高中数学典型例题大全第三章导数符合函数的导数

高中数学典型例题大全第三章导数符合函数的导
数
例 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,00,1sin )(2x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，因此应当用导数定义求)0(f '，当0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x
x 1sin 2，能够按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1sin lim )0()(lim )0(0200===-='→∆→∆→∆x
x x x x x f x f f x x x 当0
≠x 时，x x x x x x x x x x x x x x x f 1cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 讲明：假如一个函数)(x g 在点0x 连续，那么有)(lim )(0
0x g x g x x →=，但假如我们不能确信)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为)(lim )0(0
x f f x →='． 指出函数的复合关系
例 指出以下函数的复合关系．
1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ；
3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。

分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是差不多函数的结构，解决这类咨询题的关键是正确分析函数的复合层次，一样是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成假设干个常见的差不多函数，逐步确定复合过程．
解：函数的复合关系分不是
1．n
m bx a u u y +==,；
2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ；
4．.1,sin ,3x
x v v u u y +=== 讲明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量差不多上差不多函数的结构
形式，而最内层能够是关于自变量x 的差不多函数，也能够是关于自变量的差不多函数通过有限次的四那么运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的成效．
求函数的导数
例 求以下函数的导数．
1．43)1
2(x x x y +-=；2．2211
x y -=；
3．)32(sin 2π
+=x y ；4．21x x y +=。

分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些差不多函数通过如何样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部重量、式子临时当作一个整体，那个临时的整体，确实是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中专门要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 解：1．解法一：设43
,12u y x
x x u =+-=，那么 ).116()12(4)116(42233223--+-=--⋅='⋅'='x x x x x x x u u y y x u x 解法二：'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x x x x x y 121241233343 .116124223⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+
-=x x x x x 2．解法一：设221
21,x u u y -=='-，那么
()()
()()
.21)21(2 212 42121 4212223223223x x x x
x x x x u u y y x u x ---=---=-⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-='⋅'='---＝ 解法二：()'⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-212221211x x y
()
.21)21(2)
21(2)4()21(2121)21(2
1222322322
232x
x x x x x x x x --=-=-⋅--='-⋅--=--- 3．解法一：设32,sin ,2π
+===x v v u u y ，那么
.324sin 2 232cos 32sin 2 2
cos 2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅='⋅'⋅'='πππx x x v u v u y y x v u x 解法二：'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+='32sin 32sin 232sin 2πππx x x y .324sin 2 232cos 32sin 2 3232cos 32sin 2 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x x x 4．解法一：.1422x x x x y +=+=设4221,x x u u y +==，那么
.1211)21(2 )42()(2
1 )42(2
122
2242332142321
x
x x x x x x x x x x x x x x x u u y y x u x ++=++=++=+⋅+=+⋅='⋅'='-- 解法二：)1(1)1(222'+++⋅'='+='x x x x x x y
.12111 2222
2x x x x x ++=+++=
讲明：关于复合函数的求导，要注意分析咨询题的具体特点，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否那么会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运
算．学生易犯错误是混淆变量或不记得中间变量对自变量求导．
求复合函数的导数
例 求以下函数的导数〔其中)(x f 是可导函数〕
1．⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x f y 1；2．).1(2+=x f y 分析：关于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特点，另一方面要充分运用复合关系的求导法那么。

先设出中间变量，再依照复合函数的导数运算法那么进行求导运算。

一样地，假设中间变量以直截了当可对所设变量求导，不需要再次假设，假如所设中间变量可直截了当求导，就不必再选中间变量。

解：1．解法一：设x
u u f y 1),(==，那么 .111)(22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅'='⋅'='x f x x u f u y y x u x 解法二：.111112⎪⎭⎫ ⎝⎛'-='⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛='x f x x x f x f y 2．解法一：设1,),(2+===x v v u u f y ，那么
).1(1
21
121)1( 22
1)(222221
+'+=⋅+⋅+'=⋅⋅'='⋅'⋅'='-x f x x x x x x f x v u f v u y y x u u x 解法二：[])1()1()1(222'+⋅+'='+='x x f x f y
[]).
1(1.2)1()1()1()1(21)1(
222122221
22+'+=⋅+⋅+'='+⋅+⋅+=--x f x x
x x x f x x x f 讲明：明白得概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示了一种思维上的惰性，导致判定复合关系不准确，没有起到假设中间变量的作用。

其次应重视))((x f ϕ'与[]'))((x f ϕ的区不，前者是对中间变量)(x ϕ的求导，后者表示对自变量x 的求导．。