选修2-2教案定积分

§1.5.1曲边梯形的面积

一、教学目标：

理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法.

二、教学重难点

重点:掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）.

难点: 对过程中所包含的基本的微积分“以直代曲”的思想的理解.

三、教学过程：

1、创设情景

我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢

这就是定积分要解决的问题。

定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。

一个概念：如果函数()

y f x

=在某一区间I上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()

y f x

=称为区间I上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）

2、新课讲授

问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()

y f x

=的一段，我们把由直线,(),0

x a x b a b y

==≠=和曲线()

y f x

=所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积

例1：求图中阴影部分是由抛物线2

y x

=，直线1

=

x以及x轴所围成的平面图形的面积S。

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别

（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．

x

x

x

1

1

y y y

0.1

把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S ．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割 在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n

10,

n ⎡

⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n

n -⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤

=⎢

⎥⎣

⎦，其长度为

11

i i x n n n

-∆=

-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：

1S ∆，2S ∆，…，n S ∆ 显然，1

n

i i S S ==

∆∑

（2）近似代替

记()2

f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣

⎦上，可以认为函数()2

f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点

1

i n

-处的函数值1i f n -⎛⎫ ⎪⎝⎭

，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边

（如图）．这样，在区间

1

,

i i

n n

-

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

上，用小矩形的面积

i

S'

∆近似的代替

i

S

∆，即在局部范围内“以

直代取”，则有

2

11

i i

i i

S S f x x

n n

--

⎛⎫⎛⎫

'

∆≈∆=∆=∆

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

2

11

(1,2,,)

i

i n

n n

-

⎛⎫

==

⎪

⎝⎭

①

（3）求和

由①，上图中阴影部分的面积

n

S为

2

111

111

n n n

n i

i i i

i i

S S f x

n n n

===

--

⎛⎫⎛⎫

'

∆=∆=∆=

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

∑∑∑

=

22

11111

n

n n n n n

-

⎛⎫⎛⎫

+++

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

=()2

22

3

1

121

n

n

⎡⎤

+++-

⎣⎦

=

()()

3

121

1

6

n n n

n

--

=

111

11

32

n n

⎛⎫⎛⎫

--

⎪⎪

⎝⎭⎝⎭

从而得到S的近似值

111

11

32

n

S S

n n

⎛⎫⎛⎫

≈=--

⎪⎪

⎝⎭⎝⎭

（4）取极限

分别将区间[]

0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n趋向于无穷大时，即x

∆趋向于0时，

111

11

32

n

S

n n

⎛⎫⎛⎫

=--

⎪⎪

⎝⎭⎝⎭

趋向于S，从而有

1

111111

lim lim lim11

323

n

n

n n n

i

i

S S f

n n n n

→∞→∞→∞

=

-

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

===--=

⎪ ⎪⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑

从数值上的变化趋势：