高中数学选修知识点版完整版

合集下载

数学选修部分知识点总结

数学选修部分知识点总结

数学选修部分知识点总结1. 高级代数高级代数是数学选修课中的重要内容,包括多项式、不等式、函数、方程组等知识点。

其中,多项式是一个常见的数学对象,它是一种形式为f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn的函数,其中a0, a1, ..., an是常数,x是变量,n是一个非负整数。

多项式可以进行加法、减法和乘法运算,还可以进行整除运算,根据多项式的性质和运算规则可以求出多项式的零点、系数和导数等信息。

不等式是一个包含不等号的数学表达式,它可以表示变量之间的大小关系,比如x < y、x > y、x <= y、x >= y等。

解不等式时需要考虑不等式的性质和运算规则,通常可以通过变换形式、直接求解、图像法等方法来求解不等式的解集。

函数是一个常见的数学对象,它描述了一个自变量和一个因变量之间的关系。

函数可以用符号、公式、图像等形式来表示,包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等不同类型的函数。

在学习函数的过程中,需要掌握函数的性质、函数的图像、函数的运算、函数的变换等内容。

方程组是由若干个方程组成的数学对象,它描述了多个未知数之间的关系。

方程组可以分为线性方程组和非线性方程组,根据方程组的性质和数量可以采用不同的解法,比如代入法、相消法、换元法等。

2. 几何几何是数学选修课中的另一个重要内容,包括向量、平面几何和立体几何等知识点。

向量是一个常见的数学对象,它描述了空间中的方向和大小,可以进行加法、减法和数乘等运算,具有平移和方向性等特点。

平面几何是关于平面图形的性质和运算的数学分支,它包括直线、圆、多边形等内容。

在学习平面几何时,需要了解平面几何的基本概念、定理和方法,比如点、直线、线段、角、全等、相似、圆等内容。

立体几何是关于立体图形的性质和运算的数学分支,它包括球、柱、锥、台等内容。

在学习立体几何时,需要了解立体几何的基本概念、定理和方法,比如体积、表面积、平行截面剖面等内容。

高三数学选修知识点归纳

高三数学选修知识点归纳

高三数学选修知识点归纳数学作为一门科学,对于学生而言常常被认为是一门有难度的学科之一。

而在高三阶段,数学选修课更是让人感到头疼。

为了帮助高三学生更好地掌握数学选修知识点,在本文中,将对一些常见的高三数学选修知识点进行归纳和总结。

一、概率与统计1. 随机事件与概率- 事件及其运算规则:包括事件的和、差、积、商等- 概率的定义与计算:基本概率公式、条件概率公式- 相互独立事件、互斥事件的概率计算2. 统计与数据分析- 数据收集与整理:抽样、数据整理与清洗- 数据的呈现方式:频数分布表、频率分布直方图、累计频数表- 描述统计指标:均值、中位数、众数- 抽样调查与估计:样本容量、置信区间二、数列与数列极限1. 等差数列与等差数列极限- 等差数列的通项公式与求和公式- 等差数列的性质与应用- 等差数列极限的求解与判定2. 等比数列与等比数列极限- 等比数列的通项公式与求和公式- 等比数列的性质与应用- 等比数列极限的求解与判定三、数学函数与导数1. 常用函数与函数的性质- 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数 - 函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质2. 函数图像与函数的变化- 函数图像的基本性质和绘制方法- 函数的平移、翻折、缩放等变化3. 导数与求导法则- 导数的概念与几何意义- 基本导数法则及常见函数的导数求解- 导数在函数图像上的应用四、微分与积分1. 微分与微分中值定理- 微分的定义与基本性质- 平均变化率与瞬时变化率的关系- 微分中值定理的应用2. 定积分与不定积分- 定积分的概念与计算- 不定积分与原函数的概念- 积分与几何应用、物理应用、求解定积分问题以上仅为高三数学选修知识点的简要归纳,具体内容较为复杂繁多。

在学习这些知识点时,同学们应注重理解概念,掌握运算方法,并能够灵活应用于解决实际问题。

梳理知识点,合理安排学习时间,并结合习题进行巩固练习,将有助于提高数学学习效果。

高中数学选修知识点归纳

高中数学选修知识点归纳

高中数学选修知识点归纳
高中数学选修知识点包括以下内容:
1. 数列与数列极限:常数列、等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列
的前n项和、数列极限、递推关系式。

2. 排列与组合:排列的定义、全排列、圆排列、组合的定义、二项式系数、二项式定理、组合数的性质。

3. 概率与统计:事件、概率的定义、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯公式、期望、方差、频率分布、参数估计。

4. 三角函数与图像:弧度制、角度制、正弦函数、余弦函数、正切函数、三角函数的
周期性、三角函数的图像和性质。

5. 平面向量与立体几何:平面向量的定义、向量的运算(加法、数乘、数量积、向量积)、向量的坐标表示、平面向量的共线性与垂直性、立体几何的基本概念(点、直线、平面、球面)。

6. 导数与微分:导数的定义、基本导数公式、导数的四则运算、导数的应用(切线与
法线、函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点、变化率与边际效应)。

7. 不等式与线性规划:不等式的性质、不等式组的解法(图解法、代入法、分段讨论法)、线性规划的基本概念、线性规划的图解法和算法解法。

8. 微分方程:微分方程的定义、微分方程的求解方法(可分离变量法、齐次方程法、
一阶线性微分方程法)。

这些知识点是高中数学选修课程的主要内容,通过学习这些知识点,可以更深入地了解数学的应用与推导,为后续的学习和研究提供坚实的基础。

高三数学选修常考知识点

高三数学选修常考知识点

高三数学选修常考知识点一、数列与数列极限1. 等差数列与等差数列的通项公式2. 等比数列与等比数列的通项公式3. 递推数列与递归公式4. 数列的和与求和公式5. 数列的极限性质与收敛判定二、函数与函数的性质1. 函数的定义域与值域2. 奇偶函数与周期函数3. 函数的极限与连续性4. 函数的增减性与单调性5. 函数的最值与最值点6. 反函数与复合函数三、导数与微分1. 导数的定义与求导法则2. 高阶导数与Leibniz公式3. 函数的单调性与极值点4. 函数的凹凸性与拐点5. 泰勒展开与函数的逼近6. 微分的定义与应用四、不定积分与定积分1. 不定积分与原函数2. 基本积分公式与积分法则3. 定积分的几何意义与性质4. 定积分的计算与变量代换5. 定积分在求面积与体积中的应用五、向量与空间几何1. 向量的定义与运算法则2. 向量的线性相关性与线性无关性3. 平面与直线的方程与位置关系4. 空间中平面与直线的交点与距离5. 空间中向量的模与夹角六、概率论1. 随机事件与样本空间2. 概率的定义与性质3. 条件概率与乘法定理4. 事件独立性与加法定理5. 随机变量与概率分布6. 期望值与方差的计算七、数论与离散数学1. 距离与模运算2. 进制转换与数的表示3. 最大公约数与最小公倍数4. 素数与因数分解5. 同余与同余方程6. 排列与组合的计算八、线性代数1. 行列式的定义与性质2. 矩阵的运算与性质3. 线性方程组的解的判定与求解4. 矩阵的特征值与特征向量5. 线性空间与线性变换以上是高三数学选修常考知识点的概述,希望对你的学习有所帮助。

请按照学科要求系统地学习这些知识点,并进行适当的练习与应用,提高你的数学水平。

高三数学选修知识点

高三数学选修知识点

高三数学选修知识点一、概率与统计1. 排列与组合- 排列:对给定的元素进行有序的选取,可以考虑顺序。

- 组合:对给定的元素进行无序的选取,不考虑顺序。

2. 随机事件与概率- 随机事件:不确定性事件的结果。

- 概率:事件发生的可能性大小,用数字表示。

3. 事件的独立性与互斥性- 独立事件:前一事件发生与否,对后一事件发生的概率没有影响。

- 互斥事件:两事件不能同时发生,互为对立事件。

4. 事件的全概率公式与贝叶斯公式- 全概率公式:利用样本空间元素的划分,给出事件的概率计算方式。

- 贝叶斯公式:通过已知信息,计算条件概率。

5. 随机变量与概率分布- 随机变量:将随机试验的结果与实数对应的变量。

- 概率分布:随机变量在各个取值上的概率。

6. 离散型随机变量的概率分布- 二项分布:固定次数的独立重复实验中成功次数的概率分布。

- 泊松分布:在单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。

7. 连续型随机变量的概率分布- 均匀分布:取值范围内的概率密度函数为常数的分布。

- 正态分布:钟形曲线状的分布,符合中心极限定理。

8. 统计量与抽样分布- 统计量:利用样本数据计算的一些特征指标,如均值、方差等。

- 抽样分布:样本统计量的概率分布。

9. 参数估计与假设检验- 参数估计:利用样本数据对总体参数进行估计。

- 假设检验:判断总体参数是否满足某种假设。

二、解析几何1. 点、向量和坐标- 点:在二维坐标系或三维坐标系上表示一个位置。

- 向量:有大小和方向的量,可以表示从一个点到另一个点的位移。

- 坐标:表示点的位置的有序数组。

2. 直线和平面方程- 直线方程:一般式、斜截式、点斜式等不同表示方式。

- 平面方程:点法式、一般式等不同表示方式。

3. 空间中的位置关系- 点与直线的位置关系:在线上、在线上延长线上或在线的两侧。

- 点与平面的位置关系:在平面上、在平面上延长线上或在平面的两侧。

4. 直线和平面的交点问题- 直线与直线的交点:联立直线方程求解。

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结
高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结
必修课程知识点归纳
必修模块
知识点
必修1
1. 集合的概念与运算2. 函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数)3. 函数的单调性、奇偶性、最值4. 函数图像与性质
必修2
1. 立体几何初步(空间直线、平面、简单几何体)2. 平面解析几何初步(直线与圆的方程、两直线的位置关系、线性规划)
选修3系列
1. 数学史选讲2. 信息安全与密码3. 球面上的几何4. 对称与群5. 欧拉公式与闭曲面分类6. 三等分角与数域扩充
选修4系列
1. 几何证明选讲(相似三角形、平行线性质等)2. 矩阵与变换(矩阵的概念与运算、变换的性质)3. 数列与差分(数列的递推关系、差分方程)4. 坐标系与参数方程(极坐标、参数方程)5. 不等式选讲(不等式的性质、解法、应用)6. 初等数论初步(整除、质数与合数、同余)7. 优选法与试验设计初步8. 统筹法与图论初步9. 风险与决策10. 开关电路与布尔代数
选修课程知识点归纳
选修系列
知识点
选修1-1
1. 常用逻辑用语(命题、量词、推理)2. 圆锥曲线与方程(椭圆、双曲线、抛物线)3. 导数及其应用(导数的概念、求导、导数的应用)
选修1-2
1. 统计案例(回归分析、独立性检验)2. 推理与证明(综合法、分析法、反证法)3. 数系的扩充与复数(复数的概念与运算)4. 框图(流程图、结构图)
选修2-1
1. 常用逻辑用语(同选修1-1)2. 圆锥曲线与方程(同选修1-1)3. 空间向量与立体几何(空间向量的概念与运算、空间向量的应用)
选修2-2
1. 导数及其应用(同选修1-1)2. 推理与证明(同选修1-2)3. 数系的扩充与复数(同选修1-2)

选修一高中数学知识点全总结

选修一高中数学知识点全总结

选修一高中数学知识点全总结高中数学是学生在中学阶段接触的较为深入和系统的数学知识体系。

它不仅包括了初中数学的基础知识,还引入了许多新的数学概念、理论和方法。

本文将对高中数学的主要知识点进行一个全面的总结,以帮助学生更好地理解和掌握这些知识。

一、集合与函数概念集合是高中数学的基础概念之一,它涉及到集合的定义、性质、运算等。

学生需要理解集合的含义,掌握集合间的包含关系、交集、并集、补集等基本概念。

函数作为高中数学的核心,学生需要了解函数的定义、性质、图象以及常见函数如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数的特点与性质。

二、数列与数学归纳法数列是一系列按照特定顺序排列的数。

在高中数学中,学生将学习到等差数列、等比数列的性质和求和公式,以及如何通过递推关系定义数列。

数学归纳法是一种证明方法,它在数列的证明题中尤为重要,学生需要掌握其基本步骤和应用。

三、三角函数与三角变换三角函数是高中数学中的重要内容,包括正弦、余弦、正切等基本三角函数的性质、图像和变换。

学生还需要了解三角恒等式,以及如何利用这些恒等式进行三角函数的化简和计算。

此外,反三角函数和三角方程也是这一部分的重要知识点。

四、平面向量与立体几何向量是数学中的一个重要概念,它在物理学和其他科学领域中也有广泛应用。

在高中数学中,学生将学习到向量的加法、数乘、数量积和向量积等运算,以及向量在几何中的应用,如向量的坐标表示和用向量方法解决几何问题。

立体几何部分则包括空间几何体的性质、多面体和旋转体的体积与表面积计算。

五、解析几何解析几何是高中数学中的一个高级主题,它将代数和几何结合起来,通过坐标系统来研究几何图形。

学生需要掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等曲线的方程,以及这些曲线的性质和位置关系。

此外,学生还需要学习如何通过代数方法解决几何问题,如求解两直线的交点、计算点到直线的距离等。

六、概率与统计概率与统计是高中数学的应用部分,它涉及到随机事件的概率计算、概率分布、统计量的计算以及数据的收集、整理和分析。

高中数学选修所有知识点归纳(最全)

高中数学选修所有知识点归纳(最全)

高中数学选修所有知识点归纳(最全)选修数学知识点第一部分:简单逻辑用语命题是可以判断真假的陈述句,可以用语言、符号或式子表达。

真命题是判断为真的语句,假命题是判断为假的语句。

在“若p,则q”形式的命题中,p称为命题的条件,q称为命题的结论。

原命题为“若p,则q”,逆命题为“若q,则p”,否命题为“若非p,则非q”,逆否命题为“若非q,则非p”。

四种命题的真假性之间的关系:两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系。

若p能推出q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p等价于q,则p是q的充要条件。

利用集合间的包含关系,例如,若A包含于B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A等于B,则A是B的充要条件。

逻辑联结词有“且”(and)、“或”(or)和“非”(not)。

第二部分:圆锥曲线椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距。

椭圆的标准方程为x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1(a>b>0)。

椭圆的范围为-a≤x≤a且-b≤y≤b。

椭圆的顶点为(0,±b),轴长为2a和2b,焦点为(-c,0)和(c,0),焦距为2c,离心率为c/a。

椭圆的几何性质与焦点的位置有关,焦点在x轴上时,椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1;焦点在y 轴上时,椭圆的方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1.椭圆具有对称性,即关于x轴、y轴和原点对称。

1.(a+bi)·(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i2.z1÷z2 = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)i/(c^2+d^2) (z2 ≠ 0)3.几个重要的结论:1) (1±i)^2 = ±2i。

高中数学知识点总结选修

高中数学知识点总结选修

高中数学知识点总结选修高中数学选修包括了微积分、概率论与数理统计、数学分析等多个部分,下面就这些部分进行详细的知识点总结:一、微积分:1.导数与微分:导数的定义、导数的计算、导数的应用;微分的定义、微分的计算、微分中值定理。

2.函数的极限与连续性:函数的极限、函数的极限性质、函数的极限运算法则;函数的连续性、连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质。

3.微分中值定理:罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

4.不定积分与定积分:不定积分的定义与性质、不定积分的计算、不定积分的应用;定积分的定义与性质、定积分的计算、定积分的应用。

5.常微分方程:常微分方程的基本概念、解的存在唯一性定理、一阶线性微分方程、可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、可降阶的高阶方程。

二、概率论与数理统计:1.随机事件与概率:基本概念、事件的运算、事件的概率、频率与概率的关系。

2.随机变量与概率分布:随机变量的定义与分类、分布函数、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的数学期望与方差。

3.随机事件的概率分布与数理统计:二项分布、泊松分布、正态分布、统计量的分布、大数定律、中心极限定理。

4.参数估计与假设检验:参数估计的方法、点估计与区间估计、假设检验的基本思想、假设检验的步骤。

三、数学分析:1.序列与极限:数列的性质、数列的极限、极限的性质与运算、单调数列、数列极限存在的判定准则。

2.函数极限与连续:函数的极限、极限性质与运算、函数的连续性与间断点的分类、闭区间上连续函数的性质、间断点的判定方法。

3.一元函数导数:函数导数的定义、导数的运算法则、函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点。

4.不定积分与定积分:不定积分的定义与性质、基本积分法、换元积分法、分部积分法、定积分的定义与性质、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的计算。

5.泰勒公式与函数的展开:泰勒公式的定义、泰勒公式的误差估计、泰勒展开式、函数的局部近似与全局近似。

高中选修数学知识点

高中选修数学知识点

高中选修数学知识点由于您没有给出具体的高中选修数学的板块内容(例如选修1 - 1、选修2 - 2等),以下为人教版高中数学选修2 - 1知识点整理:一、常用逻辑用语。

1. 命题及其关系。

- 命题:可以判断真假的陈述句叫做命题。

- 四种命题:原命题“若p,则q”;逆命题“若q,则p”;否命题“若¬p,则¬q”;逆否命题“若¬q,则¬p”。

原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假。

2. 充分条件与必要条件。

- 充分条件:如果p⇒q,则p是q的充分条件。

- 必要条件:如果q⇒p,则p是q的必要条件。

- 充要条件:如果p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件,记作p⇔q。

3. 简单的逻辑联结词。

- “且”:命题p∧q,当p、q都为真时,p∧q为真,否则为假。

- “或”:命题p∨q,当p、q至少有一个为真时,p∨q为真,当p、q都为假时,p∨q为假。

- “非”:命题¬p,p为真时,¬p为假;p为假时,¬p为真。

4. 全称量词与存在量词。

- 全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用“∀”表示。

含有全称量词的命题叫做全称命题,例如∀x∈M,p(x)。

- 存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用“∃”表示。

含有存在量词的命题叫做特称命题,例如∃x∈M,p(x)。

- 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。

二、圆锥曲线与方程。

1. 椭圆。

- 定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

- 标准方程:- 当焦点在x轴上时,frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0),其中c^2=a^2-b^2,焦点坐标为(± c,0)。

- 当焦点在y轴上时,frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1(a > b>0),焦点坐标为(0,± c)。

高中数学选修知识点归纳

高中数学选修知识点归纳

高中数学选修知识点归纳,也希望对大家有所帮助.高中数学选修知识点11.圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2.圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3.高中数学必修二知识点总结:直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(_-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(_0,y0),则过此点的切线方程为(_0-a)(_-a)+(y0-b)(y-b)=r24.圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含;当时,为同心圆.注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线5.空间点.直线.平面的位置关系公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用:判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1:公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.符号语言:公理2的作用:①它是判定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点.③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行高中数学必修二知识点总结:空间直线与直线之间的位置关系①异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质:既不平行,又不相交.③异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角:作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.求异面直线所成角步骤:A.利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B.证明作出的角即为所求角C.利用三角形来求角(7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.(8)空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点.三种位置关系的符号表示:aαa∩α=Aa‖α(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α‖β相交——有一条公共直线.α∩β=b高中数学选修知识点2解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理.余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)应用能够运用正弦定理.余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表.图象.通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列.等比数列①理解等差数列.等比数列的概念.②掌握等差数列.等比数列的通项公式与前项和公式.③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数.等比数列与指数函数的关系不等关系一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数.一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.基本不等式:①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点高中数学选修知识点31.函数的概念:设A.B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数_,在集合B中都有唯一确定的数f(_)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(_),_∈A.其中,_叫做自变量,_的取值范围A叫做函数的定义域;与_的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(_)|_∈A}叫做函数的值域.注意:2如果只给出解析式y=f(_),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域.值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数_的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数.对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的_的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域.)构成函数的三要素:定义域.对应关系和值域再注意:(1)构成函数三个要素是定义域.对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本_页相关例2)值域补充(1).函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数.二次函数.指数.对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.3.函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(_),(_∈A)中的_为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(_,y)的集合C,叫做函数y=f(_),(_∈A)的图象.C上每一点的坐标(_,y)均满足函数关系y=f(_),反过来,以满足y=f(_)的每一组有序实数对_.y为坐标的点(_,y),均在C上.即记为C={P(_,y)|y=f(_),_∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法A.描点法:根据函数解析式和定义域,求出_,y的一些对应值并列表,以(_,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(_,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B.图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种,即平移变换.伸缩变换和对称变换(3)作用:1.直观的看出函数的性质;2.利用数形结合的方法分析解题的思路.提高解题的速度.发现解题中的错误.4.快去了解区间的概念(1)区间的分类:开区间.闭区间.半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.5.什么叫做映射一般地,设A.B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素_,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.记作〝f:AB〞给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A.B及对应法则f是确定的;②对应法则有〝方向性〞,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B 到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A 中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A 中都有原象.常用的函数表示法及各自的优点:1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线.折线.离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法:必须注明函数的定义域;3图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.注意啊:解析法:便于算出函数值.列表法:便于查出函数值.图象法:便于量出函数值补充一:分段函数(参见课本P24-25)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.补充二:复合函数如果y=f(u),(u∈M),u=g(_),(_∈A),则y=f[g(_)]=F(_),(_∈A)称为f.g的复合函数.例如:y=2sin_y=2cos(_2+1)7.函数单调性(1).增函数设函数y=f(_)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量_1,_2,当_1如果对于区间D上的任意两个自变量的值_1,_2,当_1注意:1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2必须是对于区间D内的任意两个自变量_1,_2;当_1(2)图象的特点如果函数y=f(_)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(_)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.高中数学选修知识点。

(完整版)人教版高中数学选修1-1知识点总结(全)(可编辑修改word版)

(完整版)人教版高中数学选修1-1知识点总结(全)(可编辑修改word版)

高中数学选修 1-1 知识点总结第一章简单逻辑用语●命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.●“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论.●原命题:“若p ,则q ”逆命题:“若q ,则p ”否命题:“若⌝p ,则⌝q ”逆否命题:“若⌝q ,则⌝p ”●四种命题的真假性之间的关系:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.●若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.若p ⇔q ,则p 是q 的充要条件(充分必要条件).利用集合间的包含关系:例如:若A ⊆B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若A=B,则 A 是 B 的充要条件;●逻辑联结词:⑴且:命题形式p ∧q ;⑵或:命题形式p ∨q ;⑶非:命题形式⌝p .●⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“ ∀”表示.全称命题p:∀x ∈M , p(x) ;全称命题p 的否定⌝p:∃x ∈M , ⌝p(x) .⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“ ∃”表示.特称命题p:∃x ∈M , p(x) ;特称命题p 的否定⌝p:∀x ∈M , ⌝p(x) .第二章圆锥曲线●平面内与两个定点F1,F2 的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹称为椭圆.即:| MF1 | + | MF2 |= 2a,(2a >| F1 F2 |) .这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.●椭圆的几何性质:x2 y2 y2 x2 ●平面内与两个定点F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于线.即:|| MF1 | - | MF2||= 2a,(2a <| F1F2|) .F1F2)的点的轨迹称为双曲这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距●双曲线的几何性质:x2 y2 y2 x2●实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.●平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F 称为抛物线的焦点,定直线l 称为抛物线的准线.p p●抛物线的几何性质:●过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ,称为抛物线的“通径”,即AB = 2 p .● 焦半径公式: 若点P ( x , y ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 上,焦点为 F ,则 P F = x + ;2若点P( x , y ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 上,焦点为 F ,则 P F = y + ;2第三章 导数及其应用●函数 f( x ) 从 x 到 x的平均变化率: f ( x 2 ) - f ( x 1 ) 1 2x - x210 ( ) ( ( ))0⎣ ⎦ ●导数定义: f( x ) 在点 x 0 处的导数记作 y '= f '(x ) = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) .x = x 0∆x →0 ∆x ● 函数 y = f ( x ) 在点 x 处的导数的几何意义是曲线y = f x P x , f x 在点 处的切线的斜率.●常见函数的导数公式:① C ' = 0 ;② (x n )' = nx n -1 ;③ (sin x )' = cos x ;④ (cos x )' = -sin x ;⑤ (a x )' = a x ln a ;⑥ (e x )' = e x ;⑦ (log ax )'=1 x ln a;⑧ (ln x )' = 1x●导数运算法则:(1) (2)⎡⎣ f ( x ) ± g ( x )⎤⎦' = ⎡⎣ f ( x )⋅ g ( x )⎤⎦' = f '( x ) ± g '( x ) ;f '( x )g ( x ) + f ( x ) g '( x ) ;⎡ f ( x ) ⎤' =f '( x )g ( x ) - f ( x ) g '( x )(3) ⎢ g ( x ) ⎥ ⎡⎣ g ( x )⎤⎦2( g ( x ) ≠ 0) .● 在某个区间(a , b ) 内,若 f '( x ) > 0 ,则函数 y = 若 f '( x ) < 0 ,则函数 y = f ( x ) 在这个区间内单调递增;f ( x ) 在这个区间内单调递减.●求函数 y = f( x ) 的极值的方法是:解方程 f '( x ) = 0 .当 f '( x 0 ) = 0 时:(1) 如果在 x 0 附近的左侧 f '( x ) > 0 ,右侧 f '( x ) < 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值; (2) 如果在 x 0 附近的左侧 f '( x ) < 0 ,右侧 f '( x ) > 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极小值.●求函数 y = f( x ) 在[a , b ] 上的最大值与最小值的步骤是:(1) 求函数 y = (2) 将函数 y = f ( x ) 在(a , b ) 内的极值;f ( x ) 的各极值与端点处的函数值 f (a ) , f (b ) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.。

高中数学选修知识点总结

高中数学选修知识点总结

高中数学选修知识点总结一、函数1.函数的概念:自变量和因变量的关系。

2.函数的运算:函数的四则运算、复合运算和反函数运算。

3.函数的图像与性质:函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性等。

4.常见函数类型:一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

5.函数的应用:函数在实际问题中的应用,如函数模型的建立和问题的解决。

二、数列与数列极限1.数列的概念:有序数的无穷序列。

2.等差数列和等比数列:求和公式、通项公式等。

3.数列的极限:数列的收敛、发散,以及极限的计算方法与性质。

4.级数:部分和的极限。

三、概率与统计1.事件与概率:事件的概念、概率的计算方法与性质。

2.条件概率与独立事件:条件概率的计算、事件的独立性判定。

3.排列与组合:对一组元素进行排列和组合的方法和性质。

4.统计学:数据的收集与整理、统计量(均值、中位数、众数等)的计算与性质。

5.正态分布:正态分布的定义、性质和应用。

四、解析几何1.平面与空间几何:平面与空间几何中的基本概念和性质。

2.直线与曲线:直线方程与曲线方程的求解与应用。

3.空间图形与方程:常见的空间图形和它们的方程。

4.参数方程与向量:参数方程的表示和应用、向量的概念和运算。

五、数论1.数论基本概念:因数与倍数、最大公约数和最小公倍数等。

2.同余与模运算:同余方程与模运算的基本性质。

3.线性同余方程组:线性同余方程组的求解、中国剩余定理。

4.费马小定理和欧拉定理:费马小定理和欧拉定理的应用。

六、离散数学1.图论:图的基本概念、树与网络。

2.数学归纳法:数学归纳法的应用与思维方法。

3.布尔代数:布尔代数的基本运算、推理与应用。

七、数学建模1.问题建模:将实际问题转化为数学问题的方法与思路。

2.模型分析与求解:选择合适的数学模型和求解方法,对问题进行分析和求解。

3.结果评价与优化:对数学模型的结果进行评价和分析,优化解决方案。

以上是对高中数学选修知识点的一个总结,其中涉及了很多不同的内容。

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结高中数学是一门重要的学科,对于我们的逻辑思维和解决问题的能力培养具有重要意义。

以下是对高中数学必修和选修的全部知识点进行的精华归纳总结。

一、集合与函数(一)集合1、集合的概念:一些确定的、不同的对象构成的整体。

2、集合的表示方法:列举法、描述法、韦恩图。

3、集合的运算:交集、并集、补集。

(二)函数1、函数的概念:设 A、B 是非空数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

2、函数的三要素:定义域、值域、对应法则。

3、函数的性质单调性:设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂,当 x₁<x₂时,都有 f(x₁)<f(x₂)(或 f(x₁)>f(x₂)),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数(或减函数)。

奇偶性:设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于定义域 D 内任意一个x,都有 f(x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域 D 内任意一个 x,都有 f(x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数。

二、基本初等函数(一)指数函数1、指数函数的概念:函数 y=a^x(a>0 且a≠1)叫做指数函数。

2、指数函数的图象和性质(二)对数函数1、对数函数的概念:函数y=logₐx(a>0 且a≠1)叫做对数函数。

2、对数函数的图象和性质(三)幂函数1、幂函数的概念:形如y=x^α(α 为常数)的函数叫做幂函数。

2、常见幂函数的图象和性质三、立体几何(一)空间几何体1、柱、锥、台、球的结构特征2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积和体积(二)点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质2、空间中直线与直线的位置关系3、空间中直线与平面的位置关系4、空间中平面与平面的位置关系四、平面解析几何(一)直线与方程1、直线的倾斜角和斜率2、直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。

高三数学选修知识点大全

高三数学选修知识点大全

高三数学选修知识点大全高三数学选修课程是学生在高中阶段可以根据个人兴趣和发展方向自主选择的课程之一。

选修课程旨在培养学生的数学思维能力和创新意识,为他们将来的学术研究和职业发展打下坚实基础。

本文将全面介绍高三数学选修课程所涉及的知识点,帮助学生全面理解和掌握这些内容。

一、函数与导数1. 函数的定义2. 函数的性质和分类3. 初等函数及其图像4. 极限与连续5. 导数的定义与性质6. 导数的计算方法与应用二、立体几何1. 空间直角坐标系2. 空间图形的表示和性质3. 空间向量的性质和运算4. 空间平面及其方程5. 空间直线及其方程6. 空间曲线的参数方程和方程7. 空间曲面及其方程8. 空间立体的体积和表面积计算三、概率与统计1. 随机事件的概率2. 随机事件的运算及其性质3. 条件概率与独立性4. 随机变量的概念和性质5. 离散型随机变量及其分布6. 连续型随机变量及其分布7. 两个随机变量的联合分布8. 统计与抽样调查9. 统计总体的参数估计10. 假设检验与显著性检验四、数学建模1. 数学建模的基本思路与方法2. 数学模型的建立与求解3. 数学模型的评价与优化4. 实际问题的数学建模案例分析五、数学思维1. 数学论证与证明2. 数学思维方法与策略3. 数学问题的解决过程4. 数学启发式策略与创新六、微积分1. 不定积分的概念和性质2. 不定积分的基本公式与计算方法3. 定积分的概念和性质4. 定积分的计算方法与应用5. 微分方程的基本概念和解法七、线性代数1. 行列式的定义和性质2. 矩阵的基本运算与性质3. 线性方程组的解与解的结构4. 向量空间的概念和性质5. 线性变换的概念和性质6. 特征值和特征向量通过对以上选修课程知识点的学习,高三学生可以更深刻地理解数学的本质和应用,培养良好的数学思维和解决问题的能力。

同时,这些知识也为他们参加高考和未来的学习与研究提供了坚实的基础。

希望本文的内容能够对高三学生在学习高级数学时提供有益的帮助,带来更好的学习效果。

高中数学选修知识点总结(全)

高中数学选修知识点总结(全)

高中数学选修知识点总结(全)高中数学选修知识点总结(全)高中数学选修4-1知识点总结平行线等分线段定理平行线等分线几段定理:如果一组直角在一条直线上截得上时的线段相等,那么在其他直线上截得的圆周也相等。

推理1:经过三角形一边的中点与昂尚另一边平行的直线必平分第三边。

推理2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的双曲线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。

推论:相交于三角形一边的直线截其他直角两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质相同三角形的判定:定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似。

相似三角形对应边的之比叫做相似四边形比(或相似系数)。

由于从定义出发判断两个三角形相似,需考虑6个元素,即三组对应成正比角是否分别相等,三组对应边是不是分别成比例,显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个断定两个三角形给出相似的简单方法:(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似。

预备定理:相交处于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与正方形三角形相似。

判定定理1:对于任意两个正三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

简述为:两角对应相等,两三角形相似。

判定定理2:对于常量两个三角形,数目如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。

简述为:两边对应成相等比例且夹角相等,两三角形相似。

判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应转变成比例,那么这两个五边形相似。

简述为:三边对应成比例,两三角形相似。

引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段变为比例,那么这条对角线平行于三角形的第三边。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

高中数学选修知识点版 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】高中数学选修4-5知识点1.不等式的基本性质1.实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系.(2)设a、b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A、B.当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右边时,a>b.(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)(4)两个实数比较大小的步骤①作差;②变形;③判断差的符号;④结论.2.不等关系与不等式(1)不等号有≠,>,<,≥,≤共5个.(2)相等关系和不等关系任意给定两个实数,它们之间要么相等,要么不相等.现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的,不等是普遍的、绝对的,因此绝大多数的量都是以不等关系存在的.(3)不等式的定义:用不等号连接起来的式子叫做不等式.(4)不等关系的表示:用不等式或不等式组表示不等关系.3.不等式的基本性质(1)对称性:a>bb<a;(2)传递性:a>b,b>ca>c;(3)可加性:a>b,c∈R a+c>b+c;(4)加法法则:a >b ,c >da +c >b +d ;(5)可乘性:a >b ,c >0ac >bc ;a >b ,c <0ac <bc ; (6)乘法法则:a >b >0,c >d >0ac >bd ; (7)乘方法则:a >b >0,n ∈N 且n ≥2a n >b n ; (8)开方法则:a >b >0,n ∈N 且n ≥2n a >nb . (9)倒数法则,即a >b >01a <1b.2.基本不等式1.重要不等式定理1:如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立.2.基本不等式(1)定理2:如果a ,b >0,那么a b +≥ ( a +b2≥ab),当且仅当a =b 时,等号成立.(2)定理2的应用:对两个正实数x ,y ,①如果它们的和S 是定值,则当且仅当x =y 时,它们的积P 取得最大值,最大值为S 24.②如果它们的积P 是定值,则当且仅当x =y 时,它们的和S 取得最小值,最小值为2P .3.基本不等式ab ≤a +b2的几何解释如图,AB 是⊙O 的直径,C 是AB 上任意一点,DE 是过C 点垂直AB 的弦.若AC =a ,BC =b ,则AB =a +b ,⊙O 的半径R =a +b2,Rt △ACD ∽Rt △DCB ,CD 2=AC ·BC =ab ,CD =ab ,CD ≤R ab ≤a +b2,当且仅当C 点与O 点重合时,CD =R =AB2,即ab =a +b2.4.几个常用的重要不等式(1)如果a ∈R,那么a 2≥0,当且仅当a =0时取等号;(2)如果a ,b >0,那么ab ≤(a +b )24,当且仅当a =b 时等号成立.(3)如果a >0,那么a +1a≥2,当且仅当a =1时等号成立.(4)如果ab >0,那么a b +ba≥2,当且仅当a =b 时等号成立.3.三个正数的算术-几何平均不等式1.如果a 、b 、c ∈R +,那么a 3+b 3+c 3≥3abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立.2.(定理3)如果a 、b 、c ∈R+,那么3++≥a b c (a +b +c3≥3abc),当且仅当a =b =c 时,等号成立.即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.3.如果a 1,a 2,…,a n ∈R +,那么a 1+a 2+…+a n n≥na 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.即对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均.二 绝对值不等式 1.绝对值三角不等式1.绝对值及其几何意义(1)绝对值定义:|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)-a (a <0)(2)绝对值几何意义:实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为a 的点A 到原点O 的距离|OA |.(3)数轴上两点间的距离公式:设数轴上任意两点A ,B 分别对应实数x 1,x 2,则|AB |=|x 1-x 2|.2.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a ,b 是实数,则|a +b |≤|a |+|b |,当且仅当ab ≥0时,等号成立.推论1:如果a ,b 是实数,那么|a |-|b |≤|a -b |≤|a |+|b |. 推论2:如果a ,b 是实数,那么|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |. (2)定理2:如果a ,b ,c 是实数,那么|a -c |≤|a -b |+|b -c |,当且仅当(a -b )(b -c )≥0时,等号成立.2.绝对值不等式的解法1.|x |<a 与|x |>a 型不等式的解法 设a >0,则(1)|x |<a -a <x <a ; (2)|x |≤a -a ≤x ≤a ; (3)|x |>ax <-a 或x >a ; (4)|x |≥ax ≤-a 或x ≥a .2.|ax +b |≤c (c >0)与|ax +b |≥c (c >0)型不等式的解法(1)|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;(2)|ax+b|≥cax+b≤-c或ax+b≥c.3.|x-a|+|x-b|≤c与|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值号内多项式的正、负号,进而去掉绝对值号.(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键.注:绝对值的几何意义(1)|x|的几何意义是数轴上点x与原点O的距离;(2)|x-a|+|x-b|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之和;(3)|x-a|-|x-b|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之差.2.绝对值不等式的几何意义(1)|x|≤a(a>0)的几何意义是以点a和-a为端点的线段,|x|≤a的解集是[-a,a].(2)|x|>a(a>0)的几何意义是数轴除去以点a和-a为端点的线段后剩下的两条射线,|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞).3.解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)求解.例题:例如:分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。

例1: 解不等式125x x -++<。

分析:由01=-x ,02=+x ,得1=x 和2=x 。

2-和1把实数集合分成三个区间,即2-<x ,12≤≤-x ,1>x ,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。

解:当x <-2时,得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩,解得:23-<<-x当-2≤x ≤1时,得21,(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩,解得:12≤≤-x当1>x 时,得1,(1)(2) 5.x x x >⎧⎨-++<⎩ , 解得:21<<x综上,原不等式的解集为{}23<<-x x 。

例2:解不等式|2x -4|-|3x +9|<1. 解:①当x >2时,原不等式可化为 解得x >2.②当-3≤x ≤2时,原不等式可化为 解得-65<x ≤2.③当x <-3时,原不等式可化为 解得x <-12.综上所述,原不等式的解集为 {x|x<-12或x>-65 }.第二讲证明不等式的基本方法一比较法比较法主要有1.作差比较法 2.作商比较法1.作差比较法(简称比差法)(1)作差比较法的证明依据是:a>ba-b>0;a=ba-b=0;a<ba -b<0.(2)基本步骤是:①作差;②变形;③判号;④结论.2.作商比较法(简称比商法)(1)作商比较法的证明依据是:当b>0时,ab>1a>b;ab=1a=b;ab<1a<b.(2)基本步骤是:①作商;②变形;③比较与1的大小;④结论.注意:对作差比较法的理解(1)在证明不等式的各种方法中,作差比较法是最基本、最重要的方法.作差比较法是通过确定不等式两边的差的符号来证明不等式的,因而其应用非常广泛.(2)不等式差的符号是正是负,一般必须利用不等式的性质经过变形才能判断,其中变形的目的在于判断差的符号,而不必考虑差的值是多少.变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等.(3)作差比较法,主要适用于不等式两边是整式或分式型的有理不等式的证明.(4)在判定不等式两边的式子同号的条件下,如果直接作差不易变形,可以借助不等式性质作平方差或立方差,进行证明.2.对作商比较法的理解(1)使用作商法证明不等式a >b 时,一定要注意b >0这个前提条件.若b <0,a b <1a >b ,a b =1a =b ,ab>1a <b .(2)当欲证明的不等式的两边是乘积形式、指数幂形式,不同底的对数式形式时,常用作商法证明.二 综合法与分析法1.综合法一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.2.分析法证明命题时,从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法.注意:1.用综合法证明不等式的逻辑关系AB 1B 2…B n B由已知逐步推演不等式成立的必要条件,从而得结论.2.用分析法证明不等式的逻辑关系AB1B2…B n B由结论步步寻求不等式成立的充分条件,从而到已知.3.综合法和分析法的比较(1)相同点:都是直接证明.(2)不同点:综合法:由因导果,形式简洁,易于表达;分析法:执果索因,利于思考,易于探索.4.证明不等式的通常做法常用分析法找证题切入点,用综合法写证题过程.三反证法与放缩法1.反证法证明不等式时,首先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立.我们把它称之为反证法.2.放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.3.换元法将所证的不等式的字母作适当的代换,以达到简化证题过程的目的,这种方法称为换元法.注意:1.关于反证法(1)反证法的原理是否定之否定等于肯定.即第一次否定—在假设中,否定了结论↓第二次否定—通过推理论证,又否定了假设(2)反证法的使用范围一般以下几种情况适宜使用反证法:①结论本身是以否定形式出现的一类命题;②有关结论是以“至多…”或“至少…”的形式出现的一类命题;③关于唯一性、存在性的命题;④结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题.(3)使用反证法的主要步骤(4)准确地作出反设是反证法证题的前提,下面是常用词语的反设(5)运用反证法的五点说明①反设时一定不能把“假设”写成“设”.②当结论的反面有多种可能时,必须全部列出,否则证明是不完整的.③必须从结论的否定出发进行推理,就是一定把结论的否定作为推理的条件,只要推理中没有用到“假设”就不是反证法.④最后导出的矛盾是多样的,可能与已知矛盾、与假设矛盾、与定义、定理、公式矛盾、与已知的事实矛盾等,但矛盾必须是明显的.⑤反证法是一种间接证明的方法.2.关于放缩法(1)放缩法证明不等式的理论依据有:①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量.其中减去一个正数值变小(缩),加上一个正数值变大(放);③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;④基本不等式与绝对值三角不等式;⑤三角函数的有界性等.(2)运用放缩法证题的关键是:放大或缩小要适当,千万不能放(缩)过头,否则问题无法获证.(3)使用放缩法的常用变形放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往从要证明的结论考虑.常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质等进行放缩.比如:⎝⎛⎭⎪⎫a +122+34>⎝ ⎛⎭⎪⎫a +122;1n 2<1n (n -1)(n ∈N 且n ≥2);1n 2>1n (n +1)(n ∈N *);1n <2n +n -1(n ∈N 且n ≥2),1n>2n +n +1;当a >b >0,m >0时,b a <b +m a +m ,a b >a +m b +m等. 第三讲 柯西不等式与排序不等式 1.二维形式的柯西不等式若a ,b ,c ,d 都是实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时,等号成立.2.柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k ,使α=kβ时,等号成立.3.二维形式的三角不等式设x 1,y 1,x 2,y 2∈R ,那么x 21+y 21+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2. 注意:1.二维柯西不等式的三种形式及其关系定理1是柯西不等式的代数形式,定理2是柯西不等式的向量形式,定理3是柯西不等式的三角形式.根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示.2.理解并记忆三种形式取“=”的条件(1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号.(2)向量形式中当存在实数k,α=kβ或β=0时取等号.(3)三角形式中当P1,P2,O三点共线且P1,P2在原点O两旁时取等号.3.掌握二维柯西不等式的常用变式(1) a2+b2·c2+d2≥|ac+bd|.(2) a2+b2·c2+d2≥|ac|+|bd|.(3) a2+b2·c2+d2≥ac+bd.(4)(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2.4.基本不等式与二维柯西不等式的对比(1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系.二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系,从这个意义上讲,二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式.(2)基本不等式具有放缩功能,利用它可以比较大小,证明不等式,当和(或积)为定值时,可求积(或和)的最值,同样二维形式的柯西不等式也有这些功能,利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效.二一般形式的柯西不等式1.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当b i=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,3)时,等号成立.2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n是实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+a n b n)2,当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时,等号成立.注意:1.对柯西不等式一般形式的说明:一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.2.关于柯西不等式的证明:对于函数f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(a n x-b n)2,显然f(x)≥0时x∈R恒成立,即f(x)=(a21+a22+…+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+…+a n b n)x+(b21+b22+…+b2n)≥0对x∈R恒成立,∴Δ= 4(a1b1+a2b2+…+a n b n)2-4(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≤0,除以4得(a21+a22+…+a2n)·(b21+b22+…+b2n)≥ (a1b1+a2b2+…+a n b n)2.3.一般形式柯西不等式成立的条件:由柯西不等式的证明过程可知Δ=0f(x)min=0a1x-b1=a2x-b2=…=a n x-b n=0b1=b2=…=b n=0,或a1b1=a2b2=…=a nb n.4.柯西不等式的几种常见变形:(1)设a21+a22+…+a2n=b21+b22+…+b2n=1,则-1≤a1b1+a2b2+…+a n b n≤1;(2)设a i∈R(i=1,2,3,…,n),则a1+a2+…+a nn≤a21+a22+…+a2nn;(3)设a i∈R,b i>0(i=1,2,3,…,n),则a21b1+a22b2+…+a2nb n≥(a1+a2+…+a n)2 b1+b2+…+b n;(4)设a i b i>0(i=1,2,3,…,n),则a1b1+a2b2+…+a nb n≥(a1+a2+…+a n)2a1b1+a2b2+…+a n b n.三排序不等式1.乱序和、反序和、顺序和设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n为b1,b2,…,b n的任一排列,称a1c1+a2c2+a3c3+…+a n c n为乱序和,a1b n+a2b n-1+a3b n-2+…+a n b1为反序和,a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n为顺序和.2.排序不等式(又称排序原理)设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n 是b1,b2,…,b n的任一排列,那么a1b n+a2b n-1+…+a n b1≤a1c1+a2c2+…+a n c n≤a1b1+a2b2+…+a n b n,当且仅当a1=a2=…=a n或b1=b2=…=b n时,反序和等于顺序和.3.排序原理的简记反序和≤乱序和≤顺序和.第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法1.数学归纳法的定义一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+且k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.2.数学归纳法的适用范围适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题.3.数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)验证当n=n0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立;(2)(归纳递推)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立,推导n=k+1时命题也成立.(3)结论:由(1)(2)可知,命题对一切n≥n0的自然数都成立.注意:用数学归纳法证明,关键在于两个步骤要做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”,因此必须注意以下三点:(1)验证是基础.数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0,这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不一定就是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是正确运用数学归纳法要注意的第一个问题.(2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程,必须把归纳假设“n=k”时命题成立作为条件来导出“n=k+1”时命题成立,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次,没有用上归纳假设的证明不是数学归纳法.(3)正确寻求递推关系.数学归纳法的第二步递推是至关重要的,那么如何寻找递推关系呢?①在第一步验证时,不妨多计算几项,并正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的;②探求数列的通项公式时,要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置;③在书写f (k +1)时,一定要把包含f (k )的式子写出来,尤其是f (k )中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.二 用数学归纳法证明不等式举例1.数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤. ①证明:当n 取第一个值n 0时结论成立;②假设当n =k (k ∈N +,且k ≥n 0)时结论成立,证明当n =k +1时结论也成立.由①②可知命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. (2)用数学归纳法证明不等式的重点.用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在),即假设f (k )>g (k )成立,证明f (k +1)>g (k +1)成立.2.贝努利不等式(1)定义:如果x 是实数,且x >-1,x ≠0,n 为大于1的自然数,那么有(1+x )n >1+nx .(2)作用:在数学研究中经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x )n 缩小为简单的1+nx 的形式,这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用.例如:当x 是实数,且x >-1,x ≠0时,由贝努利不等式不难得到不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x n >1-nx1+x 对一切不小于2的正整数n 成立.(3)贝努利不等式的一般形式.(1)当α是实数,并且满足α>1或α<0时,有(1+x)α≥1+αx(x>-1);(2)当α是实数,并且满足0<α<1时,有(1+x)α≤1+αx(x>-1).3.归纳—猜想—证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法,常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中.一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论;更重要的是,要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性,形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法.1.关于用数学归纳法证明不等式的四点注意(1)在从n=k到n=k+1的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也就是要认清不等式的结构特征.(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,从中分离出n=k时的相应式子,借助不等式性质用上归纳假设.(3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的,然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明.(4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的不等式然后再用数学归纳法证明.2.关于贝努利不等式(1)(1+x)n>1+nx成立的两个条件:①n∈N+且n≥2;②x的取值范围是x>-1且x≠0.于是有命题:当n∈N+且n≥2时不等式(1+x)n>1+nx对一切x∈(-1,0)∪(0,+∞)恒成立.(2)常用特例:①当x>-1且x≠0时,(1+x)2>1+2x;②当x>-1且x≠0时,(1+x)3>1+3x.3.重要结论(1)当n≥5时,n2<2n.(2)当n∈N+时,|sin nθ|≤n|sin θ|.。

相关文档
最新文档