大一第一学期期末高数A试卷及答案

高等数学I

1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是

无穷小. (A) ()()x x βα+

(B)

()()x x 22βα+ (C)

[])()(1ln x x βα⋅+

(D) )()

(2x x βα

2. 极限a

x a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1

（B ） e

（C ） a

e

cot （D ） a

e

tan

3.

⎪⎩⎪

⎨⎧=≠-+=001

sin )(2x a x x

e x x

f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1

（B ） 0

（C ） e （D ） 1-

4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=

--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '

(C) )(a f ' （D ） )

(31

a f '

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 极限)

0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由

x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x

xe ye x y

x xy

xy

ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直

线l 的方程为 13

121

1--=--=-z y x . 8. 求函数2

)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

9. 计算极限10(1)lim

x

x x e

x →+-.

解：1

1

ln(1)120

00(1)1

ln(1)lim

lim lim

2x x x

x x x x e e

x x e

e e x x

x +-→→→+--+-===-

10. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且

]

,[)()()(b a x dt

t f t x x F x

a

∈-=⎰，试求出)(x F ''。

解：

⎰⎰-=x

a

x

a

dt

t tf dt t f x x F )()()(

⎰⎰=-+='x

a

x

a

dt

t f x xf x xf dt t f x F )()()()()( )()(x f x F =''

11. 求

3

cos .sin x

x

dx x ⎰

解

：

23cos 1

sin sin 2x x

dx xd x x -=-⎰⎰2221111

sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C

---=-+=--+⎰

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

12. 求

⎰

-2

3

2

21

x x dx .

令　

1x t =

⎰

--=21

2

322)1

(11

11dt t t t

原式

=-⎰dt

t 121

2

3

2

=arcsin t

12

3

2=

π

6

13. 求函数

212x x y +=

的极值与拐点. 解：函数的定义域（－∞，+∞）

22)1()1)(1(2x x x y ++-=' 322)1()3(4x x x y +--=

''

令0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1

0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点

极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y

0=''y 33

故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23

）

14. 求由曲线43x y =与2

3x x y -=所围成的平面图形的面积.

解　:,,

x x x x x x 3

232431240=--+=

x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123

S x x x dx x x x dx

=-++---⎰⎰()()3260

2

3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340

21632332316

=+=4521347

1

3 15. 设抛物线2

4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧 A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ∆的面积最大.

AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离　的面积

+-==+-=-++-≤≤2104521

5

235

132()

∆

S x x x x x ()()=

⋅⋅-++=-++12452352232

2

当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()401 此时 所求点为，y =313()

另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线

的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使　解得所求点为∆ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()

,(),,(,)

002

0004253312113-'=-=--+=-=

六、证明题（本大题4分）

16. 设0x >，试证x x e x +<-1)1(2.

证明：设

0),1()1()(2>+--=x x x e x f x

1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，0)(,

0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，

+∞）内递减。在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减，在（0，+∞）

内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x 亦即当 x >0时，

x x e x +<-1)1(2 试证x x e x +<-1)1(2.