
d n y d d n1 y , n n 1 dx dxdx
d f ( x) d d f ( x) , n n 1 dx dx dx
综上所述：
(x )
n (k )
n(n 1)(n k 1) x
nk
(1 k n ) ( k n 1)
( x n )( k ) 0
例2
求 y (ax b) 的高阶导数
n
解
当 1 k n 时,
y
(k )
((ax b) )
n (k )
n k
(k )
( x) k ! f
k 1
( x), 则有
( k 1)1
f ( k 1) ( x) k ! (k 1) f k ( x) f ( x) (k 1) ! f
k 2
( x) (k 1) !( f ( x))
,
由数学归纳法得
f ( n) ( x) n ! f n1 ( x)
( x 2 ) 2 x, ( x 2 ) 2, ( x 2 ) ( n ) 0 (n 3)
例15
证明 f ( x) arcsin x 满足下式
2 ( n 2)
(1 x ) f
( x) (2n 1) x f
1 1 x
2
( n1)
( x) n f
f ( n ) ( x),
n n d f ( x ) d y (n) y , , . n n dx dx
f
( n)
( x) ( f
( n1)
( x)),
y ( n) ( y ( n1) ),
d n y d d n1 y , n n 1 dx dxdx
d f ( x) d d f ( x) , n n 1 dx dx dx
综上所述：
(x )
n (k )
n(n 1)(n k 1) x
nk
(1 k n ) ( k n 1)
( x n )( k ) 0
例2
求 y (ax b) 的高阶导数
n
解
当 1 k n 时,
y
(k )
((ax b) )
n (k )
n k
(k )
( x) k ! f
k 1
( x), 则有
( k 1)1
f ( k 1) ( x) k ! (k 1) f k ( x) f ( x) (k 1) ! f
k 2
( x) (k 1) !( f ( x))
,
由数学归纳法得
f ( n) ( x) n ! f n1 ( x)
( x 2 ) 2 x, ( x 2 ) 2, ( x 2 ) ( n ) 0 (n 3)
例15
证明 f ( x) arcsin x 满足下式
2 ( n 2)
(1 x ) f
( x) (2n 1) x f
1 1 x
2
( n1)
( x) n f
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(1) y 1 x 1 x
(3)
y
x2
1 3x
2
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
1 x
解:
1
解: (x 2)(x 1)
(x 1) (x 2) (x 2)(x 1)
1 1 x 2 x 1
y(n)
n! (1 x)n1
,
n3
y(n)
(1)n
n!
(x
1 2)n1
1
3
(2x x2)2
1 y3
所以y 3y10
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主讲人： 苏本堂
例2. 设
存在，求下列函数的二阶导数
（1） y f (ex ); （2） y e f (x).
解:（1） dy f (ex )(ex ) f (ex )ex dx
d 2 y [ f (ex )]ex f (ex )(ex ) f (ex )(ex )ex f (ex )ex dx2
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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主讲人： 苏本堂
y(y) f (x)[f (x)]
d 2 y d (dy) dx2 dx dx
(x
1 1)n1
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主讲人： 苏本堂
作业：p-103 习题2-3 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (1) ; 5, 10 (2) , (3) ; 11 (2) , (3)
例1 证明 函数 y 2x x2 满足关系式 y3 y10
证明 因为 y 22x 1 x 2 2x x2 2x x2
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
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主讲人： 苏本堂
§2.3 高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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主讲人： 苏本堂
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度
即 v s
加速度
即
a (s)
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定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导, 则称
例5. 设
求
解:
y 1 , 1 x
y
1 (1 x)2
,
y
(1)2
1 (1
2 x)3
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
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例6. 设
高等数学
求
主讲人： 苏本堂
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2
)
sin(x
2
2
)
sin(x
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
主讲人： 苏本堂
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
n(n 1) (n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
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主讲人： 苏本堂
(uv) uv uv (uv) (uv uv) uv 2 uv uv (uv) uv 3uv 3uv uv
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
x
n
2
)
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主讲人： 苏本堂
例7. 设 f (x) 3x3 x2 x , 求使 f (n) (0) 存在的最高
阶数 2
分析:
f
(x)
4x3, 2x3,
x0 x0
f (0)
lim
x 0
2!
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主讲人： 苏本堂
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
1
x
(n)
(1)n
(a
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
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例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?
依次类推 , 可得
y(n) n!an
思考: 设 y x ( 为任意常数), 问
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例4. 设 y eax , 求 y(n).
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解: y aeax , y a2 eax , y a3eax , ,
y(n) aneax 特别有: (ex )(n) e x
2x3 0 x
0
f (0)
lim
x0
4x3 0 x
0
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)
lim
x0
6
x x
2
0
f
(0)
lim
x0
12x x
2
0
f
( x)
24x 12x
, ,
x0 x0
但是 f(0) 12 , f(0) 24 , f (0) 不存在 .
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二、高阶导数的运算法则
用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
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主讲人： Байду номын сангаас本堂
例8.
求
解: 设 u e2x , v x2, 则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 , , 20 )
v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 , , 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
f (ex )e2x f (ex )ex
（2） dy e f (x) f (x)
dx
d 2 y e f (x)[ f (x)]2 e f (x) f (x)
dx2
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例3. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2