概率论与数理统计公式整理(超全版)

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概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全一、概率基本公式1.事件的概率:对于事件A,在随机试验中发生的次数记为n(A),则事件A的概率为P(A)=n(A)/n,其中n为试验总次数。

2.互斥事件的概率:对于互斥事件A和B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3.事件的余事件概率:设事件A为必然事件,全集的概率为P(S)=1,事件A的余事件为A',则有P(A')=1-P(A)。

4.条件概率:对于两个事件A和B,假设事件B已经发生,事件A发生的概率记为P(A,B),则P(A,B)=P(A∩B)/P(B)。

二、随机变量及其概率分布1.离散型随机变量:设X是一个离散型随机变量,其概率函数为P(X=k),其中k为X的取值,概率函数满足P(X=k)≥0,且∑P(X=k)=12. 连续型随机变量:设X是一个连续型随机变量,其概率密度函数为f(x),概率密度函数满足f(x)≥0,且∫f(x)dx = 13. 随机变量的数学期望:对于离散型随机变量X,其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k);对于连续型随机变量X,其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。

4. 随机变量的方差:对于离散型随机变量X,其方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2;对于连续型随机变量X,其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2三、常见的概率分布1.伯努利分布:表示一次实验成败的概率分布,概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k),其中0≤p≤12.二项分布:表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布,概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k),其中C(n,k)为组合数。

3. 泊松分布:表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布,概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda),其中lambda为平均发生率。

4.均匀分布:表示在一个区间内取值相等的概率分布,概率密度函数为f(x)=1/(b-a),其中[a,b]为区间。

概率论与数理统计公式定理全总结

概率论与数理统计公式定理全总结

概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式:1.基本概率公式:对于随机试验E,事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。

2.条件概率公式:对于事件A和事件B,若P(B)>,则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A,B)=P(A∩B)/P(B)。

3.全概率公式:对于互不相容事件A1,A2,...,An,它们的和事件为全样本空间S,且概率P(Ai)>,则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B,Ai))。

4.贝叶斯公式:对于互不相容事件A1,A2,...,An,它们的和事件为全样本空间S,且概率P(Ai)>,则对于任意事件B,有P(Ai,B)=(P(B,Ai)×P(Ai))/Σ(P(B,Ai)×P(Ai))。

二、数理统计公式:1.期望:随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi)),其中Xi为随机变量X的取值,P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。

2. 方差:随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi)),其中Xi为随机变量X的取值,E(X)为随机变量X的期望,P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。

3. 协方差:随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))),其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。

4. 相关系数:随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y)),其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差,Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。

三、概率论与数理统计定理:1.大数定律:对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn,它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n,当n趋向于无穷大时,X̄趋向于X的期望E(X)。

概率论与数理统计公式

概率论与数理统计公式

概率论与数理统计公式概率论是一门研究随机现象规律的数学学科,是现代数学的基础之一、而数理统计则是利用概率论的工具和方法,分析和处理统计数据,从而得出推断、估计、决策等信息的科学。

在概率论与数理统计的学习过程中,掌握一些重要的公式是非常关键的。

下面是一些概率论与数理统计中常用的公式:1.概率公式:-加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-乘法公式:P(A∩B)=P(A)*P(B,A)-条件概率公式:P(A,B)=P(A∩B)/P(B)2.期望与方差公式:-期望:E(X)=∑(x*P(X=x))- 方差:Var(X) = E((X-μ)^2) = ∑((x-μ)^2 * P(X=x))3.常用概率分布及其特征:-二项分布:P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)-泊松分布:P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!-正态分布:f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2)/(2*σ^2))4.样本与总体统计量公式:-样本均值:x̄=(∑x)/n-样本方差:s^2=(∑(x-x̄)^2)/(n-1)-样本标准差:s=√(s^2)5.参数估计公式:-点估计:-总体均值估计:μ的点估计为x̄-总体方差估计:σ^2的点估计为s^2-区间估计:-总体均值的置信区间:x̄±Z*(σ/√n)-总体比例的置信区间:p±Z*√((p*(1-p))/n)6.假设检验公式:-均值检验:-单样本均值检验:t=(x̄-μ0)/(s/√n)-双样本均值检验:t=(x̄1-x̄2)/√((s1^2/n1)+(s2^2/n2))-比例检验:-单样本比例检验:z=(p-p0)/√((p0*(1-p0))/n)-双样本比例检验:z=(p1-p2)/√((p*(1-p))*((1/n1)+(1/n2)))以上是概率论与数理统计中一些常用的公式,这些公式为解决问题提供了有力的工具和方法。

概率论与数理统计公式大全

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概率论与数理统计公式大全概率论和数理统计作为数学的两个重要分支,被广泛应用于各个领域。

无论是在学术研究还是实际应用中,熟悉并掌握相关的公式是非常重要的。

本文将为您提供概率论与数理统计公式的大全,帮助您更好地理解和应用这两门学科。

一、概率论公式1. 概率公式- 概率的定义:P(A) = N(A) / N(S),其中P(A)表示事件A发生的概率,N(A)代表事件A的样本点个数,N(S)表示样本空间中的样本点总数。

- 加法法则:P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B),其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率,P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

- 乘法法则:P(A∩B) = P(A) × P(B|A),其中P(B|A)表示在事件A 发生的条件下,事件B发生的概率。

2. 条件概率公式- 条件概率的定义:P(A|B) = P(A∩B) / P(B),其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率。

- 全概率公式:P(A) = ∑[P(Bi) × P(A|Bi)],其中Bi为样本空间的一个划分,P(Bi)表示事件Bi发生的概率,P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下,事件A发生的概率。

3. 事件独立性公式- 事件A和事件B独立的定义:P(A∩B) = P(A) × P(B),即事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

- 事件的相互独立:若对于任意的事件A1,A2,...,An,有P(A1∩A2∩...∩An) = P(A1) × P(A2) × ... × P(An),则称事件A1,A2,...,An相互独立。

4. 随机变量- 随机变量的定义:随机变量X是样本空间到实数集的映射。

- 随机变量的分布函数:F(x) = P(X≤x),表示随机变量X小于等于x的概率。

- 随机变量的概率密度函数(连续型随机变量):f(x)是非负函数,且对于任意实数区间[a, b],有P(a≤X≤b) = ∫[a, b]f(x)dx。

概率论与数理统计公式整理(完整版)

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概率论与数理统计 公式(全)
(13)乘法 公式
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式: P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地,对事件 A1,A2,…An,若 P(A1A2…An-1)>0,则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
当 a≤x1<x2≤b 时,X 落在区间( x1 , x2 )内的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a

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概率论与数理统计 公式(全)
指数分布
f (x)
ex ,
0,
x 0, x 0,
其中 0 ,则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为
正态分布
F(x)
函数 F(x) 表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。
分布函数具有如下性质:
1° 0 F(x) 1, x ;
2° F(x) 是单调不减的函数,即 x1 x2 时,有 F(x1) F (x2) ;
3° F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
4° F(x 0) F(x) ,即 F(x) 是右连续的;
布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
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概率论与数理统计 公式(全)
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e , 0 , k 0,1,2, k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。

概率论数理统计公式整理

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概率论数理统计公式整理一、概率论公式1.定义公式:-事件概率的定义:若E为随机试验的一个事件,S为样本空间,则事件E发生的概率可以表示为P(E)=n(E)/n(S),其中n(E)表示事件E中元素的个数,n(S)表示样本空间S中元素的总数。

2.概率计算公式:-加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),其中A,B为两个事件。

-条件概率公式:P(A,B)=P(A∩B)/P(B),其中A,B为两个事件,且P(B)≠0。

-乘法公式:P(A∩B)=P(A)P(B,A),其中A,B为两个事件。

3.全概率公式与贝叶斯公式:-全概率公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件,并且它们构成了对S的一个完全划分,即Bi∩Bj=∅(i≠j),且B1∪B2∪...∪Bn=S,则对于任意事件A,有P(A)=ΣP(A,Bi)P(Bi),其中i=1,2,...,n。

-贝叶斯公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件,并且它们构成了对S的一个完全划分,即Bi∩Bj=∅(i≠j),且B1∪B2∪...∪Bn=S,则对于任意事件A,有P(Bi,A)=P(A,Bi)P(Bi)/ΣP(A,Bj)P(Bj),其中i=1,2,...,n。

二、数理统计公式1.随机变量的概率分布:-离散型随机变量的概率分布:P(X=x)=p(x),其中x为随机变量X的取值,p(x)为概率质量函数。

- 连续型随机变量的概率密度函数: f(x) ≥ 0,且∫f(x)dx = 12.随机变量的数学期望:- 离散型随机变量的数学期望: E(X) = Σxip(xi),其中xi为随机变量X的取值,p(xi)为X取值为xi的概率。

- 连续型随机变量的数学期望: E(X) = ∫xf(x)dx。

3.方差和标准差:- 离散型随机变量的方差: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ(xi - E(X))^2p(xi)。

概率论与数理统计公式整理

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概率论与数理统计公式整理概率论和数理统计是数学中重要的分支,广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。

本文将对概率论和数理统计中常用的公式进行整理,以帮助读者更好地理解和应用这些概念和方法。

一、概率论公式1. 基本概率公式:P(A) = n(A) / n(S)其中P(A)表示事件A发生的概率,n(A)表示事件A的样本空间,n(S)表示样本空间中所有可能结果的个数。

2. 概率的加法公式:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)其中P(A ∪ B)表示事件A或B发生的概率,P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率。

3. 条件概率公式:P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)其中P(A | B)表示在事件B已经发生的条件下,事件A发生的概率。

4. 乘法公式:P(A ∩ B) = P(B) * P(A | B) = P(A) * P(B | A)其中P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率。

5. 全概率公式:P(A) = ∑[P(Bi) * P(A | Bi)]其中{Bi}为样本空间S的一个划分,P(Bi)表示事件Bi发生的概率。

二、数理统计公式1. 期望:E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中X表示随机变量,x表示X可能取到的值,P(X = x)表示X取到x的概率。

2. 方差:Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中E(X)表示随机变量X的期望。

3. 标准差:σ(X) = √(Var(X))其中Var(X)表示随机变量X的方差。

4. 协方差:Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) * (Y - E(Y))]其中X和Y分别表示两个随机变量。

5. 相关系数:ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))其中Cov(X, Y)表示X和Y的协方差,σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。

三、概率分布公式1. 二项分布:P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n-k)其中X服从二项分布,n表示试验次数,k表示成功次数,p 表示每次试验成功的概率。

概率论与数理统计超全公式总结

概率论与数理统计超全公式总结

E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e , (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数 对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地,当 A 、B 互斥时, P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系:P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式:从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式:从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布(Bernoulli 分布)——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k,(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量,数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量,数学期望定义� E(a)=a ,其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X),其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y),X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章 正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方 差 定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时:标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0,其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X),其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时,D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第 五 章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1),则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下 样本均值的分布:V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布:正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计:参数的估计值为一个常数矩估计 最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量,并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域,若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设,否则就不拒绝原假设。

概率论与数理统计完整公式

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概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支,研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。

在概率论与数理统计的学习中,有许多重要的公式需要掌握。

以下是概率论与数理统计的完整公式。

一、概率论公式:1.全概率公式:设A1,A2,…,An为样本空间S的一个划分,则对任意事件B,有:P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式:对于样本空间S的一划分A1,A2,…,An,其中P(Ai)>0,i=1,2,…,n,并且B是S的任一事件,有:P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性:若对事件A,B有P(AB)=P(A)·P(B),则称事件A,B相互独立。

4.概率的乘法公式:对于独立事件A1,A2,…,An,有:P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式:对事件A,B有:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算:对事件A,B有:P(A,B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算:设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p),则其概率可表示为:P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k),其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式:1.样本均值的期望和方差:样本的均值X̄的期望和方差分别为: E(X̄) = μ,Var(X̄) = σ^2 / n,其中μ 为总体的均值,σ^2 为总体方差,n 为样本容量。

2.样本方差的期望:样本方差S^2的期望为:E(S^2)=σ^2,其中σ^2为总体方差。

(完整版)概率论与数理统计公式整理(超全版)

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,( , ,…, ),通常叫先验概率。 ,( , ,…, ),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
(17)伯努利概型
我们作了 次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果, 发生或 不发生;
次试验是重复进行的,即 发生的概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概公式
设事件 满足
1° 两两互不相容, ,
2° ,
则有

(16)贝叶斯公式
设事件 , ,…, 及 满足
1° , ,…, 两两互不相容, >0, 1,2,…, ,
2° , ,

,i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式。
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
(13)乘法公式
乘法公式:
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有
… …… … 。
(14)独立性
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ,则称事件 、 是相互独立的。
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:

显然分布律应满足下列条件:
(1) , , (2) 。
(2)连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数,若存在非负函数 ,对任意实数 ,有

则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。

概率论与数理统计公式大全

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概率论与数理统计公式大全一、概率论公式1.概率的基本性质:-非负性:对于任意事件A,有P(A)>=0;-规范性:对于必然事件S,有P(S)=1;-可列可加性:对于互不相容的事件Ai(i=1,2,...),有P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...。

2.条件概率:-事件B发生的条件下,事件A发生的概率:P(A,B)=P(A∩B)/P(B);-乘法公式:P(A∩B)=P(A,B)*P(B)。

3.全概率公式:-事件A的概率:P(A)=ΣP(A,Bi)*P(Bi),其中Bi为样本空间的一个划分。

4.贝叶斯公式:-事件Bi发生的条件下,事件A发生的概率:P(Bi,A)=P(A,Bi)*P(Bi)/ΣP(A,Bj)*P(Bj),其中Bj为样本空间的一个划分。

5.独立性:-事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)*P(B)。

二、数理统计公式1.随机变量的概率分布:-离散型随机变量的概率分布函数:P(X=x);-连续型随机变量的概率密度函数:f(x)。

2.数理统计的基本概念:-样本均值:X̄=ΣXi/n;-样本方差:s^2=Σ(Xi-X̄)^2/(n-1);-样本标准差:s=√s^2;- 样本协方差:sxy = Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ) / (n-1)。

3.大数定律:-样本均值的大数定律:当样本容量n趋向于无穷大时,样本均值X̄趋向于总体均值μ。

4.中心极限定理:-样本均值的中心极限定理:当样本容量n足够大时,样本均值X̄服从近似正态分布。

5.参数估计:-点估计:用样本统计量对总体参数进行估计;-置信区间估计:用样本统计量构造一个区间,以估计总体参数的范围。

6.假设检验:-假设检验的基本步骤:提出原假设H0和备择假设H1,选择适当的检验统计量,计算拒绝域,进行假设检验。

以上只是概率论与数理统计中的一些重要公式和定理,还有很多其他的公式和定理没有一一列举。

掌握这些公式和定理,可以帮助我们更好地理解和应用概率论与数理统计的知识。

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全一、概率论的常用公式:1.概率的公式:对于事件A,其概率表示为P(A),满足0≤P(A)≤1。

2.加法公式:对于两个互斥事件A和B,其概率表示为P(A∪B),满足P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3.减法公式:对于事件A和B,其概率表示为P(A∩B),满足P(A∩B)=P(A)-P(A∪B)。

4.乘法公式:对于两个独立事件A和B,其概率表示为P(A∩B),满足P(A∩B)=P(A)某P(B)。

5.条件概率公式:对于事件A和B,其条件概率表示为P(A,B),满足P(A,B)=P(A∩B)/P(B)。

6.全概率公式:对于一组互斥事件B1,B2,...,Bn,以及事件A,有P(A)=∑(P(A,Bi)某P(Bi))。

7.贝叶斯公式:对于一组互斥事件B1,B2,...,Bn,以及事件A,有P(Bi,A)=P(A,Bi)某P(Bi)/(∑(P(A,Bj)某P(Bj))。

二、数理统计的常用公式:1.均值公式:对于一组数据某1,某2,...,某n,其均值表示为μ=∑(某i)/n。

2.方差公式:对于一组数据某1,某2,...,某n,其方差表示为σ^2=∑((某i-μ)^2)/n。

3.标准差公式:对于一组数据某1,某2,...,某n,其标准差表示为σ=√(σ^2)。

4. 协方差公式:对于两组数据某1,某2,...,某n 和 y1,y2,...,yn,其协方差表示为 Cov(某,y) = ∑((某i - μ某) 某 (yi - μy)) / n。

5. 相关系数公式:对于两组数据某1,某2,...,某n 和 y1,y2,...,yn,其相关系数表示为 r = Cov(某,y) / (σ某某σy)。

6.正态分布的概率计算:对于满足正态分布的一组数据某1,某2,...,某n,可以利用标准正态分布表或计算工具来计算概率P(X≤某)或P(X>某)。

7.置信区间公式:对于一组数据某1,某2,...,某n,其均值μ和置信水平α,可以计算置信区间为某̄±Z(α/2)某(σ/√n)。

概率论与数理统计公式整理(超全免费版)79577

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即X~N〔
但是假如X~N〔 ,(X,Y)未必是二维正态分布。
〔10〕函数分布
Z=X+Y
根据定义计算:
对于连续型,fZ(z)=
两个独立的正态分布的和仍为正态分布〔 〕。
n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。

Z=max,min(X1,X2,…Xn)
假如 相互独立,其分布函数分别为 ,如此Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为:
1° 。
2° 。
〔3〕离散与连续型随机变量的关系
积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
〔4〕分布函数
设 为随机变量, 是任意实数,如此函数
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间〔–∞,x]的概率。
〔2〕
〔2〕二维随机变量的本质
〔3〕联合分布函数
设〔X,Y〕为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量〔X,Y〕的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的根本性质:
〔1〕
〔2〕F〔x,y〕分别对x和y是非减的,即
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来完成,如此这件事可由m×n种方法来完成。
〔3〕一些常见排列
重复排列和非重复排列〔有序〕
对立事件〔至少有一个〕
顺序问题
〔4〕随机试验和随机事件
如果一个试验在一样条件下可以重复进展,而每次试验的可能结果不止一个,但在进展一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,如此称这种试验为随机试验。

概率论与数理统计公式

概率论与数理统计公式

概率论与数理统计公式1.概率公式:
1.1概率加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式:
P(A,B)=P(A∩B)/P(B)
P(B,A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式:
P(A∩B)=P(A)*P(B,A)
P(A∩B)=P(B)*P(A,B)
1.4全概率公式:
P(A)=ΣP(A,B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式:
P(B,A)=P(A,B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式:
2.1样本均值:
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值:
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差:
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差:
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差:
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差:
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数:
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2(当n为偶数时)
2.8样本四分位数:
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数:
Zα=Φ^(-1)(α),其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。

2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数:
x^2α=χ^2^(-1)(α),其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。

概率论与数理统计公式整理(超全精品版)

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。其仲L为凢何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法公式
Р(А+Ь)=Р(А)+Р(Ь)→Р(АЬ)
当Р(АЬ)=0时,Р(А+Ь)=Р(А)+Р(Ь)
(11)减法公式
Р(А→Ь)=Р(А)→Р(АЬ)
当Ь А时,Р(А→Ь)=Р(А)→Р(Ь)
当А=Ω时,Р( )=1→Р(Ь)
(12)条件概率
定义设А、Ь是两個事件,且Р(А)>0,则称 为事件А发生条件吓,事件Ь发生地条件概率,记为 。
1° 0≤Р(А)≤1,
2° Р(Ω) =1
3° 对于两两互不相容地事件 , ,…有
常称为可列(完全)可加性。
则称Р(А)为事件 地概率。
(8)古典概型
1° ,
2° 。
设任—事件 ,牠是由 组成地,则有
Р(А)= =
(9)凢何概型
若随机试验地结果为无限不可数并且每個结果出现地可能性均匀,同时样本空间仲地每—個基本事件可以使用—個有界区域来描述,则称此随机试验为凢何概型。对任—事件А,
如果同时有 , ,则称事件А与事件Ь等价,或称А等于Ь:А=Ь。
А、Ь仲至少有—個发生地事件:А Ь,或者А+Ь。
属于А而不属于Ь地部分所构成地事件,称为А与Ь地差,记为А→Ь,也可表示为А→АЬ或者 ,牠表示А发生而Ь不发生地事件。
А、Ь同时发生:А Ь,或者АЬ。А Ь=Ø,则表示А与Ь不可能同时发生,称事件А与事件Ь互不相容或者互斥。基本事件是互不相容地。
并且同时满足Р(АЬС)=Р(А)Р(Ь)Р(С)
那么А、Ь、С相互独立。
对于Ñ個事件类似。
(15)全概公式
设事件 满足
1° 两两互不相容, ,

概率论与数理统计公式整理

概率论与数理统计公式整理

概率论与数理统计公式整理一、概率论公式:1.加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法公式:P(A∩B)=P(A)×P(B,A)其中,P(A)和P(B)表示事件A和B的概率,P(B,A)表示已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。

3.全概率公式:P(A)=∑[P(A,B(i))×P(B(i))]其中,B(i)表示互斥事件组,且它们的概率之和为14.贝叶斯公式:P(B(j),A)=P(A,B(j))×P(B(j))/∑[P(A,B(i))×P(B(i))]其中,P(B(j),A)表示已知事件A发生的条件下事件B(j)发生的概率。

5.期望值公式:E(X)=∑[x×P(X=x)]其中,X为一个随机变量,x为X的取值,P(X=x)为X等于x的概率。

6.方差公式:Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中,Var(X)表示随机变量X的方差,E(X)表示X的期望值。

二、数理统计公式:1.样本均值公式:样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn)/n其中,x1、x2、..、xn为样本中的观测值,n为样本容量。

2.样本方差公式(无偏估计):样本方差 = [(x1-样本均值)^2 + (x2-样本均值)^2 + ... + (xn-样本均值)^2]/(n-1)3.样本标准差公式(无偏估计):样本标准差=样本方差的平方根4.正态分布的标准化公式:Z=(X-μ)/σ其中,X为一个正态随机变量,μ为其均值,σ为其标准差,Z为标准正态分布的变量。

5.正态分布的累积分布函数:P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中,Φ表示标准正态分布的累积分布函数。

6.样本之间的协方差公式:Cov(X,Y) = ∑[(x(i)-X均值) × (y(i)-Y均值)]/(n-1)其中,X、Y为两个随机变量,x(i)、y(i)为X、Y的观测值,X均值、Y均值分别为X、Y的样本均值,n为样本容量。

概率论与数理统计公式整理(超全免费版)

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一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是 的子集。
为必然事件,Ø为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件的关系与运算
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
几何分布
,其中p≥0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。
均匀分布
设随机变量 的值只落在[a,b]内,其密度函数 在[a,b]上为常数 ,即
a≤x≤b
其他,
则称随机变量 在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为
a≤x≤b
0,x<a,
1,x>b。
当a≤x1<x2≤b时,X落在区间( )内的概率为
若 ,则 的分布函数为
。。
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布,记为 ,其密度函数记为
, ,
分布函数为

是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
Φ(-x)=1-Φ(x)且Φ(0)= 。
如果 ~ ,则 ~ 。

(6)分位数
下分位表: ;
上分位表: 。
(7)函数分布
离散型
已知 的分布列为

的分布列( 互不相等)如下:
设 =(X,Y)的所有可能取值为 ,且事件{ = }的概率为pij,,称
为 =(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:
Y
X
y1
y2

概率论与数理统计公式超全版

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所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。
分布满足可加性:设

t分布
设X,Y是两个相互独立的随机变量,且
可以证明函数
的概率密度为
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T~t(n)。
F分布
设 ,且X与Y独立,可以证明 的概率密度函数为
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2的F分布,记为F~f(n1, n2).
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是 的子集。
为必然事件,?为不可能事件。
不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件的关系与运算
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
几何分布
,其中p≥0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。
均匀分布
设随机变量 的值只落在[a,b]内,其密度函数 在[a,b]上为常数 ,即
a≤x≤b
其他,
则称随机变量 在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为
a≤x≤b
0,x<a,
?
1,x>b。
当a≤x1<x2≤b时,X落在区间( )内的概率为
在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为
在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为
连续型
在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为

在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为
(7)独立性
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称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。分布
函数 F(x) 表示随机变量落入区间(– ∞,x]的概率。
分布函数具有如下性质:
1° 0 F(x) 1, x ;
2° F(x) 是单调不减的函数,即 x1 x2 时,有 F(x1) F (x2) ;

i1 , P( A) 0 ,

P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
,i=1,2,…n。
P(Bj )P(A/ Bj )
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ,( i 1,2 ,…,n ),通常叫先验概率。 P(Bi / A) ,( i 1 ,2 ,…, n ),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有
如下性质:
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
(5)基本 事件、样本 空间和事 件
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表示。
.
第 1 章 随机事件及其概率
(1)排列 组合公式
Pmn
m! (m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
Cmn
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理(两种方法均能完成此事):m+n
(2)加法 和乘法原 理
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由
果朔因”的推断。
(17)伯努
我们作了 n 次试验,且满足
利概型
每次试验只有两种可能结果, A 发生或 A 不发生;
.
.
n 次试验是重复进行的,即 A 发生的概率每次均一样; 每次试验是独立的,即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为 n 重伯努利试验。
Ai Ai
德摩根率: i1
i 1
AB A B,A B AB
(7)概率 的公理化 定义
设 为样本空间, A 为事件,对每一个事件 A 都有一个实数 P(A),若满
足下列三个条件: 1° 0≤P(A)≤1, 2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1, A2 ,…有
P Ai P(Ai) i1 i1
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母
A,B,C,…表示事件,它们是 的子集。 为必然事件,Ø 为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理, 必然事件(Ω)的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分,(A 发生必有事件 B 发生):
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ,则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立,且 P( A) 0 ,则有
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。
P( X
k)
CMk

C nk N M
,
k
0,1,2
,l
CNn
l min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M)。
n 种方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列(有序)
(3)一些 常见排列
对立事件(至少有一个) 顺序问题
(4)随机 试验和随 机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。
分布函数为
x
F (x) f (x)dx
0,
xa, ba
1,
x<a, a≤x≤b x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时,X 落在区间( x1 , x2 )的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a

.
指数分布
.
f (x)
ex ,
0,
x 0, x 0,
其中 0 ,则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
当 n 1时, P( X k) p k q1k , k 0.1,这就是(0-1)分
布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
.
.
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e , 0 , k 0,1,2 , k!
事件 B 发生的条件概率,记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
.
.
(13)乘法 公式
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式: P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地,对事件 A1,A2,…An,若 P(A1A2…An-1)>0,则有
A所包含的基本事件数 基本事件总数
(9)几何 概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A,
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。 L()
(10)加法 公式
0-1 分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在 n 重贝努里试验中,设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生
的次数是随机变量,设为 X ,则 X 可能取值为 0,1,2, , n 。
P( X
k)
Pn(k )
C
k n
p k q nk

其中
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2, , n ,

(2)连续 型随机变 量的分布 密度
(3)离散 与连续型 随机变量 的关系
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数,若存在非负函数 f (x) ,对任意实数 x ,有
x
F (x) f (x)dx

则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数,简称概
率密度。
密度函数具有下面 4 个性质:
常称为可列(完全)可加性。
则称 P(A)为事件 A 的概率。
(8)古典 概型
1° 1, 2 n ,

P(1 )
P(2 )
P(n )
1 n

设任一事件 A ,它是由1, 2 m 组成的,则有
P(A)=(1 ) (2 ) (m ) = P(1 ) P(2 ) P(m )
m n
f (x) 具有如下性质:
1° f (x) 的图形是关于 x 对称的;
3° F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
4° F(x 0) F(x) ,即 F(x) 是右连续的;
5° P(X x) F(x) F(x 0) 。
对于离散型随机变量, F(x) pk ; xk x
(5)八大 分布
x
对于连续型随机变量, F (x) f (x)dx 。
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
(14)独立 性
(15)全概 公式
(16)贝叶 斯公式
若事件 A 、B 相互独立,则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独
立。
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的Βιβλιοθήκη 立性设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2, , Bn 满足
1° B1, B2, , Bn 两两互不相容, P(Bi) 0(i 1,2, , n) ,
用 p 表示每次试验 A 发生的概率,则 A 发生的概率为1 p q ,用 Pn(k) 表
示 n 重伯努利试验中 A 出现 k(0 k n) 次的概率,
C Pn(k)
k n
pk qnk

k
0,1,2,
,n

第二章 随机变量及其分布
(1)离散 型随机变 量的分布 律
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件
(6)事件 的关系与 运算
A B 如果同时有 A B , B A ,则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于 B:
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