高考数学重点题型复习：函数综合题重点题型归纳

2019高考数学重点题型复习：函数综合题重

点题型归纳

函数综合题重点题型归纳

已知函数.

(Ⅰ)求曲线在点M()处的切线方程；

(Ⅱ)设a0. 如果过点(a，b)时作曲线y=f(x)的三条切线，证明：

设函数.

(Ⅰ)证明：的导数；(Ⅱ)若对所有都有，求的取值范围.

已知函数，.()讨论函数的单调区间；()设函数在区间内是减函数，求的取值范围.

设函数.

(Ⅰ)求的单调期间；(Ⅱ)如果对任何，都有，求a的取值范围. 设函数有两个极值点，且

(I)求的取值范围，并讨论的单调性；(II)证明：

已知，其中是自然常数，

(1)讨论时，的单调性、极值；(2)求证：在(1)的条件下，；

(3)是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.已知函数(R)的一个极值点为.方程的两个实根为，函数在区间上是单调的.

(1) 求的值和的取值范围；(2) 若，证明:

设函数在两个极值点，且

(I)求满足的约束条件，并在坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；

(II)证明：

、是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的，都有.

(I)设，证明：

(II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；

(III) 设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式函数综合题重点题型归纳解：(Ⅰ)求函数的导数：曲线处的切线方程为：即

(Ⅱ)如果有一条切线过点(a，b)，则存在使

于是，若过点(a，b)可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根，记则

当t变化时，变化情况如下表：

t(-，0)0(0，a)a(a，+)+0-0+↗极大值a+b↘极小值b-↗由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

当时，解方程，即方程只有两个相异的实数根；

当时，解方程，即方程只有两个相异的实数根

综上，如果过可作曲线三条曲线，即有三个相异的实数根，则

即解：(Ⅰ)的导数.由于，故.(当且仅当时，等号成立). (Ⅱ)令，则，

(ⅰ)若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即.

(ⅱ)若，方程的正根为，

此时，若，则，故在该区间为减函数.

所以，时，，即，与题设相矛盾.

综上，满足条件的的取值范围是.

解：(1)求导：

当时，，，在上递增当，求得两根为

即在递增，递减，递增

(2)，且解得：

解：(Ⅰ)当()时，，即；

当()时，，即.

因此在每一个区间()是增函数，

在每一个区间()是减函数.6分(Ⅱ)令，则故当时，.又，所以当时，，即.当时，令，则.故当时，因此在上单调增加.故当时，，即于是，当时，.

当时，有.因此，的取值范围是.12分

解: (I)

令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得

⑴当时，在内为增函数；

⑵当时，在内为减函数；

⑶当时，在内为增函数；

(II)由(I)，

设，则

⑴当时，在单调递增；

⑵当时，，在单调递减。

故.

解：(1)，1分

当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增3分

的极小值为4分

(2)的极小值为1，即在上的最小值为1，，

令，，6分

当时，，在上单调递增7分

在(1)的条件下，(3)假设存在实数，使()有最小值3，

①当时，，所以，所以在上单调递减，

，(舍去)，所以，此时无最小值. 10分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件. 11分

③当时，，所以，所以在上单调递减，，(舍去)，所以，此时无最小值.

综上，存在实数，使得当时有最小值3.14分

(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识，考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括

能力、推理论证能力和运算求解能力)

(1) 解:∵，.

∵的一个极值点为，.

当时，；当时，；当时，；

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∵方程的两个实根为，即的两根为，

∵函数在区间上是单调的，区间只能是区间，，之一的子区间.

由于，故.

若，则，与矛盾..

方程的两根都在区间上. 6分

令，的对称轴为，

则解得.实数的取值范围为.

说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.

∵且函数在区间上是单调的，由即解得. 实数的取值范围为(2)证明:由(1)可知函数在区间上单调递减，

函数在区间上的最大值为，最小值为.

. 10分

令，则，.

设，则. ∵，.

.函数在上单调递增.

8、分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划

作可行域的能力。

大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根

则有故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，(如果消会较繁琐)再利用的范围，并借助(I)中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。

解：由题意有①又②

消去可得.又，且

9、解：对任意，，，，所以

对任意的，，

，所以0，

其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。令=，，，所以