数值计算方法第二章

第二章 非线性方程数值解法

在科学计算中常需要求解非线性方程

()0f x =

即求函数()f x 的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列0{}k k x +∞=，使它逐步逼近于方程的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、Newton 迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．

§ 二分法

一、实根的隔离

定义 设非线性方程中的()f x 是连续函数．如果有*x 使*()0f x =，则称*x 为方程的根，或称为函数()f x 的零点；如果有*()()()m f x x x g x =-，且()g x 在*x 邻域内连续，*()0g x ≠，m 为正整数，则称*x 为方程的m 重根．当1m =时，称*x 为方程的单根．

非线性方程根的数值求解过程包含以下两步

(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；

(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．

对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数()f x ，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．

当函数()f x 连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下

设[,]a b 是方程的一个较大有根区间，选择合适的步长()/h b a n =-，k x a kh =+，(0,1,,)k n =L ．由左向右逐个计算()k f x ，如果有1()()0k k f x f x +<，则区间1[,]k k x x +就是方程的一个较小的有根区间．

一般情况下，只要步长h 足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来；如果有根区间足够小，例如区间长度小于给定的精度要求，则区间内任意一点可视为方程的根的一个近似．

例 确定出方程32()3430f x x x x =-+-=的一个有根区间．

解 由22()3643(1)10f x x x x '=-+=-+>知()f x 为(,)-∞∞上的单调递增函数，进而()f x 在(,)-∞∞内最多只有一个实根．经计算知(0)0f <，(2)0f >，所以()0f x =在区间[0,2]内有惟一实根．

如果希望将有根区间再缩小，可以取步长0.5h =，在点0.5x =，1x =， 1.5

x =

计算出函数值的符号，最后可知区间[1.5,2]内有一个实根． 二、二分法

二分法是求非线性方程实根近似值的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，逐步缩小有根区间，直到充分逼近方程的根，从而得到满足一定精度要求的根的近似值．

设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b <，且方程在区间(,)a b 内有惟一实根*x ．记1a a =，1b b =，中点111()/2x a b =+将区间11[,]a b 分为两个小区间11[,]a x 和11[,]x b ，计算函数值1()f x ，根据如下3种情况确定新的有根区间：

(1) 如果1()0f x =，则1x 是所要求的根； (2) 如果11()()0f a f x <，取新的有根区间2211[,][,]a b a x =； (3) 如果11()()0f x f b <，取新的有根区间2211[,][,]a b x b =．

新有根区间22[,]a b 的长度为原有根区间11[,]a b 长度的一半．对有根区间22[,]a b 施以同样的过程，即用中点222()/2x a b =+将区间22[,]a b 再分为两半，选取新的有根区间，并记为33[,]a b ，其长度为22[,]a b 的一半(如图所示)．

图 二分法示意图

重复上述过程，建立如下嵌套的区间序列

1122[,][,][,][,]k k a b a b a b a b =⊃⊃⊃⊃L L

其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此[,]k k a b 的长度为

1

1()

2k k k b a b a --=

-

由*

[,]k k x a b ∈和()/2k k k x a b =+，得

*11

()()22

k k k k x x b a b a -≤

-=- 当k →∞时，显然，有*k x x →．总结得到如下收敛定理：

定理 设()f x 在隔根区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则由二分法产生的序

列0{}k k x +∞=收敛于方程在[,]a b 上的根*

x ，并且有误差估计

*1

()(1,2,)2k k x x b a k -≤

-=L 设预先给定根*x 的绝对误差限为ε，要求*k x x ε-≤，只要1

()2

k b a ε-≤成立，

这样求得对分次数

ln()ln ln 2

b a k ε

--≥

．

取k 为大于(ln()ln )/ln 2b a ε--的最小整数．此时k x 是方程的满足精度要求的根近似值．

注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断()0k f x =几乎不可能满足，取而代之为判断条件0()k f x ε<，其中

0ε为根近似值的函数值允许误差限．

总结以上内容，给出如下算法 算法 (二分法)

输入 端点,a b 、根的绝对误差限ε、根近似值的函数值允许误差限0ε； 输出 近似解c 或失败信息；

Step 1 用公式计算最大迭代次数k ； Step 2 对1,,n k =L 循环执行Step 3～5； Step 3 ()/2c a b =+，计算()f c ；

Step 4 若0()f c ε<，则输出c ，end ；

Step 5 若()()0f c f b <，则a c =，否则b c =．

例 用二分法求32()4100f x x x =+-=在[1,2]上的根*x 的近似值，要求

*31

102

k x x --<

⨯． 解 由于在区间[1,2]上，(1)5f =-，(2)14f =，2()38(38)0f x x x x x '=+=+>，故()0f x =在[1,2]上有惟一实根*x ．确定循环次数为11k =，利用二分法计算结果见表．