科学和工程计算复习题及答案

科学和工程计算基础复习题

一、 填空题:

1. 评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:

2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由

算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,3. 用计算机进行数值计算时,4. 对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法是

5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:)

()())(()(x f x f x x f cond x C '=

=

6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限; 单调增且有 上界 的数

列一定存在极限. 7. 方程实根的存在唯一性定理:设],[)(b a C x f ∈且0)()(

()

b a ,∈ξ使()0=ξf .当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实

根.

8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,是指对于D 上的任意一对点

()1,y x 和()2,y x 成立不等式:

2121),(),(y y L y x f y x f -≤-.其中常数L 只依赖于区

域D . 9. 设n i R

A i n

n ,,2,1,, =∈⨯λ为其特征值,则称i n

i A λρ≤≤=1max )(为矩阵A 的谱半径.

10. 设1

-A 存在,则称数A A A cond 1)(-=为矩阵A 的条件数,其中⋅是矩阵的算子范数.

11. 方程组f x B x +=,对于任意的初始向量()

0x 和右端项f ,迭代法

()()f x B x k k +=+1收敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 谱半径1)(

()x f

n 1+在开区间()b a ,上存在.若

{}

n

i i x 0

=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=

n

i i

n x x x 0

1ω,则插值多项式

()()

()()()∑

=++'-=n

k k n

k n k n x x x x x f x L 0

11ωω的余项为)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n x n n n +++=-=ωξ,其中),()(b a x x ∈=ξξ.

13. 若函数组

(){}[]b a C x n k k ,0

⊂=ϕ满足⎩⎨⎧

=≠≠=l

k l

k l k ,0,0),(ϕϕ k,l =0,1,2,…,n ,则称

(){}n

k k x 0=ϕ为正交函数序列. 14. 复化梯形求积公式

⎰

∑⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+++=≈-=b

a

n k n b f kh a f a f h f T dx x f 1

1)()(2)(2)()(,

其余项为),(),(12

)(2

b a f h a b R n

T

∈''--=ηη

15. 复化Simpson 求积公式

⎰

∑∑⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡++++++=≈-=-=b

a

n k n k n b f kh a f h k a f a f h f S dx x f 101

1)()2(2))12((4)(3)()(,其余项为),(),(180

)()

4(4b a f h a b R n

S

∈--=ηη

16. 选互异节点n x x x ,,,10 为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为

2n+1 .

17. 如果给定方法的局部截断误差是()

1

1++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法是

P 阶的或具有P 阶精度 .

18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 数值解的稳定性和精度 ,给数值

计算造成很大的实质性困难的现象. 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0⊂∞

=终止准则通常采用

1

1k k k

x x x ε--<+，

其中的0>ε为 相对误差

20.二、 选择题

1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组()

,ij

n n

Ax b A a ⨯==的

充分条件? ( D )

A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;

B. A 对称正定;

C. A 严格对角占优;

D. A 的行列式不为零.

2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A.

313n ; B. 323n ; C. 314n ; D. 334

n . 3. 对于任意的初始向是()

0x 和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()

()1k k

x

Bx f +=+收

敛的充分必要条件是( A ). A.

()1B ρ<; B. 1B <; C. ()det 0B ≠; D. B 严格对角占优.

4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组()

,ij

n n

Ax b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收

敛的充分条件? ( C )

A. A 为严格对角占优阵;

B. A 为不可约弱对角占优阵;

C. A 的行列式不为零;

D. A 为对称正定阵. 5. 设()[]2,f x C a b =，并记()

2max a x b

M f x ≤≤''=，则函数()f x 的过点

()()()(),,,a f a b f b 的线性插值余项()1

R x ,[],x a b ∀∈满足( A ).

A. ()()2218M R x b a ≤

-; B. ()()2

218M R x b a <-; C. ()()2216M R x b a ≤-; D. ()()2

216

M R x b a <-.

6. 设()n x ϕ是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则

()n x ϕ的n 个根( A ).

A. 都是单实根;

B. 都是正根;

C. 有非负的根;

D. 存在重根

7. Legendre 多项式是( )的正交多项式.( B )

A. 区间[]1,1-上带权()

x ρ=

B. 区间[]1,1-上带权()1x ρ=;

C. 区间[],-∞∞上带权()2

x x e ρ-=; D. 区间[]0,1上带权()1x ρ=

8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( D )无关?

A. 基函数()

{}

n k k x ϕ=; B. 自变量序列{}0m

i i x =;

C. 权数{}0m

i i w =; D. 离散点的函数值{}0m

i i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( B ).

A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;

B. ()()

()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()

()()2,,12

h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-

∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D )次代数精确度.

A. n ;

B. 1n +;

C. 21n +;

D. 21n -. 11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B ). A. ()O h ; B. ()2

O h

; C. ()2o h ; D. ()32

O h .