函数的奇偶性-知识点及习题

函数的奇偶性

一、关于函数的奇偶性的定义

一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f =-，那么函

数)(x f 就称偶函数;

一般地,如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就称奇函数；

二、函数的奇偶性的几个性质

１、对称性:奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

2、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必须成立；

3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数;)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；

4、等价性:)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=()()

1=-⇔

x f x f ;)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ()()1-=-⇔x f x f ； 5、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称;

6、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数

又是偶函数、非奇非偶函数。

7、设，的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:

奇±奇＝奇(函数） 偶±偶=偶（函数）

奇×奇=偶(函数） 偶×偶=偶(函数)奇×偶=奇(函数）

８、多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项（即奇数项)的系数全为零.

多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零．

9、复合函数[])(x g f y =的奇偶性 若函数[])(),(),(x g f x g x f 的定义域都是关于原点对称的,那么由

)(),(u f y x g u ==的奇偶性得到)(x g f y =的奇偶性的规律是：

即当且仅当)(x g u =和)(u f y =都是奇函数时,复合函数是奇函数.

三、函数的奇偶性的判断

函数奇偶性的因素有两个:定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。

判断函数奇偶性的方法:利用奇、偶函数的定义，主要考查()f x -是否与()f x -、)(x f 相等，判断步骤如下：

１、定义域是否关于原点对称;若定义域不对称,则为非奇非偶函数;若定义域对称,则有成为奇(偶）函数的可能

2、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立;

判断分段函数的奇偶性

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断,在函数定义域中,对自变量X 的不同取值范围,有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数,而是一个函数,因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断

与

的关系,首先要特别注意Ｘ与—Ｘ的范围,然后将它们代入相应段的函数表达式中，

与对应不同的表达式,而它们的结果按奇偶函数的定义进行比

较。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定

命题1:函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出。

命题2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。

此命题错误。一方面,如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义;另一方面,两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如()((1,1))f x x x =∈-,()((2,2))g x x x =∈-，可以看出函数()f x 与()g x 都是定义域上的函数,它们的差只在区间(1,1)-上有定义且()()0f x g x -=,而在此区间上函数

()()f x g x -既是奇函数又是偶函数。

命题3:()f x 是任意函数，那么|()|f x 与(||)f x 都是偶函数。

此命题错误。一方面，对于函数(),(()0),|()|(),(()0),

f x f x f x f x f x ≥⎧=⎨

-<⎩不能保证()()f x f x -=或()()f x f x -=-;另一方面，对于一个任意函数()f x 而言,不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数(||)f x 是偶函数。

命题４：如果函数()f x 满足：()()f x f x =-,那么函数()f x 是奇函数或偶函数。 此命题错误。如函数2,(2,),(),(21,),x x n n N f x x x n n N =∈⎧=⎨=+∈⎩

从图像上看，()f x 的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称,故此函数非奇非偶。

命题５：设f (x ）是定义域关于原点对称的一个函数,则F １(x ）=ｆ(x )+f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f （x )-f (－x )为奇函数.

此命题正确。由函数奇偶性易证。

命题6:已知函数()f x 是奇函数,且(0)f 有定义，则()00f =。

此命题正确。由奇函数的定义易证。

命题７:已知()f x 是奇函数或偶函数，方程()0f x =有实根，那么方程()0f x =的所有实根之和为零；若()f x 是定义在实数集上的奇函数,则方程()0f x =有奇数个实根。 此命题正确。方程()0f x =的实数根即为函数()f x 与x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知:若0()0f x =，则0()0f x -=。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有()00f =。故原命题成立。

五、关于函数按奇偶性的分类

全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征

一般地:奇函数的图像关于原点对称,反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那

么这个函数是奇函数;偶函数的图像关于y 轴对称，反过来,如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

图象法:如二次函数2y ax bx c =++成为偶函数，必须要使对称轴02b x a

=-=,即0b =；若二次函数2y ax bx c =++成为奇函数,必须要使0a c ==;当0b ≠时，二次函数是非奇非偶函数。

奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。

七、关于函数奇偶性的简单应用

函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一,利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小,求函数的解析式,讨论函数的单调性,求参数的值等。现分别举例说明如下：

1、利用奇偶性求函数值

【例1】已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ,那么=)2(f 。

【例2】设f （x ）是定义在R 上的偶函数，若当x ≥０时，f (x )=ｌo ｇ３（１+x ）,则f （-2）=_＿__ _。

【例3】 )(x f 是定义在R 上的奇函数,则)0(f =__＿;若有3)2(=-f ，则=)2(f ＿_＿;

若7)5(=f ;则=-)5(f ___;

【例４】已知函数1

21)(+-

=x a x f )(R x ∈,若)(x f 为奇函数,则=a ＿__; 2、利用奇偶性比较大小 【例5】已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ,)1(f ，)3(f 的大小。

【例6】若)(x f 是R 上的偶函数，且在[0,+∞）上是增函数，则下列各式成立的是：（ ）

)1()0()2(.f f f A >>- )0()1()2(.f f f B >>-

)2()0()1(.->>f f f C )0()2()1(.f f f D >->