数值分析试题及答案

一、填空题( 每题6分，共30分)

1、辛普生求积公式具有 3 次代数精度，其余项表达式为

4(4)

()(),(,)1802

b a b a f a b ζζ---

∈。 2、2

()1,f x x =+则[1,2,3]1,[1,2,3,4]0f f ==。 3、设()(0,1,2

)j l x j n =是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，

则()j i l x =1,,0,i j i j

=⎧⎨≠⎩(,0,1,2

)i j n =；0

()n

j j l x ==∑ 1 。

4、设()(0,1,2

)j l x j n =是区间[,]a b 上的一组n 次插值基函数。则

插值型求积公式的代数精度为 至少是n ；插值型求积公式中求积系数

j A = ()b

k a

l x dx ⎰；且0

n

j j A ==∑ b-a 。

5、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 2.7183 和 8.0000 。

二、计算题(每题10分,共计60分,注意写出详细清晰

的步骤)

1、已知函数()y f x =的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x ，1()2

P =的值近似值。（注：要求给出差商表） 解：差商表

3

]

由牛顿插值公式：

32

33

32

3

48

()()21,

33

141181

()()2()()12

232232

p x N x x x x

p

==-++

≈=-++=

求它的拟合曲线（直线）。

解：设y a bx

=+则可得

530052.90

300220003797

a b

a b

+=

⎧

⎨

+=

⎩

于是 1.235,0.15575

a b

==，即 1.2350.15575

y x

=+。

4、已知

012

113

,,,

424

x x x

===

(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式

1

012

113

()()()()

424

f x dx A f A f A f

≈++

⎰；

(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算

12

x dx

⎰。

解：(1)所求插值型的求积公式形如：

1

0120

113

()()()()424

f x dx A f A f A f ≈++⎰ 111

120000001021110211000101210122020213()()()()224();1113()()3()()

424413()()()()144();1113()()3()()

2424

()()()()(x x x x x x A l x dx dx dx x x x x x x x x x x A l x dx dx dx x x x x x x x x A l x dx x x x ----====--------====-------==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1100111()()242;

3131)3()()

4442

x x dx dx x --==--⎰⎰

故101113()[2()()2()]3424

f x dx f f f ≈-+⎰。

（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将

34(),f x x x =代入上述公式，可得

1

3333

144440

11113[2()()2()],43424

11113[2()()2()],53424

x dx x dx =

=-+=≠-+⎰⎰

故代数精度是3次。 （3）由2）可得：

1

22220

11131[2()()2()]34243

x dx =-+=⎰。 5、用二分法求方程3

()1f x x x =--在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。

解：6次；*

1.32x ≈。

6、用列主元消去法解线性方程组

1231231

232346,

3525,433032.

x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩

解：

234643303243303235253525352543303223462346433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/1143303201182380012⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭

即123123233433032,13,118238,8,2.2.x x x x x x x x x ++==⎧⎧⎪⎪

-=-⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩