计算机图形学-二维图形的变换
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二维图形变换
{
Pt[i].x = (float)Pt[i].x * cos(dRadiusAngle) - (float)Pt[i].y * sin(dRadiusAngle);
Pt[i].y = (float)Pt[i].x * sin(dRadiusAngle) + (float)Pt[i].y * cos(dRadiusAngle);
{
Pt[i].x *= 0.5;
Pt[i].y *= 0.5;
}
Pt[0] = TmpPt;
Pt[1] = Pt[1] + Pt[0];
Pt[2] = Pt[2] + Pt[0];
break;
case 0X58://X的ASCII码
Pt[1] = Pt[1] - Pt[0];
Pt[2] = Pt[2] - Pt[0];
}
RedrawWindow();
}//实现图形旋转
void CTransView::OnTransformScale()
{
// TODO: Add your command handler code here
float dScaleX = 2.0;
float dScaleY = 0.5;
for(int i=0; i<3; i++)
pDC->MoveTo(Pt[0]);
pDC->LineTo(Pt[1]);
pDC->LineTo(Pt[2]);
pDC->LineTo(Pt[0]);
//绘出以（500，240）为原点的坐标轴
pDC->MoveTo(100,240);pDC->LineTo(900,240);
Pt[i].x = (float)Pt[i].x * cos(dRadiusAngle) - (float)Pt[i].y * sin(dRadiusAngle);
Pt[i].y = (float)Pt[i].x * sin(dRadiusAngle) + (float)Pt[i].y * cos(dRadiusAngle);
{
Pt[i].x *= 0.5;
Pt[i].y *= 0.5;
}
Pt[0] = TmpPt;
Pt[1] = Pt[1] + Pt[0];
Pt[2] = Pt[2] + Pt[0];
break;
case 0X58://X的ASCII码
Pt[1] = Pt[1] - Pt[0];
Pt[2] = Pt[2] - Pt[0];
}
RedrawWindow();
}//实现图形旋转
void CTransView::OnTransformScale()
{
// TODO: Add your command handler code here
float dScaleX = 2.0;
float dScaleY = 0.5;
for(int i=0; i<3; i++)
pDC->MoveTo(Pt[0]);
pDC->LineTo(Pt[1]);
pDC->LineTo(Pt[2]);
pDC->LineTo(Pt[0]);
//绘出以（500，240）为原点的坐标轴
pDC->MoveTo(100,240);pDC->LineTo(900,240);
计算机图形学_ 二维图形变换_55 窗口视区变换_
为了全部、如实地在视区中显示出窗口内的图形对象，就 必须求出图形在窗口和视区间的映射关系
需要根据用户所定义的参数，找到窗口和视区之间的坐标 对应关系
y
世界坐标系
y
屏幕坐标系
wyt
vyt
窗口
视区
P(x,y)
wyb
P’(sx,sy)
vyb
0
wxl
wxr
x0
vxl
vxr x
窗口到视区的映射是基于一个等式，即对每一个在世界坐标 下的点（x,y），产生屏幕坐标系中的一个点（sx,sy）
sx vl vr vl
x wl wr wl
sx A* x C sy B * y D
sx x wl (vr vl) vl wr wl
sx vr vl x (vl vr vl wl)
wr wl
wr wl
A看做放大x的部分，而C看做常数
A vr vl wr wl
窗口、视区及变换
一、窗口和视区
世界坐标系中要显示的区射到显示器(设备)上的区域称为视区
窗口定义显示什么；视区定义在何处显示
y
wyt
wyb 0
窗口
wxl
wxr
世界坐标系
y
vyt 视区
vyb
x
0 vxl
vxr x
设备坐标系
世界坐标系中的一个窗口可以对应于多个视区
C vl A*wl
同理，y方向上保持比例性质满足：
sy vb y wb
vt vb
wt wb
sx A* x C sy B * y D
B vt vb wt wb
D vb B*wb
这个映射可用于任意点（x,y），不管它是否 在窗口之中。在窗口中的点映射到视口中的 点，在窗口外的点映射到视口外的点
需要根据用户所定义的参数，找到窗口和视区之间的坐标 对应关系
y
世界坐标系
y
屏幕坐标系
wyt
vyt
窗口
视区
P(x,y)
wyb
P’(sx,sy)
vyb
0
wxl
wxr
x0
vxl
vxr x
窗口到视区的映射是基于一个等式，即对每一个在世界坐标 下的点（x,y），产生屏幕坐标系中的一个点（sx,sy）
sx vl vr vl
x wl wr wl
sx A* x C sy B * y D
sx x wl (vr vl) vl wr wl
sx vr vl x (vl vr vl wl)
wr wl
wr wl
A看做放大x的部分，而C看做常数
A vr vl wr wl
窗口、视区及变换
一、窗口和视区
世界坐标系中要显示的区射到显示器(设备)上的区域称为视区
窗口定义显示什么；视区定义在何处显示
y
wyt
wyb 0
窗口
wxl
wxr
世界坐标系
y
vyt 视区
vyb
x
0 vxl
vxr x
设备坐标系
世界坐标系中的一个窗口可以对应于多个视区
C vl A*wl
同理，y方向上保持比例性质满足：
sy vb y wb
vt vb
wt wb
sx A* x C sy B * y D
B vt vb wt wb
D vb B*wb
这个映射可用于任意点（x,y），不管它是否 在窗口之中。在窗口中的点映射到视口中的 点，在窗口外的点映射到视口外的点
二维形的旋转与翻转
二维形的旋转与翻转二维形的旋转与翻转是在数学和几何学中经常出现的操作，通过旋转和翻转可以改变图形的方向和位置，从而使得图形在空间中呈现不同的样貌和特性。
本文将深入探讨二维形的旋转和翻转，介绍其定义、方法和应用。
一、旋转操作旋转是指将一个图形围绕某一点旋转一定角度而不改变其形状和大小。
在二维平面坐标系中，旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。
1. 顺时针旋转顺时针旋转是指将一个图形按顺时针方向旋转一定角度。
假设有一个图形A，其坐标点为（x，y），要将A图形顺时针旋转θ角度后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，x'和y'为旋转后图形A'的新坐标点，x和y为旋转前图形A的坐标点，θ为旋转角度。
2. 逆时针旋转逆时针旋转与顺时针旋转相反，是指将一个图形按逆时针方向旋转一定角度。
同样假设有一个图形A，要将A图形逆时针旋转θ角度后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = x * cosθ + y * sinθy' = -x * sinθ + y * cosθ二、翻转操作翻转是指将一个图形按照某一轴进行镜像反转，可以分为水平翻转和垂直翻转两种方式。
1. 水平翻转水平翻转是指将一个图形以水平轴为对称轴进行镜像反转。
假设有一个图形A，其坐标点为（x，y），要将A图形水平翻转后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = xy' = -y2. 垂直翻转垂直翻转是指将一个图形以垂直轴为对称轴进行镜像反转。
同样假设有一个图形A，要将A图形垂直翻转后得到新的图形A'，可以使用以下转换公式：x' = -xy' = y三、应用场景二维形的旋转和翻转在现实生活和工程应用中有广泛的应用，下面将介绍其中几个常见的应用场景。
计算机图形学-变换
1
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
4.1二维图形变换-9
在方向、尺寸和形 状方面的变化是通 过改变图形坐标描 述的几何变换来完 成的
可改变和管 理各种图形 的显示
2009
2
OpenGL中对模型的几何变换也称为模型变换。 OpenGL中共提供了三类关于模型变换的函数， 即平移变换、旋转变换与比例变换。
它们的参数都包括了对象的x、y和z三个坐标， 可应用于三维物体。对于二维图形，我们将z 坐标设为0，即假设变换是在z=0的平面内进 行的。
T=
glScale(1,-1,0) glScale(-1,-1,0)
x 0 0 0 y 0 0 0 1
上述两函数产生的变换矩阵为？
2009
13
4.1.4 对称变换
对称变换也称为反射变换，相对于反射轴的对称变换是通过将物 体绕反射轴旋转180°而生成的。它的基本变换包括对坐标轴、原 点和45°线的变换。 关于x轴的对称变换，是保持x值不变，“翻 动”y坐标位置而得到的。这时的变换矩阵： 1 0 0 0 -1 0 0 0 1
y 规格化设备 坐标系
yv 设备坐标系
ow
xw
o 坐标系间的转换
x
ov
xv
2009
30
4.1.6 二维观察变换（续）
2. 二维观察流程
在世界坐标系中要显示的区域称为窗口；窗口映射到显示设备上 的坐标区域称为视区。标准窗口与视区一般都采用矩形，其各边 分别与坐标平行。 窗口与视区的区别？（…）
yw 窗口 yv 视区
2009
25
复合变换举例
例2:平面图形相对于任意点P(xp,yp)作比例变换可通过以下几个步 骤来完成：
1) 将p点平移到坐标原 点，变换矩阵为：
T1 =
1 0 0 0 1 0 -xp -yp 1
可改变和管 理各种图形 的显示
2009
2
OpenGL中对模型的几何变换也称为模型变换。 OpenGL中共提供了三类关于模型变换的函数， 即平移变换、旋转变换与比例变换。
它们的参数都包括了对象的x、y和z三个坐标， 可应用于三维物体。对于二维图形，我们将z 坐标设为0，即假设变换是在z=0的平面内进 行的。
T=
glScale(1,-1,0) glScale(-1,-1,0)
x 0 0 0 y 0 0 0 1
上述两函数产生的变换矩阵为？
2009
13
4.1.4 对称变换
对称变换也称为反射变换，相对于反射轴的对称变换是通过将物 体绕反射轴旋转180°而生成的。它的基本变换包括对坐标轴、原 点和45°线的变换。 关于x轴的对称变换，是保持x值不变，“翻 动”y坐标位置而得到的。这时的变换矩阵： 1 0 0 0 -1 0 0 0 1
y 规格化设备 坐标系
yv 设备坐标系
ow
xw
o 坐标系间的转换
x
ov
xv
2009
30
4.1.6 二维观察变换（续）
2. 二维观察流程
在世界坐标系中要显示的区域称为窗口；窗口映射到显示设备上 的坐标区域称为视区。标准窗口与视区一般都采用矩形，其各边 分别与坐标平行。 窗口与视区的区别？（…）
yw 窗口 yv 视区
2009
25
复合变换举例
例2:平面图形相对于任意点P(xp,yp)作比例变换可通过以下几个步 骤来完成：
1) 将p点平移到坐标原 点，变换矩阵为：
T1 =
1 0 0 0 1 0 -xp -yp 1
计算机图形学6(陈永强)
Y
Y
X (e)关于x=-y对称
X (d)关于x=y对称
11
基本几何变换——对称变换
(1)关于x轴对称
Y
1a 0 b 0 1 c d m 0l 0
0 p 0 q s 1
P(x,y) X P'(x,-y)
图6-5 关于x轴对称
12
基本几何变换——对称变换
24
复合变换——二维复合旋转
cos1 sin 1 0 cos 2 Tr Tr1 Tr 2 sin 1 cos1 0 sin 2 0 1 0 0 cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin(1 2 ) cos(1 2 ) 0 0 0 1 sin 2 cos 2 0 0 0 1
1 b 0 c 1 0 0 0 1
(3)两个方向错切
18
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=P*T的形式。 1. 点的变换
x'
y ' 1 x
a b y 1 c d l m
p q r
19
二维图形几何变换的计算
2. 直线的变换
0 cos 0 0 0 1
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
26
6.3.5相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变 换过程为： (1) 平移； (2) 针对原点进行二维几何变换； (3) 反平移。
27
相对任一参考点的二维几何变换
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
Y
X (e)关于x=-y对称
X (d)关于x=y对称
11
基本几何变换——对称变换
(1)关于x轴对称
Y
1a 0 b 0 1 c d m 0l 0
0 p 0 q s 1
P(x,y) X P'(x,-y)
图6-5 关于x轴对称
12
基本几何变换——对称变换
24
复合变换——二维复合旋转
cos1 sin 1 0 cos 2 Tr Tr1 Tr 2 sin 1 cos1 0 sin 2 0 1 0 0 cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin(1 2 ) cos(1 2 ) 0 0 0 1 sin 2 cos 2 0 0 0 1
1 b 0 c 1 0 0 0 1
(3)两个方向错切
18
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=P*T的形式。 1. 点的变换
x'
y ' 1 x
a b y 1 c d l m
p q r
19
二维图形几何变换的计算
2. 直线的变换
0 cos 0 0 0 1
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
26
6.3.5相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变 换过程为： (1) 平移； (2) 针对原点进行二维几何变换； (3) 反平移。
27
相对任一参考点的二维几何变换
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
二维空间里的简单矩形变换（平移、按比例缩放、旋转、对称、错切）
int a[3]; }point;
point change(point p, int a[3][3]) {
int b[3] = { 0, 0, 0 }; for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) b[i] += p.a[j] * a[j][i];
return; }
void Rotation(point p1, point p2, point p3, point p4) {
double d; printf("Please enter the angel of rotation:(格式:60度就输入60):"); scanf("%lf", &d); getchar(); d = d / 180 * 1.0 * PI; double a[3][3] = { cos(d), -sin(d), 0, sin(d), cos(d), 0, 0, 0, 1 }; DrawChange2(p1, p2, p3, p4, a);
(4)对称:
以X轴对称：
，有
*
=
；
以Y轴对称：
，有
*
=
；
以原点O对称：
，有
*
=
；
以Y=X对称：
，有
*
=
；
以Y=-X对称：
，有
*
=
；
(5)错切：
，有
*
=
；
-------------------------------------------------------------下课啦---------------------------------------------------------------
point change(point p, int a[3][3]) {
int b[3] = { 0, 0, 0 }; for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) b[i] += p.a[j] * a[j][i];
return; }
void Rotation(point p1, point p2, point p3, point p4) {
double d; printf("Please enter the angel of rotation:(格式:60度就输入60):"); scanf("%lf", &d); getchar(); d = d / 180 * 1.0 * PI; double a[3][3] = { cos(d), -sin(d), 0, sin(d), cos(d), 0, 0, 0, 1 }; DrawChange2(p1, p2, p3, p4, a);
(4)对称:
以X轴对称：
，有
*
=
；
以Y轴对称：
，有
*
=
；
以原点O对称：
，有
*
=
；
以Y=X对称：
，有
*
=
；
以Y=-X对称：
，有
*
=
；
(5)错切：
，有
*
=
；
-------------------------------------------------------------下课啦---------------------------------------------------------------
计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_
普通坐标×h→齐次坐标 齐次坐标÷h→普通坐标 当h = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个 坐标就是普通坐标系下的n维坐标
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
计算机图形学 5.1二维变换
a11b13 a12b23 a13b33 a 21b13 a 22b23 a 23b33 （5-1） a n1b13 a n 2 b23 a n3b33
由线性代数知道，矩阵乘法不满足交换律，只有左矩 阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。 特别地，对于二维变换的两个3×3的方阵A和B，矩阵 相乘公式为：
5.1.1 规范化齐次坐标
为了使图形几何变换表达为图形顶点集合矩阵与 某一变换矩阵相乘的问题，引入了规范化齐次坐标。 所谓齐次坐标就是用n＋1维矢量表示n维矢量。 例如，在二维平面中，点P(x，y)的齐次坐标表示为 （wx，wy，w）。类似地，在三维空间中，点P(x，y，z) 的齐次坐标表示为（wx，wy，wz，w）。这里，w为任一 不为0的比例系数，如果w＝1就是规范化的齐次坐标。 二维点P(x，y)的规范化齐次坐标为〔x，y，1〕，三维 点P(x，y，z)的规范化齐次坐标为〔x，y，z，1〕。不 能写成下标形式，w和x，w和y，w和z是乘法的关系。 定义了规范化齐次坐标以后，图形几何变换可以 表示为图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换 矩阵相乘的形式。
x1 x P 2 xn y1 y2 yn 1 1 1
变换后图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
x'1 x' ' P 2 x' n y '1 y' 2 y'n 1 1 1
a b 二维变换矩阵为： T c d l m
a11b11 a12b21 a13b31 a11b12 a12b22 a13b32 a b a b a b a 21b12 a 22b22 a 23b32 21 11 22 21 23 31 a n1b11 a n 2 b21 a n3b31 a n1b12 a n 2 b22 a n3b32
第4章二维变换
• 性质
U •V = V •U U •V = 0 ⇔ U ⊥ V U •U = 0 ⇔ U = 0
变换的数学基础(3/4) 变换的数学基础
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 U = U • U = u x + u y + u z2 2
U •V cos θ = U •V
– 矢量的叉积
i U ×V = ux vx
– 在世界坐标系（ 在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， ） 用来指定要显示的图形 。
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸） 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
P′＝P＋Tm 等价于
[x’ y’]=[x y] +[Mx My]
图形变换的特点（ 4.3.1 图形变换的特点（续）
比例变换 P′＝P×Ts
Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。 cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
旋转变换 P＇＝P×Tr
变换后的 顶点坐标
P
变换前的 顶点坐标
•
T2D
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c d [ l m] 是对图形进行平移变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义， 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系） 模型坐标系
计算机图形学课件二维图形变换分解
2 2 U U U ux u y uz 2
单位矢量 矢量的夹角
cos
矢量的叉积
U V U V
i U V ux vx
j uy vy
k uz vz
变换的数学基础
矩阵
m n
阶矩阵
n阶方阵
零矩阵 行向量与列向量
单位矩阵
矩阵的加法 矩阵的数乘
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
5.基本几何变换的齐次坐标表示
平移变换
x
y 1 x
1 y 1 0 Tx
矩阵的乘法
矩阵的转置 矩阵的逆
变换的数学基础
矩阵的含义 矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个 整体，简称m×n矩阵。
A=
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... a m 1 a m 2 ... a mn
（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的 倾斜线，而保持y坐标不变。
y
几何关系
x' x x y' y 令 a ctg 有 x yctg ay
x ' x ay y' y
△x
x
矩阵形式
x
y 1 x
a b T1 c d
的非对角线元素大多为零，如果c和b不为零，则意味着 对图形进行错切变换。 令b＝0可以得到沿x方向的错切变换，c>0是沿x正向的错 切变换，c<0是沿x负向的错切变换. 令c＝0可以得到沿 y方向的错切变换，b>0是沿y正向的错切变换，b<0是 沿y负向的错切变换.
单位矢量 矢量的夹角
cos
矢量的叉积
U V U V
i U V ux vx
j uy vy
k uz vz
变换的数学基础
矩阵
m n
阶矩阵
n阶方阵
零矩阵 行向量与列向量
单位矩阵
矩阵的加法 矩阵的数乘
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
5.基本几何变换的齐次坐标表示
平移变换
x
y 1 x
1 y 1 0 Tx
矩阵的乘法
矩阵的转置 矩阵的逆
变换的数学基础
矩阵的含义 矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个 整体，简称m×n矩阵。
A=
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... a m 1 a m 2 ... a mn
（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的 倾斜线，而保持y坐标不变。
y
几何关系
x' x x y' y 令 a ctg 有 x yctg ay
x ' x ay y' y
△x
x
矩阵形式
x
y 1 x
a b T1 c d
的非对角线元素大多为零，如果c和b不为零，则意味着 对图形进行错切变换。 令b＝0可以得到沿x方向的错切变换，c>0是沿x正向的错 切变换，c<0是沿x负向的错切变换. 令c＝0可以得到沿 y方向的错切变换，b>0是沿y正向的错切变换，b<0是 沿y负向的错切变换.
计算机图形学图形变换
(X0,y0)
绕任意点的旋转
1 0 0
• 用矩阵表示各个过程
T1
0
1 0
x 1y 11 xy1 T 1
x0 y0 1
x 2y 21 x 1y 11 T 2
cos T2 sin
sin cos
0 0
x ' y ' 1 x 2 y 21 T 3
0
0 1
1 0 0
x ' y ' 1 x 2 y 21 T 3
cos
sin
0
TT1T2T3 sin
cos
0
x0(1co)sx0siny0co sy0 1
复合矩阵可以减少计算量
• 不进行矩阵合并 往往在屏幕上划定一个平行于设备坐标轴的矩形区域作为图形显示区。
点P(x,y)在X’轴上的投影可用点乘得到， 常用的方法是在图形坐标系中取一个与x轴、y轴平行的矩形窗口，只显示窗口内的图形内容。
计算机图形学图形 变换
二维图形平移
• 二维图形平移是将图形上任 意一点P(x,y)在x轴方向y轴方 向分别平移距离tx,ty，则变 换后的新坐标
x’=x+tx
ty
y’=y+ty
• 用矩阵表示
1 [x',y'][x,y]0
1 0tx,ty
P’ p
tx
二维图形旋转
• 二维图形旋转是将图形绕圆
点旋转。图形上任意一点
2. 3次变换需要3×9=27次乘法。 这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。
Y’轴的单位方向矢量为（a21,a22) 这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。 复合矩阵可以减少计算量 我们希望将一种变换用一个矩阵来表示，这样就可以用矩阵合并的方法将一系列的简单变换用一个复杂变换来表示。 有时采用活动坐标系模式，是为了更好地理解变换前后两个对应物体之间的坐标关系。 表示变换前的模型上任意一点 仿射变换的特点是变换前的平行线在变换后依然平行。 变换图形、变换关系式和变换矩阵 合并矩阵与一个点向量相乘得到一个点向量，需要9次乘法。 固定坐标系模式：坐标系不变、图形变动。
二维图形几何变换
矩阵表示法的定义和意义
矩阵表示法的具体形式和计算方法
矩阵表示法在二维图形几何变换中的应用和实现
定义：矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
性质：矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
பைடு நூலகம்
运算规则：两个矩阵相加时，必须保证它们的维度相同，即行数和列数分别相等。
添加标题
添加标题
添加标题
矩阵变换的基本概念：介绍矩阵和几何变换的基本概念，以及它们之间的关系。
添加标题
矩阵变换的种类：列举常见的二维图形几何变换，如平移、旋转、缩放、错切等，并解释如何通过矩阵运算实现这些变换。
添加标题
矩阵变换的步骤：详细介绍如何通过矩阵运算实现二维图形的平移、旋转、缩放和错切等几何变换的步骤，包括变换前后的矩阵表示和计算过程。
汇报人：
,a click to unlimited possibilities
01
02
03
04
05
二维图形几何变换是指对二维图形进行旋转、平移、缩放等操作，使其在几何上发生变化的过程。
通过二维图形几何变换，可以实现图形的重新排列、调整和优化，从而满足不同的设计需求。
二维图形几何变换的基本要素包括原点、方向、角度和比例等，这些要素决定了变换的具体效果。
性质：逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵
应用：在二维图形几何变换中，矩阵的逆运算可用于还原图形的原始位置和形状
图像处理：平移变换常用于图像处理中的缩放、旋转等操作，以提高图像质量和分辨率。
动画制作：在动画制作中，平移变换可以用来实现角色或物体的移动、缩放等效果，增强视觉效果和表现力。
矩阵表示法的具体形式和计算方法
矩阵表示法在二维图形几何变换中的应用和实现
定义：矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
性质：矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
பைடு நூலகம்
运算规则：两个矩阵相加时，必须保证它们的维度相同，即行数和列数分别相等。
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矩阵变换的基本概念：介绍矩阵和几何变换的基本概念，以及它们之间的关系。
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矩阵变换的种类：列举常见的二维图形几何变换，如平移、旋转、缩放、错切等，并解释如何通过矩阵运算实现这些变换。
添加标题
矩阵变换的步骤：详细介绍如何通过矩阵运算实现二维图形的平移、旋转、缩放和错切等几何变换的步骤，包括变换前后的矩阵表示和计算过程。
汇报人：
,a click to unlimited possibilities
01
02
03
04
05
二维图形几何变换是指对二维图形进行旋转、平移、缩放等操作，使其在几何上发生变化的过程。
通过二维图形几何变换，可以实现图形的重新排列、调整和优化，从而满足不同的设计需求。
二维图形几何变换的基本要素包括原点、方向、角度和比例等，这些要素决定了变换的具体效果。
性质：逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵
应用：在二维图形几何变换中，矩阵的逆运算可用于还原图形的原始位置和形状
图像处理：平移变换常用于图像处理中的缩放、旋转等操作，以提高图像质量和分辨率。
动画制作：在动画制作中，平移变换可以用来实现角色或物体的移动、缩放等效果，增强视觉效果和表现力。
计算机图形学-第三章-变换及裁剪
xh hx, yh hy, h 0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图
计算机图形学基础教程(Visual C++版)第05章 二维图形变换与裁剪(清华大学出版社 孔令德)
x O
y
5-19 设备坐标系
图形学中常用的坐标系
规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate,NDC) 将设备坐标系规格化到（0.0,0.0）到（1.0，1.0）的 范围内而定义的坐标系。 规格化设备坐标系独立于具体输出设备。 一旦图形变换到规格化设备坐标系中，只要作一个简 单的乘法运算即可映射到具体的设备坐标系中。
wyt (xw,yw) 0000 wyb
vyt (xv,yv) 0000 vyb
wxl
wxr
vxl
已知窗口内的一点P的坐标(xw，yw)，求视区中 对应点P’的坐标(xv，yv) 这属于相对于任一参考点的二维几何变换
vxr
变换步骤为：
1.将窗口左下角点（wxl，wyb）平移到观察坐标系 原点
写成方程为：
xv S x xw vxl wxl S x yv S y yw vyb wyb S y
则窗视变换的展开式为：
令
xv a x w b yv c y w d
裁剪
图形变换到观察坐标系下，需要按照窗口进行 裁剪，即只保留窗口内的那部分图形，去掉窗 口外的图形 假设窗口是标准矩形，即边与坐标轴平行的矩 形，由 上（y=wyt）、 下（y=wyb）、 左（x=wxl）、 右（x=wxr） 四条边描述
30
裁剪——点的裁剪
点是构成图形的基本元素 点的裁剪：
wxl x wxr, 且wyb y wyt
把图形全部打散成点进行裁剪？
31
二维直线段的裁剪
直线的裁剪是二维图形裁剪的基础 裁剪的实质是判断直线是否与窗口相交，如相 交则进一步确定位于窗口内的部分
y
5-19 设备坐标系
图形学中常用的坐标系
规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate,NDC) 将设备坐标系规格化到（0.0,0.0）到（1.0，1.0）的 范围内而定义的坐标系。 规格化设备坐标系独立于具体输出设备。 一旦图形变换到规格化设备坐标系中，只要作一个简 单的乘法运算即可映射到具体的设备坐标系中。
wyt (xw,yw) 0000 wyb
vyt (xv,yv) 0000 vyb
wxl
wxr
vxl
已知窗口内的一点P的坐标(xw，yw)，求视区中 对应点P’的坐标(xv，yv) 这属于相对于任一参考点的二维几何变换
vxr
变换步骤为：
1.将窗口左下角点（wxl，wyb）平移到观察坐标系 原点
写成方程为：
xv S x xw vxl wxl S x yv S y yw vyb wyb S y
则窗视变换的展开式为：
令
xv a x w b yv c y w d
裁剪
图形变换到观察坐标系下，需要按照窗口进行 裁剪，即只保留窗口内的那部分图形，去掉窗 口外的图形 假设窗口是标准矩形，即边与坐标轴平行的矩 形，由 上（y=wyt）、 下（y=wyb）、 左（x=wxl）、 右（x=wxr） 四条边描述
30
裁剪——点的裁剪
点是构成图形的基本元素 点的裁剪：
wxl x wxr, 且wyb y wyt
把图形全部打散成点进行裁剪？
31
二维直线段的裁剪
直线的裁剪是二维图形裁剪的基础 裁剪的实质是判断直线是否与窗口相交，如相 交则进一步确定位于窗口内的部分
计算机图形学二维图形变换
S (xr , yr ; sx , sy ) T (xr , yr ) • S (sx , sy ) •T (xr , yr )
变换矩阵为：
sx 0 (1 sx ) xr
T复合
0
sy
(1
s
y
)
xy
0 0
1
绕任意点 (x0 , y0 ) 旋转 角
变换步骤：
将旋转中心平移到坐标原点； 绕坐标原点旋转 ； 将旋转中心移回到 (x0 , y0 ) 。
两矩阵相乘
void matrix3x3PreMultiply(Matrix3x3 a,Matrix3x3 b) {
int i,j,k; Matrix3x3 tmp;
for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) { tmp[i][j]=0; for(k=0;k<3;k++) tmp[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; }
for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) a[i][j]=tmp[i][j];
}
顶点序列变换
void transformPoints() {
int i,j,k;
for(i=0;i<N;i++) for(j=0;j<3;j++) { pt[i][j]=0; for(k=0;k<3;k++) pt[i][j]+=point[i][k]*theMatrix[k][j]; }
0 0 1
关于y轴的对称变换
1 0 0
SYy
变换矩阵为：
sx 0 (1 sx ) xr
T复合
0
sy
(1
s
y
)
xy
0 0
1
绕任意点 (x0 , y0 ) 旋转 角
变换步骤：
将旋转中心平移到坐标原点； 绕坐标原点旋转 ； 将旋转中心移回到 (x0 , y0 ) 。
两矩阵相乘
void matrix3x3PreMultiply(Matrix3x3 a,Matrix3x3 b) {
int i,j,k; Matrix3x3 tmp;
for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) { tmp[i][j]=0; for(k=0;k<3;k++) tmp[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; }
for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) a[i][j]=tmp[i][j];
}
顶点序列变换
void transformPoints() {
int i,j,k;
for(i=0;i<N;i++) for(j=0;j<3;j++) { pt[i][j]=0; for(k=0;k<3;k++) pt[i][j]+=point[i][k]*theMatrix[k][j]; }
0 0 1
关于y轴的对称变换
1 0 0
SYy
计算机图形学实验报告
实验一：二维图形的绘制和变换一、实验目的掌握基本的图形学算法，熟悉VC下图形学的编程，初步了解并使用OpenGL 绘制图形。
二、实验内容二维图形的绘制和变换，绘制包括直线、三角形、矩形，变换包括平移、旋转、缩放。
三、实验原理二维图形的绘制和变换：在图形系统中，矩阵是实现变换的标准方法。
平移变换、旋转变换和缩放变换的矩阵表示形式如下。
平移变换：P’=P+T。
旋转变换：P’=R*P。
缩放变换：P’=S*P。
引入齐次坐标后，平移、旋转和缩放变换的矩阵表示形式如下所示。
（1）平移变换：[1 0 0][x’, y’, 1] = [x, y, 1] [0 1 0][tx ty 1]（2）旋转变换：[cosɵsinɵ0][x’, y’, 1] = [x, y, 1] [-sinɵcosɵ0][0 0 1]（3）缩放变换：[s x0 0][x’, y’, 1] = [x, y, 1] [0 s y0][0 0 1]四、实验代码及结果1.编写对一个三角形分别实现平移、缩放、旋转等变化的源码及效果图。
实验核心代码void display(void){glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);glColor3f (1.0, 1.0, 1.0);glLoadIdentity ();glColor3f (1.0, 1.0, 1.0);glTranslatef(-100.0,-50.0,1.0);draw_triangle ();glLoadIdentity ();glTranslatef (0.0, 100.0, 1.0);draw_triangle ();glLoadIdentity ();glRotatef (90.0, 0.0, 0.0, 1.0);draw_triangle ();glLoadIdentity ();glScalef (0.5, 0.5, 1.0);draw_triangle ();glFlush ();}2. 实现如图功能#include<windows.h>#include <GL/glut.h>#include <stdlib.h>void init(void){glClearColor (0.0, 0.0, 0.0, 0.0);glShadeModel (GL_SMOOTH); }void draw_triangle(void){glShadeModel(GL_SMOOTH);glColor3f(0.2,0.7,0.30);glBegin (GL_TRIANGLES);//画出三角形，为混合色填充方式glVertex2f(50.0, 25.0);glColor3f(0.4,0.5,0.60);glVertex2f(150.0, 25.0);glColor3f(0.9,0.7,0.8);glVertex2f(100.0, 100.0);glEnd();}void display(void){glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);glColor3f (1.0, 1.0, 1.0);glLoadIdentity ();glColor3f (1.0, 1.0, 1.0);glTranslatef(-100.0,-50.0,1.0);draw_triangle ();glLoadIdentity ();glTranslatef (0.0, 100.0, 1.0);glRotatef (90.0, 0.0, 0.0, 1.0);glScalef (0.5, 0.5, 1.0);draw_triangle ();//经过三种变换后画出图形glFlush ();}void reshape (int w, int h){glViewport (0, 0, (GLsizei) w, (GLsizei) h);glMatrixMode (GL_PROJECTION);glLoadIdentity ();if (w <= h)gluOrtho2D (-200.0, 250.0, -100.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,200.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w);//调整裁剪窗口elsegluOrtho2D (-200.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h,250.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -50.0, 200.0);glMatrixMode(GL_MODELVIEW);int main(int argc, char** argv){glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode (GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);glutInitWindowSize (600, 600);glutInitWindowPosition (100, 100);glutCreateWindow (argv[0]);init ();glutDisplayFunc(display);glutReshapeFunc(reshape);glutMainLoop();return 0;}实验二：使用中点扫描算法绘制直线和圆一、实验目的掌握基本的图形学算法，熟悉VC下图形学的编程，初步了解并使用OpenGL 绘制图形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE|GLUT_RGB);
glutInitWindowSize(600, 600);
glutInitWindowPosition(100, 100);
glutCreateWindow(argv[0]);
init();
glutDisplayFunc(display);
glRotatef(90.0, 0.0, 0.0, 1.0);
glScalef(0.5, 0.5, 1.0);
draw_triangle();//经过三种变换后画出图形
glFlush();
}
voidreshape(intw,inth)
{
glViewport(0, 0, (GLsizei)w, (GLsizei)h);
glShadeModel(GL_SMOOTH);
}
voiddraw_triangle(void)
{
glShadeModel(GL_SMOOTH);
glColor3f(0.7, 1.0, 0.50);
glBegin(GL_TRIANGLES);//画出三角形，为混合色填充方式
glVertex2f(150.0, 75.0);
计算机图形学实验
--二维图形的变换算法
学 院：计算机科学与技术学院
专 业：软件工程
班 级：软工152班
学 号：1500170408
学生姓名：刘强坤
指导老师：张健
学院：计算机科学与技术学院专业：软件工程班级：软工152班
姓名
组
实验时间
2017.11.5
指导教师
张健
成绩
gluOrtho2D(-200.0*(GLfloat)w/ (GLfloat)h,
250.0*(GLfloat)w/ (GLfloat)h, -50.0, 200.0);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
}
intmain(intargc,char**argv)
{
glutInit(&argc,argv);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
if(w<=h)
gluOrtho2D(-200.0, 250.0, -100.0*(GLfloat)h/ (GLfloat)w,
200.0*(GLfloat)h/ (GLfloat)w);//调整裁剪窗口
else
glutReshapeFunc(reshape);
glutMainLoop();
return0;
}
实验结果
实验总结
签名：刘强坤2017年11月05日
glColor3f(0.6, 0.5, 0.20);
glVertex2f(100.0, 25.0);
glColor3f(0.4, 0.5, 0.6);
glVertex2f(100.0, 200.0);
glEnd();
}
voiddisplay(void)
{
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
glColor3f(2.0, 2.0, 2.0);
glLoadIdentity();
glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);
glTranslatef(-100.0, -50.0, 1.0);
draw_triangle();
glLoadIdentity();
glTranslatef(0.0, 100.0, 1.0);
实验项目名称
二维图形的变换
实验要求
绕容易参照点旋转、缩放等
实验目的
实验环境
Visual Studio 2015
实验内容
实验核心代码：
#include<windows.h>
#include<GL/glut.h>
#include<stdlib.h>
voidinit(void)
{
glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);
glutInitWindowSize(600, 600);
glutInitWindowPosition(100, 100);
glutCreateWindow(argv[0]);
init();
glutDisplayFunc(display);
glRotatef(90.0, 0.0, 0.0, 1.0);
glScalef(0.5, 0.5, 1.0);
draw_triangle();//经过三种变换后画出图形
glFlush();
}
voidreshape(intw,inth)
{
glViewport(0, 0, (GLsizei)w, (GLsizei)h);
glShadeModel(GL_SMOOTH);
}
voiddraw_triangle(void)
{
glShadeModel(GL_SMOOTH);
glColor3f(0.7, 1.0, 0.50);
glBegin(GL_TRIANGLES);//画出三角形，为混合色填充方式
glVertex2f(150.0, 75.0);
计算机图形学实验
--二维图形的变换算法
学 院：计算机科学与技术学院
专 业：软件工程
班 级：软工152班
学 号：1500170408
学生姓名：刘强坤
指导老师：张健
学院：计算机科学与技术学院专业：软件工程班级：软工152班
姓名
组
实验时间
2017.11.5
指导教师
张健
成绩
gluOrtho2D(-200.0*(GLfloat)w/ (GLfloat)h,
250.0*(GLfloat)w/ (GLfloat)h, -50.0, 200.0);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
}
intmain(intargc,char**argv)
{
glutInit(&argc,argv);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
if(w<=h)
gluOrtho2D(-200.0, 250.0, -100.0*(GLfloat)h/ (GLfloat)w,
200.0*(GLfloat)h/ (GLfloat)w);//调整裁剪窗口
else
glutReshapeFunc(reshape);
glutMainLoop();
return0;
}
实验结果
实验总结
签名：刘强坤2017年11月05日
glColor3f(0.6, 0.5, 0.20);
glVertex2f(100.0, 25.0);
glColor3f(0.4, 0.5, 0.6);
glVertex2f(100.0, 200.0);
glEnd();
}
voiddisplay(void)
{
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
glColor3f(2.0, 2.0, 2.0);
glLoadIdentity();
glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);
glTranslatef(-100.0, -50.0, 1.0);
draw_triangle();
glLoadIdentity();
glTranslatef(0.0, 100.0, 1.0);
实验项目名称
二维图形的变换
实验要求
绕容易参照点旋转、缩放等
实验目的
实验环境
Visual Studio 2015
实验内容
实验核心代码：
#include<windows.h>
#include<GL/glut.h>
#include<stdlib.h>
voidinit(void)
{
glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);