矩形的折叠问题

矩形的折叠问题
通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题，从中抽象出基本的规律，找到解决这类问题的常规方法 一、知识点：
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等
2、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形
3、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解． 题型一：求角度
1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．
2. 如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）
3. 把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）
题型二、判断三角形的形状
1.将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．
2.如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC= 8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．
归纳：重合部分是以折痕为底边的等腰三角形
题型三：
1. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．
2.如图．矩形纸片
ABCD
中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F
处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为
3.矩形ABCD中，BC=8，DC=6，将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，求EF的长( )
归纳：根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解
练习：
1.如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为多少？
2.如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）
3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=3，BC=4，现将直角边AC沿直线AD折
叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？（）
4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD 沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为
5.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE
、EF 为折痕，∠BAE=30°，AB=，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为
6.如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是多少？
7.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′
处；
（1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
8.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接
AE．
证明：（1）BF=DF；（2）AE∥BD．9.如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为．
10.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF 的长．
11.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．
（1）求EF的长；
（2）求梯形ABCE的面积．
12.如图，矩形纸片ABCD中AB=6cm，BC=10cm，小明同学先折出矩形纸片ABCD的对角线AC，再分别把△ABC、△ADC沿对角线AC翻折交AD、BC于点F、E．
（1）判断小明所折出的四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）求四边形AECF的面积．
13.（1）操作发现：
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决：
保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；
（3）类比探求：
保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．
14.如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E，试判断四边形CDC′E是什么特殊四边形，并说明理由．
15.如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．
（1）求证：△CEG是等边三角形；
（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．16.如图所示，把一张矩形纸片沿对角线对折，重合部分是什么图形？试说明理由．
17.已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C 重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．
（1）求EF的长；
（2）求梯形ABCE的面积．
19. 在矩形纸片ABCD 中，AB=3
，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，
点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°． （1）BE 的长为 ，QF 的长为 ； （2）四边形PEFH 的面积为
20.如图，四边形ABCD 为平行四边形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边上，折痕为AF ．且AB=10cm 、AD=8cm 、DE=6cm ． （1）求证：平行四边形ABCD 是矩形； （2）求BF 的长； （3）求折痕AF 长．
21.
如图，折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，BC=10cm ，AB=8cm ，求EC 的长．
22. 如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=10． （1）求矩形ABCD 的周长；
（2）E 是CD 上的点，将△ADE 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 边上点F 处． ①求DE 的长；
②点P 是线段CB 延长线上的点，连接PA ，若△PAF 是等腰三角形，求PB 的长．。