高等数学(上)2 西北工业大学考试题库及答案 答案在最后一页
西北工业大学 高等数学(上)期中考试试题及答案
编号：2006 －2007 学年第一学期期中考试开课学院理学院课程高等数学（上）学时96考试日期2006/11/17 时间 2 小时考试形式（闭）（A）卷2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。
共6 页第1 页二、选择题（2384'=⨯'）1、若1)11(lim2=---++∞→baxxxx，则（）A. 1,1=-=ba；B. 0,1==ba；C. 0,1=-=ba；D. 1,1==ba。
2、设)1(||)(22--=xxxxxf，则以下结论中错误的是（）A. 1,0,1==-=xxx为)(xf的间断点； B. 1-=x为无穷间断点；C. 0=x为可去间断点； D. 1=x为第一类间断点。
3、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=),(,cos1)(2xxgxxxxxf，其中)(xg是有界函数，则)(xf在0=x处（）A. 极限不存在；B. 极限存在，但不连续；C. 连续，但不可导；D. 可导。
4、曲线0=+-yx eexy在0=x处的切线方程为（）A. xy=；B. 1+=xy；C. 12+=xy；D. 1-=xy。
5、设)(xf在0=x的某领域内可导，且0)0(='f，又21)(lim='→xxfx，则（）A. )0(f一定是)(xf的极大值；B. )0(f一定是)(xf的极小值；C. )0(f一定不是)(xf的极值；D. 不能确定)0(f是否为)(xf的极值。
6、有一容器如图所示，假定以匀速向容器内注水，)(th为容器内水平面高度随时间变化的规律，则能正确反映)(th'变化状态的曲线是（）A. B. C. D.7、设函数13)(3--=xxxf，则方程0)(=xf（）A. 在)1,0(内有实根；B. 在)0,1(-内没有实根；C. 在),0(+∞内有两个不同的实根；D. 在)0,(-∞内有两个不同的实根。
8、设在]1,0[上0)(>''xf，则)0()1(),1(),0(ffff-''的大小顺序是（）A. )1()0()1()0(ffff'<-<'； B. )0()0()1()1(ffff'<-<'；C. )0()1()0()1(ffff'<'<-； D. )0()1()1()0(ffff-<'<'。
高数2试题及答案.(DOC)
模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。
2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。
西北工业大学《高等数学2B》2019-2020学年第二学期期末试卷
.
∫∫ 5. 设曲面 Σ 是圆锥面=z x2 + y2 ( 0 ≤ z ≤ 2) , 则曲面积分 z dS 的值为 Σ
.
二、选择题（共 15 分，每小题 3 分）
1. 下列级数中收敛的是 (
)．
∞
∑ (A) (−1)n n=1
∑ (B) ∞ tan π
n=3 n
∑∞ 4n −1
(C) n=1 n2 + n
2
2
的曲线段.
= 解: P
x= x2 ++ yy2 , Q
y x2
+= − yx2 , 则 ∂∂Py
x= 2( x−22+xyy 2−)2y 2
∂Q , 故曲线积分与路径无关, ∂x
选取= 圆弧 C : x π= cosθ , y π sinθ , θ: π → 0, 则
2
2
∫ ∫ L
(x
+
y)dx x2
六、证明题(本题 5 分)
设常数 a
>
0, 对 ∀ n ∈ N+ ,
un
>
0,
vn
>
0,
且
vn
un un+1
− vn+1
≥
a.
∞
∑ 证明: 级数 un 收敛.
n=1
证明:
vn
un un+1
−
vn+1
≥
a
>
0
即
unvn − un+1vn+1 ≥ a > 0 , un+1
于是
unvn − un+1vn+1 > 0,
西工大—高数答案—重积分
第九章 重积分第一节 重积分的概念与性质1.选择设21()d DI x y =+σ⎰⎰,32()d DI x y =+σ⎰⎰,（1）若D 由x 轴、y 轴与直线1x y +=围成,则在D 上B . A .23()()x y x y +≤+; B .23()()x y x y +≤+; 由二重积分的性质可知,A .A .12I I ≥;B .12I I ≤;C .12I I =; （2）若D 由圆周22(2)(1)2x y -+-=围成,则B . A .12I I ≥; B .12I I ≤; C .12I I =; 2.填空设(,)d DI f x y =σ⎰⎰,（1）若(,)1f x y x y =++,域D 为01x ≤≤,02y ≤≤,则在D 上,(,)f x y 的最小值为1,最大值为4;由二重积分的性质可知,28I ≤≤;（2）若22(,)49f x y x y =++,域D 为224x y +≤,则在D 上,(,)f x y 的最小值为9,最大值为25,因此36100I π≤≤π.3.设12231()d D I x y =+σ⎰⎰,其中1D 是矩形闭区域：11x -≤≤,22y -≤≤;22232()d D I x y =+σ⎰⎰,其中2D 是矩形闭区域：01x ≤≤,02y ≤≤,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解 设函数223(,)()f x y x y =+,则积分1(,)d D f x y σ⎰⎰的几何意义是在矩形域1D 上以曲面(,)z f x y =为曲顶的曲顶柱体体积. 由于域1D 关于0x =（即y 轴）对称,而函数(,)f x y 是x 的偶函数（即曲面(,)z f x y =关于yOz 面对称）,因此1(,)d D f x y σ⎰⎰=2(,)d D f x y *σ⎰⎰ ,其中域D *为01x ≤≤,2y ≤. 同理,D *关于0y =对称,(,)f x y 是y 的偶函数,因此,(,)d D f x y *σ⎰⎰=22(,)d D f x y σ⎰⎰于是1(,)d D f x y σ⎰⎰=42(,)d D f x y σ⎰⎰,即124I I =.第二节 二重积分的计算1.填空（1）改变积分次序 eln 10d (,)d x x f x y y ⎰⎰=14d (,)d y ey f x y x ⎰⎰.（2）改变积分次序 I =22200d (,)d x x f x y y ⎰⎰+2(,)d x f x y y ⎰⎰2若(,)f x y xy =,则I =103. （3）设D ：15y ≤≤,5y x ≤≤,则应把二重积分d d ln Dx yI y x=⎰⎰化为先对y 后对x 的二次积分I =5111d d ln x x y y x⎰⎰=4. （4）二重积分20d xx f y ⎰⎰=π2sec 3π04d ()d f r r r θθ⎰⎰.（5）二重积分211222d ()d xxx x y y -+⎰⎰=2πsin 4cos1d d r r rθθθ⋅⎰⎰ =π42sin d cos θθθ⎰1. 2.画出积分区域,并计算下列二重积分.（1）22()d Dx y -σ⎰⎰,其中D 是闭区域0sin y x ≤≤,0πx ≤≤.解 原式=πsin 22d ()d x x x y y -⎰⎰=3π2sin (sin )d 3xx x x -⎰=2πππ3π000011cos 2sin 2cos [cos cos ]33x x x x x x x -+++-=240π9-. （2）d Dx y ⎰⎰,其中D 是由直线y x =,1x =-,1y =所围成的闭区域.解 将D 视为X -型区域,则D ：1x y ≤≤,11x -≤≤. 原式=111d xx y -⎰⎰=31222111(1)d 3xx y x --+-⎰=1302(1)d 3x x --⎰=12.（3）e d d x y Dx y +⎰⎰,其中D 是由不等式1x y +≤,0x ≥所确定的闭区域. 解 原式=1101d e d x x y x x y -++-⎰⎰=111d x yy x y x e x +=-+=-⎰=1210(e e )d x x --⎰=e 122e+.易犯的错误是：认为积分区域D 是关于x 轴对称的,因此原积分等于在域D 内第一象限 部分域上积分的2倍,即原式=21e d x y D +σ⎰⎰ , 1D =01,01.x y x ≤≤⎧⎨≤≤-⎩此解错在没有被积函数的奇偶性,只有积分区域的对称性,就乱用对称性简化计算. （4）cos d Dx x σ⎰⎰,其中D 是由曲线0y =,y x =和π6x =围成的闭区域. 解 cos d Dx x σ⎰⎰=π600cos d d x x x y x ⎰⎰=π60cos d x x ⎰=12. 3.计算积分222d e d y xx y -⎰⎰的值.解 由于函数2e y -的原函数不是初等函数,故需交换积分次序,积分区域D 为由0,2,x y y x ===所围成的区域,故原式=2ed d y Dx y -⎰⎰=220d ed yy y x -⎰⎰=220e d y y y -⎰=221e 2y--=41(1e )2--. 4.设D 为以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形,1D 为D 在第一象限部分,试将(cos sin )dd Dxy x y x y+⎰⎰化为1D 上的积分. 解 如图9.1所示,将积分区域分为1D '与2D '两部分,其中1D '为三角形AOB ,2D '为三角形BOC .显然1D '关于y 轴对称,2D '关于x 轴对称,又因为 函数xy 关于x ,y 均为奇函数,所以1d d D xy x y '⎰⎰=0, 2d d D xy x y '⎰⎰=0.故 d d Dxy x y ⎰⎰=1d d D xy x y '⎰⎰+2d d D xy x y '⎰⎰=0.又函数cos sin x y 关于x 为偶函数,关于y数, 所以1cos sin d d D x y x y '⎰⎰=21cos sin d d D x y x y ⎰⎰,2cos sin d d D x y x y '⎰⎰=0.综上所述,(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰=21cos sin d d D x y x y ⎰⎰.5.证明：()0d e ()d a y m a x y f x x -⎰⎰=()0()e ()d am a x a x f x x --⎰.分析 因为欲证等式的左端为累次积分,等式右端为定积分,因此,应从左端出发证明， 作一次积分,化为定积分,使之与右端定积分相等. 但原累次积分的被积函数含有抽象函数,无法关于x 先积分,故考虑改变积分次序.解 ()0d e ()d aym a x y f x x -⎰⎰=()0e ()d d aam a x xf x x y -⎰⎰=()0()e ()d am a x a x f x x --⎰.6.求下列空间域Ω的体积.（1）由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围成的柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体.解 曲顶柱体以{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤为底,以623z x y =--为顶面,故所求立体体积(623)d d DV x y x y =--⎰⎰=1100d (623)d x x y y --⎰⎰=103(62)d 2x x --⎰=6-1-32=72.（2）由曲面222z x y =+及2262z x y =--围成的立体. 解 两曲面的交线满足方程组 消去z ,得222x y +=.所求立体的体积21()d DV z z =-σ⎰⎰=2222[(62)(2)]d Dx y x y ---+σ⎰⎰图 9.1=322(2)d Dx y --σ⎰⎰=32π20d )d θ-ρρρ⎰⎰=426π(4ρ⋅ρ-=6π.7.画出积分区域,并且把积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是：（1） 20y x ≤≤, 01x ≤≤;解 积分区域如图9.2(a)所示,其边界曲线2y x =及1x =在极坐标下的方程分别为2sin cos θρ=θ及1cos ρ=θ. 原积分=2π14cos sin 0cos d (cos ,sin )d f θθθθρθρθρρ⎰⎰易犯的错误是：积分区域如图9.2(b)所示.原积分=π14cos 00d (cos ,sin )d f θθρθρθρρ⎰⎰.此错误是由作图不准确造成的.（2）由曲线y =,y =y x =-围成的闭区域（0a >）.解 积分区域如图9.3所示,曲线y =及y =在极坐标下的方程分别为r a =及cos r a =θ. 原积分=π20cos d (cos ,sin )d a a f θθρθρθρρ⎰⎰+3π4π02d (cos ,sin )d af θρθρθρρ⎰⎰.图 9.2（a ） 图 9.2（b ）图 9.3易犯的错误是：原积分=3π40cos d (cos ,sin )a a f d θθρθρθρρ⎰⎰.8.计算()d d DI x y x y =+⎰⎰,其中D ：224x y +≤.解 积分区域关于x 轴,y 轴均对称,被积函数x y +关于x ,y 均为偶函数,故 I =41()d d D x y x y +⎰⎰（1D 为D 位于第一象限的部分）=4π2220d (cos sin )d θθ+θρρ⎰⎰=643. 9.选择适当的坐标计算下列各题.（1）d Dx y ⎰⎰,其中D 是圆环形闭区域：2222π4πx y ≤+≤.解 原式=2π2ππd sin d θρ⋅ρρ⎰⎰=2ππ2[cos sin ]π-ρρ+ρ=26π-.（2）2d d y Dxe x y -⎰⎰,其中D 是由曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.解 2d d y Dxex y -⎰⎰=2d d y y xe x +∞-⎰=201()d 249y y y e y +∞--⎰ =205d 72y ye y +∞-⎰=5144. （3）arctan d d Dyx y x ⎰⎰,D 是由圆周22224,1x y x y +=+=,及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的区域.解 arctan d d Dy x y x ⎰⎰=2401d d πθθ⋅ρρ⎰⎰=23π64.（4） 22()d d Dx y x y +⎰⎰,其中D 是由直线y x =,y x a =+,y a =,3(0)y a a =>所围成的闭区域.解 原式=322d ()d ay a y ay x y x -+⎰⎰=232d []3a a y a ax y y x -+⎰=23321[()]d 33a ay y a y a y --+⎰=4433()[]12123aa y y a a y --+ =414a.易犯的错误时：认为积分区域如图9.4 所示. 原式=220d ()d ax a ax x y y ++⎰⎰+3322d ()d a aaxx x y y +⎰⎰.此错误是由画图不准确造成的.（5） d d Dy x y ⎰⎰,其中D 是直线2x =-,0y =,2y =及曲线x =区域.解1 区域D 及1D 如图9.5所示,有 d d Dy x y ⎰⎰=1d d D D y x y +⎰⎰-1d d D y x y ⎰⎰ =02π2sin π22d d d sin x y y d θ--θρθ⋅ρρ⎰⎰⎰⎰=4-428sin d 3ππθθ⎰=4-2811cos 4(1cos 2)d 342ππ+θ⋅-θ+θ⎰ =4-2π. 解2 如图9.5所示,{(,)|22}D x y x y =-≤≤≤≤, d d Dy x y ⎰⎰=202d y y x -⎰⎰=222d y y y -⎰⎰=4-2y ⎰令y-1=s i nt π22π24(1sin )cos d t t t --+⎰=4-π2. 10.求由圆2ρ=和心形线2(1cos )ρ=+θ所围图形（在圆外部分）的面积.解 由2(1cos )2ρ=+θ⎧⎨ρ=⎩得交点：0π2θ=±,02ρ=.面积A =d d Dρρθ⎰⎰=π2(1+cos θ)2π22d d -θρρ⎰⎰图 9.4图 9.5=π22π22[cos θ+2cos ]d -θθ⎰=1π4[2]22⋅+=8π+.11.设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线2ρ=θ上一段弧π(0)2≤θ≤与直线π2θ=所围成,它的面密度22(,)x y x y μ=+.求此薄片的质量.解 质量M =(,)d Dx y μσ⎰⎰=22()d Dx y +σ⎰⎰=π2320d d θθρρ⎰⎰=π4204d θθ⎰=5π40. 第三节 三重积分的计算1.化(,,)d d d I f x y z x y z Ω=⎰⎰⎰为三次积分,其中积分区域Ω分别是：（1）由双曲抛物面xy z =及平面10x y +-=,0z =所围成的闭区域. （2）由曲面22z x y =+,2y x =及平面1y =,0z =所围成的闭区域.解 （1）由0z xyz =⎧⎨=⎩消去z ,得0xy =,即0x =或0y =.因此空间域是以0z =为下曲面,z xy =为上曲面,侧面是柱面0x =,0y =,10x y +-=.因此原式=1100d d (,,)d x xy x y f x y z z -⎰⎰⎰.（2）积分区域Ω可表示为220z x y ≤≤+,21x y ≤≤,11x -≤≤ 所以222111(,,)d d d d d (,,)d x y xf x y z x y z x y f x y z z +-Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2.计算cos()d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω由y =,0y =,0z =和π2x z +=所围成的闭区域.解 将积分区域Ω向xOy 平面投影得xy D ：π02x ≤≤,0y ≤≤,则Ω可表示成π02z x ≤≤-,(,)xy x y D ∈,故 cos()d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰=π20d d cos()d xyx D x y y x z z -+⎰⎰⎰=(1sin )d d xyD y x x y -⎰⎰=π20d (1sin )d x y x y -⎰⎰=π201(1sin )d 2x x x -⎰=2π1162-.3.计算d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由锥面z =与平面(0,0)z h R h =>>所围成的闭区域.解1 积分区域Ω如图9.6所示,用竖 坐标为z 的平面截域Ω,得圆域22222():R z D z x y h+≤,其面积为222πR z h,采用“先二后一法”计算.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=0()d d h D z z z σ⎰⎰⎰=2220πd h R z z z h⋅⎰=242π4hR z h ⋅=22π4R h .解2 积分域Ω的边界曲面在柱面坐标下的方程分别为z h =及h z R=ρ. 利用柱面坐标计算.原式=2π0d d d R h h R z z ρθρρ⎰⎰⎰=2222012π[]d 2R h h Rρ-ρρ⎰=224202π[]24R h h R ρρ-⋅=22π4R h . 易犯的错误是：（1）在柱面坐标下,原式=2π0d d d hRR z z ρθρρ⎰⎰⎰.关于z 的积分上、下限错误.（2）采用“先二后一法”.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=222d d d h x y R z zx y +≤⎰⎰⎰=2d h Rz z π⎰=222R h π. 关于x ,y 积分的积分域错误,积分域应为22222R z x y h+≤. 特别注意,将被积函数z用表达式z =. 4.计算d d d xz x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由平面0z =,z y =,1y =以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域.图 9.6解1 按先z 再x 后y 积分. 原式=100d d d 0yy x z z =⎰⎰⎰其中xdx ⎰为奇函数再对称区间上的积分,其值为0.解2 按先x 再y 后z 积分. 原式=11d d d 0zz z y x =⎰⎰⎰其中d 0x =⎰.解3 按先x 再z 后y 积分. 原式=1d d d 0yy z z x =⎰⎰⎰5填空题.设Ω由球面z =与锥面z =围成,则三重积分 在三种坐标系下分别可化为三次积分如下： 直角坐标系下： 柱面坐标系下： 球面坐标系下：π2π240d d sin d I f r r θϕϕ=⎰⎰⎰.6.利用柱面坐标计算下列三重积分. （1）22e d d d xy x y z --Ω⎰⎰⎰,其中Ω为由221x y +≤,01z ≤≤所确定. 解 22e d d d xy x y z --Ω⎰⎰⎰=22π11ρ0d ρd ρde z θ-⎰⎰⎰=21ρ02πρd ρe -⎰=21ρ20πe d ρ-⎰=21ρ0πe--=1π(e 1)---=1π(1)e-. （2）d z v Ω⎰⎰⎰,其中Ω为由曲面z =及223x y z +=所围成的闭区域.解由223z x y z ⎧⎪=⎨+=⎪⎩z ,得223x y +=， zdv Ω⎰⎰⎰=d ρd d zr z θΩ⎰⎰⎰=22π03d d ρd r z z θ⎰⎰⎰=4212π(4ρ)d ρ29r ⋅--⎰=13π4. （3）d d x y z Ω⎰⎰⎰, 其中Ω为由曲面y =,0z =,z a =(0)a >,0y =所围成的闭区域.解 原式=π2cos 220d ρd ρd a z z θθ⎰⎰⎰=π23204cos d 3a θθ⎰=289a .7.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）d d x y z Ω,其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域.解 球面222x y z z ++=在球面坐标下的方程为cos r ϕ=. 原式=π2πcos 320d sin d d r r ϕθϕϕ⎰⎰⎰=π420πsin cos d 2ϕϕϕ⎰=π520πcos 10ϕ-=π10. （2）d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由不等式：2222()x y z a a ++-≤,22x y +2(0)z a ≤>所确定.解 曲面2222()x y z a a ++-=及222(0)x y z a +=>在球面坐标下的方程分别为2cos r a ϕ=及π4ϕ=. 原式=π2π2cos 340d sin d cos d a r r ϕθϕϕϕ⎰⎰⎰=π45402π4cos sin d a ϕϕϕ⎰=π640cos 8π6ϕ-⋅=47π6a . 8.选择适当的坐标计算下列三重积分.（1）2(1)d x v Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面222x z y =+,2x =,4x =所围成的闭区域.解 采用“先二后一法”计算.2(1)d x v Ω+⎰⎰⎰=422d (1)d d Dxx x y z +⎰⎰⎰=422(1)d d d Dxx x y z +⎰⎰⎰=4222(1)(π)d x x x +⎰=3256π15. （2）d d x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω由不等式：2221x y z ++≤,z ≥.解1 曲面2221x y z ++=及z =1r =及π6ϕ=.原式=π2π126000d sin d r cos r r drθϕϕϕ⋅⋅⎰⎰⎰=π125600sinρ2π25ϕ⋅⋅π20=.解2曲面2221x y z++=及z=在柱面坐标下的方程为z=及z=.原式=12π200d rdr zθ⎰⎰=12r2π2⎰π20=.（3）2d d dz x y zΩ⎰⎰⎰,其中Ω是2222x y z R++≤和2222(0)x y z Rz R++≤>的公共部分.解1球面2222x y z R++=及2222x y z Rz++=在球面坐标下的方程分别为r R=及2cosr Rϕ=.由2cosr Rr Rϕ=⎧⎨=⎩解得3πϕ=.原式=π2π2223000d d cos sin dRr r rθϕϕϕ⋅⎰⎰⎰+π2π2cos2222π003d d cos sin dRr r rϕθϕϕϕ⋅⎰⎰⎰=ππ525732π3232cos dcos2πcos dcos55R Rπϕϕϕϕ--⋅⎰⎰=557ππ60160RR+559π480R=.解2 采用“先二后一法”计算.原式=222222222222d d d d d dRRRx y Rz z x y R zz z x y z z x y+≤-+≤-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=2222222π(2)dπ()dRRRz Rz z z z R z z-+-⎰⎰559π480R=.第四节重积分的应用1.求锥面z=被柱面22z x=所割下部分的曲面面积.解由22zz x⎧⎪=⎨=⎪⎩消去z,得D的边界：222x y x+=.所求曲面面积DSσ==dDx ydDσ.2.求底圆半径相等的两个直交圆柱面222x y R+=及222x z R+=所围成立体的表面积.解1所求曲面在第一卦限内的图形如图9.7所示.面积为2016d 16RR x R ==⎰⎰.解2 由222222x y R x z R ⎧+=⎨+=⎩消去x ,得z y =±.对于曲面x =y x =0z x =,所求曲面的面积为8d 8Ry R R y z R y -==⎰⎰⎰12222082()|16RR R y R =-⋅-=.3.设平面薄片所占的闭区域D 由曲线2y x =,2x y +=围成,求该均匀薄片的重心. 解 y M x M=,xM y M=. 212120000229d d d (2)d 2x x DM x y x x x ρσρρρ---===--=⎰⎰⎰⎰⎰,212120000229d d d (2)d 4x y x DM x x x y x x x x ρσρρρ---===--=-⎰⎰⎰⎰⎰,2121240002236d d [(2)]d 25x x x M x y y x x x ρρρ---==--=⎰⎰⎰, 因此，12yM x M ==-，85x M y M ==，故重心坐标为(,)x y =18(,)25-. 4.设平面薄片所占的闭区域D 由直线2x y +=,y x =和x 轴所围成,它的面密度22(,)x y x y ρ=+,求该薄片的质量. 解 质量为1222220()d d ()d y yDM x y y x y x σ-=+=+⎰⎰⎰⎰12323410088842(44)d [2]33333y y y y y y y y =-+-=-+-⎰43=. 5.利用三重积分计算.(1)由曲面z =224x y z +=所围成的立体体段. 解 采用柱面坐标计算232242002π2π(5ρ)ρπ4)383=---=. （2）由曲面z =0)z A a =>>,0z =所围匀质物体的重心.图 9.7解 匀质物体的重心即形心,且形心在对称轴-z 轴上,因此0x =,0y =,d d z vz vΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.其中332d π()3v A a Ω=-⎰⎰⎰. d z v Ω⎰⎰⎰=π2π320d cos sin d d A ar r θϕϕϕ⎰⎰⎰=π24420sin 2π24A a ϕ-⋅⋅=44π()4A a -. 于是44333()8()A a z A a -=-.重心坐标为（44333()0,0,8()A a A a --）. 6.求半径为R 、高为h 的均匀圆柱体绕过中心而垂直于母线的轴的转动惯量（设密度1ρ=）.解 建立坐标系,使圆柱体的对称轴在z 轴上,且原点在其中心.则所求转动惯量为 y I =2π22222202()d d ρd ρ(ρcos )d hRh x y v z z θθ-Ω+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4322π20[cos ]d 424hR h R θθ=+⎰=342ππ412h h R R + 22()43M h R =+ （其中2πM R h =为圆柱体质量） 第九章 重积分（总习题）1.计算d DI x y =⎰⎰,22222:,D x y a x y ay +≤+≥.解1 2()d ρd D D I ρθ=+⎰⎰⎰⎰下上π2π220sin πd ρd ρd ρd ρa aa θθθ=+⎰⎰⎰⎰33π3(1sin )d π33a a θθ=-+⎰π3333202222πsin d (π)3333a a a θθ=+=-⎰.解222222x y a x y ayI σσ+≤+≤=-⎰⎰⎰⎰3π3330222πsin d (π)3333a a a θθ=-=-⎰. 2.计算()d DI x y σ=+⎰⎰,其中D 由2y x =,24y x =及1y =围成. 解11100d )d d )d I y x y x y x y x =+++⎰⎰13/202d 5y y ==⎰. 解2 ()()d D D I x y σ=-+⎰⎰⎰⎰大小14212221121116[(1)]d [(14)]d 22x x x x x x x x ----=-+--+⎰⎰25=.3.计算211d d x y I y x x y ≤≤=-⎰⎰解1 1222()d ()d D D I y x x y σσ=-+-⎰⎰⎰⎰ （图9.8）2211122110d ()d d ()d x x x y x y x x y y --=-+-⎰⎰⎰⎰4411224111[(1)]d []d 22x x x x x x x ---=--+-⎰⎰1115=. 亦可利用对称性简化计算.由于1D 、2D 均关于0x =（即y 轴）对称,又(,)f x y 关于x 为偶函数（即(,)(,)f x y f x y -=）,因此221112202d ()d 2d ()d x xI x y x y x x y y =-+-⎰⎰⎰⎰.4.计算2(369)d Dy x y σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区域222x y R +≤.解 原式222200d ρ[ρsin 3ρcos 6ρsin ]d ρ9πRR πθθθθ=+-+⎰⎰442π2229πsin d 009ππ44R R R R θθ=+++=+⎰.亦可利用对称性简化计算.由于积分Dxd σ⎰⎰及Dyd σ⎰⎰均为零,故原积分再利用极坐标计算.5.计算22()d d d y z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由xOy 平面上曲线22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域.解 Ω在yOz 面投影域yz D 为：2210y z +≤,所以22()d d d y z x y z Ω+⎰⎰⎰=22π5202d ρd ρd r x θ⋅⎰⎰⎰51150010002502π[1001000]2ππ412123-=⨯-⨯==. 图 9.86.计算d d x y z Ω,其中Ω为由2221x y z ++≤,1z ≥所确定.解 投影区域D ：2224()5x y +≤,用柱面坐标得d d x y z Ω=42π50212d ρd ρd ρr z z θ-⎰⎰⎰42250642π[1ρ(2ρ1)]d ρπ75=---=⎰. 7.计算()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.解 d d d 0x x y z Ω=⎰⎰⎰（因为被积函数是x 的奇函数,积分区域Ω关于0x =对称）,所以有()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰=d d d z x y z Ω⎰⎰⎰;又由于d d d z x y z Ω⎰⎰⎰的被积函数只是z 的函数,用平面z z =去截Ω所得闭区域()D z 的面积很容易求,因此可选用“先二后一”方法求解.()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰=d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=1210()()d d d d d d D z D z z zx y z zx y +⎰⎰⎰⎰⎰=122πd π(1)d z z z z z +-⎰=π8. 8.计算22()d I x y v Ω=+⎰⎰⎰,其中Ω是由222x y z +=,2z =,8z =围成的闭区域.解1 22()()d I x y v ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰外柱22π282π48330222d ρd ρd d ρd ρd z z ρθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2432ρ62π42πρ(8)d ρ2=⋅⋅+-⎰48π288π336π=+=.解2 22()()d I x y v ΩΩ=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰大小222π482π2222ρρ022d ρd ρρd d ρd ρρd z z θθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰42353500112π(8ρρ)d ρ2π(2ρρ)d ρ22=---⎰⎰336π=.解3 采用“先二后一法”计算.I=22882π223222d ()d d d d d ρx y zzx y x y z θ+≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=8222πd z z ⎰336π=.易犯的错误是：将222x y z +=代入被积表达式,得 388222π2d 4π|672π3z z z z =⋅⋅==⎰.9.计算2221d x y z v Ω++-⎰⎰⎰,其中Ω是球体2224x y z ++≤.解 被积函数含有绝对值2221x y z ++-,用曲面22210x y z ++-=将Ω分成1Ω和2Ω,其中1Ω：2221x y z ++≤ ,2Ω：22214x y z ≤++≤. 于是采用球面坐标计算1222(1)d x y z v Ω---⎰⎰⎰=2ππ1220d d (1)sin d r r r θϕϕ-⎰⎰⎰=8π15, 2222(1)d x y z v Ω++-⎰⎰⎰=2ππ22201d d (1)sin d r r r θϕϕ-⎰⎰⎰=232π15, 所以 2221d x y z v Ω++-⎰⎰⎰=8π15+232π15=16π. 10.半球面z =220x y Ry +-=,22x y +0(0)Ry R +=>割出两个窗口,求在这半球面上剩下部分的面积.解d d S x y σ==.sin 4d R R R θθ=-⎰=π2204cos d 4R R R θθ=⎰.11.在底半径为R ,高为H 的圆柱体上面,拼加一个同半径的半球体,使整个立体的重心位于球心处,求R 和H 的关系（设体密度1μ=）.解 建立坐标系如图9.9所示,由题意知,物体重心的竖坐标 d 0d z vZ vΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,222π(2)02R R H =-=.R =.12.设一个上、下底半径各为b 、a ,高为H 的圆锥台,其体密度1μ=,试求其关于中心轴的转动惯量（b a <）. 解1 建立坐标系下如图9.10432π2πρ(ρ)d ρ4a bb H H a a b =⋅⋅+--⎰=55π()10()H a b a b --.解2 采用“先二后一法”.用竖坐标为z 的平面截闭区域圆域()D z ,设其半径为()z ρ,则ρ()z b H z a b H --=-,ρ()a bz a z H-=-.原式=2π2230()d ()d d d ρd ρa bHHa z HD z z x y z σθ--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰45540π1π[()]d ()210()H H aH a b z z a b H a b =--=--⎰. 图 9.9。
2024届陕西省西安市西北工业大学高一数学第二学期期末经典试题含解析
2024届陕西省西安市西北工业大学高一数学第二学期期末经典试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．ABC ∆中，下列结论：①若A B >，则sin sin A B >，②sin()sin A B C +=，③cos()cos +=A B C ，④若ABC ∆是锐角三角形，则sin cos A B >，其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．23．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．74．[]x 表示不超过x 的最大整数，设函数2()ln(1)h x x x =++，则函数()[()][()]f x h x h x =+-的值域为（ ）A ．{0}B ．{2,0}-C ．{1,0,1}-D ．{1,0}-5．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n 的所有可能取值为( ) A ．3,23,69B ．4,24,70C ．4,23,70D ．3,24,706．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．设复数12z i =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,48．若直线l 过两点(1,2)A ，(3,6)B ，则l 的斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-9．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）A ．3πB ．23π C ．34πD ．56π10．已知259a =°，sin15cos15b =+°°，2231cos31c =°°，则实数a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a c b <<a c b <<B ．a b c <<C ．a c b ≥≥D ．a b c ≥≥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
西北工业大学高等数学(上)期中学考试试精彩试题及问题详解
编号：2006 －2007 学年第一学期期中考试开课学院理学院课程高等数学（上）学时96考试日期 2006/11/17 时间 2 小时考试形式（闭）（A）卷2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。
共 6 页第 1 页西北工业大学命题专用纸二、选择题（2384'=⨯'）1、若1)11(lim 2=---++∞→b ax x x x ，则（ ） A. 1,1=-=b a ； B. 0,1==b a ；C. 0,1=-=b a ；D. 1,1==b a 。
2、设)1(||)(22--=x x xx x f ，则以下结论中错误的是（ ）A. 1,0,1==-=x x x 为)(x f 的间断点；B. 1-=x 为无穷间断点；C. 0=x 为可去间断点；D. 1=x 为第一类间断点。
3、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0),(0,cos 1)(2x x g x x xxx f ，其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ）A. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续；C. 连续，但不可导；D. 可导。
4、曲线0=+-y x e e xy 在0=x 处的切线方程为（ ） A. x y =；B. 1+=x y ；C. 12+=x y ；D. 1-=x y 。
5、设)(x f 在0=x 的某领域内可导，且0)0(='f ，又21)(lim 0='→x x f x ，则（ ）A. )0(f 一定是)(x f 的极大值；B. )0(f 一定是)(x f 的极小值；C. )0(f 一定不是)(x f 的极值；D. 不能确定)0(f 是否为)(x f 的极值。
6、有一容器如图所示，假定以匀速向容器内注水，)(t h 为容器内水平面高度随时间变化的规律，则 能正确反映)(t h '变化状态的曲线是（ ）A. B. C. D.7、设函数13)(3--=x x x f ，则方程0)(=x f （ ）A. 在)1,0(内有实根；B. 在)0,1(-内没有实根；C. 在),0(+∞内有两个不同的实根；D. 在)0,(-∞内有两个不同的实根。
陕西省西安市西工大附高2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题及参考答案
陕西省西安市西工大附高2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学及参考答案一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数52iz i=-，则共轭复数z 在复平面对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设函数()f x 满足()()f x f x -=，且()()1212,0,,x x x x ∀∈+∞≠有()()()1212[]0x x f x f x -->，则（）A ．()()()231f f f -<-<B ．()()()321f f f -<-<C ．()()()123f f f -<-<D ．()()()132f f f -<<-3．设集合{}{}20,21A x x x B x x =->=>，则A B ＝A ．1(0,2B ．1(,1)2C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞4．“3x >”是“不等式220x x ->”的A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件5．若递增等比数列{an }的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q 等于A ．2B ．12C ．2或12D ．无法确定6．设函数()sin 2cos 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为T ，则()f x 在()0,T 上的零点之和为（）A ．1312πB ．76πC ．1112πD ．56π7．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-8．作用在同一物体上的两个力1260N,60N F F ==，当它们的夹角为120︒时，则这两个力的合力大小为（）N .A ．30B ．60C ．90D ．1209．设() f x 2x 3=+，()()g x f x 2=-，则()g x 等于A ． 2x 1+B ． 2x 1-C ． 2x 3-D ． 2x 7+10．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（）A ．2256C C B ．2256C A C ．22225262C A C AD ．2256A A 11．已知1F ，2F 是椭圆E ：22221(0)x ya b a b +=>>的左、右焦点，点M 在椭圆E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 2MF F ∠=，则椭圆E 的离心率为A B ．3C ．3D ．212．已知数列{}n a 满足24a =，()()1111n n n n n a n a na +--=--（1n >且n *∈N ），数列{}n a 的前n 项和为Sn ，则（）A ．21202080S a =+B ．21202040S a =+C ．21202080S a =+D ．21202040S a =+二、填空题：本题5小题，共20分。
西工大—高数答案—重积分
第九章 重积分第一节 重积分的概念与性质1.选择 设21()d DI x y =+σ⎰⎰,32()d DI x y =+σ⎰⎰,（1）若D 由x 轴、y 轴与直线1x y +=围成,则在D 上B .A .23()()x y x y +≤+; B .23()()x y x y +≤+; 由二重积分的性质可知,A .A .12I I ≥;B .12I I ≤;C .12I I =; （2）若D 由圆周22(2)(1)2x y -+-=围成,则B . A .12I I ≥; B .12I I ≤; C .12I I =; 2.填空 设(,)d DIf x y =σ⎰⎰,（1）若(,)1f x y x y =++,域D 为01x ≤≤,02y ≤≤,则在D 上,(,)f x y 的最小值为1,最大值为4;由二重积分的性质可知,28I ≤≤;（2）若22(,)49f x y x y =++,域D 为224x y +≤,则在D 上,(,)f x y 的最小值为9,最大值为25,因此36100I π≤≤π.3.设12231()d D I x y =+σ⎰⎰,其中1D 是矩形闭区域：11x -≤≤,22y -≤≤;22232()d D I x y =+σ⎰⎰,其中2D 是矩形闭区域：01x ≤≤,02y ≤≤,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解 设函数223(,)()f x y x y =+,则积分1(,)d D f x y σ⎰⎰的几何意义是在矩形域1D 上以曲面(,)zf x y =为曲顶的曲顶柱体体积. 由于域1D 关于0x =（即y 轴）对称,而函数(,)f x y 是x 的偶函数（即曲面(,)z f x y =关于yOz 面对称）,因此1(,)d D f x y σ⎰⎰=2(,)d D f x y *σ⎰⎰ ,其中域D *为01x ≤≤,2y ≤. 同理,D *关于0y =对称,(,)f x y 是y 的偶函数,因此,(,)d D f x y *σ⎰⎰=22(,)d D f x y σ⎰⎰于是1(,)d D f x y σ⎰⎰=42(,)d D f x y σ⎰⎰,即124II =.第二节 二重积分的计算1.填空（1）改变积分次序e ln 1d (,)d x x f x y y ⎰⎰=14d (,)d y ey f x y x ⎰⎰.（2）改变积分次序 I =2220d (,)d x x f x y y ⎰⎰+2(,)d x f x y y ⎰⎰2 若(,)f x y xy =,则I =103. （3）设D ：15y ≤≤,5y x ≤≤,则应把二重积分d d ln Dx yI y x=⎰⎰化为先对y 后对x 的二次积分 I =5111d d ln x x y y x⎰⎰=4. （4）二重积分20d xx f y ⎰⎰=π2sec 3π04d ()d f r r r θθ⎰⎰.（5）二重积分211222d ()d xxx x y y -+⎰⎰=2πsin 4cos1d d r r rθθθ⋅⎰⎰ =π42sin d cos θθθ⎰1. 2.画出积分区域,并计算下列二重积分. （1）22()d Dx y -σ⎰⎰,其中D 是闭区域0sin y x ≤≤,0πx ≤≤. 解 原式=πsin 22d ()d x x x y y -⎰⎰=3π2sin (sin )d 3xx x x -⎰=2πππ3π000011cos 2sin 2cos [cos cos ]33x x x x x x x -+++-=240π9-.（2）d Dx y ⎰⎰,其中D 是由直线y x =,1x =-,1y =所围成的闭区域. 解 将D 视为X -型区域,则D ：1x y ≤≤,11x -≤≤.原式=111d xx y -⎰⎰=31222111(1)d 3xx y x --+-⎰=1302(1)d 3x x --⎰=12.（3）e d d x y Dx y +⎰⎰,其中D 是由不等式1x y +≤,0x ≥所确定的闭区域. 解 原式=1101d e d x x y x x y -++-⎰⎰=111d x yy x y x e x +=-+=-⎰=1210(e e )d x x --⎰=e 122e+.易犯的错误是：认为积分区域D 是关于x 轴对称的,因此原积分等于在域D 内第一象限 部分域上积分的2倍,即原式=21e d x yD +σ⎰⎰ , 1D =01,01.x y x ≤≤⎧⎨≤≤-⎩ 此解错在没有被积函数的奇偶性,只有积分区域的对称性,就乱用对称性简化计算.（4）cos d Dx x σ⎰⎰,其中D 是由曲线0y =,y x =和π6x =围成的闭区域. 解 cos d Dx x σ⎰⎰=π600cos d d x x x y x ⎰⎰=π60cos d x x ⎰=12. 3.计算积分222d ed y x x y -⎰⎰的值.解 由于函数2ey -的原函数不是初等函数,故需交换积分次序,积分区域D 为由0,2,x y y x ===所围成的区域,故 原式=2ed d y Dx y -⎰⎰=220d ed yy y x -⎰⎰=220e d y y y -⎰=221e 2y--=41(1e )2--. 4.设D 为以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形,1D 为D 在第一象限部分,试将(c o s s i n )d d Dx y x yx y +⎰⎰化为1D 上的积分.解 如图9.1所示,将积分区域分为1D '与2D '两部分,其中1D '为三角形AOB ,2D '为三角形BOC .显然1D '关于y 轴对称,2D '关于x 轴对称,又因为 函数xy 关于x ,y 均为奇函数,所以1d d D xy x y '⎰⎰=0, 2d d D xy x y '⎰⎰=0.故d d Dxy x y ⎰⎰=1d d D xy x y '⎰⎰+2d d D xy x y '⎰⎰=0.又函数cos sin x y 关于x 为偶函数,关于y 为奇函数, 所以1cos sin d d D x y x y '⎰⎰=21cos sin d d D x y x y ⎰⎰,2cos sin d d D x y x y '⎰⎰=0.综上所述,图9.1(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰=21cos sin d d D x y x y ⎰⎰.5.证明：()0d e ()d a y m a x y f x x -⎰⎰=()0()e ()d am a x a x f x x --⎰.分析 因为欲证等式的左端为累次积分,等式右端为定积分,因此,应从左端出发证明， 作一次积分,化为定积分,使之与右端定积分相等. 但原累次积分的被积函数含有抽象函数,无法关于x 先积分,故考虑改变积分次序.解()0d e ()d a y m a x y f x x -⎰⎰=()0e ()d d a a m a x xf x x y -⎰⎰=()0()e ()d am a x a x f x x --⎰.6.求下列空间域Ω的体积.（1）由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围成的柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体.解 曲顶柱体以{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤为底,以623z x y =--为顶面,故所求立体体积 (623)d d DVx y x y =--⎰⎰=1100d (623)d x x y y --⎰⎰=103(62)d 2x x --⎰=6-1-32=72.（2）由曲面222z x y =+及2262z x y =--围成的立体. 解 两曲面的交线满足方程组 消去z ,得222x y +=.所求立体的体积 21()d DVz z =-σ⎰⎰=2222[(62)(2)]d Dx y x y ---+σ⎰⎰=322(2)d Dxy --σ⎰⎰=32π20d )d θ-ρρρ⎰⎰=426π(4ρ⋅ρ-=6π.7.画出积分区域,并且把积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D是：（1） 20y x ≤≤, 01x ≤≤;解 积分区域如图9.2(a)所示,其边界曲线2y x =及1x =在极坐标下的方程分别为2s i n co s θρ=θ及1cos ρ=θ. 原积分=2π14cos sin 0cos d (cos ,sin )d f θθθθρθρθρρ⎰⎰易犯的错误是：积分区域如图9.2(b)所示. 原积分=π14cos 0d (cos ,sin )d f θθρθρθρρ⎰⎰.此错误是由作图不准确造成的. （2）由曲线y =,y =y x =-围成的闭区域（0a >）.解 积分区域如图9.3所示,曲线y =y在极坐标下的方程分别为r a =及cos r a =θ.原积分=π20cos d (cos ,sin )d a a f θθρθρθρρ⎰⎰+3π4π02d (cos ,sin )d af θρθρθρρ⎰⎰.易犯的错误是：原积分=3π40cos d (cos ,sin )a a f d θθρθρθρρ⎰⎰.8.计算()d d DIx y x y =+⎰⎰,其中D ：224x y +≤.解 积分区域关于x 轴,y 轴均对称,被积函数x y +关于x ,y 均为偶函数,故I =41()d d D x y x y +⎰⎰（1D 为D 位于第一象限的部分）=4π2220d (cos sin )d θθ+θρρ⎰⎰=643. 9.选择适当的坐标计算下列各题. （1）d Dx y ⎰⎰,其中D 是圆环形闭区域：2222π4πx y ≤+≤. 解 原式=2π2ππd sin d θρ⋅ρρ⎰⎰=2ππ2[cos sin ]π-ρρ+ρ=26π-.（2）2d d yDxe x y -⎰⎰,其中D 是由曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域. 解2d d y Dxex y -⎰⎰=2d d y y xex +∞-⎰=201()d 249y y y e y +∞--⎰ =205d 72y ye y +∞-⎰=5144.图 9.2（a ） 图 9.2（b ）图 9.3（3）arctan d d Dy x y x ⎰⎰,D 是由圆周22224,1x y x y +=+=,及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的区域.解 arctan d d Dy x y x ⎰⎰=2401d d πθθ⋅ρρ⎰⎰=23π64.（4） 22()d d Dx y x y +⎰⎰,其中D 是由直线y x =,y x a =+,y a =,3(0)y a a =>所围成的闭区域.解 原式=322d ()d a y ay ay x y x -+⎰⎰=232d []3aa y a ax y y x -+⎰=23321[()]d 33a ay y a y a y --+⎰=4433()[]12123aa y y a a y --+ =414a . 易犯的错误时：认为积分区域如图9.4 所示. 原式=220d ()d a x a a x x y y ++⎰⎰+3322d ()d a aaxx x y y +⎰⎰.此错误是由画图不准确造成的.（5） d d Dy x y ⎰⎰,其中D 是直线2x =-,0y =,2y =及曲线x =所围成的平面区域.解1 区域D 及1D 如图9.5所示,有d d Dy x y ⎰⎰=1d d D D y x y +⎰⎰-1d d D y x y ⎰⎰ =02π2sin π22d d d sin x y y d θ--θρθ⋅ρρ⎰⎰⎰⎰=4-428sin d 3ππθθ⎰=4-2811cos 4(1cos 2)d 342ππ+θ⋅-θ+θ⎰ =4-2π. 解2 如图9.5所示,{(,)|22}D x y x y =-≤≤≤≤,d d Dy x y ⎰⎰=202d y y x -⎰⎰=222d y y y -⎰⎰图 9.4图9.5=4-20y ⎰令y-1=s i nt π22π24(1sin )cos d t t t --+⎰=4-π2.10.求由圆2ρ=和心形线2(1cos )ρ=+θ所围图形（在圆外部分）的面积.解 由2(1cos )2ρ=+θ⎧⎨ρ=⎩得交点：0π2θ=±,02ρ=.面积A =d d Dρρθ⎰⎰=π2(1+cos θ)2π22d d -θρρ⎰⎰=π22π22[cos θ+2cos ]d -θθ⎰=1π4[2]22⋅+=8π+.11.设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线2ρ=θ上一段弧π(0)2≤θ≤与直线π2θ=所围成,它的面密度22(,)x y x y μ=+.求此薄片的质量.解 质量M =(,)d Dx y μσ⎰⎰=22()d Dxy +σ⎰⎰=π2320d d θθρρ⎰⎰=π4204d θθ⎰=5π40. 第三节 三重积分的计算1.化(,,)d d d If x y z x y z Ω=⎰⎰⎰为三次积分,其中积分区域Ω分别是：（1）由双曲抛物面xy z =及平面10x y +-=,0z =所围成的闭区域. （2）由曲面22z x y =+,2y x =及平面1y =,0z =所围成的闭区域.解 （1）由0z xyz =⎧⎨=⎩消去z ,得0xy =,即0x =或0y =.因此空间域是以0z =为下曲面,z xy =为上曲面,侧面是柱面0x =,0y =,10x y +-=.因此原式=110d d (,,)d x xy x y f x y z z -⎰⎰⎰.（2）积分区域Ω可表示为220z x y ≤≤+,21x y ≤≤,11x -≤≤所以222111(,,)d d d d d (,,)d x y xf x y z x y z x y f x y z z +-Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2.计算cos()d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω由y =,0y =,0z =和π2x z +=所围成的闭区域.解 将积分区域Ω向xOy 平面投影得xy D ：π02x ≤≤,0y ≤≤,则Ω可表示成π02z x ≤≤-,(,)xy x y D ∈,故 cos()d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰=π20d d cos()d xy x D x y y x z z -+⎰⎰⎰=(1sin )d d xyD y x x y -⎰⎰=π20d (1sin )d x y x y -⎰⎰=π201(1sin )d 2x x x -⎰=2π1162-.3.计算d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由锥面z =(0,0)z h R h =>>所围成的闭区域.解1 积分区域Ω如图9.6所示,用竖 坐标为z 的平面截域Ω,得圆域22222():R z D z x y h+≤,其面积为222πR z h,采用“先二后一法”计算. d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=0()d d h D z z z σ⎰⎰⎰=2220πd h R z z z h⋅⎰=242π4hR z h ⋅=22π4R h .解2 积分域Ω的边界曲面在柱面坐标下的方程分别为z h =及h z R=ρ. 利用柱面坐标计算.原式=2π0d d d R h h R z z ρθρρ⎰⎰⎰=2222012π[]d 2R h h Rρ-ρρ⎰=224202π[]24R h h R ρρ-⋅=22π4R h . 易犯的错误是：（1）在柱面坐标下,原式=2π0d d d hRR z z ρθρρ⎰⎰⎰.关于z 的积分上、下限错误.（2）采用“先二后一法”.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=222d d d h x y R z zx y +≤⎰⎰⎰=2d h Rz z π⎰=222R h π. 关于x ,y 积分的积分域错误,积分域应为22222R z x y h+≤. 图 9.6特别注意,将被积函数z用表达式z =. 4.计算d d d xz x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由平面0z =,z y =,1y =以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域.解1 按先z 再x 后y 积分. 原式=10d d d 0yy x x z z =⎰⎰⎰其中⎰为奇函数再对称区间上的积分,其值为0.解2 按先x 再y 后z 积分. 原式=110d d d 0zz z y x =⎰⎰⎰其中d 0x x =⎰.解3 按先x 再z 后y 积分. 原式=10d d d 0y y z z x x =⎰⎰⎰5填空题. 设Ω由球面z =z =围成,则三重积分在三种坐标系下分别可化为三次积分如下：直角坐标系下： 柱面坐标系下： 球面坐标系下：π2π240d d sin d I f r r θϕϕ=⎰⎰⎰.6.利用柱面坐标计算下列三重积分. （1）22ed d d x y x y z --Ω⎰⎰⎰,其中Ω为由221x y +≤,01z ≤≤所确定. 解22e d d d x y x y z --Ω⎰⎰⎰=22π11ρ0d ρd ρde z θ-⎰⎰⎰=21ρ02πρd ρe -⎰=21ρ20πe d ρ-⎰=21ρ0πe --=1π(e 1)---=1π(1)e-. （2）d z v Ω⎰⎰⎰,其中Ω为由曲面z =及223x y z +=所围成的闭区域. 解由223z x y z⎧⎪=⎨+=⎪⎩z ,得223x y +=，zdv Ω⎰⎰⎰=d ρd d zr z θΩ⎰⎰⎰=22π03d d ρd r z z θ⎰⎰⎰=4212π(4ρ)d ρ29r ⋅--⎰=13π4. （3）d d x y z Ω⎰⎰⎰, 其中Ω为由曲面y =0z =,z a = (0)a >,0y =所围成的闭区域.解 原式=π2cos 220d ρd ρd a z z θθ⎰⎰⎰=π23204cos d 3a θθ⎰=289a .7.利用球面坐标计算下列三重积分： （1）d d x y z Ω,其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域.解 球面222x y z z ++=在球面坐标下的方程为cos r ϕ=. 原式=π2πcos 320d sin d d r r ϕθϕϕ⎰⎰⎰=π420πsin cos d 2ϕϕϕ⎰=π520πcos 10ϕ-=π10. （2）d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由不等式：2222()x y z a a ++-≤,22x y +2(0)z a ≤>所确定. 解 曲面2222()x y z a a ++-=及222(0)x y z a +=>在球面坐标下的方程分别为2c o s r a ϕ=及π4ϕ=. 原式=π2π2cos 340d sin d cos d a r r ϕθϕϕϕ⎰⎰⎰=π45402π4cos sin d a ϕϕϕ⎰=π640cos 8π6ϕ-⋅=47π6a . 8.选择适当的坐标计算下列三重积分. （1）2(1)d x v Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面222x z y =+,2x =,4x =所围成的闭区域. 解 采用“先二后一法”计算.2(1)d x v Ω+⎰⎰⎰=422d (1)d d Dxx x y z +⎰⎰⎰=422(1)d d d Dxx x y z +⎰⎰⎰ =4222(1)(π)d x x x +⎰=3256π15. （2）d d x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω由不等式：2221x y z ++≤,z ≥所确定.解1 曲面2221x y z ++=及z=1r =及π6ϕ=.原式=π2π12600d sin d r cos r r dr θϕϕϕ⋅⋅⎰⎰⎰=π125600sin ρ2π25ϕ⋅⋅π20=. 解2 曲面2221x y z ++=及z =在柱面坐标下的方程为z =及z =.原式=12π20d rdr z θ⎰⎰=120r 2π2⎰π20=. （3）2d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是2222x y z R ++≤和2222(0)x y z Rz R ++≤>的公共部分. 解1 球面2222x y z R ++=及2222x y z Rz ++=在球面坐标下的方程分别为r R =及2cos r R ϕ=.由2cos r R r Rϕ=⎧⎨=⎩解得 3πϕ=. 原式=π2π22230d d cos sin d Rr r r θϕϕϕ⋅⎰⎰⎰+π2π2cos 2222π03d d cos sin d R r r r ϕθϕϕϕ⋅⎰⎰⎰=ππ525732π03232cos dcos 2πcos dcos 55R R πϕϕϕϕ--⋅⎰⎰=557ππ60160R R +559π480R =. 解2 采用“先二后一法”计算. 原式=2222222222022d d d d d d RRR x y Rz z x y R z z zx y z zx y +≤-+≤-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=22222202π(2)d π()d R RR z Rz z z z R z z -+-⎰⎰559π480R =. 第四节 重积分的应用1.求锥面z =被柱面22z x =所割下部分的曲面面积.解由22z z x⎧⎪=⎨=⎪⎩z ,得D 的边界：222x y x +=.所求曲面面积DSσ==d Dx yd Dσ.2.求底圆半径相等的两个直交圆柱面222x y R +=及222xz R +=所围成立体的表面积.解1 所求曲面在第一卦限内的图形如图9.7所示.面积为2016d 16R Rx R ==⎰⎰.图 9.7解2 由222222x y R x z R⎧+=⎨+=⎩消去x ,得z y =±.对于曲面x =y x =0z x =,所求曲面的面积为8d 8R y R Ry z R y -==⎰⎰⎰12222082()|16RR R y R =-⋅-=.3.设平面薄片所占的闭区域D 由曲线2y x =,2x y +=围成,求该均匀薄片的重心. 解 y M x M=,xM y M=. 212120000229d d d (2)d 2x x DM x y x x x ρσρρρ---===--=⎰⎰⎰⎰⎰,212120000229d d d (2)d 4x y x DM x x x y x x x x ρσρρρ---===--=-⎰⎰⎰⎰⎰,2121240002236d d [(2)]d 25x xx M x y y x x x ρρρ---==--=⎰⎰⎰, 因此，12yM x M ==-，85x M y M ==，故重心坐标为(,)x y =18(,)25-. 4.设平面薄片所占的闭区域D 由直线2x y +=,y x =和x 轴所围成,它的面密度22(,)x y x y ρ=+,求该薄片的质量.解 质量为1222220()d d ()d y yDM x y y x y x σ-=+=+⎰⎰⎰⎰12323410088842(44)d [2]33333y y y y y y y y =-+-=-+-⎰43=. 5.利用三重积分计算. (1)由曲面z =224x y z +=所围成的立体体段.解 采用柱面坐标计算232242002π2π(5ρ)ρπ4)383=---=. （2）由曲面z =0)z A a =>>,0z =所围匀质物体的重心.解 匀质物体的重心即形心,且形心在对称轴-z 轴上,因此0x =,0y =,d d z vz vΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.其中332d π()3v A a Ω=-⎰⎰⎰.d z v Ω⎰⎰⎰=π2π320d cos sin d d A ar r θϕϕϕ⎰⎰⎰=π24420sin 2π24A a ϕ-⋅⋅=44π()4A a -. 于是44333()8()A a z A a -=-.重心坐标为（44333()0,0,8()A a A a --）. 6.求半径为R 、高为h 的均匀圆柱体绕过中心而垂直于母线的轴的转动惯量（设密度1ρ=）. 解 建立坐标系,使圆柱体的对称轴在z 轴上,且原点在其中心.则所求转动惯量为 y I =2π22222202()d d ρd ρ(ρcos )d hRh x y v z z θθ-Ω+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4322π20[cos ]d 424hR h R θθ=+⎰=342ππ412h h R R + 22()43M h R =+ （其中2πM R h =为圆柱体质量） 第九章 重积分（总习题）1.计算d DIx y =,22222:,D x y a x y ay +≤+≥.解1 2()d ρd D D I ρθ=+⎰⎰⎰⎰下上π2π220sin πd ρd ρd ρd ρa aa θθθ=+⎰⎰⎰⎰33π3(1sin )d π33a a θθ=-+⎰π3333202222πsin d (π)3333a a a θθ=+=-⎰.解222222x y a x y ayI σσ+≤+≤=-⎰⎰⎰⎰3π3330222πsin d (π)3333a a a θθ=-=-⎰. 2.计算()d DIx y σ=+⎰⎰,其中D 由2y x =,24y x =及1y =围成. 解11100d )d d )d Iy x y x y x y x =+++⎰⎰13/202d 5y y ==⎰. 解2 ()()d D D I x y σ=-+⎰⎰⎰⎰大小14212221121116[(1)]d [(14)]d 22x x x x x x x x ----=-+--+⎰⎰25=.3.计算2101d d x y I y x x y ≤≤≤=-⎰⎰解1 1222()d ()d D D Iy x x y σσ=-+-⎰⎰⎰⎰ （图9.8）221112211d ()d d ()d x xx y x y x x y y --=-+-⎰⎰⎰⎰4411224111[(1)]d []d 22x x x x x x x ---=--+-⎰⎰1115=. 亦可利用对称性简化计算.由于1D 、2D 均关于0x =（即y 轴）对称,又(,)f x y 关于x 为偶函数（即(,)(,)f x y f x y -=）,因此 221112202d ()d 2d ()d x xIx y x y x x y y =-+-⎰⎰⎰⎰.4.计算2(369)d Dyx y σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区域222x y R +≤.解 原式222200d ρ[ρsin 3ρcos 6ρsin ]d ρ9πRR πθθθθ=+-+⎰⎰442π2229πsin d 009ππ44R R R R θθ=+++=+⎰.亦可利用对称性简化计算.由于积分Dxd σ⎰⎰及Dyd σ⎰⎰均为零,故原积分再利用极坐标计算.5.计算22()d d d y z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由xOy 平面上曲线22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域.解 Ω在yOz 面投影域yz D 为：2210y z +≤,所以22()d d d yz x y z Ω+⎰⎰⎰=22π522d ρd ρd r x θ⋅⎰⎰⎰51150010002502π[1001000]2ππ412123-=⨯-⨯==. 6.计算d d x y z Ω,其中Ω为由2221x y z ++≤,1z ≥所确定.解 投影区域D ：2224()5xy +≤,用柱面坐标得d d x y z Ω=42π50212d ρd ρd ρr z z θ-⎰⎰⎰42250642π[1ρ(2ρ1)]d ρπ75=---=⎰. 7.计算()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域. 图 9.8解d d d 0x x y z Ω=⎰⎰⎰（因为被积函数是x 的奇函数,积分区域Ω关于0x =对称）,所以有()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰=d d d z x y z Ω⎰⎰⎰;又由于d d d z x y z Ω⎰⎰⎰的被积函数只是z 的函数,用平面z z =去截Ω所得闭区域()D z 的面积很容易求,因此可选用“先二后一”方法求解.()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰=d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=1210()()d d d d d d D z D z z zx y z zx y +⎰⎰⎰⎰⎰=122πd π(1)d z z z z z z +-⎰=π8. 8.计算22()d Ix y v Ω=+⎰⎰⎰,其中Ω是由222x y z +=,2z =,8z =围成的闭区域.解1 22()()d I x y v ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰外柱22π282π48330222d ρd ρd d ρd ρd z z ρθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2432ρ62π42πρ(8)d ρ2=⋅⋅+-⎰48π288π336π=+=.解2 22()()d I xy v ΩΩ=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰大小222π482π2222ρρ022d ρd ρρd d ρd ρρd z z θθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰42353500112π(8ρρ)d ρ2π(2ρρ)d ρ22=---⎰⎰336π=. 解3 采用“先二后一法”计算. I=22882π223222d ()d d d d d ρx y zzx y x y z θ+≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=8222πd z z ⎰336π=.易犯的错误是：将222x y z +=代入被积表达式,得 388222π2d 4π|672π3z z z z =⋅⋅==⎰.9.计算2221d x y z v Ω++-⎰⎰⎰,其中Ω是球体2224x y z ++≤.解 被积函数含有绝对值2221x y z ++-,用曲面22210x y z ++-=将Ω分成1Ω和2Ω,其中1Ω：2221x y z ++≤ ,2Ω：22214x y z ≤++≤. 于是采用球面坐标计算1222(1)d x y z v Ω---⎰⎰⎰=2ππ1220d d (1)sin d r r r θϕϕ-⎰⎰⎰=8π15, 2222(1)d x y z v Ω++-⎰⎰⎰=2ππ22201d d (1)sin d r r r θϕϕ-⎰⎰⎰=232π15, 所以2221d x y z v Ω++-⎰⎰⎰=8π15+232π15=16π. 10.半球面z =220x y Ry +-=,22x y +0(0)Ry R +=>割出两个窗口,求在这半球面上剩下部分的面积.解d d Sx y σ==.sin 4d R R Rθθ=-⎰=π2204cos d 4R R R θθ=⎰.11.在底半径为R ,高为H 的圆柱体上面,拼加一个同半径的半球体,使整个立体的重心 位于球心处,求R 和H 的关系（设体密度1μ=）.解 建立坐标系如图9.9所示,由题意知,物体重心的竖坐标 d 0d z vZ vΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,222π(2)02R R H =-=.R =.12.设一个上、下底半径各为b 、a ,高为H 的圆锥台,动惯量（b a <）.解1建立坐标系下如图9.10432π2πρ(ρ)d ρ4a bb H H a a b =⋅⋅+--⎰=55π()10()H a b a b --.解2 采用“先二后一法”.用竖坐标为z 的平面截闭区域Ω,得到 圆域()D z ,设其半径为()z ρ,则ρ()z b H z a b H --=-,ρ()a bz a z H-=-. 原式=2π2230()d ()d d d ρd ρa bH Ha z HD z z x y z σθ--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰45540π1π[()]d ()210()H H aH a b z z a b H a b =--=--⎰.。
陕西省西安市西北工业大学附属中学2025届高三上学期二模数学试卷(含答案)
陕西省西安市西北工业大学附属中学2025届高三上学期二模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.|2+i 2+i 3|=( )A.2B. 2C. 3D. 42.已知集合A ={y∣y =x 2+1}，B ={y∣y =x +1}，则A ∩B =( )A. {y∣y ≥1}B. {0,1}C. {1,2}D. {(0,1),(1,2)}3.cos 2π12−cos 25π12=( )A. 12B.33C.22D.324.若向量a ，b ，c 都是单位向量，且a +b =c ，则a 与a−b 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π65.已知椭圆C:x 2m +y 2=1，则“m=2”是“椭圆C 的离心率为22”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有( )A. 32个B. 28个C. 27个D. 24个7.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n S n =4n −2n2，设b n = 2log 2(S n +1)，将数列{b n }中的整数项组成新的数列{c n }，则c 2024=( )A. 2022B. 2023C. 4048D. 40468.已知可导函数f (x )的定义域为R ，f (x2−1)为奇函数，设g (x )是f (x )的导函数，若g (2x +1)为奇函数，且g (0)=12，则∑10k =1kg (2k )=( )A. 132B. −132C. 112D. −112二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )A. 若样本数据x 1，x 2，⋯，x 20的样本方差为3，则数据2x 1+1，2x 2+1，⋯，2x 20+1的方差为7B. 经验回归方程为y =0.3−0.7x 时，变量x 和y 负相关C. 对于随机事件A 与B ，P(A)>0，P(B)>0，若P(A|B)=P(A)，则事件A 与B 相互独立D. 若X ~B (7,12),则P (X =k )取最大值时k =410.已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则( )A. 当|AM |=|AF |时，AM ⊥lB. 当|AM |=|AF |=|MF |时，|AF |=2|BF |C. 当MA ⊥MB 时，A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列D. 当MA ⊥MB 时，|AM |⋅|BM |≥2|AF |⋅|BF |11.如图，在四棱锥P−ABCD 中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD//BC ，AB =AD =CD =1，BC =PA =2，记四棱锥P−ABCD 的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，BC 的中点为E ，则( )A. l//BCB. AB ⊥PCC. 平面PDE ⊥平面PADD. l 被球O 截得的弦长为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
西工大2020年4月《高等数学(上)》作业机考参考答案
西工大2020年4月《高等数学（上）》作业机考参考答案试卷总分:100 得分:98要答案：wangjiaofudao一、单选题(共50 道试题,共100 分)1.设在点取得极小值，则（）.C.<img height="17">D.<img " height="18">正确答案:D2.函数的拐点是（）.A.<img height="21">B.<img "73" height="24">C.<img eight="21">D.<img sheight="21">正确答案:B3. 若，则=（）.正确答案:C4.设，则（）.A.<img ight="24">B.<img ight="24">C.<img height="24">D.<img " height="24"> 正确答案:A5.（）.A.<img " height="17"> C.<img " ght="41">正确答案:6.下列极限正确的是（）.A.<img ="43">B.<img t="43">C.<img ght="43">D.<img height="43">正确答案:7.函数在x = 0处连续，则k =（）.正确答案:8.设，则（）.A.<img "17">正确答案:9.下列广义积分收敛的是（）.A.<img ht="44">B.<img eight="41">C.<img eight="41">D.<img ht="35">正确答案:10.若存在，且，则（）.A.<img ht="41">C.<img ="41">D.<img eight="41">正确答案:11.如果函数与对于区间内每一点都有，则在内必有（）.A.<img ht="21">B.<img 5">为常数)C.<img ight="21">D.<img ="21">为常数)正确答案:12.（）.A.<img ght="41">B.<img 6" height="41">D.不存在正确答案:13.曲线所围图形绕轴旋转而成的旋转体体积等于（）.A.<img "28" height="41">B.<img t="19">C.<img ht="41">D.<img ght="41">正确答案:14.若，则是的（）.A.可去间断点B.跳跃间断点C.振荡间断点D.连续点正确答案:15.设函数，则微分（）.A.<img ght="21">B.<img eight="21">C.<img height="21">D.<img ight="21">正确答案:16.设，则（）.B.<img ht="41">D.<img " height="41">正确答案:17.设函数，则（）.A.<img height="24">B.－2<img height="24"> <img ht="24"><img ght="24">正确答案:18.（）.A.<img ht="41">B.<img eight="19">C.<img t="41">D.<img height="41">正确答案:19.（）.A.<img ght="41">B.<img ght="41">C.<img ight="21">D.<img ght="41">正确答案:20.函数的拐点是（）.A.<img height="41">B.<img t="19">C.<img height="19">D.不存在正确答案:21.设函数，则（）.B.<img ht="21">C.<img ight="21">D.<img ="21">正确答案:22.设函数，则（）.A.<img height="49">B.<img ight="44">C.<img ight="48">D.<img ght="45">正确答案:23.设，则（）.正确答案:24.抛物线与直线所围成的图形面积等于（）.D.<img 5">正确答案:25.设函数，则（）.A.<img 24">B.－2<img ght="24"><img ght="24"><img ht="24">正确答案:26.函数的单调递减区间为（）.A.<img eight="21">B.<img ght="21">C.<img ght="21">D.<img t="21">正确答案:27.设则（）.A.<img ="29">B.<img ight="29">C.<img ght="29">D.<img eight="29"> 正确答案:28.（）.A.<img t="41">B.<img eight="41"> 正确答案:29.函数在（）内单调增加.A.<img 1">B.<img ht="21">C.<img eight="21">D.<img ht="21">正确答案:30.设y，则（）.A.<img ="44">B.<img ht="45">C.<img ht="44">D.<img eight="44">正确答案:31.函数在（）.取极小值.A.<img ight="19">B.<img ht="19">C.<img ight="19">D.<img eight="15">正确答案:32.设，则在（）.A.<img 处连续B.<img 处间断C.<img ght="29">D.<img 29">正确答案:33.已知，当（）时，为无穷小量.A.<img "17">B.<img t="19">C.<img ght="15">D.<img eight="16">正确答案:34.下列等式不成立的是（）.A.<P><img ></P>B.<P><img s</P>C.<P><img g"></P>D.<P><img g"></P>正确答案:35.下列各对函数中表示同一函数关系的是（）.A.<img 与ght="19">B.<img >与="44">C.<img >与t="27">D.<img >与21">正确答案:36.曲线的铅直渐近线是（）.A.<img "19">B.<img ight="19">C.<img ght="21">D.<img dth="35" height="21">正确答案:37.曲线在点处的切线方程是（）.A.<img eight="41">B.<img 00" height="41">C.<img 04" height="21">D.<img t="21">正确答案:38.（）.B.<img height="21">C.<img 3" height="21">D.<img height="13">正确答案:39.设函数，则（）.A.<img eight="45">B.<img eight="45">C.<img ight="45">D.<img eight="45">正确答案:40.曲线及直线，与轴所围平面图形的面积是（）.正确答案:41.（）.B.<img ht="21">C.<img ght="19">正确答案:42.求定积分时，可用牛顿－莱布尼兹公式的被积函数是（）.A.<img ight="41">B.<img height="44">C.<img ht="45">D.<img ght="47">正确答案:43.（）.A.<img ght="41">B.<img eight="41">C.<img " height="15">D.发散正确答案:44.当时，与2比较是（）.A.高阶的无穷小量B.等阶的无穷小量C.低阶的无穷小量D.非等阶的同阶无穷小量正确答案:45.函数的拐点是（）.A.<img " height="19">B.<img ht="41">C.<img be342-50ac-4eb3-b013-4 widtD.<img ="41">正确答案:46.设，则（）.A.<img ht="24">B.<img height="24">C.<img height="24">D.<img ht="24">正确答案:47.（）.A.<img height="41">B.<img ht="44">C.<img ght="44">D.<img height="44">正确答案:48.设，则（）.A.<img sht="44">B.<img ="44">C.<img ="44">D.<img ht="44">正确答案:49.函数满足拉格朗日中值定理条件的区间是（）.A.<img 26B.<img sr"23">C.<img sreight="23">D.<img sr="23">正确答案:50.设,则在处是（）.A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.连续且可导正确答案:。
高数上考试题及答案
高数上考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数是：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x^2+3xD. 3x+2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^2 - 1D. f(x) = x^3 + x答案：B4. 积分∫(1/x)dx的结果是：A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. 1/x^2 + C答案：A5. 微分方程y' + 2y = 3e^(-2x)的通解是：A. y = e^(-2x) + CB. y = e^(-2x) + 3e^(-2x) + CC. y = e^(-2x) + 3e^(2x) + CD. y = e^(2x) + 3e^(-2x) + C答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的导数值是________。
答案：07. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C8. 曲线y = x^2 + 2x + 1在点(1, 4)处的切线斜率是________。
答案：49. 函数f(x) = sin x的原函数是________。
答案：-cos x + C10. 微分方程y'' - 4y' + 4y = 0的特征方程是________。
答案：r^2 - 4r + 4 = 0三、解答题（每题15分，共40分）11. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 - 2x + 1)dx，并求出结果。
解：∫[0, 1] (x^2 - 2x + 1)dx = [1/3x^3 - x^2 + x] | [0, 1] = (1/3 - 1 + 1) - (0) = 1/3答案：1/312. 求函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
(完整版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分)1、(本小题5分)求极限 lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分) .d )1(22x x x ⎰+求3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分) ．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e ty y x dy dx t t ==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分) ．求dx x x ⎰+301 10、(本小题5分)求函数 的单调区间y x x =+-42211、(本小题5分) ．求⎰π+202sin 8sin dx x x 12、(本小题5分)．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=-13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-215、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222Λ16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分) .8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分)1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =22、(本小题3分) ⎰+x x x d )1(22 ⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞=10故limarctan arcsin x x x →∞⋅=10 4、(本小题3分) ⎰-x x x d 1 x x x d 111⎰----= ⎰⎰-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分) ⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分) 原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin 112x ππ=-1 8、(本小题4分) 解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )2222 9、(本小题4分)令 1+=x u 原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分) ),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当 (][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为， 当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302ln cos cos x x π=162ln12、(本小题6分) dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=- 13、(本小题6分) 2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分) 定义域，且连续(),-∞+∞ '=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln 由于''=+>-y e e x x 20 22)21ln 21(,,=y 故函数有极小值 15、(本小题8分) 原式=++++++++--→∞lim ()()()()()()x x x x x x x 1121311011011112222Λ =⨯⨯⨯⨯=101121610117216、(本小题10分) dx x x dx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=x x d 2sin 211)12sin 21(=++ln sin 1122x c 二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分)1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点 故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,= 2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dx x =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题( 本 大 题10分 ) 证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 20=+→x x x 。
陕西省西安市西北工业大学2025届数学高三上期末复习检测试题含解析
陕西省西安市西北工业大学2025届数学高三上期末复习检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（ ）A ．30B ．31C ．32D ．332．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）．A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭ D ．(0,)A B =+∞3．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R（ ）. A ．(,1)[3,)-∞+∞ B ．(,1][3,)-∞+∞ C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(1,3) 4．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．919 B ．1009 C ．1189 D ．12795．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,46．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．3D ．87．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ） A ．523+ B ．523- C ．2133+ D ．2133-8．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ）A ．B ．C ．1D ．2 9．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A 发生的概率为A ．14B ．58C ．38D ．12 10．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a <<A ．1B ．2C ．3D ．411．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上最大值是1 12．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,4]B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
西工大16秋《高等数学(上)》在线作业答案
一、单选题（共 30 道试题，共 75 分。
）1. 1D满分：2.5 分答案：2.C满分：2.5 分答案：3. 1A. -1B. 1C. 0D. 不存在D 满分：2.5 分答案：4.D 满分：2.5 分答案：5. 1C满分：2.5 分答案：6.A. 0B. 3C. 1D. -1D满分：2.5 分答案：7.满分：2.5 分答案：B8..满分：2.5 分答案：D9. 1A.必取得极大值B.必取得极小值C.必取得极值D. 无法判断满分：2.5 分答案：D10.满分：2.5 分答案：D11.B满分：2.5 分答案：12. 1D满分：2.5 分答案：13. 1D满分：2.5 分答案：14. .15. 1C满分：2.5 分答案：16.117. 1C满分：2.5 分答案：18. 1C满分：2.5 分答案：19.C满分：2.5 分答案：20.1D满分：2.5 分答案：21. .D满分：2.5 分答案：22. 1C满分：2.5 分答案：23. 1B满分：2.5 分答案：24. 1B满分：2.5 分答案：25.A 满分：2.5 分答案：26.A 满分：2.5 分答案：27.A 满分：2.5 分答案：28.B 满分：2.5 分答案：29.B 满分：2.5 分答案：30.A 满分：2.5 分答案：二、判断题（共 10 道试题，共 25 分。
）1. 1A. 错误B. 正确满分：2.5 分答案：正确2.1A. 错误B. 正确满分：2.5 分答案：正确3.A. 错误B. 正确满分：2.5 分答案：正确4.A. 错误B. 正确满分：2.5 分答案：错误5. 1A. 错误B. 正确满分：2.5 分答案：正确6. 1A. 错误B. 正确满分：2.5 分答案：正确7. 1A. 错误B. 正确满分：2.5 分答案：正确8. 1A. 错误B. 正确满分：2.5 分答案：错误9. 1A. 错误B. 正确满分：2.5 分答案：错误10. 1A. 错误B. 正确满分：2.5 分答案：正确。
2022-2023学年陕西省西安市西北工业大学数学高三上期末考试试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．43．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．324．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=5．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-6．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15±B ．15-C ．15D ．75-7．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数8．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③9．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+10．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．112．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ） A ．8B ．16C ．62D ．122二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高等数学作业册自测题（西工大）参考附标准答案
高等数学作业册自测题（西工大）参考附标准答案高等数学（Ⅱ）期末自测题参考答案（选自西北工业大学2005级高数考题）一、填空题（每小题3分，共36分）1.=???? ??+∞→∞→x y x xy 11lim ==+=+∞→∞→∞→∞→?∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则=-=-=??xz z y xe x y x F F y z cos 1xz ex x y 2cos - . 3.设函数222lnz y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x z x y -==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==-dy y x f dx I x x 2202),(dx y x f dy y y ?-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=?= =+??π2221211)(LLds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则??∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(?<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x xn n n .12.微分方程x xe y xy =-'1的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设),(xye xy f z =，)(x y ?=，其中?,f 均为一阶可微函数，求dxdz . 解：)(221y x y e f x y x y f dx dz xy'+?'+-'?'= ))()(()()(221x x x e f xx x x f xy'+?'+-'?'= 2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积dxdy y x dxdy dxdy y x V D DD +-=???-+-=)(2122)](214[2222πππθππ4482122202202=-=-?=??rdr r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==,已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz Ω∑+??+??=++)(dr r d d dv ??θππsin 33122040==Ωππ)22(31)221(23-=?-= 2.写出级数++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于 21121221lim lim1=-+?=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs x xn x x n x s n n n n nn ，则xxx dt ntdt t s n xn n n x-===∑?∑?∞=∞=-1)(1111，于是2011)1(1)()(x dt t s dx d x s x -= =?，又xxx x s n n -==∑∞=1)(12，所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=-+=-==∞=∑x n n x x x n s .3.求微分方程xe y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为x Axe y =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为xxe C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(??==y x f y x f yx 得驻点,22-==y x又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ，则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域. 解：令 1-=x t ，则 nn nn n n t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于212)1(2lim lim 11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n n n 收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(yxx xy z ?+=，其中),(v u ?具有二阶偏导数，求y x z 2. 解：),(1),()cos(21yxx y y x x xy y x z ??'+'+=??，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yxy x x y y x x y y x y x x xy xy xy y x z -?''+'--?''+-=五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(==y x f y x f yx 在D 内求得驻点)0,0(.在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=y x y x y x F λλ，得=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F yx λλλλλλ 当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得??=±=01y x ；同理当0≠y 得?±==20y x ；由于2)0,0(=f ，3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f tty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-?dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y xLdxdyy x yfy x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=?? （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f tty tx f -=，则该式两端对t 求导有),(2),(),(321y x f t ty tx f y ty tx f x --='+'特取1=t 得0),(2),(),(=++y x f y x yf y x xf y x由（*）式既有0),(),(=-?dy y x xf dx y x yf L。
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