光束法平差模型

旋转矩阵四元素法和光束法平差模型

1. 旋转矩阵的四元素表示法：

由于利用传统旋转矩阵表示法解算时,旋转阵中的三角函数存在多值性和奇异性,经常导致迭代计算的次数增加,甚至会出现不收敛情况。Pope 从四维代数出发,提出用四个代数参数d, a, b, c 构成R 矩阵,Hinsken 导出了一整套公式,即pope-hinsken 算法(简称P-H 算法),使pope 参数在实际摄影测量中得到了应用。设四个参数d, a, b, c 服从下列条件（如式3-1）:

12

222

=+++c b a d

………………（式3-1）

用这四个参数构造下列矩阵（如式3-2）:

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡------=d a b c a d c b b c d a c b a d P ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=d a b c a d c b b c d a c b a d a Q …………（式3-2） 可以知道P,Q 矩阵都是正交矩阵，从而可知（式3-3）：

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡==0000001R PQ T …………（式3-3）

因

I P

Q

T

X T

T

T

PQ T 44==可知I R X T

R 33=,R 为正交矩阵，其形式如（式3-4）

： ……（式3-4）

上式就是旋转矩阵R 的四元素表示法，可以表示任何一种旋转状态。

2. 光束法平差模型：

在解析摄影测量中，将外方位元素和模型点坐标的计算放在一个整体内进行，此时称其为光束法。光束法平差是以共线方程式作为数学模型，像点的像平面坐标观测值是未知数的非线性函数，经过线性化后按照最小二乘法原理进行计算。该计算也是在提供一个近似解的基础上，逐次迭代来达到趋近于最佳值的。

①.共线方程式的表达：

设S 为摄影中心，在世界坐标系下的坐标为（S X ,S Y ,S Z ）;M 为空间一点，在世界坐标系下的坐标为（X,Y,Z ），m 是M 在影像上的构象，其像平面和像空间辅助坐标分别为（x ，y ，-f ），（m m m Z Y X ,,），此时可知S 、m 、M 三点共线。可得（式3-5）

λ===---ZS Z Zm

YS Y Ym XS

X Xm ……（式3-5）

再根据像平面坐标和像空间辅助坐标的关系有（式3-6）

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-m m m m m m T Z Y X c b a c b a c b a Z Y X f y x R *333222111 ……

（式3-6）

由式3-5和式3-6可解得共线方程式为（式3-7）

)

(3)(3)(3)

(2)(2)(20)

(3)(3)(3)

(1)(1)(10ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X c b a c b a f

y y c b a c b a f x x -+-+--+-+--+-+--+-+--=--=- ……（式3-7） 其中，0x 、0y 、f 是影像内方位元素；表示像平面中心坐标和摄像机主距。 ②.共线方程式的线性化：

该方程式一次项展开式为（式3-8）

Z

Y X Zs Ys X s Z

Y X Zs Ys X s d d d d d d d d d F F d d d d d d d d d F F Z

Fy Y

Fy X

Fy Fy Fy Fy Zs

Fy Ys

Fy Xs

Fy

y y Fx

Fx Fx Fx Fx Fx Fx Fx Fx X X ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+

+

+

+

+

+

+

+

+

=+++++++++=κωϕκωϕκ

ω

ϕ

00…（式3-8）

式中0X F 、0y F 为共线方程函数近似值，X s d 、Ys d 、Zs d 、ϕd 、ωd 、κd 为外方位元素改正数，X d 、Y d 、Z d 为待定点的坐标改正数。

在保证共线条件下有：

Zs

Fy Z Fy Ys Fy Y Fy Xs Fy X

Fy Zs

Fx

Z Fx Ys Fx Y Fx Xs Fx X Fx ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-=-=-=-=-=-=,,,, ……（式3-9） 此时，根据式3-7以及旋转矩阵可得到（式3-10）：

)(31111

Fx a f a a z

Xs Fx +==∂∂ )(31121Fx b f b a z Ys Fx +==∂∂ )(31131

Fx c f c a z Zs Fx +==∂∂ )(32211Fy a f a a z Xs Fy +==∂∂

)(32221

Fy b f b a Fy +==∂

)(32231Fy c f c a z Zs

Fy

+==∂∂

ωκκκωϕcos ]cos )sin cos ([sin 14f y x y a f x

Fx +--==∂∂ ……

（式3-10） )cos sin (sin 15κκκωy x f a f x Fx +--==∂∂

y a Fx ==∂∂κ16

ωκκκωϕcos ]sin )sin cos ([sin 24f y x x a f y Fy ----==∂∂

)cos sin (cos 25κκκωy x f a f y Fy +--==∂∂ x a Fy -==∂∂κ26

③误差方程式的建立：

据此可得到误差方程式为（式3-11）：

y

Z Y X Zs Ys X s x

Z Y X Zs Ys X s l d a d a d a d a d a d a d a d a d a V l d a d a d a d a d a d a d a d a d a V y X ----+++++=----+++++=232221262524232221131211161514131211κωϕκωϕ …（式3-11）

其中有：