电路分析第十章习题解析
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(3)u(t)=8cos(250t+60°)V, i(t)=5sin(250t+150°)A。试确定该元件 是电阻、电感或电容，并确定其元件数值。
解: (1) 求电压与电流的相位差
u (t ) 15cos(400t 30 ) V i (t ) 3sin(400t 30 )A 3cos(400t 60 )A
U L Z L I j31.4 92.7 103 128.7 V 2.91 141.3 V uL (t ) 2.91 2 cos(314t 141.3 )V U C ZC I j106.2 92.7 103 128.7 V 9.8538.7 V uC (t ) 9.85 2 cos(314t 38.7 )V
U 545 V 1 1 1 U2 U3 0 j 0.1U1 3 j3 3 j3 1 1 1 1 2 U2 ( )U 3 130 45 U1 3 j3 15 3 j 3 15 15
10-39 电路的相量模型如题图10-39所示，试用结点 分析求电压 U C
解： 以电容电压为变量，列出题图10-12所示电路的微分方程
duc 10 10 uc 10 2 cos100t dt
3
得到复数代数方程
( j1 1)UCm 10 20
求解代数方程得到电容电压的振幅相量
10 20 10 20 UCm = V V 10 45 V j1 1 245
US 7.0750 7.0750 I A A 92.7128.7 mA Z 15 j 3.14 j106.2 76.3 78.7 i (t ) 92.7 2 cos(314t 128.7 )mA
用相量形式的欧姆定律计算电容和电感电压的相 量，然后得到其瞬时值表达式。
u(t ) u1 (t ) u2 (t ) 6.31 2 cos(4t 14.1 )V
10-20
已知某二端元件的电压、电流采用关联参考方向，其瞬
时值表达式为（1）u(t)=15cos(400t+30°)V, i(t)=3sin(400t+
30°)A; (2) u(t)=8sin(500t+50°)V, i(t)=2sin(500t+140°)A ;
解：由电源电压uS(t)的瞬时值表达式得到有效值相量 Us
us (t ) 1.5 2 cos(105 t 60 )V U s 1.560 V
用相量形式的欧姆定律求得电流iR(t)、iL(t)、iC(t)的 有效值相量 I R、I L、IC 。
U s 1.560 A 1.5 103 60 A 1.560 mA R 1000 U 1.560 3 IL s A 15 10 30 A 15 30 mA 5 3 j L j10 10 IR I C jCU s j105 107 1.560 A 15 10 3 150 A 15150 mA
i(t ) 10 2 cos(314t 90 )A 。(1)求正弦电压与电流的相位差，
说明它们超前、滞后的关系，画出波形图。(2)假设将正弦电压 的初相改变为零，求此时正弦电流的表达式。 电压和电流的波形如题图10-4所示
解: (1) u i 50 (90 ) 40 (2) i(t ) 10 2 cos(314t )A 10 2 cos(314 40 )A u
10-30 题图10-30所示电路中，已知IS=5A, IR=4A,
IL=10A。求ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容电流IC 。
解: 由于电阻电流 I R 与电抗电流 I 相位相差90°，它 们与总电流 I S 形成一个直角三角形，由此求出电抗电 流 I 的有效值。
2 2 I IS IR 52 42 A 3A
根据电压相位与电流同相，确定该元件为电阻元件，其元 件参数为
Um 8 R 1.6 Im 5
10-23
题图10-23所示电路中，已知电压
us (t ) 1.5 2 cos(105 t 60 )V。
求电流iR(t)、iL(t)、iC(t)、i(t)的相量。
结点方程为
U 545 V 1 1 1 1 1 1 U1 ( )U 2 U3 0 j10 j10 3 j 3 3 j3 j10 1 1 1 1 2 U2 ( )U 3 130 45 U1 3 j3 15 3 j 3 15 15
根据电流相位超前于电压90°，可确定该元件为电容 元件，其元件参数为
Im 2 0.25S 0.25 C S 0.25S C F 5 104 F 500 μF Um 8 500
（3） 求电压与电流的相位差
u (t ) 8cos(250t 60 ) V i (t ) 5sin(250t 150 )A 5cos(250t 60 )A
10-11 题图10-11所示电路中，已知 。试建立电路 微分方程，并用相量法求正弦稳态电流i(t)。
解：列出题图10-11所示电路的微分方程
di 2 200i 200 2 cos100t dt
得到复数代数方程
j 2 100I m 200I m 200 20
求解代数方程得到电流振幅相量
直角三角形关系，总电流的有效值等于
2 I 3 I12 I 2 12 22 A 5A = 2.236V
10-29 题图10-29所示电路中，已知 uS(t)=10cos(314t+50°)V。
试用相量法求电流i(t)和电压uL(t)、uC(t)。
解：画出题图10-29（a）所示电路的相量模型，如 题图10-29（b）所示。用相量形式的KCL、KVL和 相量形式的欧姆定律计算出电流相量 I ，并得到 瞬时值形式的电流i(t)。
根据电压相位超前于电流90°，可确定该元件为电感 元件，其元件参数为
U m 15 5 5 L L H 0.0125H 12.5 mH Im 3 400
（2）求电压与电流的相位差
u (t ) 8sin(500t 50 ) V i (t ) 2sin(500t 140 )A
200 20 200 20 Im = A A 1 45 A j 2 100 200 200 245
由电流相量得到正弦稳态电流
i(t ) 1cos(100t 45 ) A
10-12 题图10-12所示电路中，已知 is (t) 10 2cos100 t A 。试 建立电路微分方程，并用相量法求正弦稳态电压uc(t)。
解：列出两个结点方程，并求解得到结点电压 U C
1 1 1 (10 j5 )U1 j5 U C 20 1 U ( 1 1 )U 245 1 C j 5 j 5 j 4
(0.1 j 0.2)U1 j 0.2U C 20 j 0.2U1 j 0.05U C 245
u1 (t ) 2 2 sin 4t 2 2 cos(4t 90 )V U1 2 90 V j 2V u2 (t ) 10 cos(4t 30 )V U 2 5 230 V (6.12 j3.54)V
再根据相量形式的KVL方程求出电压相量
最后根据电压相量 U 6.3114.1 V 得到瞬时值形式的电压u(t)
将电容电流作为参考相量，即 IC IC 0 A ，则 电感电流为 I L 10180 A = 10A 。根据相量形式 的KCL方程得到
IC I I L (30 10180 )A (3 10)0 A
计算表明电容电流的有效值IC=13A,或者IC=7A。
10-37 电路相量模型如题图10-37所示，列出网孔电流 方程和结点电压方程。
求电压uR(t)、uL(t)、uC(t)、uS(t)的相量。
解：由电流i(t)的瞬时值表达式得到振幅相量 I m
i(t ) 1cos(107 t 90 )A I m 190 A j1A
利用相量形式的欧姆定律求出电压 uR (t )、uL (t )、uC (t ) 的振幅相量和有效值相量
解：由于电感电压超前电阻电压90°，三个电压 呈直角三角形关系，总电压的有效值等于
2 U 3 U12 U 2 32 42 V 5V
10-27 题图10-27所示电路中，已知电流表A1的读数 为1A，A2的读数为2A。问电流表读数A3等于多少？
解：由于电容电流超前电阻电流90°，三个电流成
用相量形式的KCL方程求得电流i(t)的有效值相量 I
I = I R I L I C (1.560 15 30 15150 )mA 1.560 mA + (13 j7.5 13 + j7.5)mA = 1.560 mA
10-24 题图10-24所示电路中，已知电流i(t)=1cos(107t+90°)A。
由电压相量得到正弦稳态电压
uc (t ) 10cos(100t 45 ) V
10-18
已知两个串联元件上的电压为
u2 (t ) 10cos(4t 30 )V。试用相量方法求正弦
稳态电压u(t)=u1(t)+u2(t)。 解：先写出电压u1(t)、u2(t)的有效值相量
u1 (t ) 2 2 sin 4t V
解：由电压和电流的瞬时值表达式得到以下结果： 电压振幅Um=311V 角频率ω=314rad/s 频率f=50Hz
初相ψ= -30°
电流振幅Im=0.2A 角频率 ω =2.922×106rad/s 频率f=465×103Hz 初相ψ =60°
10-4 已知正弦电压和电流为 u(t ) 220 2 cos(314t 50 )V ,
解： 网孔方程为
( j10 j10) I1 ( j10) I 2 j10 I 3 545 ( j10) I1 (18 j13) I 2 (3 j3) I 3 245 I 3 130 A
j10 I 2 j10 I 3 545 j10 I1 (18 j13) I 2 (3 j3) I 3 245 I 3 130 A
用相量形式的KVL方程求得电源电压uS(t)的振幅相量 U Sm
和有效值相量 U S
U Sm U Rm U Lm U Cm ( j100 104 180 104 0 )V U Rm j100V U S U R j 70.7V 70.790 V
10-26 题图10-26所示电路中，已知电压表V1的读数为3V, V2的读数为4V。问电压表读数V3等于多少？
U Rm RI m 100 190 V 10090 V j100V U R 70.790 V j 70.7V
U Lm j LI m j107 103 190 V 104 180 V U L 7070180 V U Cm 1 1 4 Im 1 90 V 10 0 V U C 70700 V 7 11 jC j10 10
解: (1) 求电压与电流的相位差
u (t ) 15cos(400t 30 ) V i (t ) 3sin(400t 30 )A 3cos(400t 60 )A
U L Z L I j31.4 92.7 103 128.7 V 2.91 141.3 V uL (t ) 2.91 2 cos(314t 141.3 )V U C ZC I j106.2 92.7 103 128.7 V 9.8538.7 V uC (t ) 9.85 2 cos(314t 38.7 )V
U 545 V 1 1 1 U2 U3 0 j 0.1U1 3 j3 3 j3 1 1 1 1 2 U2 ( )U 3 130 45 U1 3 j3 15 3 j 3 15 15
10-39 电路的相量模型如题图10-39所示，试用结点 分析求电压 U C
解： 以电容电压为变量，列出题图10-12所示电路的微分方程
duc 10 10 uc 10 2 cos100t dt
3
得到复数代数方程
( j1 1)UCm 10 20
求解代数方程得到电容电压的振幅相量
10 20 10 20 UCm = V V 10 45 V j1 1 245
US 7.0750 7.0750 I A A 92.7128.7 mA Z 15 j 3.14 j106.2 76.3 78.7 i (t ) 92.7 2 cos(314t 128.7 )mA
用相量形式的欧姆定律计算电容和电感电压的相 量，然后得到其瞬时值表达式。
u(t ) u1 (t ) u2 (t ) 6.31 2 cos(4t 14.1 )V
10-20
已知某二端元件的电压、电流采用关联参考方向，其瞬
时值表达式为（1）u(t)=15cos(400t+30°)V, i(t)=3sin(400t+
30°)A; (2) u(t)=8sin(500t+50°)V, i(t)=2sin(500t+140°)A ;
解：由电源电压uS(t)的瞬时值表达式得到有效值相量 Us
us (t ) 1.5 2 cos(105 t 60 )V U s 1.560 V
用相量形式的欧姆定律求得电流iR(t)、iL(t)、iC(t)的 有效值相量 I R、I L、IC 。
U s 1.560 A 1.5 103 60 A 1.560 mA R 1000 U 1.560 3 IL s A 15 10 30 A 15 30 mA 5 3 j L j10 10 IR I C jCU s j105 107 1.560 A 15 10 3 150 A 15150 mA
i(t ) 10 2 cos(314t 90 )A 。(1)求正弦电压与电流的相位差，
说明它们超前、滞后的关系，画出波形图。(2)假设将正弦电压 的初相改变为零，求此时正弦电流的表达式。 电压和电流的波形如题图10-4所示
解: (1) u i 50 (90 ) 40 (2) i(t ) 10 2 cos(314t )A 10 2 cos(314 40 )A u
10-30 题图10-30所示电路中，已知IS=5A, IR=4A,
IL=10A。求ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容电流IC 。
解: 由于电阻电流 I R 与电抗电流 I 相位相差90°，它 们与总电流 I S 形成一个直角三角形，由此求出电抗电 流 I 的有效值。
2 2 I IS IR 52 42 A 3A
根据电压相位与电流同相，确定该元件为电阻元件，其元 件参数为
Um 8 R 1.6 Im 5
10-23
题图10-23所示电路中，已知电压
us (t ) 1.5 2 cos(105 t 60 )V。
求电流iR(t)、iL(t)、iC(t)、i(t)的相量。
结点方程为
U 545 V 1 1 1 1 1 1 U1 ( )U 2 U3 0 j10 j10 3 j 3 3 j3 j10 1 1 1 1 2 U2 ( )U 3 130 45 U1 3 j3 15 3 j 3 15 15
根据电流相位超前于电压90°，可确定该元件为电容 元件，其元件参数为
Im 2 0.25S 0.25 C S 0.25S C F 5 104 F 500 μF Um 8 500
（3） 求电压与电流的相位差
u (t ) 8cos(250t 60 ) V i (t ) 5sin(250t 150 )A 5cos(250t 60 )A
10-11 题图10-11所示电路中，已知 。试建立电路 微分方程，并用相量法求正弦稳态电流i(t)。
解：列出题图10-11所示电路的微分方程
di 2 200i 200 2 cos100t dt
得到复数代数方程
j 2 100I m 200I m 200 20
求解代数方程得到电流振幅相量
直角三角形关系，总电流的有效值等于
2 I 3 I12 I 2 12 22 A 5A = 2.236V
10-29 题图10-29所示电路中，已知 uS(t)=10cos(314t+50°)V。
试用相量法求电流i(t)和电压uL(t)、uC(t)。
解：画出题图10-29（a）所示电路的相量模型，如 题图10-29（b）所示。用相量形式的KCL、KVL和 相量形式的欧姆定律计算出电流相量 I ，并得到 瞬时值形式的电流i(t)。
根据电压相位超前于电流90°，可确定该元件为电感 元件，其元件参数为
U m 15 5 5 L L H 0.0125H 12.5 mH Im 3 400
（2）求电压与电流的相位差
u (t ) 8sin(500t 50 ) V i (t ) 2sin(500t 140 )A
200 20 200 20 Im = A A 1 45 A j 2 100 200 200 245
由电流相量得到正弦稳态电流
i(t ) 1cos(100t 45 ) A
10-12 题图10-12所示电路中，已知 is (t) 10 2cos100 t A 。试 建立电路微分方程，并用相量法求正弦稳态电压uc(t)。
解：列出两个结点方程，并求解得到结点电压 U C
1 1 1 (10 j5 )U1 j5 U C 20 1 U ( 1 1 )U 245 1 C j 5 j 5 j 4
(0.1 j 0.2)U1 j 0.2U C 20 j 0.2U1 j 0.05U C 245
u1 (t ) 2 2 sin 4t 2 2 cos(4t 90 )V U1 2 90 V j 2V u2 (t ) 10 cos(4t 30 )V U 2 5 230 V (6.12 j3.54)V
再根据相量形式的KVL方程求出电压相量
最后根据电压相量 U 6.3114.1 V 得到瞬时值形式的电压u(t)
将电容电流作为参考相量，即 IC IC 0 A ，则 电感电流为 I L 10180 A = 10A 。根据相量形式 的KCL方程得到
IC I I L (30 10180 )A (3 10)0 A
计算表明电容电流的有效值IC=13A,或者IC=7A。
10-37 电路相量模型如题图10-37所示，列出网孔电流 方程和结点电压方程。
求电压uR(t)、uL(t)、uC(t)、uS(t)的相量。
解：由电流i(t)的瞬时值表达式得到振幅相量 I m
i(t ) 1cos(107 t 90 )A I m 190 A j1A
利用相量形式的欧姆定律求出电压 uR (t )、uL (t )、uC (t ) 的振幅相量和有效值相量
解：由于电感电压超前电阻电压90°，三个电压 呈直角三角形关系，总电压的有效值等于
2 U 3 U12 U 2 32 42 V 5V
10-27 题图10-27所示电路中，已知电流表A1的读数 为1A，A2的读数为2A。问电流表读数A3等于多少？
解：由于电容电流超前电阻电流90°，三个电流成
用相量形式的KCL方程求得电流i(t)的有效值相量 I
I = I R I L I C (1.560 15 30 15150 )mA 1.560 mA + (13 j7.5 13 + j7.5)mA = 1.560 mA
10-24 题图10-24所示电路中，已知电流i(t)=1cos(107t+90°)A。
由电压相量得到正弦稳态电压
uc (t ) 10cos(100t 45 ) V
10-18
已知两个串联元件上的电压为
u2 (t ) 10cos(4t 30 )V。试用相量方法求正弦
稳态电压u(t)=u1(t)+u2(t)。 解：先写出电压u1(t)、u2(t)的有效值相量
u1 (t ) 2 2 sin 4t V
解：由电压和电流的瞬时值表达式得到以下结果： 电压振幅Um=311V 角频率ω=314rad/s 频率f=50Hz
初相ψ= -30°
电流振幅Im=0.2A 角频率 ω =2.922×106rad/s 频率f=465×103Hz 初相ψ =60°
10-4 已知正弦电压和电流为 u(t ) 220 2 cos(314t 50 )V ,
解： 网孔方程为
( j10 j10) I1 ( j10) I 2 j10 I 3 545 ( j10) I1 (18 j13) I 2 (3 j3) I 3 245 I 3 130 A
j10 I 2 j10 I 3 545 j10 I1 (18 j13) I 2 (3 j3) I 3 245 I 3 130 A
用相量形式的KVL方程求得电源电压uS(t)的振幅相量 U Sm
和有效值相量 U S
U Sm U Rm U Lm U Cm ( j100 104 180 104 0 )V U Rm j100V U S U R j 70.7V 70.790 V
10-26 题图10-26所示电路中，已知电压表V1的读数为3V, V2的读数为4V。问电压表读数V3等于多少？
U Rm RI m 100 190 V 10090 V j100V U R 70.790 V j 70.7V
U Lm j LI m j107 103 190 V 104 180 V U L 7070180 V U Cm 1 1 4 Im 1 90 V 10 0 V U C 70700 V 7 11 jC j10 10