惯性矩、静矩,形心坐标公式

§I−1 截面的静矩和形心位置

如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分

⎪

⎭⎪⎬

⎫==⎰⎰A z S A y S A y A

z d d （I −1）

分别定义为该截面对于z 轴和y

轴的静矩。

静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得

⎪

⎪⎭⎪

⎪⎬⎫==

⎰⎰A A z z A A y y A

C A C

d d

利用公式（I −1），上式可写成

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⎪⎭⎪

⎪

⎬

⎫====⎰⎰A S A A z z A S A A

y y y A

C z A C d d （I −2）

或

⎭

⎬

⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=

=A S z A S y y

C

z C （I −4）

如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静

矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对

图I −1

同一坐标轴的静矩的代数和。即：

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎬⎫

==∑∑==n

i ci i y n

i ci i z z A S y A S 11

（I −5）

式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简

单图形的个数。

将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪

⎬⎫

==∑∑∑∑====n

i i n

i ci i c n

i i n

i ci i c A z A z A y A y 11

1

1（I −6）

例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。

解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则

A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ

=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m

例题I −1图

m

323.008.0072.02.008.046.0072.0II

I II II I I 1

1=+⨯+⨯=++=

=

∑∑==A A y A y A A

y

A y n

i i

n

i ci

i c

§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩

如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图

形平面内建立直角坐标系zOy 。现在图形内取微面积d A ，d A 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 和z ，到坐标原点的距离为ρ。现定义y 2d A 和z 2d A 为微面积d A 对z 轴和y 轴的惯性矩，ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分

⎪

⎪⎭⎪⎪

⎬

⎫

===⎰⎰⎰A ρI A z I A y I A A

y A z d d d 2

P 2

2

（I −7） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性

矩。

由图（I −2）可见，2

22z y +=ρ，所以有

⎰⎰+=+==A

y

z A

I I A z y A ρI )d (d 222P （I −8）

即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之和。

另外，微面积d A 与它到两轴距离的乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴的惯性积，而积分

A

zyd I A

yz ⎰=（I −9）

定义为该截面对于y 、z 轴的惯性积。

从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一

图I −2

般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是m 4或mm 4。

§I −3 惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式

一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式

图I −3所示为一任意截面，

z 、y 为通过截面形心的一对正交轴，z 1、y 1为与z 、y 平行的坐标轴，截面形心C 在坐标系z 1O y 1中的坐标为（b ，a ），已知截面对z 、y 轴惯性矩和惯性积为I z 、I y 、I yz ，下面求截面对z 1、y 1轴惯性矩和惯性积I z 1、I y 1、I y 1z 1。

A

a I I z z 21+=（I −10）

同理可得

A

b I I y y 2

1+=（I −11）

式（I −10）、（I −11）称为惯性矩的平行移轴公式。 下面求截面对y 1、z 1轴的惯性积1

1z y I 。根据定义

⎰⎰++==A

A

z y A

a y

b z A y z I )d )((d 1111

⎰⎰⎰⎰+++=A

A

A

A

A

ab A y b A z a A zy d d d d

abA

bS aS I z y yz +++=

由于z 、y 轴是截面的形心轴，所以S z =S y =0，即

abA

I I yz z y +=11 （I −12）

式（I −12）称为惯性积的平行移轴公式。

二、惯性矩、惯性积的转轴公式

图（I −4）所示为一任意截面，z 、y 为过任一点O 的一对正交轴，截面对z 、y 轴惯性矩I z 、I y 和惯性积I yz 已知。现将z 、y 轴绕O 点旋

图I −3