函数与四边形的综合题
2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)
2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。
专题01 二次函数与平行四边形综合(原卷版)
专题01 二次函数与平行四边形综合（重庆专用）（3类题型训练）x2+bx+c与直线AB交于点A （2022重庆市中考数学A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12(0,―4)，B(4,0)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．解析过程详解（1）解：将点A (0,―4)，B (4,0)代入y =12x 2+bx +c 得：c =―48+4b +c =0 ，解得：c =―4b =―1 ，∴该抛物线的函数表达式为：y =12x 2―x ―4；（2）如图，设PD 交BC 于H ，∵A (0,―4)，B (4,0)，∴OA ＝OB ＝4，∴∠OBA =∠OAB =45°，∵PC ∥OB ，PD ∥OA ，∴∠BCP =∠OBA =45°，∠PHC =∠BHD =∠OAB =45°，∴PC =PH ，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则b =―44k +b =0 ，解得：b =―4k =1 ，∴直线AB 的解析式为y =x ―4，设P t ,12t 2―t ―4，则H (t ,t ―4)，D (t ,0)，∴PC +PD =PH +PD =t ―4―2―t ――1t 2+t +4=―t 2+3t +4=―t ―+254，∴当t =32时，PC +PD 取得最大值4，此时―（3）由题意得：平移后抛物线解析式为y =12(x +5)2―(x +5)―4=12x 2+4x +72，E ―72,∴F 0,∵抛物线y =12x 2+4x +72的对称轴为x =―4，∴设M (―4,m )，N n ,12n 2+4n 分情况讨论：①当EF 为对角线时，则―4+n =―72，解得：n =1，此时12n 2+4n +72=458，∴N ②则―72―4=n ，即n =―152，此时12n 2+4n +7=138，∴N 2―152③当EN则―72+n =―4，即n =―12，此时12n 2+4n +72=138，∴N 3―12综上所述，点N 的坐标为：N N 2―152N 3―12类型一 动点+平行四边形1．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A(―3,0)，B(1,0)两点，与y 轴交于点C(0,3)，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 在线段AC 上方的抛物线上运动（不与A ，C 重合），过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 交AC 于点E ．作PF ⊥AC ，垂足为F ，若点P 的横坐标为t ，请用t 的式子表示PE ，并求△PEF 的面积的最大值；(3)如图2，点Q 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，在抛物线上存在点P ，使得以点A ，P ，C ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，并把求其中一个点P 的坐标的过程写下来．2．如图，抛物线y =―x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧）、直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中点C 的横坐标为2．(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；(2)若点Р是线段AC 上的一个动点，过点Р作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段PE 长度的最大值；(3)若点G 是抛物线上的一个动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．3．在直角坐标系中，抛物线y=1x2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．其中点A(―2,0)，点B(4,0)．2(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，在直线l:y=―1x+n经过A点，与y轴交于D．在直线l下方的抛物线上有一个动点P，连接PA，2PD，求△PAD面积的最大值及其此时P的坐标．(3)将抛物线y向右平移1个单位长度后得到新抛物线y1，点E是新抛物线y1的对称轴上的一个动点，点F是原抛物线上的一个动点，取△PAD面积最大值时的P点．若以点P、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个F点的过程．类型二平移+平行四边形4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+a≠0)与x轴交于点A―1，0，点B3，0，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过点P作x轴的平行线交BC于点D，过点P作y轴的平行线交BC于点E，求PD+PE的最大值以及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB的方向平移，使得平移后的抛物线经过线段CB的中点，且平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，N，R是直线BC上任意两点，Q为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点M，N，R，Q为顶点的四边形是平行四边形的点Q的横坐标，并把求其中一个点的横坐标过程写出来．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx―3(a≠0)与x轴交于A(―1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于C点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；(3)在（2）中△PBC的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q，M为y轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左x+3．侧），与y轴交于点C，其中点A的坐标为―1，0，直线BC的解析式为：y=―12(1)求抛物线的解析式；(2)点D位于抛物线在直线BC上方的部分，DE⊥BC于点E，EF平行于x轴且与y轴交于点F，求EF的最小值；(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向左平移，使得平移后的抛物线的对称轴为y轴，若点G是平移后抛物线上一点，点M、N都是直线AC上的动点，点Q为定点，其坐标为1，2，请直接写出以M、N、G、Q为顶点的四边形为平行四边形的点G的横坐标，并把其中一个求点G的横坐标的过程写出来．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=3x2+bx+c与直线AB交于点A(0,―3)，B(4,0)．4(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线，交AB 于点E ，过点P 作AB 的垂线，垂足为点F ，求△PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中△PEF 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，点N 为原抛物线对称轴上一点．在平移后抛物线上确定一点M ，使得以点B ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx ―4(a ≠0)与x 轴交于A (4,0)，B (―2,0)两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，y 轴上有一点D (0,―3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AD 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，PH 交直线AD 于点E ，作PF ∥BC 交直线AD 于点F +PH 的最大值，及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将点P 向右平移152个单位长度，再向上平移398个单位长度得到点P ′；将抛物线沿着射线BC M 为新抛物线与y 轴的交点，N 为新抛物线上一点，Q 为新抛物线对称轴上一点，请写出所有使得以点P ′，M ，Q ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的坐标，并写出求解点Q 的坐标的其中一种情况的过程．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与平面直角坐标系交于点A (0,―4),B (―4,0),C (1,0)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2，作直线AB，点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AB于点E，过点P 作PD⊥AB于点D，求PE+PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PE+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移2个单位，点P′为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点A′，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P′,A′,M,N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2+bx+c与直线AC交于点A6，0，C0，―6．4(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，交x轴于D，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．类型三旋转+平行四边形11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B(―4,0)，点C(8,0)，与y轴交于点A．点D的坐标为(0,4)．(1)求二次函数的解析式及点A的坐标．(2)如图1，点E为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥y轴，交CD于点F，求EF的最大值及此时点E的坐标．(3)如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y′，点N是新抛物线y′上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=―1x2+bx+c与x轴交于A，B(―4,0)两点（点A在点B的右2侧），与y轴交于点C(0,2)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）的一动点，过点P作PF∥y轴交x轴于点F，交BC于点E，过点P作PD⊥BC，垂足为点D+2PF的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线绕线段BC的中点Q旋转180°得到新抛物线y′，点N为新抛物线y′上一点，在x轴上是否存在一点M，使得以点Q、C、M、N为顶点的四边形是以CQ为边的平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，5），连接BC，其中OC＝5OA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，连接PE，交直线BC于点F，连接PD、S△EDF，求点P的坐标；DF、PB、PC．若S△PBC＝1021（3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此时点B′恰好落到直线ED上，已知点M是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点N，使得以点C、B′、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，5），连接BC，其中OC＝5OA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM∥y轴交DE于点M，交BC于点H，过点M作MN⊥BC于点N，求PM＋NH的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此时点B′恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于点A(―1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，且∠OBC=30°．点E在第四象限且在抛物线上．BM最小，并求出此时点E （1）如（图1），当四边形OCEB面积最大时，在线段BC上找一点M，使得EM+12BM的最小值；的坐标及EM+12（2）如（图2），将△AOC沿x轴向右平移2单位长度得到△A1O1C1，再将△A1O1C1绕点A1逆时针旋转α度得到△A1O2C2，且使经过A1、C2的直线l与直线BC平行（其中0°<α<180°），直线l与抛物线交于K、H 两点，点N在抛物线上．在线段KH上是否存在点P，使以点B、C、P、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
一次函数与平行四边形综合
一次函数与平行四边形综合1.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA-8|+(OB-6)²=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E。
1）求线段AB的长；2）求直线CE的解析式；3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解答】1）由已知得OA=8，OB=6，且AB为直角三角形的斜边，因此AB=sqrt(8²+6²)=10.2）设直线CE的解析式为y=kx+b，由图可知C的坐标为(8/2.6/2)=(4,3)，D的坐标为(8,0)，因此CD的斜率为-3/4，即k=-3/4.又因为直线CE过点C，因此代入可得3=-3/4×4+b，解得b=6，因此直线CE的解析式为y=-3/4x+6.3）若以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形，则AB平行于MP且AM垂直于AB。
由于AB在第四象限，因此M在BC的延长线上。
设M的坐标为(x。
-3x/4)，则P的坐标为(2x-8.-3x/4)，根据矩形的性质可得AM·MP=AB²，即(x+8)(2x-8)=100.化简得x²-6x+4=0，解得x=3±sqrt(5)。
因此存在两个点使得以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形，它们的坐标分别为(3+sqrt(5)。
-9/4)和(3-sqrt(5)。
-9/4)。
二．解答题（共3小题）2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x²-6x+8=0的两个根，且OC＞BC。
1）求直线BD的解析式；2）求△OFH的面积；3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
一次函数,反比例函数与四边形的综合题
一次函数与反比例函数的综合四边形1，如图12，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D ，点P 是一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象与该反比例函数图象的一个公共点.（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ；（3）对于一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y x 随的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 2，看图说故事。
请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x 、y 满足图示的函数关系式，要求：①指出x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需设计“速度”这个量3，如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D 、E ，且tan ∠BOA=．（1）求边AB 的长；（2）求反比例函数的解析式和n 的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正半轴交于点H 、G ，求线段OG 的长．4．如图5，双曲线)0(>=k xky 与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ．5，如图9，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)的位置随b 的不同取值而变化． (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为2．当b = 时，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)经过圆心M ： 当b = 时，直线l ：y = －2x +b (b ≥0)与OM 相切：(2)若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A (2，0)、BC 6，O )、C (6，2). 设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式，6，如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、B （0，1）、C （d ，2）。
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形综合
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形综合1．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S＝S2﹣S1，求S的最大值．2．已知：如图所示，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x 轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，求M点坐标．3．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．4．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．5．如图，已知点A在函数（x＞0）的图象上，点B在函数（x＜0）的图象上，点C在函数（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，四边形ABCD是以AB、BC为一组邻边的矩形．（1）若点A的坐标为（，2），求点D的坐标；（2）若点A在函数（x＞0）上移动，矩形ABCD的面积是否变化？如果不变，求出其面积；（3）若矩形ABCD四个顶点A、B、C、D分别在＞0，x＞0），＜0，x＜0），＞0，x＜0），＜0，x＞0）上，请直接写出k1、k2、k3、k4满足的数量关系式．6．如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a），与x轴交于点A．点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD．（1）求a，k的值；（2）若点P为x轴上的一点，求当PB+PC最小时，点P的坐标；（3）F是平面内一点，是否存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），过A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点D，连接CD，AB∥CD．（1）证明：四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）求sin∠DAC的值．8．如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是x轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在△AOB中，∠OAB＝90°，AO＝AB，OB＝2．一次函数交y轴于点C（0，﹣1），交反比例函数于A、D两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAD的面积；（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点PP的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m （m＞0）.（1）如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．（2）如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD'交直线AB于C'，D'，当CD∥AB 时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．11．如图1，已知A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y＝（k为常数，k≠0）经过C、D 两点．（1）求k的值；（2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象于点M，交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点N，当FM＝FN时，求G点坐标；（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．12．综合与探究如图1，反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线AB．（1）判断点B是否在反比例函数y＝﹣的图象上，并说明理由；（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数y＝﹣的图象于点C和点D，点C 的横坐标是4，顺次连接AD，DB，BC和CA．求证：四边形ACBD是矩形；（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．（1）求反比例和一次函数解析式；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围；（3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k ＞0）的图象交于A、B两点（点A在点B左边），交x轴于点C，延长AO交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点E，点F为第四象限内一点，∠AFE＝90°，连接OF．（1）填空：FO AO（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）连接CF，若AF平分∠OAC．①若△AFC的面积为10，求k的值；②连接BF，四边形AOFB能否为菱形？若能，直接写出符合条件的k的值；若不能，说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A 顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；（3）在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（m，2），B 两点，分别连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）请根据函数图象的轴对称性，直接写出点B的坐标为；当y1＞y2，则自变量x的取值范围是；（3）在平面直角坐标系内，是否存在一点P，使以点O，A，B，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S＝．△PAO（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，B（5，4），D（﹣3，0），点P 从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示：BP＝cm，CQ＝cm；（2）函数y＝的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5cm2，试求此时t的值；（3）点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与双曲线交于点M（﹣4，m）、N（n，﹣4），与x轴交于A．（1）求k、b的值．（2）①将直线y＝kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线．②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．20．如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，过点A作AE⊥CD，垂足为E．（1）若点A（6，8），点E（6，14）．①求AO的长；②线段MN在y轴上移动（点M在点N的上方），MN＝2，当四边形AEMN的周长最小时，求点M的坐标；（2）如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，AO⊥AD，AO＝AB，DE＝4CE，连结OE，OF，EF，且S△EOF＝．求反比例函数的表达式．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）把A（1，3）的坐标分别代入y＝、y＝﹣x+b，∴m＝xy＝3，3＝﹣1+b，∴m＝3，b＝4．（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y＝，一次函数的解析式为y＝﹣x+4，∵直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，∴可设点M的坐标为（x，），点N的坐标为（x，﹣x+4），其中，x＞0，又∵MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，∴四边形MDOC、NEOC都是矩形，∴S1＝x•＝3，S2＝x•（﹣x+4）＝﹣x2+4x，∴S＝S2﹣S1＝（﹣x2+4x）﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．其中，x＞0，∵a＝﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，∴当x＝2时，S取最大值，其最大值为1．2．【解答】解：（1）∵点A（3，2）为正比例函数与反比例函数的交点，∴将x＝3，y＝2代入正比例解析式y＝ax得：3a＝2，解得：a＝，将x＝3，y＝2代入反比例解析式y＝得：＝2，解得：k＝6，∴正比例函数解析式为y＝x，反比例函数解析式为y＝；（2）过M作MN⊥x轴于N点．∵M（m，n）（0＜m＜3）是反比例函数图象上的一动点，且四边形OCDB为矩形，∴mn＝6，BM＝m，BO＝DC＝MN＝n，又A（3，2），∴AC＝2，OC＝3，又mn＝6，＝S矩形OCDB﹣S△BMO﹣S△AOC＝3n﹣mn﹣×2×3＝3n﹣6＝6，∴S四边形OADM解得：n＝4，由mn＝6，得到4m＝6，解得：m＝，则M坐标为（，4）．3．【解答】解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，∴OA＝OC＝2，∴点B坐标为（2，2），将x＝2，y＝2代入反比例解析式得：2＝，∴k＝2×2＝4．（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，∴ON＝OM＝2AO＝4，∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．∵点E、F在函数y＝的图象上，∴当x＝4时，y＝1，即E（4，1），当y＝4时，x＝1，即F（1，4）．设直线EF解析式为y＝mx+n，将E、F两点坐标代入，得，∴m＝﹣1，n＝5．∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5．4．【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx，将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k＝，所以正比例函数解析式为y＝x，同样可得，反比例函数解析式为；（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，m），＝OB•BQ＝×m×m＝m2，于是S△OBQ＝|（﹣1）×（﹣2）|＝1，而S△OAP所以有，m2＝1，解得m＝±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），由勾股定理可得OQ2＝n2+＝（n﹣）2+4，所以当（n﹣）2＝0即n﹣＝0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）＝2（+2）＝2+4．（或因为反比例函数是关于y＝x对称，所以当Q在反比例函数时候，OQ最短的时候，就是反比例与y＝x的交点时候，联立方程组即可得到点Q坐标）5．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，2），AB∥x轴，∴B点纵坐标为2，又点B在函数（x＜0）的图象上，∴当y＝2时，x＝﹣1.5，∴B（﹣1.5，2），∵BC∥y轴，∴C点横坐标为﹣1.5，又点C在函数（x＜0）的图象上，∴当x＝﹣1.5时，y＝﹣4，∴C（﹣1.5，﹣4）．∵AD⊥y轴，∴D（0.5，﹣4）．（2）若点A在函数（x＞0）上移动，矩形ABCD的面积不变．理由如下：如图，设AB、CD与y轴分别交于F、G，BC、AD与x轴分别交于E、H，设A（a，），则B（﹣3a，），C（﹣3a，﹣），D（a，﹣）．∵矩形ABCD的面积＝矩形AFOH的面积+矩形BFOE的面积+矩形CEOG的面积+矩形DHOG的面积＝1+3+6+2＝12．（3）设A（t，），则B（，），C（，），D（t，），又∵点D在y＝的图象上，t•＝k4，∴k1k3＝k2k4．6．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a），∴a＝3﹣1，∴a＝2．∴B（3，2），∴k＝3×2＝6；（2）令y＝0，则x﹣1＝0，∴x＝1．∴A（1，0），∴OA＝1，∵OA＝AD，∴AD＝1，∴OD＝2，∴点C的横坐标为2，由（1）知：k＝6，∴反比例函数y＝（x＞0）的解析式为y＝．∴y＝＝3，∴C（2，3）．设点C关于x轴的对称点C′，则C′（2，﹣3），连接BC′，交x轴于点P，如图，则此时PB+PC最小．设直线BC′的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC′的解析式为y＝5x﹣13．令y＝0，则5x﹣13＝0，∴x＝．∴P（，0）；（3）存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，理由：①当四边形ABFC为平行四边形时，如图，由（2）知：AD＝1，C（2，3），B（3，2），OD＝2，∴CD＝3，DM＝2，BM＝1．过点F作FG⊥x轴，过点B作MH∥x轴交CD于点M，交FG于点H，∵CD⊥x轴，FG⊥x轴，∴CD∥FG．∵四边形ABFC为平行四边形，∴AC∥FB，AC＝FB．∴∠ACD＝∠BFH．在△ACD和△BFH中，，∴△ACD≌△BFH（AAS），∴AD＝BH＝1，CD＝FH＝3．∴MH＝MB+BH＝2．∵CD⊥x轴，FG⊥x轴，MH∥x轴，∴四边形MDGH为矩形，∴GH＝DM＝2，DG＝MH＝2，∴OG＝OD+DG＝4，FG＝FH+HG＝5，∴F1（4，5）；②当四边形ABCF为平行四边形时，如图，设直线y＝x﹣1与y轴交与点N，则N（0，﹣1），∴ON＝1．∵OA＝1，∴OA＝ON，∴∠OAN＝45°，∴∠EAD＝∠OAN＝45°，∵CD⊥x轴，∴∠AED＝45°．∴DE＝AD＝1．∵CD＝3，∴CE＝CD﹣DE＝2，过点B作BM⊥CE于点M，则BM＝1，∵∠CEB＝∠AED＝45°，∴ME＝BM＝1，∴CM＝1，∴BM＝CE，M为CE的中点，∴∠CBE＝90°．∵四边形ABCF为平行四边形时，∴CB∥AE，∴∠EAB+∠ABC＝180°∴∠EAB＝90°，∴∠FAO＝45°，∴OF＝OA＝1，∴F2（0，1）；③当四边形ACBF为平行四边形时，如图，过点B作BG⊥x轴，过点F作MH∥x轴，交BG的延长线于点H，过点A作AM⊥MH 于点M，同①可求得：OB＝3，BG＝2，△ACD≌△FBH，∴BH＝CD＝3，FH＝AD＝1，四边形AMHG为矩形，∴MH＝AG＝2，AM＝GH＝BH﹣BG＝1，∴MF＝MH﹣FH＝1，∴F3（2，﹣1）．综上，存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点F的坐标F1（4，5），F2（0，1），F3（2，﹣1）．7．【解答】（1）证明：由题意得AD⊥AO，BC⊥AO，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），∴BC＝2﹣（﹣3）＝5，AO＝4，BO＝3，CO＝2，在Rt△ABO中，AB＝＝＝5，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：过点D作DH⊥x轴于H，则四边形AOHD是矩形，∴DH＝AO＝4，OH＝AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5，∴OH＝5，∴D（5，4），∵反比例函数的图象于点D，∴4＝，∴k＝20，∴此反比例函数的解析式为y＝；（3）解：在Rt△ACO中，AC＝＝＝2∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACO，∴sin∠DAC＝sin∠ACO＝＝＝．8．【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y＝x中，得﹣3＝m，解得：m＝﹣2，∴A（﹣2，﹣3），∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，∴反比例函数解析式为y＝，由，得或，∴点B的坐标为（2，3）；（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∵BC＝2CD，BE＝3，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，∵B′（﹣2，3），C（6，1），∴B′C＝＝2，∴BG+GC＝B′C＝2；（3）存在．理由如下：当点P在x的正半轴上时，如图，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BE⊥x轴于点E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（2，3），∴OB＝＝，∴＝，∴点P1的坐标为（，0），当点P在x的负轴上时，如图2，设点P2的坐标为（a，0），过点A作AH⊥x轴于点H，同理证得点P2的坐标为（﹣，0），当四边形AP3BQ3或是矩形四边形AP4BQ4时，OA＝OP4＝，∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）或（，0）．9．【解答】解：（1）作AF垂直于x轴，垂足为点F，∵AO＝AB，AF⊥OB，∴，∵∠OAB＝90°，AO＝AB，∴∠AOB＝45°，∴AF＝OF＝1，∴点A（1，1），设一次函数解析式为y1＝k1x+b，反比例函数解析式为，将点A（1，1）和C（0，﹣1）代入y1＝k1x+b，得y1＝2，b＝﹣1，∴一次函数的解析式为y1＝2x﹣1．将点A（1，1）代入，得k2＝1，∴反比例函数的解析式为，即一次函数解析式为y1＝2x﹣1，反比例函数解析式为；（2）将两个函数联立得，整理得2x2﹣x﹣1＝0，解得，x2＝1，∴y1＝﹣2，y2＝1，∴点，∴，即△OAD的面积为；（3）存在，①以OA为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将A点向右平移个单位，向上平移2个单位得到P点的坐标，即P（，3），②以OD为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将D点向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P点的坐标，即P（，﹣1），③以AD为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将D点向左平移1个单位，向下平移1个单位得到P点的坐标，即P（﹣，﹣3），综上所述，点P的坐标为，，．10．【解答】（1）解：∵直线y＝﹣x+2交y轴于A点，交x轴于B点，∴点A（0，2），点B（4，0），∵C、D为双曲线上的两点，∴点C（2，），点D（2+m，），∵四边形CABD为平行四边形，∴AD与BC互相平分，∴＝，＝，解得：m＝4，k＝6；（2）①证明：∵CC′∥y轴∥DD'，CD∥AB，∴四边形CDD'C'是平行四边形，∴CC'＝DD'，∵C、D为双曲线上的两点，∴点C（a，），点D（a+m，），∵CC′∥y轴∥DD'，∴点C'的横坐标为a，点D的横坐标为a+m，∴点C'（a，﹣a+2），点D'（a+m，﹣a﹣m+2），∴+a﹣2＝+a+m﹣2，∴k＝a（a+m），∴当k为定值时，a（a+m）为定值；②解：∵k＝6，∴6＝a（a+m），∴a2+am＝12，∵m＝a﹣4+，∴a2+a（a﹣4+）＝12，∴d＝﹣2a2+4a+12＝﹣2（a﹣1）2+14，∴当a＝1时，d的最大值为14．11．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点，∴x D＝1，设D（1，t），又∵DC∥AB，∴C（2，t﹣2），∴t＝2t﹣4，∴t＝4，∴k＝4；（2）由（1）得C（2，2），∵B（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2，当y＝0时，x＝1，∴F（1，0），∴OF＝1，设点G的坐标为（0，m），∵MN∥x轴，∴M（，m），N（﹣，m），∵FM＝FN，∴1﹣（﹣）＝﹣1，解得：m＝或m＝0（不合题意舍去），∴点G的坐标为（0，）；（3）∵由（1）知k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），①当AB为边时：如图1，若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2，若ABQP为平行四边形，则＝，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3，当AB为对角线时，AP＝BQ，且AP∥BQ；∴＝，解得x＝﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；故点Q的坐标为（0，6）或（0，﹣6）或（0，2）．12．【解答】（1）解：结论：点B在反比例函数y＝﹣的图象上．理由：∵反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，∴A（﹣2，4），∵A，B关于原点对称，∴B（2，﹣4），∵x＝2时，y＝﹣＝﹣4，∴点B在反比例函数y＝﹣的图象上；（2）证明：由题意，C（4，﹣2），D（﹣4，2），∵C，D关于原点对称，∴OC＝OD，∵A，B关于原点对称，∴OA＝OB，∴四边形ADBC是平行四边形，∵CD＝＝4，AB＝＝4，∴AB＝CD，∴四边形ADBC是矩形；（3）解：如图，当四边形OBP1Q1是菱形时，P1（4，0）．当四边形OBQ2P2是菱形时，P2（2，0）．当四边形OP3BQ3是菱形时，P3（5，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，0）或（2，0）或（5，0）．13．【解答】解：（1）如图，延长AD交x轴于F，由题意得AF⊥x轴，∵点D的坐标为（4，3），∴OF＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点A坐标为（4，8），∴k＝xy＝4×8＝32，由菱形的性质得到B（0，5），设直线AB的方程为：y＝ax+b（a≠0），则，解得，故反比例解析式为y＝；直线AB的方程为：y＝x+5；（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在函数y＝（x＞0）的图象D'点处，∴点D'的坐标为（4+m，3），∵点D'在y＝的图象上，∴3＝，解得m＝，∴0≤m；（3）如图，存在，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝5，过D作DE⊥x轴于E，过N作NF⊥y轴于F，过M作MH⊥y轴于H，∴∠DEO＝∠ONB＝∠NOD＝90°，∴∠BON+∠BOD＝∠BOD+∠DOE＝90°，∴△BON≌△DOE（AAS），∴BN＝DE＝3，ON＝OE＝4，＝OB•NF＝BN•ON，∴S△OBN∴NF＝，∵点N在直线AB上，∴N（﹣，），设M（n，n+5），∴MH＝n，OH＝n+5，∵BM2＝BH2+MH2，∴22＝（n+5﹣5）2+n2，∴n＝±，∵n＞0，∴M（，）．14．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象是中心对称图形，∴AO＝EO，在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，AO＝EO，∴FO＝，故答案为：＝；（2）①如图，连接CF，由（1）可知，FO＝AO，∴∠OAF＝∠OFA，∵AF平分∠OAC，∴∠OAF＝∠BAF，∴∠OFA＝∠BAF，∴OF∥AC，＝S△AFC＝10，∴S△AOC对于y＝﹣x+5，令y＝0，则0＝﹣x+5，∴x＝5，∴C（5，0），∴OC＝5，设A（m，﹣m+5），m＞0，∴S＝﹣，＝10，又∵S△AOC∴﹣，∴m＝1，∴﹣m+5＝﹣1+5＝4，∴A（1，4），∵A（1，4）在反比例函数y＝上，∴k＝1×4＝4；②如图，连接BF，由①可知，OF∥AB，FO＝AO，当AO＝AB时，此时四边形AOFB是菱形，将y＝﹣x+5由y＝联立，得：，解得：或，∴A（），B（），∴OA+（）2＝25﹣2k，AB2＝50﹣8k，当AO＝AB时，OA2＝AB2，即25﹣2k＝50﹣8k，∴k＝，综上所述，当四边形AOFB为菱形时，k＝．15．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+2与x轴交于点A，∴0＝﹣2x+2，得x＝1，∴点A（1，0）；过点C作CH⊥y轴于点H，∴∠CHB＝∠BOA＝90°∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，∴∠BAC＝45°，又∵BC⊥AB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠CBH＝90°，∴∠OAB＝∠CBH，在△AOB和△BHC中，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝AO＝1，CH＝BO，设OB＝a，则OH＝a+1，∴点C（a，﹣a﹣1），∵点C在直线l上，∴﹣a﹣1＝﹣2a+2，∴a＝3，∴C（3，﹣4）；（2）将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，A（1，0），B（0，﹣3），C（3，﹣4）∴点D（1，3t），点E（0，﹣3+3t），点F（3，﹣4+3t），∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，∴1×3t＝3×（﹣4+3t），∴t＝2；（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），∴EF＝，当EF＝EP＝时，则OP＝1，∴P（1，0）或（﹣1，0），当P（1，0）时，由平移的性质得，点Q（4，﹣1），当P（﹣1，0）时，由平移的性质得，点Q（2，﹣1），当EF＝FP＝时，同理得P（3﹣，0）或（3+，0），∴Q（﹣，1）或（，1），当PE＝PF时，设P（x，0），则9+x2＝4+9﹣6x+x2，解得x＝，∴P（，0），∴Q（），综上：Q（4，﹣1）或（2，﹣1）或（﹣，1）或（，1）或（）．16．【解答】解：（1）将A（m，2）代入y1＝x+1得，2＝m+1，∴m＝1，∴A（1，2），将A（1，2）代入y2＝得，k＝1×2＝2，∴y2＝；（2）根据函数图象的轴对称性知，点A与B关于直线y＝﹣x对称，过A作AC∥y轴，过B作BC∥x交于C，则C（﹣1，﹣1），∴B（﹣2，﹣1），当y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＞1或﹣2＜x＜0，故答案为：（﹣2，﹣1），x＞1或﹣2＜x＜0；（3）存在，如图，∵OA＝OB，∴点P在AB上方时，四边形OAPB是菱形，∵O（0，0），A（1，2），B（﹣2，﹣1），由平移的性质得P（﹣1，1），∴以点O，A，B，P为顶点的四边形为菱形，点P的坐标为（﹣1，1）．17．【解答】解：（1）设点P的纵坐标为m，＝．∵S△PAO∴，∴m＝4，∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝10，∴B（6，10），∴k＝6×10＝60，∵点P在这个反比例函数的图象上，∴点P的横坐标为＝15，∴P（15，4）；（2）如图，点P在直线y＝4上运动，作点O关于直线y＝4的对称点O'，连接O'A，此时PO+PA的最小值即为AO'的长，在Rt△AOO'中，由勾股定理得，AO'＝＝10，∴PO+PA的最小值为10；（3）当AP＝AB＝10时，如图，AG＝4，∴PG＝2，∴P（6﹣2，4），∴Q（6﹣2，14），当点P在G的右侧时，同理Q'（6+2，14），当BA＝BP时，如图，由勾股定理得PG＝8，∴P（﹣2，4），∵PQ＝10，∴Q（﹣2，﹣6），同理，当P在G的右侧时，Q'（14，﹣6），当PA＝PB时，点P在AB的垂直平分线y＝5上，点P又在直线y＝4上，故不存在，综上：Q（6﹣2，14）或（6+2，14）或（﹣2，﹣6）或（14，﹣6）．18．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝tcm，AB＝5cm，∴BP＝（5﹣t）cm，∵DC＝DO+OC＝3+5＝8，DQ＝2tcm，∴CQ＝DC﹣DQ＝（8﹣2t）cm，故答案为：（8﹣2t）；当BP＝CQ时，四边形PQCB是矩形，∴5﹣t＝8﹣2t，解得：t＝3，∴当t＝3时，四边形PQCB为矩形；故答案为：（5﹣t）；3；（2）∵点P的坐标为（t，4），点P在反比例函数的图象上，∴k＝4t，∴y＝，∴点M的坐标为（5，），∴BM＝4﹣，连接PM，如图1所示：∴△POM的面积S＝矩形AOCB的面积﹣△AOP的面积﹣△PBM的面积﹣△OCM的面积＝5×4﹣×t×4﹣×（5﹣t）×（4﹣）﹣×5×＝﹣t2+10，∵点Q从点D运动到点C用是为4秒，点P从点A运动到点B用时为5秒，∴0≤t≤4，∴S＝﹣t2+10（0≤t≤4）；（3）存在；t的值为或，点E的坐标为（，4）或（3﹣2，4）；理由如下：∵点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t﹣3，0），点C的坐标为（5，0），∴PQ2＝（t﹣3）2+42，PC2＝（t﹣5）2+42，CQ2＝（8﹣2t）2；分情况讨论：①当PQ＝PC时，（t﹣3）2+42＝（t﹣5）2+42，解得：t＝4（不合题意，舍去）；②当PQ＝CQ时，（t﹣3）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），∴t＝；若四边形PQCE为菱形，则PE∥CQ，点E在直线AB上，如图2所示：∴AE＝AP+PE＝t+8﹣2t＝8﹣t＝8﹣＝，此时点E的坐标为（，4）；③当PC＝CQ时，（t﹣5）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），∴t＝；若四边形PQCE为菱形，则PE∥CQ，点E在直线AB上，如图3所示：∴AE＝PE﹣AP＝8﹣2t﹣t＝83＝﹣3+2，此时点E的坐标为（3﹣2，4）；综上所述：存在某一时刻，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形，t的值为或，点E的坐标为（，4）或（3﹣2，4）．19．【解答】解：（1）把x＝﹣4，y＝m代入中，得，∴点M（﹣4，2），把x＝n，y＝﹣4代入中，得，∴点N（2，﹣4），∴将点M（﹣4，2），点N（2，﹣4）代入y＝kx+b中，得，解得，∴k＝﹣1，b＝﹣2；（2）①将直线y＝﹣x﹣2向上平移4个单位，得y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，∴点C坐标为（0，2），当y＝﹣x+2＝0时，x＝2，∴点B坐标为（2，0），平移后的直线如图所示：②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：当CA，CB为边时，AP∥CB且AP＝CB，点P坐标为（0，﹣2），当BC，BA为边时，AP∥CB且AP＝CB，点P坐标为（﹣4，2），当AC，AB为边，AC∥BP且AC＝BP，∴点P坐标为（4，2），综上，满足条件的点P坐标为（0，﹣2）或（﹣4，2）或（4，2）．20．【解答】解：（1）①∵点A（6，8），∴AO＝＝10；（2）∵点A（6，8），点E（6，14），∴AE＝6，∵四边形AEMN的周长＝AE+MN+ME+AN，AE＝6，MN＝2，∴四边形AEMN的周长＝8+AN+ME，∴当AN+ME有最小值时，四边形AEMN的周长有最小值，如图，将A向上平移两个单位得到A'，连接A'M，作点A'关于y轴的对称点A''，连接A''E，∴AA'＝2＝MN，A'（6，10），∴四边形ANMA'是平行四边形，∴AN＝A'M，∴AN+ME＝A'M+ME，∵点A'与点A''关于y轴对称，∴A''M＝A'M，点A''（﹣6，10），∴AN+ME＝A''M+ME，∴点M，点E，点A''共线时，A''M+ME的最小值为A''E的长，∵点A''（﹣6，10），点E（6，14），∴直线A''E的解析式为：y＝x+12，当x＝0时，y＝12，∴点M（0，12）；（3）如图，延长EA交x轴于N，过点F作FH⊥x轴于H，设AB＝AO＝5a，∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，DC＝AB＝5a＝AD，∵DE＝4CE，∴DE＝4a，CE＝a，∵AB∥x轴，∴DE∥AB∥x轴，∵AE⊥CD，∴AE⊥x轴，AE⊥AB，∴∠DEA＝∠ANO＝90°，∴AE＝＝3a，∵AD⊥AO，∴∠DAE+∠OAN＝90°＝∠OAN+∠AON，∴∠DAE＝∠AON，又∵AD＝AO＝AB，∴△ANO≌△DEA（AAS），∴DE＝AN＝4a，AE＝ON＝3a，∴点A（3a，4a），点E（3a，7a），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，∴k＝21a2，点F（a，4a），＝＝×3a×7a+（7a+4a）×（a﹣3a）﹣×4a×a，∵S△EOF∴a＝1，∴k＝21，∴反比例函数解析式为y＝．。
2023年九年级中考数学：二次函数综合题压轴题(特殊四边形问题)(含答案)
(1)求该抛物线的解析式和顶点 的坐标；
(2)设点 的横坐标是 ，问当 取何值时，四边形 的面积最大；
(3)如图，若直线 的解析式是 ，点 和点 分别在抛物线上和直线 上，问：是否存在以点 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点 的坐标
3．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点 在此抛物线的对称轴上，当 最大时，点 的坐标为_____，此时 的面积为_____；
(3)点 在抛物线上，平面内存在点 使四边形 为菱形时，请直接写出点 的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 和直线 交于 、 两点，直线 交 轴于点 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上， ， ，抛物线 经过点B，且与x轴交于点 和点E．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
(3)若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
(1)求点 的坐标与 的值；
(2)当点 恰好是 的中点时，求点 的坐标；
(3)连结 ，作点 关于直线 的对称点 ，当点 落在线段 上时，则点 的坐标为______ 直接写出答案
6．已知抛物线 与x轴有公共点．
中考压轴题 二次函数与四边形综合题(解析版)
专题07 二次函数与四边形综合题1．（2019黄石中考）如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过点A(−1,0)、B(5,0).（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；（2）若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积（3）定点D(0,m)在y 轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P 在新的抛物线上运动，求定点D 与动点P 之间距离的最小值d （用含m 的代数式表示）【答案】（1）y =13x 2−43x −53，M(2,−3);（2）36;（3）d ={|m|(m ≤32)√12m−92(m >32) 【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y =13（x +1）（x -5），即可求解；（2）S 四边形AMBC =12AB （y C -y D ），即可求解；（3）抛物线的表达式为：y =13x 2，即可求解．【详解】（1）函数的表达式为：y =13（x +1）（x -5）=13（x 2-4x -5）=13x 2−43x −53，点M 坐标为（2，-3）；（2）当x =8时，y =13（x +1）（x -5）=9，即点C （8，9），S 四边形AMBC =12AB （y C -y D ）=12×6×（9+3）=36；（3）y =13（x +1）（x -5）=13（x 2-4x -5）=13（x -2）2-3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y =13x 2，则定点D 与动点P 之间距离PD =√x 2+(m −13x 2)2=√19x 4+(1−23m)x 2+m 2， ∵19＞0，PD 有最小值，当x 2=3m -92时，PD 最小值d =√3m −92=√12m−92． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大． 2．（2019湖南益阳中考）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A (1，4)，B (3，0)．(1)求抛物线对应二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；(3)应用：如图2，P (m ，n )是抛物线在第四象限的图象上的点，且m +n ＝﹣1，连接P A 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(122x x +，122y y +)．【答案】(1)y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N (43，﹣73)． 【解析】【分析】(1)函数表达式为：y ＝a (x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式，即可求解；(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解； (3)由(2)知：点N 是PQ 的中点，根据C,P 点的坐标求出直线PC 的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q 点的坐标，从而即可求N 点的坐标． 【详解】(1)函数表达式为：y ＝a (x ﹣1)2+4， 的将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM；(3)设点P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由(2)知：点N是PQ的中点，设直线PC的解析式为y=kx+b，将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：45k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得：11 kb=-⎧⎨=-⎩，所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x ＝﹣43，即点Q (﹣43，13)， ∵点N 是PQ 的中点，由中点公式得：点N (43，﹣73)． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N 是PQ 的中点，是本题解题的突破点．3．（2019广东中考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x =+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点.点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，CAD ∆绕点C 顺时针旋转得到CFE ∆，点A 恰好旋转到点F ，连接BE .（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作1DD x ⊥轴于点1D ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM x ⊥轴，点M 为垂足，使得PAM ∆与1DD A ∆相似（不含全等）.①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答．．．．这样的点P 共有几个？【答案】（1）1,0A ，()7,0B -，(3,D --；（2）证明见解析；（3）①点P 的横坐标为53-，11-，373-，②点P 共有3个. 【解析】【分析】(1)令y =0，可得关于x 的方程，解方程求得x 的值即可求得A 、B 两点的坐标，对解析式配方可得顶点D 的坐标；(2)由CF CA =，CO ⊥AF ，可得OF =OA =1，如图2，易得1DD F COF ∆~∆，由此可得OC =证明ACF ∆为等边三角形，推导可得//EC BF ，再由6EC DC ==，6BF =，可得//EC BF ，问题得证；(3)①设点P的坐标为2,848x x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，分三种情况：点P 在B 点左侧，点P 在A 点右侧，点P在AB 之间，分别讨论即可得；②由①的结果即可得.【详解】(1)令20848x x +-=， 解得1x =或7-，故()1,0A ，()7,0B -，配方得)238y x =+-(3,D --； (2)∵CF CA =，CO ⊥AF ，∴OF =OA =1，如图，DD 1⊥轴，∴DD 1//CO ，∴1DD F COF ∆~∆， ∴11D D CO FD OF=，CO 1，∴OC =∴CF，∴2CA CF FA ===，即ACF ∆为等边三角形，∴∠AFC =∠ACF =60°，∵∠ECF =∠ACF ，∴AFC ECF ∠=∠，∴//EC BF ，∵CF ：DF =OF ：FD 1=1：2，∴DF =4，∴CD =6，又∵6EC DC ==，6BF =， ∴//EC BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形；(3)①设点P的坐标为2,848x x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， (ⅰ)当点P 在B 点左侧时，因为PAM ∆与1DD A ∆相似，则1)11PM MA DD D A=，214x x x +-，∴11x =(舍)，x 2=-11； 2)11PM MA AD DD =，即28484x x +，∴11x =(舍)，2373x =-； (ⅱ)当点P 在A 点右侧时，因为PAM ∆与1DD A ∆相似，则3)11PM MA DD D A=，即214x x x +-，∴11x =(舍)，23x =-(舍)； 4)11PM MA AD DD =，即28484x x +，∴11x =(舍)，253x =-(舍)； (ⅲ)当点P 在AB 之间时，∵PAM ∆与1DD A ∆相似，则5)11PM MA DD D A=，即214x x x -+-， ∴11x =(舍)，23x =-(舍)； 6)11PM MA AD DD =，即24x x -+⎝⎭， ∴11x =(舍)，253x =-； 综上所述，点P 的横坐标为53-，11-，373-； ②由①可得这样的点P 共有3个.【点睛】本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键.4．（山西省2019年中考数学试题）如图，抛物线26y ax bx =++经过点A (-2,0)，B (4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ，(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(M M M M . 【解析】【分析】 (1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案； (3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D =4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案.【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A (-2,0)，B (4,0)， ∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA =2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC =6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB =4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4，此时233156424x x -++=-，解得：1211x x ==∴315(1)4N +-，415(1)4N -，∴3M ，4(M ； 以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合， ∵115(1,)4N -，D (3，154)，∴N 1D =4，∴BM 1=N 1D =4，∴OM 1=OB +BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(M M M M ，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.最新模拟试题5．（2020年湖北省枣阳市太平一中中考数学模拟题）如图已知点A （﹣2，4）和点B （1，0）都在抛物线y =mx 2+2mx +n 上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′的交点为点C ，试在x 轴上找点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．【答案】（1）4,43m n =-=（2）2416(4)33y x '=--+（3）13,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 （1）已知了抛物线图象上A 、B 两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m 、n 的值．（2）根据A 、B 的坐标，易求得AB 的长；根据平移的性质知：四边形A A ′B ′B 一定为平行四边形，若四边形A A ′B ′B 为菱形，那么必须满足AB =BB ′，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．（3）易求得直线AB ′的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到C 点的坐标，进而可求出AB 、BC 、AC 、B ′C 的长；在（2）题中已经证得AB =BB ′，那么∠BAC =∠BB ′C ，即A 、B ′对应，若以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，可分两种情况考虑：①∠B ′CD =∠ABC ，此时△B ′CD ∽△ABC ，②∠B ′DC =∠ABC ，此时△B ′DC ∽△ABC ；根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD 长，进而可求得D 点的坐标．【详解】解：（1）由于抛物线经过A （﹣2，4）和点B （1，0），则有：44420m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩，解得434m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩； 故m =﹣43，n =4．（2）由（1）得：y =﹣43x 2﹣83x +4=﹣43（x +1）2+163；由A （﹣2，4）、B （1，0），可得AB =5；若四边形A A ′B ′B 为菱形，则AB =BB ′=5，即B ′（6，0）；故抛物线需向右平移5个单位，即：y =﹣43（x +1﹣5）2+163=﹣43（x ﹣4）2+163．（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x =4；∵A （﹣2，4），B ′（6，0），∴直线AB ′：y =﹣12x +3； 当x =4时，y =1，故C （4，1）；所以：AC B ′C BC ；由（2）知：AB =BB ′=5，即∠BAC =∠BB ′C ；若以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，则：①∠B ′CD =∠ABC ，则△B ′CD ∽△ABC ，可得：B CAB ''=B D AC''，B ′D =3， 此时D （3，0）；②∠B ′DC =∠ABC ，则△B ′DC ∽△ABC ，可得：B CAC '=B D AB '=5B D '，B ′D =53， 此时D （133，0）；综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（133，0）．【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识；（3）题中，在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．6.（河南省外国语中学2019届九年级中招适应性测试卷数学试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A（0，-3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，求点P的坐标，并求△P AB面积的最大值．【答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2-2x-3，直线AB的解析式为y=x-3；(2) M点的坐标为（2，-1）或，(3) 当m=32时，△P AB面积的最大值是278，此时P点坐标为（32，−32）．【解析】（1）将A（0，-3）、B（3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出C点坐标和E点坐标，则CE=2，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE=MN，②若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE=MN，设M（a，a-3），则N（a，a2-2a-3），可分别得到方程求出点M的坐标；（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2-2m-3），则G（m，m-3），可由S△P AB＝12 PG•OB，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．【详解】（1）∵抛物线y=ax2-2x+c经过A（0，-3）、B（3，0）两点，∴9603a cc-+⎧⎨-⎩＝＝，∴13 ac⎧⎨-⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，∵直线y=kx+b经过A（0，-3）、B（3，0）两点，∴303k bb+⎧⎨-⎩＝＝，解得：13kb⎧⎨-⎩＝＝，∴直线AB的解析式为y=x-3，（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，-4），∵CE∥y轴，∴E（1，-2），∴CE=2，①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE=MN，设M（a，a-3），则N（a，a2-2a-3），∴MN=a-3-（a2-2a-3）=-a2+3a，∴-a2+3a=2，解得：a=2，a=1（舍去），∴M（2，-1），②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE=MN，设M （a ，a -3），则N （a ，a 2-2a -3），∴MN =a 2-2a -3-（a -3）=a 2-3a ，∴a 2-3a =2，解得：a ，a （舍去），∴M ，2-），综合可得M 点的坐标为（2，-1 （3）如图，作PG ∥y 轴交直线AB 于点G ，设P （m ，m 2-2m -3），则G （m ，m -3），∴PG =m -3-（m 2-2m -3）=-m 2+3m ，∴S △P AB =S △PGA +S △PGB =12PG •OB ＝12×(−m 2+3m )×3=−32m 2+92m =-32 (m −32)2+278， ∴当m =32时，△P AB 面积的最大值是278，此时P 点坐标为（32，−32）． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．7.（河南省洛阳市2019-2020学年九年级上学期期中数学试题）如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C .直线122y x =-+经过点B ，C .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m .①求PBC ∆面积最大值和此时m 的值；②Q 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P 的坐标.【答案】（1）2722y x x =-++；（2）①当2m =时max 8∆=PBC S ，②P ⎝⎭，41324⎛+ ⎝⎭【解析】（1）求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，根据△PBC 面积＝12×PH ×OB ，利用二次函数的性质即可求解；②分AB 是平行四边形的边，AB 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵直线122y x =-+经过点B ，C ， ∴点B 、C 的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式，得01642b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为：2722y x x =-++； （2）①过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，则点P （m ，2722m m -++），点H （m ，122m -+）， ∴△PBC 面积＝12×PH ×OB ＝12×4×（2722221m m m -+++-）＝−2m 2＋8m ＝−2(m -2)2+8， ∴当m ＝2时，面积存在最大值8；②设点P （m ，2722m m -++），点Q （n ，122n -+）， 令27202y x x =-++=，解得：12124x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴点A 的坐标为：（12-，0）， 当AB 是平行四边形的边时，点A 向右平移92个单位得到B ， 同样点P （Q ）向右平移92个单位得到Q （P ）， 则m ±92＝n ，2722m m -++＝122n -+， 解得：m ＝12-（舍去）或92∴此时P 点坐标为⎝⎭或⎝⎭； 当AB 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m ＋n ＝72，27122022m m n -++-+=， 解得：m ＝12-或92（重复，舍去）；综上点P 的坐标为：⎝⎭或⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．8.（河南省濮阳市县区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知抛物线23)0(y a bx a =++≠经过点1,0A 和点()3,0B ，与y 轴交于点C .（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点（不点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，设点P 的横坐标为m .①用含m 的代数式表示线段PD 的长；②连接PB ，PC ，求PBC ∆的面积最大时点P 的坐标；（3）设抛物线的对称轴与BC 交于点E ，点M 是抛物线的对称轴上一点，N 为y 轴上一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）y ＝x 2﹣4x +3；（2）①用含m 的代数式表示线段PD 的长为﹣m 2+3m ；②△PBC 的面积最大时点P 的坐标为（32，﹣34）；（3）存在这样的点M 和点N ，使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．点M 的坐标为M 1（2，3），M 2（2，1﹣），M 3（2，）．【解析】（1）根据已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0）代入即可求解；（2）①先确定直线BC解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的带上书表示出P和D的坐标进而求解；②用含m的代数式表示出△PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解；（3）根据（1）中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，∴309330a ba b++=⎧⎨++=⎩，解得14ab=⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）①设P（m，m2﹣4m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为y BC＝﹣x+3．∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝12OB•PD＝﹣32m2+92m＝﹣32（m﹣32）2+278．∴当m＝32时，S有最大值．当m＝32时，m2﹣4m+3＝﹣34．∴P（32，﹣34）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（32，﹣34）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF=CF=2，∴EC=2，根据菱形的四条边相等，∴ME=EC，∴M（2，1-）或（2，）当EM=EF=2时，M（2，3）∴点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣），M3（2，）．【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．9.（2019年河南中考原创卷A卷）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．【解析】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+2x+3，令x=0，得到y=3；令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，解得：x=﹣1或x=3，则A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入得：，解得：k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2），当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3），令y=﹣x2+2x+3中x=1，得到y=4，∴D（1，4），当x=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3），∴线段DE=4﹣2=2，∵0＜m＜3，∴y F＞y P，∴线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合题意，舍去），则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；②连接BF，设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，∵S=S△BPF+S△CPF= PF•BM+PF•OM=PF（BM+OM）=PF•OB，∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0＜m＜3），的则当m =时，S 取得最大值．10．（2019年河南中考原创卷B 卷）如图,一次函数y =-12x +2的图象分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点,抛物线y =-x 2+bx +c 过A 、B 两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)作垂直于x 轴的直线x =t,在第一象限内交直线AB 于M,交抛物线于N .当t 取何值时,MN 有最大值,最大值是多少?(3)在(2)的情况下,以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点D 的坐标.【解析】解： (1)∵y =-12x +2的图象分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点,∴A (0,2),B (4,0), 将A (0,2),B (4,0)代入抛物线y =-x 2+bx +c 中,得2,1640,c b c =⎧⎨-++=⎩ 解得7,22,b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴该抛物线的解析式为y =-x 2+72x +2. (2)如图1,设MN 交x 轴于点E,图1则E(t,0),BE=4-t.∵tan∠ABO=OAOB=24=12,∴ME=BE·tan∠ABO=(4-t)×12=2-12t.又N点在抛物线上,且xN =t,∴yN=-t2+72t+2,NE=yN,∴MN=NE-ME=-t2+72t+2-122t⎛⎫-⎪⎝⎭=-t2+4t=-(t-2)2+4,∴当t=2时,MN有最大值,最大值为4.(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的位置分三种情况,如图2所示.图2(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a),由AD=MN,得|a-2|=4,解得a1=6,a2=-2,所以D 1(0,6),D 2(0,-2), (ii )当D 不在y 轴上时,由图可知3D 为N D 1延长线与M D 2延长线的交点,易得N D 1的方程为y =-12x +6,M D 2的方程为y =32x -2, 由两方程联立解得3D (4,4),故所求的D 点坐标为(0,6),(0,-2)或(4,4).11.（2020年广东省初中学业水平考试数学模拟试题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线220y ax bx a =++≠（）与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图①，若点D 是抛物线上一动点，设点D 的横坐标为m （0＜m ＜3），连接CD ，BD ，BC ，AC ，当△BCD 的面积等于△AOC 面积的2倍时，求m 的值；(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224233y x x =-++（2）1或2（3）存在；M 1（2，2）M 2（-2，10-3）M 3（4，10-3） 【解析】【分析】 （1）将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式求出a 、b 即可得到解析式；（2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，用m 表示出D 、E 的坐标，求出DE 线段的表达式，再利用面积关系建立方程求解；（3）根据平行四边形对角线互相平分，可知对角线上的两个点的中点相同，可用中点坐标公式建立方程求解，设N (1,n )，M (x,y )，分3种情况讨论即可.【详解】（1）把A （-1，0），B （3，0）代入22y ax bx =++中，得：209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线解析式为224233y x x =-++ （2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E把0x =代入224233y x x =-++中，得：2y =， ∴C 点坐标是（0，2），又B （3,0）∴直线BC 的解析式为223y x =-+ ∵224,233⎛⎫-++ ⎪⎝⎭D m m m ∴2,23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭E m m ∴2242(2)(2)333DE m m m =-++--+ 2223m m =-+ 由2BCD AOC S S =得：11222=⨯DE OB OA OC ∴212123212232m m -+⨯=⨯⨯⨯（） 整理得：2320m m -+=解得 11m =，22m =∵0＜m ＜3∴m 的值为1或2（3）存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，设N (1,n )，M (x,y )，四边形CMNB 是平行四边形时，CN 、MB 为对角线， ∴103=22++x ∴x =−2，代入抛物线得()()22410222=333=-⨯-+⨯-+-y ∴M （-2，10-3）； 四边形CNBM 时平行四边形时，CB 、MN 为对角线， ∴301=22++x ， ∴x =2，代入抛物线得224222=233=-⨯+⨯+y ∴M (2,2)； 四边形CNMB 时平行四边形时，CM 、BN 为对角线， ∴130=22++x ， ∴x =4，代入抛物线得22410442=333=-⨯+⨯+-y ∴M （4，10-3）； 综上所述：存在M 1（2，2）M 2（-2，10-3）M 3（4，10-3） 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，包含待定系数法求解析式，面积问题和平行四边形存在性问题，属于中考常考类型题，需要掌握抛物线的图像与性质，特殊几何图形的性质，注意数形结合.。
四边形函数综合整理
函数四边形综合一、四边形性质--------点坐标、函数解析式1、如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．（1）求点A、B、D 的坐标；（2）求直线BD的表达式．2、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式．3、如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，且A的坐标为（1，1）．（1）求正比例函数的解析式；（2）已知M，N是y轴上的点，若四边形AMBN是矩形，求M、N的坐标．4、如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC 面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）5、已知，如图，直线y=2x+4与x轴交于点E，与y轴交于点A，点D是直线AE在第一象限上的一点，以AD 为边，在第一象限内做正方形ABCD．（1）若AD=AE，试求点B的坐标；（2）若点B、D恰好在反比例函数上，求反比例函数的解析式．6、如图，正比例函数y=2x与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作AD垂直x轴，垂足为D，过点C作CB垂直x轴，垂足为B，连接AB和CD．已知点A的横坐标为2．（1）求k的值；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形；（3）P、Q两点是坐标轴上的动点（P为正半轴上的点，Q为负半轴上的点），当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形时，求P、Q两点的坐标．7、如图，反比例函数y=（m≠0）的图象过点E（2，﹣6），一次函数y=kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点B、C，与y=的图象在第二象限交于点A，过点A作AD⊥OX，垂足为D，且OB=OD=OC．求反比例函数及一次函数的解析式．8．如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．（1）求点C的坐标；（2）当x为何值时，直线m平分△COB的面积？二、函数-------特殊四边形判定1．（2007•天门）如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为边在第一象限内作正△ABC．（1）求点C的坐标；（2）把△ABO沿直线AC翻折，点B落在点D处，点D是否在经过点C的反比例函数的图象上？说明理由；（3）连接CD，判断四边形ABCD是什么四边形？说明理由．2．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．（3）过A作AC⊥y轴于点C，过B作BD⊥y轴于点D连接AD、BC，试判断四边形ADBC是否是平行四边形？并求出此四边形的面积．3、已知如图，动点P在反比例函数y=﹣（x＜0）的图象上运动，点A点B分别在X轴，Y轴上，且OA=OB=2，PM⊥X轴于M，交AB于点E，PN⊥Y轴于点N，交AB于F；（1）当点P的纵坐标为时，连OE，OF，求E、F两点的坐标及△EOF的面积；（2）动点P在函数y=﹣（x＜0）的图象上移动，它的坐标设为P（a，b）（﹣2＜a＜0，0＜b＜2且|a|≠|b|），其他条件不变，探索：以AE、EF、BF为边的三角形是怎样的三角形？并证明你的结论．4、一次函数y=ax+b的图象分别与x轴，y轴交于点M，N，与反比例函数y=的图象交于点A，B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E，过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于K，连接CD．（1）若点A，B在反比例函数y=的图象的同一分支上，如图1，试证明：AN=BM．（2）若点A，B分别在反比例函数y=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．三、函数-------组成特殊四边形的点坐标个数1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2010•鞍山）已知一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，坐标分别为（﹣2，4）、（4，﹣2）．（1）求两个函数的解析式；（2）结合图象写出y1＜y2时，x的取值范围；（3）求△AOB的面积；（4）是否存在一点P，使以点A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形为菱形？若存在，求出顶点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于M、N两点．（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；（3）在x轴上是否存在点P，使△MOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．4．（2007•常州）已知A（﹣1，m）与B（2，m+3）是反比例函数图象上的两个点．（1）求k的值；（2）若点C（﹣1，0），则在反比例函数图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是_________．四、函数-------四边形--------最值1、已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；（3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．2、如图，直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上移动（0＜x＜3），过点P作直线l与x轴垂直．（1）求点C的坐标；（2）若A点坐标为（0，1），当点P运动到什么位置时，AP+CP最小；（3）设△OBC中位于直线l左侧部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式．3、如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．（只需在图中作出点B，P，保留痕迹，不必写出理由）4、已知反比例函数y=和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A（1，m），请问：在x轴上是否存在点B，使△AOB为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；（3）若直线y=﹣x+交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F，求证：DE•CF为定值．5．（2011•资阳）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y 轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S=S2﹣S1，求S的最大值．。
二次函数与平行四边形综合题
二次函数与平行四边形综合题摘要：1.二次函数与平行四边形的关系2.怎样找全平行四边形3.平行四边形的性质及应用4.实例解析5.总结与展望正文：一、二次函数与平行四边形的关系二次函数是一种数学函数，表示为y=ax+bx+c（a≠0），其中a、b、c 为常数。
在几何中，平行四边形是一种四边形，其中对边两两平行。
二次函数与平行四边形看似没有直接关系，但在一些数学问题中，它们可以结合起来解决一些复杂的问题。
例如，在二次函数的图像上，如果存在两个点A、B，使得线段AB 与x 轴、y 轴构成平行四边形，那么可以利用这个性质求解一些问题。
二、怎样找全平行四边形要找全平行四边形，需要先确定二次函数的解析式。
假设已知二次函数过三个点A(x1, y1)、B(x2, y2) 和C(x3, y3)，我们可以用待定系数法求解二次函数的解析式。
具体步骤如下：1.设二次函数的解析式为y=ax+bx+c。
2.将点A、B、C 的坐标代入解析式，得到三个方程：y1 = ax1 + bx1 + cy2 = ax2 + bx2 + cy3 = ax3 + bx3 + c3.解这三个方程，得到a、b、c 的值。
4.将a、b、c 的值代入解析式，得到二次函数的解析式。
得到二次函数的解析式后，可以进一步求解线段AB 与x 轴、y 轴构成平行四边形的问题。
具体方法如下：1.求线段AB 的中点M，即M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
2.求线段AB 的斜率k，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。
3.求过点M 且斜率为k 的直线方程，即y-(x1+x2)/2 = k(x-(x1+x2)/2)。
4.求该直线与x 轴、y 轴的交点，分别记为D 和E。
5.判断四边形ABED 是否为平行四边形。
如果AD//BE 且AD=BE，则四边形ABED 为平行四边形。
三、平行四边形的性质及应用平行四边形具有以下性质：1.对边平行且相等。
2.对角线互相平分。
二次函数与平行四边形有关问题专项训练
二次函数与平行四边形有关问题专项训练1．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于原点O，A两点，且二次函数最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，∴二次函数顶点为（1，﹣1），设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，将点O（0，0）代入得，a﹣1＝0，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x；（2）连接OP，当y＝0时，x2﹣2x＝0，∴x＝0或2，∴A（2，0），∵点P在抛物线y＝x2﹣2x上，∴点P的纵坐标为t2﹣2t，∴S＝S△AOB+S△OAP﹣S△OBP＝+（﹣t2+2t）﹣t＝﹣t2++1；（3）设N（n，n2﹣2n），当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+0＝1+n，∴n＝1，∴N（1，﹣1），当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1＝n+0，∴n＝3，∴N（3，3），当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n＝0+1，∴n＝﹣1，∴N（﹣1，3），综上：N（1，﹣1）或（3，3）或（﹣1，3）．2．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x 轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）【解答】解：（1）将B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+，令x＝0，则y＝，∴C（0，）；（3）令y＝0，则﹣x2+x+＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），设Q（0，t），P（m，﹣m2+m+），①当AB为平行四边形的对角线时，m＝3﹣1＝2，∴P（2，）；②当AQ为平行四边形的对角线时，3+m＝﹣1，解得m＝﹣4，∴P（﹣4，﹣）；③当AP为平行四边形的对角线时，m﹣1＝3，解得m＝4，∴P（4，﹣）；综上所述：P点坐标为（2，）或（﹣4，﹣）或（4，﹣）．3．（2022•牡丹区三模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y ＝ax2+x+c经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c，得：，解之，得，∴抛物线的解析式为．（32存在．由抛物线可得对称轴是直线x＝1．∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，∴点Q到点P的水平距离也是4．∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为或；②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为．综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或．4．（2022•东莞市校级一模）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，﹣3），已知AB＝4，对称轴在y轴左侧．（1）求抛物线的表达式；（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3，设A（x1，0），B（x2，0），由题意得x2﹣x1＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，∴b2+12＝16，∴b＝±2，又∵对称轴在y轴左侧，∴b＝2，∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形．∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴y＝0时，x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），①若OA为边，∴AO∥MN，OA＝MN＝3，∵N在对称轴x＝﹣1上，∴点M的横坐标为2或﹣4，当x＝2时，y＝5，当x＝﹣4时，y＝5，∴M（2，5）或（﹣4，5）；②若OA为对角线时，∵A（﹣3，0），O（0，0），∴OA的中点的坐标为（﹣，0），∵N在直线x＝﹣1上，设M的横坐标为m，∴，∴m＝﹣2，把m＝﹣2代入抛物线解析式得y＝﹣3，∴M（﹣2，﹣3）．综上所述，M的坐标为（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；5．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，∵该抛物线与直线BC始终有交点，∴Δ＝9﹣4h≥0，∴h≤．∴h的最大值为．（3）存在，理由如下：由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，∴E（2，﹣1），∴DE＝2，设点M（m，﹣m2+4m﹣3），若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：①当DE为边时，DE∥MN，则N（m，m﹣3），∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．②当DE为对角线时，设点N的坐标为t，则N（t，t﹣3），∴，解得m或（舍），∴N（3，0）．综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．6．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），∴S△POC＝x P＝＝3m，S△BOP＝|y P|＝+2m+6），∵S△BOC＝＝18，∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S△PBC最大＝；方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S△PBC最大＝；（3）如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，∴F1点的坐标：（4，﹣6），如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．7．（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），C（0，3）代入，得，∴，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，过点F作FG⊥DE于点G，∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，∴AC＝EF，AC∥EF，∵OA∥FG，∴∠OAC＝∠GFE，∴△OAC≌△GFE（AAS），∴OA＝FG＝3，设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），∴FG＝|m﹣1|＝3，∴m＝﹣2或m＝4，当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5，∴F1（﹣2，﹣5），当m＝4时，﹣m2+2m+3＝﹣5，∴F2（4，﹣5）综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；7．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B （0，3）．∴，∴．∴抛物线的函数表达式为y＝﹣；（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理得，AB＝5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM＝3：4：5，∴AM＝，，∴PM+，∵B（0，3），A（4，0），∴l AB：y＝﹣，∴设P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），∴PM+2MQ＝﹣＝﹣，∵﹣，∴开口向下，0＜m＜4，∴当m＝1时，PM+的最大值为，此时P（1，）；（3）由y＝﹣知，对称轴x＝，∴P'（2，），∵直线l：x＝4，∴抛物线向右平移个单位，∴平移后抛物线解析式为y'＝﹣，设D（4，t），C（c，﹣），①AP'与DC为对角线时，，∴，∴D（4，），②P'D与AC为对角线时，，∴，∴D（4，﹣），③AD与P'C为对角线时，，∴，∴D（4，），综上：D（4，）或（4，﹣）或（4，）．8．（2022•青羊区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴设y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，得：3＝a×（0+3）×（0﹣1），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，OC⊥AB，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，如图1，过点F作FH⊥PE于点H，则FH＝PE，∴S△PEF＝×PE×FH＝PE2，当PE最大时，S△PEF最大，设直线AC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，t+3），∴PE＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，∵﹣1＜0，∴当t＝﹣时，PE取得最大值，∴S△PEF＝PE2＝×（）2＝，∴△PEF的面积的最大值为；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．9．（2022•九龙坡区自主招生）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B分别位于原点的左右两侧，且BO＝3AO＝3．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接P A，交直线BC于点D．记△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，若S1：S2＝1：2，求点P的坐标；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3．∴AO＝1．∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3，∴点C坐标为（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．过P作PM⊥x轴交BC于M，过A作AN⊥x轴交BC于N，如图1，AN∥PM，∴△PMD∽△AND，∴，∴＝，设P（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵A（﹣1，0），∴N（﹣1，4），∴AN＝4，∴＝，∴m＝1或2，∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）；②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，∴OE＝1，∵B（3，0），C（0，3）∴OC＝OB＝3，又∵∠COB＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，∴△EFB是等腰直角三角形，∴FG＝GB＝EG＝1，∴点F的坐标为（2，1），当EF为边时，∵四边形EFPQ为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，2），根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．当EF为对角线时，如图3中，∵四边形PEQF为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，同理求得：点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，﹣2）；综上，点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）．10．（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；【解答】解：（1）将点A（﹣，0），B（3，）代入到y＝ax2+bx+2中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）设点P（m，﹣m2+m+2），∵y＝﹣x2+x+2，∴C（0，2），设直线BC的解析式为y＝kx+c，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+2，∴D（m，m+2），∴PD＝|﹣m2+m+2﹣m﹣2|＝|m2﹣3m|，∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，∴PD∥CO，∴当PD＝CO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或或，∴点P的横坐标为1或2或或；。
函数与四边形综合类型题教案(带答案)
3k b b 3
0，
解得：k=
-1，b=3．所以直线
BC
的函数关系式为：
y
x
3
．
当 x=1 时，y= -1+3=2，∴E（1，2）．当 x m 时， y m 3，
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∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.
y
A
O Cx
M
B
例 4、 解（1）略。
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例 5、已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y 3 x 6 与 x 轴、 y 轴的交点分 别为 A、B ，将 OBA 对折， 4
使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C. （1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D ，在直线 BC 上是否
B
Q
H
1
O1 C
A
x
K
T 图 10
解：（1）点 C 的坐标为 (3,0) .-∵ 点 A、B 的坐标分别为 A(8,0), B(0,6) ， ∴ 可设过 A、B、C 三点的抛物线的解析
式为 y a(x 3)(x 8) . 将 x 0, y 6 代入抛物线的解析式，得 a 1 . ∴ 过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 4
y 1 x2 11 x 6 . 44
（2）可得抛物线的对称轴为 x 11 ，顶点 D 的坐标为 2
(11, 25) ，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G. 2 16
二次函数与平行四边形结合专题练习
二次函数与平行四边形结合专题练习1.题目描述：给定抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴的交点$A,B$，其中$B$的坐标为$(3,0)$，直线$AD$经过点$A$，与抛物线交于点$D(2,3)$。
求抛物线和直线$AD$的解析式，以及是否存在实数$a$，使得过点$(a,0)$且平行于$AD$的直线$EF$与抛物线交于点$F$，使得四边形$ADEF$为平行四边形，若存在，求出$a$。
2.题目描述：给定抛物线的顶点坐标$M(1,4)$，经过点$N(2,3)$，与$x$轴交于$A,B$，与$y$轴交于点$C$。
求抛物线的解析式，以及证明四边形$CDAN$是平行四边形，其中直线$y=kx+t$经过点$C,M$，与$x$轴交于点$D$。
3.题目描述：给定抛物线经过$A(-1,0),B(5,0),C(x,-\frac{5}{2})$三点。
求抛物线的解析式，以及在抛物线的对称轴上有一点$P$，使得$PA+PC$的值最小，求点$P$的坐标。
另外，给定$x$轴上的一动点$M$，判断是否存在抛物线上的一点$N$，使得四边形$ACMN$为平行四边形，若存在，求点$N$的坐标。
4.题目描述：给定抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-2,0),B(4,0),D(2,4)$，与$y$轴交于点$C$，作直线$BC$，连接$AC,CD$。
求抛物线的函数表达式，以及点$E$满足$\angle ECD=\angle ACO$的坐标，点$M$在$y$轴上且位于点$C$上方，点$N$在直线$BC$上，点$P$为第一象限内抛物线上的一点，若以点$C,M,N,P$为顶点的四边形为菱形，求菱形的边长。
5.题目描述：给定抛物线$y=-x^2+2x+3$与$x$轴的交点$A,B$，与$y$轴的交点为$C$，顶点为$D$。
求点$A,B,C$的坐标以及抛物线的对称轴，连接$BC$，与对称轴交于点$E$，点$P$为线段$BC$上的动点，过点$P$作$PF$平行于$DE$交抛物线于点$F$。
函数与平行四边形问题(代几综合)
数学竞赛中的函数与平行四边形问题
总结词：数学竞赛
详细描述：在数学竞赛中，函 数与平行四边形问题是一个常 见的考点。这类问题通常需要 考生灵活运用代数、几何和解 析几何的知识，通过构造、推 理和证明来解答。解决这类问 题需要考生具备扎实的数学基 础和良好的思维能力。
学科交叉的函数与平行四边形问题
详细描述：函数与平行四边形问题可以与其他学科领域进行交叉融合， 如物理学、工程学、计算机科学等。通过学科交叉，可以产生许多具 有挑战性和实际意义的问题，推动数学和其他学科的发展。解决这类 问题需要跨学科的知识和思维方式，能够培养考生的综合素质和创新 能力。 总结词：学科交叉
性质
函数具有确定性、可重复性和有界性。确定性表示对于输入的每一个值，函数都有 唯一的输出值与之对应；可重复性表示相同的输入总是产生相同的输出；有界性表
平行四边形的定义与性质
平行四边形是一个四边形， 其中相对的两边平行。 定义 平行四边形具有对边平行、 对角相等、对角线互相平 分等性质。 性质
函数与平行四边形的关联
利用函数的单调性判断平行四边形的变化趋势
根据函数在某区间的单调性，判断平行四边形 面积或周长的变化趋势。
对于具有周期性关系。
函数与平行四边形的综合问题解析
结合几何与代数知识
在解决函数与平行四边形综合问题时， 需要综合运用几何和代数知识，如三 角函数、向量、解析几何等。
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#O1
函数与平行四边 形的基本概念
二次根式勾股定理四边形与一次函数综合测试题
B 二次根式勾股定理四边形与一次函数综合测试题（一）一、选择题：(每题3分,共 36分)1、使代数式有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x≥0B ．C ．x≥0且D ．一切实数 2、下列等式一定成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．=9 3、若与|x ﹣y ﹣3|互为相反数，则x+y 的值为（ ）A ．3B ．9C ．12D ．274、若三角形三个内角的度数比为1:2:3，则此三角形的三个内角的对边长度的比为( )A.1:2:3B.3:2:1C.1：3：2D.1:4:95、若△ABC 的三边长分别为m 2－1,2m, m 2+1(m>1)，那么 （ ）A. △ABC 为直角三角形，且斜边长为m 2-1B. △ABC 为直角三角形，且斜边长为2mC. △ABC 为直角三角形，且斜边长为m 2+1D. △ABC 不是直角三角形。
6、已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等且互相平分;B ．对角线相等且互相垂直平分C ．对角线互相平分D ．四条边相等，四个角相等8、如图，E,F,G,H 分别是四边形ABCD 的四边中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 应具备的条件是（ ）A.只有一组对边平行 B.对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直。
9、如图，在△ABC 中，D,E,F 分别是三边中点，下列说法中，不正确的是（ ）A.DE ∥AC ，且DE =21AC B.图中有三个平行四边形 C.若S △DEF ＝1 ，则S △ABC ＝4 D. 若△DEF 的周长为L ，则△ABC 的周长为41L 10、下列函数中，y 随x 的增大而减少的函数是（ ）A ．y=2x+8B ．y=﹣2+4xC ．y=﹣2x+8D ．y=4x11、一条直线y=kx+b ，其中k+b=﹣5、kb=6，那么该直线经过（ ）A ．第二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、三象限D ．第二、三、四象限12、把直线y=﹣x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是（ ）A ．1＜m ＜7B ．3＜m ＜4C ．m ＞1D ．m ＜46题图 8题图 9题图二、填空题: (每题3分,共 15分)13、计算：=_________。
二次函数与四边形综合
二次函数与四边形综合
【典型例题】
1、如图，二次函数2
y x ax b =-++的图象与x 轴交于1(,0)2
A -，(2,0)
B 两点，且与y 轴交于点
C 。
⑴求该抛物线的解析式，并判断ABC ∆的形状；
⑵在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且以A C D B 、、、四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；
⑶在此抛物线上是否存在点P ，使得以A C B P 、、、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
3、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点。
⑴求抛物线的解析式；
⑵若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S。
求S关于m的函数关系式，并求
出S的最大值；
=-上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边
⑶若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y x
形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。
4、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），
过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连结CD，DE，以CD，DE为边作□CDEF。
⑴当0<m<8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；
⑵当m=3时，是否存在点D，使□CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说
明理由；
⑶点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值。
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函数与四边形综合题
1、如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线
段OA、OB的长（0A＜OB）是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线
段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、
Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不
存在，请说明理由．
2、已知与是反比例函数图象上的两个
点．
（1）求的值；
（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、
F.
（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
图1 图2 图3
解：（1）OA=6，OB=12，点C是线段AB的中点，OC=AC．作CE⊥x轴于点E．∴OE= 1/2OA=3，CE= 1/2OB=6．
∴点C的坐标为（3，6）．
（2）作DF⊥x轴于点F．△OFD∽△OEC，OD/OC=2/3 ，于是可求得OF=2，DF=4．
∴点D的坐标为（2，4）．
设直线AD的解析式为y=kx+b．把A（6，0），D（2，4）代入得 6k+b=0,2k+b=4,解得k=-1，b=6
∴直线AD的解析式为y=-x+6．
（3）存在．由（2）中D的坐标可知，DA=AF=4，所以∠OAD=45°，因为以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，所以需分情况讨论：
①若P在x轴上方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．
过P作PM⊥x轴，因为∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM=3√2 ，OM=6-3√2 ，即P（6-3√2 ，3 √2）
所以Q的横坐标为6-3 √2-6=-3√2 ，Q1（-3 √2，3√2 ）；
②若P在x轴下方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．
过P作PM⊥x轴，因为∠MAP=∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM=3 √2，OM=6+3 √2，即P（6+3 √2，-3 √2）所以Q的横坐标为6+3 √2-6=3 √2，Q2（3 √2，-3 √2）；
③若Q在x轴上方，OAQP是菱形，则∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此时OAQP是正方形．
又因正方形边长为6，所以此时Q3（6，6）；
④若Q在x轴下方，OPAQ是菱形，则∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此时OPAQ是正方形．
（3，-3）．
又因正方形对角线为6，由正方形的对称性可得Q
4。